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双曲线知识点
双曲线1．双曲线的两种定义①平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0； (1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当a >c 时，P 点不存在．②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是大于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|e dPF =，e>1的常数}。
e ＝ca （e>1）时，这个点M 的轨迹是双曲线。
定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率．2．双曲线的标准方程和几何性质(1)准线方程：c a x 2±=；或c ay 2±=焦准距|c a 2－c|=c b 2，通径=ab 22.(2).双曲线焦半径 ①点P(x,y)在左支上│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a) ②点P(x,y)在右支上│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex -a (3).曲线系⑴共焦点F 1(c,0),F 2(－c,0)的椭圆或双曲线222c k y k x -+=1； 共焦点F 1(0，c),F 2(0,－c)的椭圆或双曲线ky c x 222-k +=1； ⑵共渐近线y=±a bx 的双曲线系2222by a x -=λ（λ≠0）(4)双曲线与直线相交弦的问题弦长公式|AB|=||1]4))[(1(2212212a k x x x x k ∆+=-++=||1212x x k -+ =]4))[(11(212212y y y y k-++（5）离心率的大小与双曲线形状的关系：e （e>1）越大则双曲线开口的开阔度越大(6)1-2222=by a x （a>0;b>0）的焦点为1F 与2F ，且p 为曲线上任意一点，θ221=∠PF F 。
双曲线的基本知识点
双曲线的基本知识点双曲线的基本知识点有哪些双曲线的基本知识点如下：1.双曲线定义：在平面内，设$F_{1}、F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a,b$是实数且$a>0,b>0$）的焦点，若$F_{1}F_{2}=2c$，则称$F_{1}F_{2}$为双曲线的焦距。
2.定义法证明：（1）设$P$点是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a,b$是实数且$a>0,b>0$）的左支上的一点，$F_{1}$是双曲线的左焦点，若$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$ 双曲线的基本知识点整理双曲线的基本知识点整理如下：1.双曲线定义：平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线。
(完整word版)双曲线知识点总结
双曲线知识点知识点一：双曲线的定义:在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴长 实轴长=，虚轴长=离心率 渐近线方程1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长ab 222.等轴双曲线 : 当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。
其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y 轴上）4.焦点三角形的面积2cot221θb S F PF =∆，其中21PF F ∠=θ5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.椭圆双曲线根据|MF 1|+|MF 2|=2a根据|MF 1|－|MF 2|=±2aa ＞c ＞0， a 2－c 2=b 2（b ＞0）0＜a ＜c ， c 2－a 2=b 2（b ＞0），（a ＞b ＞0），（a ＞0，b ＞0，a 不一定大于b ）。
双曲线知识点总结
双曲线知识点总结一．双曲线的定义及其性质1. 定义：平面上到两定点F 1（-c,0) ,F 2(c,0)的距离之差等于定值2a(a<c)点的集合。
2. 求轨迹的方法：（1）设点的坐标 ；（2）找条件 ；（3）代入点的坐标，列等式；（4）化简；（5）检验。
3. 双曲线的标准方程及其性质 （1）双曲线的方程标准方程：12222=-by a x （若x 的系数为正,则焦点x 在轴上；若x 的系数为负，则焦点在y 轴上)共焦点双曲线的方程： 12222=--+m b y m a x ； 共离心率双曲线的方程： 12222=-mb y ma x 共渐近线的双曲线的方程：λ=-2222by a x（2）性质： ①c 2=b 2+a 2;②e=a c =2222221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=a b a b a a c或e=ac =a c22=aR R R PF PF F F sin sin )sin(sin 2sin 2sin 22121-+=-=-ββααβθ③当PF 2⊥x 轴时，｜PF 2｜=ab 2④若点P （x 0,y 0)在双曲线12222=-by a x 上，则过点P 与双曲线相切的直线方程为12020=-byy a x x ; ⑤若点P （x 0,y 0)双曲线上任一点，以PF 1为直径的圆一定与x 2+y 2=a 2相切。
二．双曲线的焦点三角形（1）若｜PF 1｜=m , ｜PF 2｜=n , ∠F 1PF 2= Θ ;mn=θcos 122-b ),[2+∞∈b ;θθcos 1cos 2-=b n m ),[2+∞-∈b ;S∆PF 1F 2=2tan 2θb .证明如下：①（2c)2=m 2+n 2-2mncosΘ=(m -n)2-2mn(1-cosΘ)=4a 2+2mn(1-cosΘ)⇒mn=θcos 122-b②S∆PF 1F 2=21mnsinΘ=2tan 2sin 22cos2sin2cos 1sin 2212222θθθθθθb b b ==-三．双曲线的中点弦（1）AB 是不平行于对称轴的弦，P 是AB 的中点，则K AB K OP =b 2/a 2 （2）若A 、B 关于原点O 对称，P 是椭圆上异于A 、B 的任一点，则K PA K PB =b 2/a 2（3）A 、B 为渐近线上的两点，P 是AB 的中点则K AB K OP =b 2/a 2 （4）A 、B 为渐近线上关于原点O 对称的两点，P 为渐近线上任一点，则K PA K PB =b 2/a 2。
关于双曲线的知识点
关于双曲线的知识点
双曲线是数学中的一种重要曲线，具有以下性质：
1. 定义：双曲线是与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是
常数的点的轨迹。
这个距离差是正数或负数，取决于图形的形状。
2. 几何性质：双曲线的两个焦点之间的距离称为焦距，通常用2c表示。
双曲线的一条分支的长度称为实轴，通常用2a
表示。
双曲线的一条与实轴平行的线段的长度称为虚轴，通常用2b表示。
3. 方程：双曲线的方程通常为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其
中a和b分别是实轴和虚轴的长度。
当b=0时，双曲线变成一
对相交的直线;当a=b时，双曲线变成圆。
4. 渐近线：双曲线有两条渐近线，它们是y=±(b/a)x。
这
些线与双曲线无限接近，但永远不会相交。
5. 离心率：双曲线的离心率是指实轴和虚轴之间的比例。
离心率用e表示，e=c/a。
6. 参数方程：双曲线的参数方程可以表示为x=acos(t)，
y=bsin(t)。
其中，t是参数，取值范围是0到2π。
7. 应用：双曲线在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。
例如，在物理学中，双曲线被用来描述粒子运动的轨道、光的
折射和反射等现象。
在工程学中，双曲线被用来设计桥梁、建筑物和飞机等结构。
总之，双曲线是数学中的重要概念和曲线类型，具有丰富的几何和方程性质，并在各个领域都有广泛应用。
双曲线知识点
练习 1.求与椭圆49 + 24 = 1有公共交点，且离心率为 e=4的双曲线方程。
x2
y2
5
练习 2.求与椭圆 的双曲线方程。
y2 x2 1 16 8 有共同焦点， 渐近线方程为
x
3y 0
练习 3.点 M（x,y）与定点 F（5,0） ，的距离和它到定直线 l： 的比是常数
5 4
x
b b 的夹角增大 当e (1, )时， (0, ), 且e增大, 也增大 e增大时，渐近线与实轴 a a
e 是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大。 （4）等轴双曲线的离心率 e=√2 （5）e= a
C
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
C2=a2+b2
在 a、b、c、e 四个参数中，知二可求二。
例 1.求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近 线方程。
例 2.已知双曲线顶点间的距离为 16，离心率 e=4,焦点在 x 轴上，中心在原点， 写出双曲线的方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标。
5
三.双曲线解题技巧 x2 y2 1.与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； 9 16 ⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 1 的渐近线为 y x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 , 3 9 16 4 故点 (3, 2 3) 在射线 y x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3
设直线 l : y kx m(m 0) ，双曲线
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ，则弦长公式为：则 | AB | 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 若联立消去 x 得 y 的一元二次方程： ay2 by c 0(a 0) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ，则 | AB | 1 焦点弦长：
双曲线经典知识点总结
双曲线经典知识点总结双曲线是解析几何中的一种重要曲线，是一对非重叠又对称的曲线组成，它有着丰富的性质和应用。
在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
本文将通过对双曲线的定义、性质、参数方程、极坐标方程以及相关的应用等方面进行详细的总结和解释。
一、双曲线的定义和基本性质1. 双曲线的定义双曲线定义是平面直角坐标系中满足以下方程的点的轨迹:\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]其中a和b是正实数且a≠b。
当a>b时，曲线称为右双曲线；当a<b时，曲线称为左双曲线。
2. 双曲线的基本性质（1）对称性：关于x轴、y轴和原点对称。
（2）渐近线：右双曲线的渐近线为y=±\frac{b}{a}x，左双曲线的渐近线为y=±\frac{a}{b}x。
（3）焦点和准线：右双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(c,0)，准线方程为x=c；左双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(0,c)，准线方程为y=c。
（4）离心率：离心率ε定义为，ε=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。
二、双曲线的参数方程和极坐标方程1. 双曲线的参数方程（1）右双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{sec}t \\y=b\tan t\end{cases}\]其中t为参数。
（2）左双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{csc}t \\y=b\cot t\end{cases}\]其中t为参数。
2. 双曲线的极坐标方程（1）右双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{b}{\sin\theta}\]（2）左双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{a}{\cos\theta}\]三、双曲线的相关应用1. 数学方面双曲线广泛应用于解析几何、微积分、微分方程等数学领域。
在微积分中，双曲线的导数和积分形式复杂，常作为综合练习的一部分。
双曲线的基本知识点
双曲线的基本知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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双曲线知识点及例题
双曲线知识点及例题一、双曲线的定义平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之差的绝对值等于常数\（2a\）（＼（0 ＜2a ＜｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离\（｜F_1F_2|＼）叫做焦距，记为\（2c\）。
二、双曲线的标准方程焦点在\（x\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2}＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
三、双曲线的几何性质1、范围焦点在\（x\）轴上的双曲线，＼（x\）的取值范围是\（x ＼leq a\）或\（x ＼geq a\）；＼（y\）的取值范围是\（R\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线，＼（y\）的取值范围是\（y ＼leq a\）或\（y ＼geq a\）；＼（x\）的取值范围是\（R\）。
2、对称性双曲线关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点都对称。
3、顶点焦点在\（x\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼）。
4、渐近线焦点在\（x\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{b}｛a}x\）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{a}｛b}x\）。
5、离心率双曲线的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（e ＞ 1\）），它反映了双曲线的开口大小。
四、例题解析例 1：已知双曲线的方程为\（＼frac{x^2}｛9} ＼frac{y^2}｛16} ＝1\），求其顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率。
双曲线的相关知识点
双曲线的相关知识点
双曲线：
1、定义：双曲线是椭圆类曲线的一种，它是在二维坐标系上描绘的曲线，根据它们在一象限内的GR-函数形式和在其他象限内的ER-函数形式有所不同，可以对其进行区分。
2、标准形式：双曲线的标准形式为：
（1）ER： x^2/a^2 - y^2/b^2=1；
（2）GR：y^2/b^2-x^2/a^2=1；
其中，a，b>0为椭圆的长短轴，a>b叫长轴为椭体的长轴，b叫短轴为椭体的短轴，椭圆两个焦点的坐标分别为：（c，0）和（-c，0），如果a=b，椭圆就变成了圆，椭圆的离心率e=√(a^2-b^2)/a。
3、参数方程形式：双曲线参数方程形式为：
（1）ER： x=a*cosh(t)，y=b*sinh(t)；
（2）GR： x=a*cos(t)，y=b*sin(t)；
其中，t为参数。
4、性质：（1）离心率：双曲线的离心率e=√(a^2-b^2)/a；
（2）对称性：双曲线在原点旋转180°，与原曲线几乎重合。
即当x，y正负号变换时，双曲线几乎不变；
（3）碰势：双曲线被数轴所分割，可被等分为8个象限，每个象限内的碰势（势能）均不相等；
（4）焦点：双曲线有两个焦点，其焦点在x轴两端，坐标分别为：（c，0）和（-c，0），其中c=a*√(e^2-1)；
（5）有理面积：双曲线的有理面积s=π*a*b。
5、应用：双曲线在现实生活中广泛应用，其中反射平面等圆周投影制图、双曲线流体力学、太阳能热水管道和双曲管的设计等均有重要的地位。
双曲线知识点与性质大全.doc
双曲线知识点与性质大全.doc
一、双曲线的概念
双曲线是极小曲线的一类，它以满足一定条件的双次曲线为基础，用一定规律变形而成，它以椭圆为最基本形态，椭圆是四面体投影到一个平面上，双曲线就是椭圆变形而成的，它们具有相似的几何形状和性质，并且具有唯一性和范畴性等特点。
二、双曲线的几何性质
1、弦长：双曲线是一类极小曲线，其弦长是一定的，它等于两个极点之间的距离。
2、曲率：双曲线的曲率也比较大，更接近圆形，且曲率只和双曲线的极坐标有关，
而与直角坐标无关。
3、夹角：双曲线的夹角都是钝角，这表明它们轨迹在某些位置会被突然压缩，也就
是会"折断"，但此时仍然是连续的，所以一般人略感突出的是双曲线夹角的性质。
三、双曲线的方向性质
1、对称中心：双曲线的对称中心位于其长轴上的中点处，同时它也是该双曲线的焦点。
2、对称轴：双曲线的对称轴取决于其焦距，它的长轴和短轴都对应着双曲线的对称轴，它们分别是双曲线的一对对称轴。
3、一对焦离：双曲线都具有一对焦离，它们分别位于双曲线的对称轴上，可以从双
曲线的几何图形中来分辨出它们，它们在双曲线的长轴上顺序排列。
四、双曲线变形性质
1、拼合性：双曲线可以通过移动、旋转等变形来拼合成更复杂的几何图形，这种拼
合性在几何图形分析时会给人以多种想象，常用于多边形拼合等场合。
2、相互合并：双曲线可以相互合并，即把一条双曲线的另一个焦点作为另一条双曲
线的一个焦点，以达到合并效果。
3、压缩：双曲线可以通过改变其焦距来达到压缩的效果，使双曲线的形状发生变化，也可以改变双曲线的长轴和短轴来实现压缩。
双曲线方程知识点详细总结-双曲线定理总结
构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)
⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:。
⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号。
⑺若P在双曲线,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n。
双曲线方程
1.双曲线的第一定义：
⑴①双曲线标准方程：.
一般方程：.
⑵①i.焦点在x轴上：
顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或
ii.焦点在轴上：顶点：.焦点：。准线方程：.渐近线方程：或，参数方程：或.
②轴为对称轴,实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距2c.③离心率.④准线距（两准线的距离）;通径。⑤参数关系.⑥焦点半径公式:对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)
例如:若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？
解：令双曲线的方程为：，代入得.
⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①:无切线，2条与渐近线平行的直线,合计2条;
区域②：即定点在双曲线上,1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③:2条切线，2条与渐近线平行的直线,合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点,1条切线，1条与渐近线平行的直，合计2条；
双曲线知识点归纳总结
双曲线知识点归纳总结本文档将对双曲线的相关知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用双曲线。
1. 双曲线的定义双曲线是二次曲线的一种，其方程可以表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0, b > 0) \]其中，\[ a \] 和 \[ b \] 分别为椭圆的半轴。
2. 双曲线的基本性质- 双曲线有两个分支，分别向左右两个方向无限延伸。
- 双曲线的焦点为椭圆的焦点，焦点到曲线上任意一点的距离之差等于常数 \[ 2a \]。
- 双曲线的渐近线是通过焦点的直线，其斜率为 \[ \pm\frac{b}{a} \]，与曲线的交点即为曲线的渐近点。
3. 双曲线的图像特征- 当 \[ a > b \] 时，双曲线的主轴平行于 \[ x \] 轴。
- 当 \[ a < b \] 时，双曲线的主轴平行于 \[ y \] 轴。
- 当 \[ a = b \] 时，双曲线为特殊情况，即为双曲线的渐近线。
4. 双曲线的应用双曲线的应用非常广泛，包括但不限于以下领域：- 数学分析：双曲线是解析几何研究的重要方向，应用于函数的图像分析、曲线的参数化等。
- 物理学：双曲线广泛应用于描述物体的运动轨迹、电磁场的传播等。
- 经济学：双曲线模型被应用于市场供需曲线、货币供给曲线等的分析与建模。
- 工程学：双曲线被应用于设计天地线、曲线形状的构造等。
5. 参考文献1. 张三, "双曲线的基本性质研究", 《高等数学学报》, 2010.2. 李四, "双曲线在物理学中的应用研究", 《物理学杂志》, 2012.以上是对双曲线知识点的简要归纳总结，希望能对读者理解和应用双曲线有所帮助。
双曲线的知识点总结
双曲线的知识点总结1. 双曲线的定义双曲线是平面解析几何中的一种二次曲线，它可以用以下方程表示：双曲线方程双曲线方程其中，a表示横轴半轴长度，b表示纵轴半轴长度。
双曲线以原点为中心，在横轴和纵轴上分别有两个焦点。
2. 双曲线的性质2.1 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支趋于无穷远。
这两条渐近线的斜率分别为渐近线斜率。
2.2 双曲线的离心率双曲线的离心率可以通过以下公式计算得出：离心率公式离心率公式当离心率大于1时，双曲线是实双曲线；当离心率等于1时，双曲线是抛物线。
2.3 双曲线的焦距双曲线的焦距可以通过以下公式计算得出：焦距公式焦距公式焦距表示了焦点与原点之间的距离。
3. 双曲线的图像双曲线的图像特点如下：•当a > b时，双曲线的两个分支打开向左右两侧；•当a < b时，双曲线的两个分支打开向上下两侧；•当a = b时，双曲线为一对直线。
双曲线的图像在横纵轴上对称。
4. 双曲线的应用4.1 数学双曲线在数学中有多种应用，例如：•函数图像：一些函数的图像可以是双曲线，如双曲正弦函数；•几何问题：双曲线可以用于解决一些几何问题，如求解焦点坐标等；4.2 物理双曲线在物理学中也有广泛应用，例如：•光学：双曲线可以用于描述光线的传播和反射，例如双曲面镜的形状；•电磁场：双曲线可以用于描述电磁场的分布和行为，例如电磁波的传播等；4.3 工程在工程领域，双曲线也有很多应用，例如：•通信：双曲线可以用于通信系统中的信号传输和接收，例如双曲线编码；•电路设计：双曲线可以用于电路的分析和设计，例如传输线的特性阻抗等；5. 总结双曲线是一种重要的二次曲线，在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
了解双曲线的定义、性质和图像特点，能够帮助我们更好地理解和应用双曲线。
在实际问题中，我们可以利用双曲线来解决各种数学、物理和工程上的难题，为科学和技术的发展做出贡献。
双曲线知识点总结整理版.doc
双曲线知识点指导教师：郑军一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
双曲线知识点归纳总结[参考]
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双曲线知识点归纳总结[参考]# 一、双曲线的定义双曲线是椭圆形外表面的主要特点，特别是那种双曲线比圆轴稍长的特殊类型，其自然按照常见的中心对称（镜面对称）。
双曲线是定义域上二次代数多项式等式的解析解集合，也是几何学中一种十分重要的曲线形式。
1. 过原点的双曲线可以由自变量的两个方程式构成，分别是水平方向的变量和竖直方向的变量。
2. 当椭圆的焦点同比例缩放或者映射，双曲线还是双曲线，但是其离心率会发生变化。
3. 双曲线的部分图像是一个二次曲线，而它们的反函数具有很高的解析式。
4. 双曲线存在两条任意的翼线，它们的端点被称为焦点。
5. 双曲线的参数方程是曲线的标准方程，与通常的椭圆不同，它们大部分情况都是通过横纵坐标表示的。
6. 双曲线的证明可以非常好的运用到平面几何，特别是在关于椭圆方程的求解、椭圆定理的应用中，双曲线有重要的作用。
7. 双曲线本质上是椭圆形，有时也被归类为椭圆，但是它们的特殊性质使它们有独立的定义。
1. 在光学学科中，双曲线可以用于计算和分析光照度因子和反射率，这也是设计镜头、反射镜等光学元件时使用的重要工具。
2. 数学方法中，双曲线可以用来解决有关空间变换的问题，例如它们可以帮助研究部分变换的结构，而这些变换又是许多高等数学理论的基础。
3. 在概率论中，双曲线也可以表示正态分布的可视图像，从而方便对正态分布的深入研究。
4. 在物理学中，双曲线用于研究静电场，例如设计拉普拉斯力场和电荷发射器等元件而取得了波动之类的重要发现。
5. 在游戏和美学艺术中，双曲线作为客观几何学的表现展示出来，被大量应用于游戏的角色和场景的设计上。
# 四、总结双曲线是一种具有孤立特征的椭圆形，它们具有两个不同方向的旋转轴，运用于光学学科、数学方法、概率论、物理学和美学艺术等领域具有重要的作用，是多学科交叉研究的基本要素之一。
双曲线的知识点总结
双曲线的知识点总结双曲线知识点总结1. 定义双曲线是二次曲线的一种，它是所有与两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。
这两个固定点称为双曲线的焦点。
2. 标准方程双曲线的标准方程有两种形式，分别对应于水平和垂直方向的开口。
- 水平开口：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)- 垂直开口：\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)其中，\(a\) 是实轴半长，\(b\) 是虚轴半长。
3. 性质- 实轴：双曲线上最长的轴，两端分别指向两个焦点。
- 虚轴：与实轴垂直的轴，两端是双曲线的顶点。
- 焦点：双曲线上两个特定的点，所有曲线上的点到这两个点的距离之差为常数。
- 焦距：两个焦点之间的距离，用 \(2c\) 表示，其中 \(c^2 = a^2+ b^2\)。
- 顶点：双曲线与虚轴的交点，坐标为 \((±a, 0)\)（水平开口）或\((0, ±b)\)（垂直开口）。
- 渐近线：双曲线的两条直线，它们不与双曲线相交，但双曲线会无限接近这些线。
渐近线的方程为 \(y = ±\frac{b}{a}x\)（水平开口）或 \(x = ±\frac{a}{b}y\)（垂直开口）。
4. 应用双曲线在许多领域都有应用，包括：- 物理学：在描述某些行星轨道和电磁波的传播时使用。
- 工程学：在设计某些类型的天线和雷达系统中使用。
- 几何学：在研究对称性和变换中经常出现。
5. 图形特征- 双曲线是开放的曲线，没有封闭的区域。
- 它有两个分支，每个分支都无限延伸。
- 双曲线的图形是对称的，关于实轴和虚轴对称。
6. 变换双曲线可以通过平移和旋转进行几何变换。
例如，通过改变标准方程中的常数项，可以平移双曲线；通过组合平移和旋转，可以得到任意位置和方向的双曲线。
7. 双曲线的参数- 离心率 \(e\)：表示双曲线相对于其焦点的扩展程度，计算公式为\(e = \frac{c}{a}\)。
数学双曲线知识点总结
数学双曲线知识点总结1. 双曲线的定义双曲线是平面上所有与两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。
这两个固定点称为双曲线的焦点。
双曲线的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，\(a\) 是实轴的一半长度，\(b\) 是虚轴的一半长度。
2. 焦点和焦距双曲线的两个焦点位于实轴上，其坐标为 \((\pm c, 0)\)，其中\(c\) 是焦距，满足 \(c^2 = a^2 + b^2\)。
3. 实轴和虚轴双曲线有两个主轴：实轴和虚轴。
实轴是连接两个焦点的直线，虚轴垂直于实轴并通过双曲线的中心。
4. 离心率双曲线的离心率 \(e\) 是一个大于1的数，定义为焦距与实轴半长度的比值，即 \(e = c/a\)。
5. 渐近线双曲线有两条渐近线，它们的方程为 \(y = \pm (b/a)x\)。
渐近线是双曲线的对称轴，双曲线永远不会与渐近线相交。
6. 等轴双曲线当 \(a = b\) 时，双曲线变成等轴双曲线，其方程简化为 \(x^2 - y^2 = a^2\)。
7. 双曲线的性质- 双曲线是对称的，关于实轴和虚轴对称。
- 双曲线是开放的，没有封闭的边界。
- 双曲线的两个分支是镜像对称的。
8. 双曲线的应用双曲线在许多领域都有应用，包括：- 物理学中的电磁波传播。
- 工程学中的曲线设计。
- 天文学中描述行星轨道。
9. 双曲线的绘制可以通过以下步骤绘制双曲线：- 确定焦点位置。
- 画出实轴和虚轴。
- 确定渐近线的方程。
- 在满足标准方程的点上绘制双曲线的分支。
10. 双曲线的方程变形双曲线的方程可以变形为其他形式，例如：\[x^2/a^2 - y^2/b^2 = k\]其中 \(k\) 是任意实数，表示双曲线的开口大小和方向。
11. 双曲线的参数方程双曲线的参数方程可以表示为：\[x = a \sec(t)\]\[y = b \tan(t)\]其中 \(t\) 是参数。
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知识点：1 .双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。
即a MF MF 221=-。
当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线；当2a =2c 时，轨迹是两条射线；当2a ﹥2c 时，轨迹不存在。
2．焦点在x 轴上时：12222=-b y a x ；焦点在y 轴上时：12222=-b
x a y （2
22b a c +=）
3．范围、对称性 顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长
4．渐近线：双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程是x a b y ±=（0=±b
y
a x ）
双曲线12222=-b
x a y 的渐近线方程是x b a y ±=（0=±b x
a y ）
5．等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，
6．共渐近线的双曲线系：渐近线为x a b
y ±=，双曲线方程就是： λ=-2222b
y a x
7．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比22
122a
b a
c a c e +===
范围：1>e ，“e 的大小”与“开口的阔窄”的关系
8．共轭双曲线： 12222=-b y a x 的共轭为22
22-=-b
y a x
9． 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=
a c a
c
e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率．
10．准线方程：左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，右焦点)0,(2c F 对应着右准线
c a x l 22:=；上焦点),0(1c F -对应着上准线c
a y l 2
1:-=；下焦点),0(2c F 对应着下准线c a y l 22:=
焦点到准线的距离c
b p 2
=（也叫焦参数）
11 .双曲线的焦半径（ 21,F F 分别是双曲线的左（下），右（上）焦点）
即有焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩
⎨⎧-=+=∴0201ex a MF ex a MF 焦点在y 轴上⎩⎨⎧-=+=∴0201ey a MF ey a MF
12．焦点弦：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦
基本题型：1．双曲线16x 2―9y 2
=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为_________
2．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8， e =
4
5
的双曲线的标准方程为_________ 3．双曲线
22
134
x y -=的两条准线间的距离等于_____ 4．若双曲线
22
16436
y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是___ 5．经过点M (3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是_____ 6．以y =±
3
2
x 为渐近线的双曲线的方程是_____ 7．等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是
8．从双曲线)0,0( 122
22>>=-b a b y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离是 .
9．与
2214924x y +=有公共焦点，且离心率e =4
5的双曲线方程是 10．以5x 2
+8y 2
=40的焦点为顶点，且以5x 2
+8y 2
=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 __.
11．已知双曲线
136
642
2=-x y 上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离 12．若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则e 1和e 2必满足的关系式为________ 13．若双曲线经过点(6, 3)，且渐近线方程是y =±3
1
x ，则这条双曲线的方程是_____ 14．双曲线的渐近线为y =±
4
3
x ，则双曲线的离心率为_______ 15．如果双曲线
22
1169
x y -=右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则P 到左准线的距离为___ 16．已知双曲线422
2
=-ky kx 的一条准线是y =1，则实数k 的值是______
17．在双曲线
22
11213
y x -=的一支上有不同的三点A (x 1, y 1), B , 6), C (x 3, y 3)与焦点F 间的
距离成等差数列，则y 1+y 3等于 ___
参考答案：1. 8, 6, 45 2. 221169x y -= 3.776 4. 325
5.82
2=-y x
6. 36492
2
=-x y 7. 0
90,2 8. b 9. 19
162
2=-y x
10.
15322=-y x 11. 答案：596 12. 221
211e e +=1 13. 2219x y -= 14. 45或35 15. 8 16. ―32
17. 12。