数学高一必修1课时作业 2.4.1二次函数的图像
高中数学北师大版必修一2.4.1 【教学课件】《二次函数的图像》
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思考4：如何由y＝ax2的图像得到y＝a(x＋h)2＋k(h≠0，k≠0)的图像？
再把y＝a(x＋h)2的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得y＝a(x＋h)2＋k的图像。
解：把y＝ax2的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位长度得y＝a(x＋h)2的图像，
特征描出其草图。如果抛物线与x轴仅有一个交点或没有交点时，可以先在 抛物线上任取一点(除顶点)，再作出此点关于抛物线对称轴的对称点，这两 个点和顶点合起来组成“三点”。
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质疑答辩，发展思维
画出y＝x2 和y＝2x2 的图像。
x
x2[
2x2
… －3 －2 －1
…
0
1
2
3
…
…
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第二章 · 函数
二次函数的图像
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新课导入
汽车在行驶中，由于惯性作用,刹车制动后，还要继续向前滑行一段距
离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析交通事故
的一个重要因素，已知甲车的刹车距离y(m)与刹车的速度x (km/h)的关系
g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式。
(1)函数g(x)＝x2，f(x)图像的顶点是(4，－7) (2)函数g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)图像的顶点是(－3,2)
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解：如果二次函数的图像与y＝ax2的图像开口大小相同，开口方向也相同，顶点坐标是(
…
…
表1
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x x2
2x2
优化课堂高中数学_2.4.1 二次函数的图像课件 北师大版必修1
2．函数 y＝2x(3－x)的图像可能是( B )
解析：由 2x(3－x)＝0 得 x＝0 或 x＝3，可知图像与 x 轴的交 点为(0，0)，(3，0)，排除 A，C.又 y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x， 所以图像开口向下，故排除 D，因此选 B.
Байду номын сангаас
3．若二次函数 y＝f(x)的图像如图所示， 则此函数的解析式为__f(_x_)_＝__34_(4_－__x_2_)_． 解析：设 f(x)＝a(x－2)(x＋2)，将(0，3)代入得 a＝－34，故 y
(2) 顶 点 式 ： 若 二 次 函 数 的 顶 点 坐 标 是 (h ， k)， 则 f(x)＝ __a_(x_－__h_)_2_＋__k_(a_≠__0_)____．
(3)两点式：设二次函数图像与 x 轴的两个交点分别是(x1，0)， (x2，0)，则 f(x)＝___a_(x_－__x_1_)_(x_－__x_2_)_(a_≠__0_)_____．
＝－34(x－2)(x＋2)
＝34(4－x2)．
4．已知 y＝ax2＋bx＋c 的图像如图所示， 则使 y≥0 的 x 的取值范围是_[_0_，__2_]__．
解析：观察图像易知使 y≥0 的 x 满足 0≤x≤2.
二次函数的图像变换规律 (1)左右平移：只改变 x，如 y＝2x2向1―个左―单平→位移y＝2(x＋1)2. 规律：左加右减 (2)上下平移：只改变 y，如 y＝2x2―上单移―位1→个y＝2x2＋1. 规律：上加下减 (3)纵向伸缩：只改变 y，如 y＝x2＋1扩―纵大―坐2→标倍y＝2(x2＋1)． (4) 横 向 伸 缩 ： 只 改 变 x ， 如 y ＝ f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋
越小，抛物线的开口越大．
高中数学北师大版必修一《2.4.1二次函数的图像》课件
• 第三级
• 第四级 • 第五级
对三条抛物线在坐标系内的形状和位置比较后可知， (1)抛物线 y＝－12x2，y＝－12x2－1，y＝－12(x＋1)2－1 的 形状相同．
28
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• 第二级
• 第三级
(2)将抛物线 y＝－12x2 向下平移 1 个单位，就得到抛物线
• 单击此处编辑母版文本二样次式函数的定义
• 第二级 • 第三级 [例 1] 当 m 为何值时，函数 y＝(m－3)xm2－9m＋20 是
• 第四级
二• 次第五函级数． [分析] 根据定义 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． [解析] 由题意得mm2－－39≠m0＋20＝2 解得 m＝6 或 m＝3 且 m≠3，∴m＝6， ∴当 m＝6 时，函数 y＝(m－3)xm2－9m＋20 是二次函数．
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学习方法指点
5
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• 第二级
一、利用描点法作二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像
• 第三级 因为二次函数的图像是一条抛物线，它的基本特征是：
• 第四级
• 第三级
• 第次四函级数解析式的关键．
• 第五级
(2)若 x1，x2 是方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则 x1,2 ＝－b± 2ba2－4ac，
∴|x1－x2|＝ b2|－a| 4ac，由本例可知，这个公式是一个十 分重要的结论，因此必须熟练地掌握．
北师大版高中数学必修一课件2-4-1二次函数的图像62张
二次函数的定义
[例 1] 当 m 为何值时，函数 y＝(m－3)xm2－9m＋20 是 二次函数．
[分析] 根据定义 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． [解析] 由题意得mm2－－39≠m0＋20＝2 解得 m＝6 或 m＝3 且 m≠3，∴m＝6， ∴当 m＝6 时，函数 y＝(m－3)xm2－9m＋20 是二次函数．
如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和 矩形 ABCO 的三边组成，隧道的最大高度为 4.9m，AB＝10m， BC＝2.4m.现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一 辆高为 4m、宽为 2m 的装有集装箱的汽车要通过隧道．问： 如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不 至于碰隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部，AO、BC 为壁)?
∴a<0 且 x1,2＝－2± －2 a，∴|x1－x2|＝ －4 a＝8，∴a＝－ 1 4.
故所求函数的解析式为 y＝－14(x＋2)2＋4.
[方法总结] (1)根据条件选用恰当的解析式形式是求二 次函数解析式的关键．
(2)若 x1，x2 是方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则 x1,2 ＝－b± 2ba2－4ac，
∴抛物线的解析式为 y＝－215x2.
(2)∵点 D 的坐标为(5，－1)， ∴从警戒线到拱桥顶的距离为 1m，∴01.2＝5(h)． ∴若洪水到来时，水位以 0.2m/h 的速度上升，再持续 5h， 才能到拱桥顶．
[方法总结] 把实际问题转化为数学问题，即转化为点的 坐标及函数的解析式，应该注意点所在的象限，也就是点的 坐标的符号．
重点难点点拨
重点：二次函数的解析式求法与图像． 难点：二次函数图像的平移变换．
学习方法指导
高中数学 2.4.1二次函数的图像 北师大版必修1
说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点
(1) y=(x+2)2-1;
(2) y=-(x-2)2+2 ;
(3) y=a(x+h)2+k .
问题２ (1)y= x2和y=a x2(a 0)的图像 之间有什么关系？
(2)y=ax2和y=a(x+h2+) k(a0)的 图像之间有什么关系？
(3)y=a2x和y=a2x+bx+c(a0)的 图像之间有什么关系？
例题分析
下列二次函数图像开口，按从小 到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1)
(1)f(x)14=x2 ; (2)f(x12)x=2
(3)f(x)=13-x2 ; (4) f(x)=x2-3
实践探究
在同一坐标系中, 画出下列函数的图像：
(1) y=2x2 ; (2) y=2(x+1)2 ; (3) y=2(x+1)2-3 .
实践探究
在同一坐标系下,
画出下列函数的图像
(1)y=x2 ;
(2)y=2x2 ;
1 (3)y=2
x2
.
新知讲解
１.二次函数y=ax2(a0)的图像 可由的y=x2图像各点纵坐标变为原来的a倍得到
２.a决定了图像的开口方向: a>o开口向上，a<0开口向下
3.a决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小: |a+4的图像经过怎样的平移变换 可以得到y=3x2的图像.
2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单位， 再向下平移３个单位所得图像对应的函数 解析式为
新知讲解
二次函数y=a(x+h)2+k (a0),
a决定了二次函数图像的开口大小及方向； 而且“a正开口向上，a负开口向下”； ｜a｜越大开口越小；
2020-2021学年高中数学北师大版必修1学案：2.4.1 二次函数的图像
§4二次函数性质的再研究4．1二次函数的图像知识点二次函数的图像[填一填]1．二次函数函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫作二次函数．它的定义域是R.如果b＝c＝0，则函数变为y＝ax2.我们知道，它的图像是一条顶点为原点的抛物线．a>0时，抛物线开口向上，a<0时，抛物线开口向下．2．二次函数的图像变换(1)二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像横坐标不变，纵坐标伸长为原来的a倍得到；(2)二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像可由y＝ax2的图像向左(h>0)(或向右(h<0))平移|h|个单位，再向上(k>0)(或向下(k<0))平移|k|个单位得到；(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，可把它先配方，再由y＝ax2的图像平移得到；(4)函数y＝f(x＋a)的图像可由y＝f(x)的图像向左(a>0)(或向右(a<0))平移|a|个单位得到；(5)函数y＝f(x)＋k的图像可由y＝f(x)的图像向上(k>0)(或向下(k<0))平移|k|个单位得到．[答一答]1．函数y＝ax2和y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像之间有怎样的关系？提示：函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像可以由函数y＝ax2(a≠0)的图像向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到．h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图像的平移变换，所以函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像与函数y＝ax2(a≠0)的图像形状相同，只是位置不同．2．函数y＝ax2和y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像之间有怎样的关系？提示：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方可以得到其恒等形式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，从而可以知道，由y＝ax2的图像如何平移就得到y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像．在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，即y＝a(x＋)2＋(a≠0)中，二次项系数a决定着函数图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b和a共同决定抛物线对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线x＝－，它是一条平行于y轴或与y轴重合的直线；a，b，c共同决定抛物线顶点(－，)的位置，c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置，当c＝0时，抛物线经过坐标原点，当c>0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，当c<0时，交点在y轴的负半轴．作二次函数图像一般用描点作图法和平移变换法．(1)描点作图法：①先找出顶点坐标，画出对称轴；②找出抛物线上关于对称轴对称的四个点；③把上述五点按从左到右的顺序用平滑的曲线连接起来．如果题中涉及二次函数及其图像，那么只需画出图像，截取需要的部分即可．(2)平移变换法：任意抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可转化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并且都可由y＝ax2的图像经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示．①a决定抛物线开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下．②c是抛物线与y轴交点的纵坐标，即抛物线过点(0，c)，在画抛物线简图时常常用到．③对称轴：直线x＝－.在对称轴的两侧，二次函数的单调性相反．④顶点坐标：(－，)．当a>0时，是二次函数的最小值；当a<0时，是二次函数的最大值．⑤画二次函数的简图：求出顶点坐标，画出点(0，c)．注意开口方向及其对称轴，画出抛物线的简图，如图所示．类型一二次函数的定义【例1】当m为何值时，函数y＝(m－3)xm2－9m＋20是二次函数．【思路探究】根据定义y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．【解】由题意得，解得m＝6或m＝3且m≠3，∴m＝6，∴当m＝6时，函数y＝(m－3)xm2－9m＋20是二次函数．规律方法不要忽略条件m－3≠0.已知函数y＝(4a＋3)x4a2－a－1＋x－1是一个二次函数，求满足条件的a的值．解：由题意可得，即，∴a＝1.即a的值为1时，函数为二次函数．类型二二次函数的平移变换【例2】将抛物线y＝－x2＋2x＋5先向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度，求平移后的抛物线的解析式．【思路探究】方法1：依据抛物线y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的关系，求出经过两次平移后的抛物线所对应的函数解析式．方法2：由于抛物线的平移，其形状、开口方向不变，即a 相同，只是顶点的位置发生了改变，故先求抛物线y＝－x2＋2x＋5的顶点坐标，再求平移后抛物线的顶点坐标，从而得到函数解析式．【解】方法1：抛物线y＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，向下平移1个单位长度，得抛物线y＝－(x－1)2＋6－1，再向左平移4个单位长度，得抛物线y＝－(x－1＋4)2＋5.整理得y＝－x2－6x －4.方法2：∵抛物线y＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，∴它的顶点坐标是(1,6)，向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度后的抛物线的顶点坐标是(－3,5)，故新的抛物线的解析式为y＝－(x＋3)2＋5＝－x2－6x－4.规律方法一般地，求经过平移后的抛物线的解析式，运用顶点式要简单些．若将二次函数f(x)＝x2＋x的图像向右平移a(a>0)个单位长度，得到二次函数f(x)＝x2－3x＋2的图像，则a的值为(B) A．1B．2C．3 D．4解析：函数f(x)＝x2＋x通过配方可得f(x)＝2－，将它的图像向右平移a(a>0)个单位长度后，对应的函数解析式为f(x－a)＝2－.函数f(x)＝x2－3x＋2通过配方可得f(x)＝2－，由题意得－a＝－，解得a＝2.故选B.类型三二次函数的形状和位置【例3】将二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，便得到函数y＝x2－2x＋1的图像，求b与c.【思路探究】要求b与c，需先求函数y＝x2＋bx＋c的解析式，要求解析式，应先求抛物线的顶点坐标，根据两条抛物线的平移情况可以确定其顶点坐标．【解】∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝(x－1)2，∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为(1,0)．根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y＝x2＋bx＋c的图像，即把抛物线y＝x2－2x＋1的图像向下平移3个单位，再向右平移2个单位就可得到抛物线y＝x2＋bx＋c的图像，此时顶点B(1,0)平移至点A(3，－3)处．∴抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点是(3，－3)．即y＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6，对照y＝x2＋bx＋c，得b＝－6，c＝6.规律方法抛物线y＝a(x＋h)2＋k在平移时，a不变，只是h 或k发生变化，故抛物线的平移问题，关键在于准确求出顶点的坐标，掌握顶点位置的变化情况．阅读下面文字后解答问题．有这样一道题目：“已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像经过点A(0，a)，B(1，－2)，c＝1(答案不唯一)，求证：这个二次函数图像的对称轴是直线x＝2”．题目中的横线部分是一段被墨水污染而无法辨认的文字，请你根据已有的信息，在原题中的横线上，添加一个适当的条件，把原题补充完整．解析：根据条件得解得∴二次函数的解析式为y＝x2－4x＋1.根据求出的二次函数解析式再任意写出一个要求补充的条件即可．例如c＝1或b＝－4；经过点(－1,6)或(4,1)或(2，－3)等等即可．类型四二次函数图像的应用【例4】如图是一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m.(1)在如图的坐标系中，求抛物线的解析式；(2)若洪水到来时，水位以0.2m/h的速度上升，从警戒线开始，再持续多长时间才能到拱桥顶．【思路探究】(1)从图形可知抛物线为y＝ax2的形式，且点D、B在抛物线上，AB＝20m，BE＝10m，DF＝CD＝5m，EF＝3m.∵点B在点D下方，∴设点D的坐标为(5，y)，则点B的坐标为(10，y－3)，把D、B两点坐标代入抛物线y＝ax2中，可求出抛物线的解析式．(2)从(1)中可求出点D的纵坐标，即从警戒线到拱桥顶的距离可知．又知水位以0.2m/h的速度上升，就可求出再持续多长时间才能到拱桥顶．【解】(1)∵CD＝10，∴DF＝CD＝5.∵AB＝20，∴BE＝AB＝10.设抛物线方程为y＝ax2，点D的坐标为(5，y)．∴点B的坐标为(10，y－3)．又∵点D、B在抛物线y＝ax2上，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－x2.(2)由(1)可得点D的坐标为(5，－1)，∴从警戒线到拱桥顶的距离为1m，∴＝5(h)．∴若洪水到来时，水位以0.2m/h的速度上升，再持续5h，才能到拱桥顶．规律方法把实际问题转化为数学问题，即转化为点的坐标及函数的解析式，应该注意点所在的象限，也就是点的坐标的符号．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是(B)A．②④B．①④C．②③D．①③解析：因为图像与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图像，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图像开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．——规范解答——二次函数图像的应用【例5】作出函数y＝G(x)＝x|x－2|，x∈R的图像，利用图像分别求G(x)＝1，G(x)≥1的解集．【自主解答】G(x)＝x|x－2|＝＝利用描点法作出图像，如图所示．在图像上作出y＝1.可知：当x＝1或x＝1＋时，G(x)＝1；当x≥1＋时，G(x)≥1.所以G(x)＝1的解集为{x|x＝1，或x＝1＋}，G(x)≥1的解集为{x|x≥1＋，或x＝1}．【点评】 1.函数图像的应用技巧(1)要熟悉一些常见的函数图像对称性的判定方法，如奇函数的图像、偶函数的图像等．(2)方程f(x)＝g(x)的解的个数可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像的交点个数．(3)不等式f(x)>g(x)的解集为f(x)的图像位于g(x)的图像上方的那部分点的横坐标的取值范围．2．两种常见图像的交换技巧(1)y＝|f(x)|的图像是保留y＝f(x)的图像中位于x轴上半平面内的部分及与x轴的交点，将y＝f(x)的图像中位于下半平面内的部分以x轴为对称轴翻折到上半平面中去而得到．(2)y＝f(|x|)的图像是保留y＝f(x)的图像中位于右半平面内的部分及与y轴的交点，去掉左半平面内的部分而利用偶函数的性质，将右半平面内的部分以y轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到．若【例5】条件不变，要使方程x|x－2|＝a有三个不同的实数解，求实数a的取值范围．解：要使方程x|x－2|＝a有三个不同的实数解，即函数y＝G(x)＝x|x－2|与y＝a有三个不同的交点，G(x)＝x|x－2|＝＝利用描点法作出图像，如图所示．在图像上作出y＝a.可知0<a<1时，方程x|x－2|＝a有三个不同的实数解．一、选择题1．已知一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们在同一坐标系中的大致图像是图中的(D)解析：排除法，A图中一次函数a>0，二次函数a<0，故排除A；同理排除C；在B图中由直线知c>0，而二次函数中c<0故排除B.选D.2．将二次函数y＝3x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图像的解析式为(C)A．y＝3(x＋2)2＋1B．y＝3(x－2)2－1C．y＝3(x－2)2＋1 D．y＝3(x＋2)2－1解析：将二次函数y＝3x2向右平移2个单位长度得到y＝3(x－2)2的图像，再向上平移1个单位长度可得y＝(x－2)2＋1的图像，故选C.3．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1,0)、(3,0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则y＝ax2＋bx＋c的解析式为(D) A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4x＋5C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6解析：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1,0)、(3,0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，∴a＝－2，∴y＝－2x2＋bx＋c，将点(－1,0)、(3,0)代入y＝－2x2＋bx＋c，得，解得b＝4，c＝6，∴y＝－2x2＋4x＋6.二、填空题4．抛物线y＝ax2－4x＋c的顶点是(－1,2)，则a＝－2，c＝0.解析：由题意，得，解得.5．二次函数y＝x2＋3x＋的图像是由函数y＝x2的图像先向左(左、右)平移3个单位，再向下(上、下)平移2个单位得到．解析：∵y＝x2＋3x＋＝(x＋3)2－2，∴将y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到y＝x2＋3x＋的图像．三、解答题6．画出函数y＝2x2－4x－6的草图．解：y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x)－6＝2(x2－2x＋1－1)－6＝2[(x －1)2－1]－6＝2(x－1)2－8.函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x＝1.令y＝0得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0，∴x＝－1或x＝3，令x＝0得y＝2－8＝－6，故函数图像与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)，与y轴的交点坐标为(0，－6)．画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)、(－1,0)、(3,0)、(0，－6)，画出直线x＝1；(2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)、(－1,0)、(3,0)、(0，－6)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝2x2－4x－6的草图，如图所示．。
2020_2021学年高中数学第二章函数2.4.1二次函数的图像作业课件北师大版必修1
所以 a＝12，b＝2，c＝32或 a＝－12，b＝－2，c＝－32. (2)由(1)知 y＝12x2＋2x＋32或 y＝－12x2－2x－32， 配方，得 y＝12(x＋2)2－12或 y＝－12(x＋2)2＋12，
——能力提升—— 14．(5 分)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像如图所示，有 下列结论： ①a＋b＋c<0； ②a－b＋c>0； ③abc>0； ④b＝2a. 其中正确结论的个数是( D ) A．1 B．2 C．3 D．4
第二章 函数
§4 二次函数性质的再研究 第13课时 二次函数的图像
课时作业基设础训计练（45分钟）
——作业目标—— 1．掌握二次函数中参数对其图像的影响； 2．掌握二次函数图像间的变换规律及应用．
——基础巩固—— 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1．将函数 y＝x2 的图像向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度后所得函数解析式为( C ) A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x－2)2－1 D．y＝(x＋2)2－1
(1)由图像知 x2－2x－3＝0 的根为 x＝－1 或 x＝3. (2)当 y>0 时，就是图中在 x 轴上方的部分，这时 x>3 或 x<－1； 当 y<0 时，即抛物线在 x 轴下方的部分，这时－1<x<3.
13．(13 分)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口大小与抛物 线 y＝12x2＋1 的相同，它的对称轴是 x＝－2，它与 x 轴的两个交点 之间的距离为 2.
解析：由题图可得 f(1)＝a＋b＋c<0， f(－1)＝a－b＋c>0，顶点的横坐标为－2ba＝－1， 所以 b＝2a，ab>0， 又 f(0)＝c>0，所以 abc>0.故选 D.
2019-2020学年高中数学北师大版必修1练习：2.4.1 二次函数的图像 Word版含解析
4.1二次函数的图像课后篇巩固提升1.将函数y=x2-2x的图像向右平移2个单位,再向下平移1个单位后所得图像的解析式为()A.y=(x+1)2-2B.y=(x-3)2C.y=(x-3)2-2D.y=(x-3)2+2解析:函数y=x2-2x=(x-1)2-1的图像函数y=(x-3)2-1的图像函数y=(x-3)2-2的图像.故选C.答案:C2.已知二次函数y=x2+bx+c图像的顶点是(-1,-3),则b与c的值是()A.b=2,c=2B.b=2,c=-2C.b=-2,c=2D.b=-2,c=-2解析:顶点横坐标x=-=-1,得b=2.纵坐标y=-=-3,得c=-2.答案:B3.已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则点M(a,bc)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由题图可知a>0,->0,c<0,∴b<0,∴bc>0.故点M(a,bc)在第一象限.答案:A4.已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图像是()解析:若a>0,则y=ax+c为增函数,y=ax2+bx+c的图像开口向上,故排除A;若a<0,则排除C;若c>0,可知B中图像相矛盾;D中图像相吻合.综上知,D中图像是正确的.答案:D5.导学号85104037二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,下列结论:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a,其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1解析:由图像可得,当x=1时,y=a+b+c<0,当x=-1时,y=a-b+c>0.∵-=-1,∴b=2a.由b=2a可知,a,b同号,∴ab>0.又∵f(0)=c>0,∴abc>0.答案:A6.函数y=x2,y=x2,y=2x2的图像大致如右图所示,则图中从里向外的三条抛物线对应的函数依次是.解析:根据“二次项的系数的绝对值越大,抛物线开口越小,抛物线就越接近y轴;二次项系数的绝对值越小,抛物线的开口就越大,抛物线就越远离y轴”这一规律来判定,易知对应的函数由里向外依次是y=2x2,y=x2,y=x2.答案:y=2x2,y=x2,y=x27.已知二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图像全部在x轴上方,则m的取值范围是.解析:要使函数图像全部在x轴上方,则m需满足-解不等式组得m>.答案:m>8.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R),若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),则f(-8)=.解析:因为f(-1)=0,所以a-b+1=0.因为f(x)的值域为[0,+∞),所以-所以b2-4(b-1)=0.解得b=2,a=1.所以f(x)=(x+1)2,所以f(-8)=(-8+1)2=49.答案:499.已知二次函数的图像如图,求其解析式及顶点M的坐标.解:设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).由图像过点A(-1,0),B(-3,0),C(0,-3),得---解得---所以二次函数的解析式为y=-x2-4x-3,其顶点为M(-2,1).10.导学号85104038(拓展探究)抛物线经过点(2,-3),它与x轴交点的横坐标是-1和3.(1)求出抛物线的解析式;(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标;(3)画出草图;(4)观察图像,x取何值时,函数值y小于零?x取何值时,y随x的增大而减小?解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),把(2,-3)代入,得-3=a(2+1)(2-3),∴a=1.∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4.由此可知抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4).(3)抛物线的草图如图所示.(4)由图像可知,当x∈(-1,3)时,函数值y小于零;当x∈(-∞,1]时,y随x的增大而减小.。
高一数学二次函数的图像
Байду номын сангаас
天地悠悠，宇宙茫茫。春雨这个精灵，无疑是世间万物生命的总导演。它一声令下，世间万物便开始演绎着各自丰富多彩的生命历程。足球论坛
广东的夏天似乎要更长一些，是春过得太匆忙，还是秋忘了季节的枯黄。疑惑是冬的脚步太紧张，挤兑了秋和春的宽敞。 今年的雨水好像要更大些，三天两头淅淅沥沥，却驱走不了夏天蕴气的苦闷，笼罩了整个城市的烟尘和急躁。让大家更是不安分。 树头的枝叶似乎感受到了荫凉的浸袭，始终挤兑着老叶的滞留，长长的胡须垂钓着行人的发髻，偶尔飘落着苍老的枯叶给人惊奇，这是雨的掠迹。 烈日炎炎的晌午，看着公路前方晃晃的白光，似乎要扭曲公路的坡度，闪着淡淡的袅气，公路两旁的榕树静悄悄，似乎又是在等待着什么，等待着行人的歇息，还是天空的洗礼。路旁的小贩也没力气吆 喝，只是用帽檐噗嗤着蚊蝇，刨剐着淌下的汗珠。 行人还是匆匆忙忙扮演着城市的节奏，都没能停下来品尝一下这日头的奔放和热情，路边西瓜的招摇和酣甜。是路太漫长，还是时间的利剑在消磨脚底的光芒。 远处天边滑过一团云，是白色的，沁了灰色，看着势头好像要卷入浓墨，簇挤着，翻滚着，袭来一阵飕飕的风，树叶惊的一身颤抖滑落一地，顿时让人感觉一丝凉爽，可是家还在遥远的路尽头，小贩们 要卷起行囊，奔跑在恐惧中，时间显得好匆忙，都没来得及让大家观看天空云彩如何来势汹汹的张扬，如何席卷的骄傲。南方的夏天来得快，变化得更快。 如豆的雨滴生硬的砸在脊背上，如针扎，如刺抽，让奔跑的行人更加扭扭捏捏，一颠一跛的潜回屋檐下，蜷缩雨季，喘着粗气，发梢里渗下的不知是雨水还是汗滴，浑然天成的心跳鼓动着脉息。沥沥的 雨滴砸起的涟漪，带着尘土，和着泥浆，溅起，张贴在柱墩，汽车画壁，写着夏季。
高一数学二次函数的图像
七天前，您乘龙辇香车来到焉支山下。您所到之处，旌旗冽冽，马蹄清脆，珍贵万分，荣耀万分，威严万分……真人现场棋牌
但见您的行宫气势恢宏，盛况空前。不远处的点将台军旗猎猎，军威浩荡，气吞山河。焉支山前人民欢声雷动，西域诸国商贾云集。
您的到来，司仪高歌，礼宾穿梭，焚香祭拜，鸣金奏乐，歌舞喧噪；您的到来，武威、张掖仕女，花枝招展，穿上节日的盛装，夹道迎接西域的客人。一时间，焉支山人山人海，旌旗招展，锣鼓喧 天，车水马龙，盛会安排无数车骑，往来于黄土官道；一时间，丝绸古道，骑乘填咽，商队使者，绵延数十里；长城脚下，锦衣华服，观者如蚁，万人空巷。焉嶙峋。山上林海松涛，碧波无际；石涧溪流潺潺，如鸣环佩。流水在“叮咚叮咚”的梵音里，吐纳着天地的灵秀，流动着生命的禅意；崖峰松柏 苍翠，碧绿欲滴;高山的白雪与远峰的绿树辉映成趣；谷底绿树藤蔓，参差披拂。那绿莹莹的草地上，盛开着娇美素雅的山花，花上草尖的雨珠晶莹剔透；季节时至盛夏，绿荫浓郁，凉爽宜人。那苍翠 的原野丛林中，鸟语花香，时有獐鹿、岩羊等野生动物出没其间；开阔的绿草地有异域风情女子轻歌曼舞。您龙颜大悦，左看右看上看下看，幸福感越看越强，色眼朦胧中，情不自禁道：“窈窕淑女小 蛮腰，碧眼玉腿波涛涛，香躯柔柔走猫步，笑意盈盈乐逍遥。”
2019_2020学年高中数学第2章函数2.4.1二次函数的图像课件北师大版必修1
探究一
探究二
探究三
思想方法
1.所有二次函数的图像均可以由函数y=x2的图像经过变换得到. 变换前,先将二次函数的解析式化为f(x)=a(x+h)2+k的形式,再确定 变换的步骤.
2.对一个已知函数的图像进行变换后,可按照“左加右减”“上加下 减”等规律写出变换后图像所对应的函数解析式.
探究一
探究二
y=f(x)的图像. ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
思想方法
二次函数的图像变换 【例1】 函数y=3x2+6x-1的图像是由函数y=x2的图像经过怎样 的变换得到的? 分析:根据平移法则“左加右减,上加下减”. 解:因为y=3x2+6x-1=3(x+1)2-4,所以变换步骤如下: 先将函数y=x2图像上所有点的纵坐标变为原来的3倍,横坐标不 变,得到函数y=3x2的图像; 再将y=3x2的图像向左平移1个单位长度,得到函数y=3(x+1)2的图 像; 最后将函数y=3(x+1)2的图像向下平移4个单位长度,得到 y=3(x+1)2-4的图像,即y=3x2+6x-1的图像.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:函数f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4的图像如图所示. (1)由图可知,二次函数f(x)图像的对称轴为x=1,开口向下,且|0-
1|<|3-1|, 故f(1)>f(0)>f(3).
(2)∵x1<x2<1,∴|x1-1|>|x2-1|.
又f(x)的图像对称轴为x=1,开口向下,
23 2
高中数学北师大版必修一2.4.1《二次函数的图像》ppt课件
北师大版 · 必 修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 函数
第二章 §4 二次函数性质的再研究
4.1 二次函数的图像
1
课前自主预习
2
课堂典例讲练
3
易错疑难辨析
4
课时作业
课前自主预习
• 二次函数是非常重要的基本初等函数，在我们的生 活中具有广泛的应用，如炮弹飞行的路线、篮球运 动员投篮时篮球飞行的轨迹、烟花在空中爆裂、圆 形喷泉的水流等等都可以看成是二次函数的图 像．要控制这些曲线，就需要研究曲线的性质，下 面我们就在初中学习的二次函数的基础上对其做进 一步的研究．
在同一直角坐标系内，画出函数 y＝－21x2； y＝－21x2－1；y＝－21(x＋1)2－1 的图像，并说明图像之间 的关系． [解析] 列表如下：
x y＝－12x2 y＝－12x2－1 y＝－12(x＋1)2－1
－4 －8 －9 －5.5
－3 －4.5 －5.5 －3
－2 －2 －3 －1.5
()
• [答案] D
• [解析] 排除法，A图中一次函数a>0，二次函数 a<0；同理排除C；在B图中由直线知c>0，而二次函 数中c<0故排除B.选D.
• 4．已知二次函数f(x)的图像经过点A(1，－1)， B(3,3)，C(－2,8)，则其解析式为________．
• [答案] f(x)＝x2－2x
_________________________________得到．
• 3．二一次般函式 数解析式的表示法
• (1)__顶__点_式___，形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． • (2)___两_根_式___，形如y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． • (3)________，形如y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2020高中数学第二章函数2.4.1二次函数的图像课时作业1北师大版必修1
2.4.1二次函数的图像一、选择题1．已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式是( ) A ．y ＝－x 2－4x －1 B ．y ＝x 2－4x －1 C ．y ＝x 2＋4x －1 D ．y ＝－x 2－4x ＋1[答案] A[解析] 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋3.将点(－3,2)代入，得2＝a (－3＋2)2＋3，即a ＝－1.所以y ＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.2．将函数y ＝x 2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝4x 2C ．y ＝12x 2D ．y ＝14x 2[答案] A[解析] 由图像变换可知选A.3．已知抛物线过点(－1,0)，(2,7)，(1,4)，则其解析式为( ) A ．y ＝13x 2－2x ＋53B ．y ＝13x 2＋2x ＋53C ．y ＝13x 2＋2x －53D ．y ＝13x 2－2x －53[答案] B[解析] 设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝7，a ＋b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝2，c ＝53.所以y ＝13x 2＋2x ＋53，故选B.4．已知a ≠0，b <0，一次函数是y ＝ax ＋b ，二次函数是y ＝ax 2，则下列图像中，可以成立的是( )[答案] C[解析] 由b <0，排除B ，D ；A 是抛物线开口向下，a <0，而直线体现了a >0，从而排除A.5．将函数y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单调长度所得图像对应的函数解析式为( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝2(x ＋2)2－6 C ．y ＝2x 2－6 D ．y ＝2(x ＋2)2[答案] D[解析] 将y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位后，得到y ＝2(x ＋2)2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y ＝2(x ＋2)2的图像，故选D.6．已知f (x )＝2(x －1)2和g (x )＝12(x －1)2，h (x )＝(x －1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔( )A ．g (x )B ．f (x )C ．h (x )D ．不确定[答案] A[解析] 因二次函数y ＝a (x －h )2＋ 的|a |越小，则二次函数开口越开阔． 二、填空题7．二次函数f (x )＝12x 2－x ＋32的图像的顶点坐标为________．[答案] (1,1)[解析] f (x )＝12x 2－x ＋32＝12(x 2－2x ＋3)＝12(x －1)2＋1，所以其顶点坐标为(1,1)．8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x 轴的交点为(－1,0)和(3,0)，则该函数的解析式是________．[答案] f (x )＝－x 2＋2x ＋3[解析] 设函数的解析式为f (x )＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)， 将点(1,4)代入，得a ＝－1.则f (x )＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3. 三、解答题9．已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P (2,0)，求这个函数的解析式．[解析] 解法1：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－3，4a ＋2b ＋c ＝0，－b2a＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x .解法2：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，－b 2a＝1，4ac －b 24a ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x .解法3：设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋ (a ≠0)，则顶点坐标为(－h ， )， 已知顶点为(1，－3)，∴h ＝－1， ＝－3， 即所求的二次函数y ＝a (x －1)2－3. 又∵图像经过点P (2,0)， ∴0＝a ×(2－1)2－3，∴a ＝3，∴函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x . 解法4：设解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)， 其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的两交点的横坐标， 已知抛物线与x 轴的一个交点P (2,0)，对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(0,0)， ∴x 1＝0，x 2＝2，∴所求的解析式为y ＝a (x －0)(x －2)，又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a ×1×(1－2)，∴a ＝3， ∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x .10．已知二次函数满足f (x －2)＝f (－x －2)，且其图像在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f (x )的表达式．[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x －2)＝f (－x －2)得对称轴为x ＝－b2a ＝－2，∴b ＝4a .∵图像在y 轴上的截距为1，∴c ＝1，又|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |＝22，∴b ＝2或b ＝0(舍去)，a ＝12，∴f (x )＝12x 2＋2x ＋1.一、选择题1．如图所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像，则|OA |·|OB |等于( )A.c aB ．－c aC ．±c aD ．以上都不对[答案] B[解析] ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， ∴f (0)＝c >0，a <0，设ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2＝c a， ∴|OA |＝－x 1，|OB |＝x 2，∴|OA |·|OB |＝－c a.故正确答案为B.2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图像是下图中的( )[答案] A[解析] 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0.故排除B 、C ，又因为当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＝0，只有A 正确．二、填空题3．若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝____________.[答案] 6[解析] 解法1：二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图像关于直线x ＝1对称，说明二次函数的对称轴为直线x ＝1，则－a ＋22＝1，∴a ＝－4.而该函数是定义在[a ，b ]上的，即a 、b 关于x ＝1也是对称的，则有a 到对称轴的距离与b 到对称轴的距离相等，∴1－a ＝b －1，∴b ＝6.解法2：∵二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图像的对称轴为直线x ＝1，∴该函数可表示为y ＝(x －1)2＋c ，与原二次函数的表达式比较同类项系数，可得a ＋2＝－2，∴a ＝－4.求b 同解法1.4．把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的解析式为y ＝x 2－2x ＋1，则b ＝________，c ＝________.[答案] －6 6[解析] 由题意知y ＝x 2＋bx ＋c 的图像可由y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，即y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x －3)2－3＝x 2－6x ＋6.所以b ＝－6，c ＝6.三、解答题5．已知二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，图像过原点，求g (x )的解析式． [解析] 由题意设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图像过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0.∴g (x )＝3x 2－2x .6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，试判断点(a ＋b b 2－4ac ，acb)所在的象限．[解析] 由抛物线开口向上知a >0，∵抛物线与y 轴的交点(0，c )在y 轴负半轴， ∴c <0.又∵对称轴x ＝－b2a 在y 轴左边，∴－b 2a <0.∴ba >0.∴a ，b 同号． ∵a >0，∴b >0.又∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac >0. ∴a ＋b b 2－4ac >0，acb<0.∴点(a ＋b b 2－4ac ，acb)在第四象限．7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)、B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？ [解析] 由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋ ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋ ，由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3， 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，得4－－k 3＝269，解得 ＝43. 所以，该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.。
北师大版必修一《2.4.1二次函数的图像》课时训练及答案
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课时提能演练(十) / 课后巩固作业(十)(30分钟 50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2018·上饶高一检测)f(x)=x 2+ax+b 满足f(1)=f(2)=0,则f(-1)的值为( ) (A)5 (B)-5 (C)6 (D)-62.已知函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),如果a ＞b ＞c 且a+b+c=0,则它的图像大致为( )3.二次函数y=6x 2,y=-6x 2,y=21x 6,y=-21x 6的图像共有的性质是( ) (A)开口向上 (B)对称轴是y 轴 (C)都有最高点 (D)y 随x 的增大而增大4.（易错题）已知二次函数y=kx 2-7x-7的图像和x 轴有交点,则k 的取值范围是( )(A)k ＞-74 (B)k ≥-74且k ≠0 (C)k ≥-74 (D)k ＞-74且k ≠0二、填空题（每小题4分，共8分）5.若顶点坐标为(2,-2)的二次函数f(x)的图像与g(x)=-3(x+1)2的图像开口大小相同，方向相反，则二次函数f(x)的解析式为____________.6.(2018·北京高一检测）将二次函数y=-2x 2的顶点移到（-3，2）后，得到的函数的解析式为_____________. 三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知二次函数图像的顶点为(1,-3)，且其图像与x 轴的一个交点为(2,0)，求此函数的解析式. 8.已知二次函数y=2x 2-4x-6.(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像;(2)求此函数图像与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形的面积. 【挑战能力】（10分）已知二次函数y=x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3,其中m 为实数.（1）求证：不论m 取何实数，这个二次函数的图像与x 轴必有两个交点； （2）设这个二次函数的图像与x 轴交于点A （x 1,0），B （x 2,0），且x 1、x 2的倒数和为23，求这个二次函数的解析式.答案解析【解析】选C.∵f （1）=f （2）=0，∴1a b 0,42a b 0++=⎧⎨++=⎩，解得a 3,b 2,=-⎧⎨=⎩∴f(x)=x 2-3x+2, ∴f(-1)=1+3+2=6.2.【解析】选A.由a ＞b ＞c,a+b+c=0知a ＞0,c ＜0,且x=1时,y=0,故选A.3.【解题指南】解答本题可从四个二次函数的图像与y=x 2的图像的关系入手.【解析】选B.因为四个二次函数的图像分别由函数y=x 2的图像横坐标不变,纵坐标分别变为原来的6倍,-6倍,16倍,-16倍得到,因此四个函数图像的共同特征是对称轴均是y 轴，故选B. 4.【解析】选B.因为二次函数y=kx 2-7x-7的图像和x 轴有交点,所以()2k 0747k 0,≠⎧⎪⎨∆=-+⨯⨯≥⎪⎩，所以k ≥-74且k ≠0,故选B.【误区警示】解答本题时易忽视k ≠0这一条件.因为当k=0时,函数y=kx 2-7x-7不是二次函数,故解答此类题时一定要审好题.5.【解析】由题意可知f(x)=3(x-2)2-2=3x 2-12x+10. 答案：f(x)=3x 2-12x+106.【解析】∵二次函数y=-2x 2的顶点为（0，0），∴要将其顶点移到（-3，2），只要把图像向左平移3个单位，向上平移2个单位即可，∴平移后的函数解析式为y=-2(x+3)2+2. 答案：y=-2(x+3)2+2【变式训练】函数y=3x 2-x+2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数解析式是___________.【解析】函数y=3x 2-x+2的图像向左平移1个单位长度得到函数y=3(x+1)2-(x+1)+2的图像，再向下平移2个单位长度，得到函数y=3(x+1)2-(x+1)+2-2的图像，即所得图像对应的函数解析式是y=3x 2+5x+2. 答案：y=3x 2+5x+27.【解题指南】已知图像的两个点，如果用一般式， 似乎差一个条件，但考虑到对称轴及顶点坐标公式，就可以列出三元一次方程组求解.【解析】方法一：设所求函数的解析式为 y=ax 2+bx+c(a ≠0).由题意得a b c 3,a 3,4a 2b c 0,b 6,b c 0.1,2a⎧⎪++=-=⎧⎪⎪++==-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪-=⎩解得所以函数的解析式为y=3x 2-6x. 方法二：设所求函数的解析式为 y=ax 2+bx+c(a ≠0).由题意得24a 2b c 0,b1,2a 4ac b 3,4a⎧⎪++= ⎪⎪-= ⎨⎪⎪-=- ⎪⎩①②③ 由②得b=-2a ， ④ 把④代入③得c-a=-3， ⑤把④代入①得c=0，把c=0代入⑤得a=3, 把a=3代入④得b=-6.[: 所以函数的解析式为y=3x 2-6x.方法三:设所求函数的解析式为y=a(x+h)2+k(a ≠0),则顶点坐标为(-h,k). ∵顶点为(1,-3)，∴h=-1,k=-3. 即所求的二次函数解析式为y=a(x-1)2-3. ∵图像经过点(2,0),∴0=a(2-1)2-3,∴a=3. ∴函数的解析式为y=3(x-1)2-3, 即y=3x 2-6x.方法四:设二次函数的解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0), 其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标.∵抛物线与x轴的一个交点是(2,0),对称轴是x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(0,0),∴x1=0,x2=2.∴所求抛物线的解析式为y=a(x-0)(x-2)=ax(x-2).又∵抛物线的顶点为(1,-3)，∴-3=a×1×(1-2),∴a=3.∴函数的解析式为y=3x(x-2),即y=3x2-6x.【变式训练】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴相交于点(-3,0),对称轴为x=-1,顶点M到x轴的距离为2,求此函数的解析式.【解析】方法一:因为二次函数图像的对称轴是x=-1,又顶点M到x轴的距离为2,所以顶点的坐标为M(-1,2)或M′(-1,-2),故可设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+2或y=a(x+1)2-2.∵图像过点A(-3,0),∴0=a(-3+1)2+2或0=a(-3+1)2-2,解得a=-12或a=12.故所求二次函数的解析式为y=-12(x+1)2+2或y=12(x+1)2-2.即y=-12x2-x+32或y=12x2+x-32.方法二:因为二次函数图像的对称轴为x=-1,又图像过点A(-3,0),所以点A关于对称轴的对称点A′(1,0)也在图像上,所以可设二次函数的解析式为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),由题意得顶点坐标为(-1,2)或(-1,-2),分别代入上式.解得a=-12或a=12.故所求二次函数的解析式为y=-12(x+3)(x-1)或y=12(x+3)(x-1),即y=-12x2-x+32或y=12x2+x-32.8.【解题指南】（1）已知二次函数的解析式，通过配方可求得对称轴及顶点坐标，再由函数的对称性列表描点可画出图像;(2)函数图像与x轴、y轴相交的条件分别是y=0、x=0，可求对应的变量值，进一步求出三角形的面积.【解析】(1)配方得y=2(x-1)2-8.∵a=2＞0,∴函数图像开口向上,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,-8).列表:描点并画图，得函数y=2x 2-4x-6的图像, 如图所示:(2)由图像得，函数与x 轴的交点坐标为A(-1,0),B(3,0)，与y 轴的交点坐标为C(0,-6). 所以S △ABC =12|AB|·|OC|=12×4×6=12. 【挑战能力】【解题指南】（1）只需证明Δ>0即可；（2）利用根与系数的关系求得m ，从而确定函数的解析式. 【解析】（1）与这个二次函数对应的一元二次方程是 x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3=0.∵Δ=4(m-1)2-4(m 2-2m-3)=4m 2-8m+4-4m 2+8m+12=16>0， ∴方程x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3=0必有两个不相等的实数根， ∴不论m 取何实数，这个二次函数的图像与x 轴必有两个交点.（2）由题意可知，x 1、x 2是方程x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3=0的两个不同的实数根, ∴x 1+x 2=2(m-1),x 1·x 2=m 2-2m-3. ∵121212112x x 2,,x x 3x x 3++==即 ∴()22m 12m 2m 33-=--， ① 解得m=0或m=5，经检验m=0，m=5都是方程①的解. ∴二次函数的解析式为y=x 2+2x-3或y=x 2-8x+12.。
2.4.1二次函数的图像 ppt课件高中数学必修一北师大版
答案：(1)√
(2)×
(3)×
向右平移 2+1 2+1. 向上平移 2.(1)y=x2 y=x y=(x-1) 1个单位 1个单位
答案：y=x2+1
y=(x-1)2+1
(2)二次函数y=ax2+bx+c的开口大小由|a|决定,|a|越大,开口
1.判一判：(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=x2+2x的图像可由y=x2的图像经过平移得到.( (2)y=x2向左平移1个单位后变为y=x2+1.( (3)函数y=x2+bx+1的顶点坐标为
4 b2 ( (b， ). 4
)
) )
2.做一做：(请把正确的答案写在横线上)
向右平移 向上平移 _________. (1)y=x2 _________ 1个单位 1个单位
2
答案：6
2.y=2x2经过怎样的变换可以得到y=2x2+4x+3.
2=2x2+4x+2 上移1个 左移1个 【解析】y=2x2 y=2(x+1) 单位 单位
y=2x2+4x+3.
【题型示范】 类型一 求二次函数的解析式
【典例1】
(1)(2014·西安高一检测)已知二次函数f(x)的顶点坐标为
开口方 (1)a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图像的_______ 向 和_____. 大小 ___ 左移 负 (2)h决定了二次函数图像的左、右平移,而且“h正_____,h 右移 ”. _____
上移 负 (3)k决定了二次函数图像的上、下平移,而且“k正_____,k
数学高一2.4.1二次函数的图象学案 北师大必修1
普通高中课程标准实验教科书 [北师版] –必修1第二章 函数§2.4.1二次函数的图象（学案）[学习目标]1、知识与技能(1) 通过绘制二次函数图象，观察二次函数图象的特征；(2) 通过画出具体二次函数的图象,总结二次函数2x y =和2ax y =以及 ()k h x a y +-=2的图象之间的关系和变换特征.(3) 利用多媒体绘画技术演示各函数图象之间的关系并能直观认识. 2、过程与方法(1)通过学习二次函数的图象，借助图形直观认识函数图象的变换,找到一般的变换 规律,完成从直观到抽象的转变.(2)了解运用多媒体技术制作演示函数函数图象,理解和研究二次函数的性质. 3、情感.态度与价值观通过学习感受到学习二次函数图象的必要性与重要性，增强学习函数的积极性和自信心.[学习重点]:二次函数图象的变换.[学习难点]：二次函数图象的绘制与想象以及发展到一般函数图象的变换结论． [学习用具]：直尺、多媒体和画图纸 [学习方法]：观察、思考、交流、总结. [学习过程] 【新课导入】 [互动过程1]我们初中学习过二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象是抛物线,了解了抛物线的开口方向、对称轴、顶点等特征以及与系数之间的关系.请同学们回顾二次函数()02≠++=a c bx ax y 的开口方向与谁的取值有关?抛物线的对称轴的方程是什么?顶点的坐标是什么?怎样表示出?练习 1.回答二次抛物线（1）322+-=x x y 的对称轴方程_________和顶点坐标__________;（2）11622++=x x y 的对称轴方程_______和顶点坐标________. [提出问题] 1．2x y =和()02≠=a ax y 的图象之间有什么关系?2．()02≠=a ax y 和()()02≠++=a k h x a y 的图象之间有什么关系?3．()02≠=a ax y 和()02≠++=a c bx ax y 的图象之间有什么关系?这三个问题是本节课所要解决的问题.引出课题： 2.4.1二次函数的图象1．请同学们列表画出函数2x y =和22x y =的图像x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2x y = … 9 4 1 0 1 4 9 … 22x y =…18822818…[互动过程2]从表中你发现了什么?从图像上发生这样的变化?它们相对应的点之间有什么关系? 从表中我们不难发现,要得到22x 的值,只要把相应的2x 的值扩大____倍即可,在图像上 则可以看出把线段AB________为原来的____倍,即AC 的长度,得到当1=x时, 22y x =对应的值.同理,其余的x 的值对应的2x 的值,都_____为原来的___倍,就可以得到22y x =的图像了.请你用类似的方法画出221x y =和22x y -=的图像. 思考:（1）221x y =和22x y -=的图像与2x y =和22x y =的图像之间有什么关系? （2）二次函数()02≠=a ax y 与2x y =的图像之间有什么关系?请你总结出规律. 规律：二次函数()02≠=a ax y 的图像可以由2x y =的图像变化得到，横坐标____________，纵坐标__________________到原来的_____________倍. （3）二次函数()02≠=a ax y 中a 起什么作用?从图上可以看出，a 决定了图像的_________和__________________________. [互动过程3]请画出22y x =与()2213y x =++的图像,并回答下列问题:1．抛物线22y x =与()2213y x =++的顶点分别是______________.对称轴和开口方向_________________________那么开口大小呢？开口大小与谁有关呢？ 2．22y x =与()2213y x =++的图像有什么关系?抛物线22y x =的顶点为____________开口向_________, 对称轴为____________, ()2213y x =++的顶点是_________, 开口向________,对称轴为______________.从图上可以看出只要把22y x =向_________平移__________个 单位长度, 再向__________平移___________个单位长度就 可以得到()2213y x =++的图像.,它们的形状相同,位置不同. [互动过程4]1．你能说出由函数23x y -=的图像怎样得到函数 ()2321y x =---的图像吗?2．如果把函数25x y -=向右平移2个单位,再向上平移3个单位,你得到的是哪个函数的图像?请你写出解析式_______________________________.3．思考:对于二次函数()()20y a x h k a =++≠,a 的作用是什么?h 和k 分别代表什么含义?结论:一般地, 二次函数()()20y a x h k a =++≠,a 决定了二次函数图像的_________及___________;h 决定了二次函数图像的________平移,而且遵循的原则为“____________________”;k 决定了二次函数图像的__________平移,而且“_______________________”.4．思考:对于一个一般函数()y f x a b =++的图像与函数()y f x =的图像之间的关系怎样?你能由函数()y f x =的图像得到函数()y f x a b =++的图像吗? [互动过程5]1．你能写出函数2422-+=x x y 的顶点坐标吗?有哪些方法？请你把方程改写为 ()()20y a x h k a =++≠的形式吗？你能说出函数的图象是由22y x =的怎样进行平移的吗?2．请举出一例形如()02≠++=a c bx ax y 的函数改写为()()20y a x h k a =++≠形式的函数吗?试试看.3．你能写出函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点坐标吗?请你把函数改写为顶点式()()20y a x h k a =++≠的形式. 并说明函数的图象是怎样由()02≠=a ax y 的图象变来的.变化规律为: c bx ax y ++=2=_________________________,即把函数()02≠=a ax y 的图象向__________________________________平移_______________个单位,然后再向_________________平移________________个单位.4．二次函数()02≠++=a c bx ax y 中,确定函数图像开口大小和方向的参数是什么?确定函数图像位置的参数是什么?5．写出一个开口向下,顶点为(-3,1)的二次函数的解析式,并画出其图像.例1.二次函数()f x 和)(x g 的图像开口大小相同,开口方向也相同,已知函数)(x g 的解析式和()f x 图像的顶点,写出函数()f x 的解析式.O xy（1）函数2)(x x g =,()f x 的顶点为(4,-7); （2）函数2)1(2)(+-=x x g ,()f x 的顶点为(-3,2)练习: 1．画出函数22y x =的图像,并由此图像得到函数2245y x x =-+的图像.练习: 2．不画函数的图像,你能说出由函数2y x =的图像怎样得到函数21232y x x =--的图像吗?练习: 3.画出函数1y x =的图像,怎样得到函数123y x =-+的图像?.练习: 4.画出函数2yx=-的图像,你能由函数2yx=-的图像,得到函数382xyx-=-的图像吗?[解决的问题]：1．2 3．4．〖课后练习〗P44练习1,2,3.〖课后作业〗P46习题1,2,3。
高中数学北师大版必修一《2.4.1二次函数的图像》教学课件
• 四级
2.二次函• 数五级y=f(x)与y=g(x)的图函数g(x)=x2+1，f(x)图像的顶点为(3,2)，则
f(x)的表达式为 Y=(x-3) 2+2
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1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移变换，
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h决• 五定级了二次函数图像的左右平移，
而且“h正左移，h负右移”；
k决定了二次函数图像的上下平移，
而且“k正上移，k负下移”。
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• 单击１此.将处二编次辑函母数版y文=3本x2的样图式像平行移动,顶 点移到（－３，
•
二级
２• ）三，级 则它的解析式为
Y=3(x+3) 2+2
• 二可级以得到y=3x2的图像. • 三级 2.把• 函四级• 数五级y=x2-2x的图像向右平移２个单位，
再向下平移３个单位所得图像对应的函数
解析式为
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• 二级
１• .三a•,级h四,k级对二次函数y=a(x+h) 2 +k图像的影响
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2.4.1 • 单击此处编辑母版文本样式
• 二级
二次函数 • 三级 • 四级 • 五级
的图像
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北师大版 高中数学
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说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点
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• 二(1级) y=(x+2)2-1; • 三级 (2) y• =四级•-(五x级-2)2+2 ;
2.4.1二次函数的图像_邹进辉
第二章
函数
§4 二次函数性质的再研究 4.1 二次函数的图像
新钢中学：邹进辉
创设情境
阅读下面划横线的句子，根据要求写一篇不少 于800字的文章。 一位科学家结合自己所学专业和人生总结出 这样的话：“做功不同，人生将会给出不同高度 的抛物线。” 要求：咀嚼这句话，选择一个角度构思作文。 自主确定立意，确定文体，确定标题；不要脱离 所给话语的含义作文，不得抄袭。
抽象概况
2 y a ( x h ) k (a≠0)的图像 对于二次函数
(1) a决定了二次函数图像的开口大小及方向
(2) h决定了二次函数图像的左右平移 “ h正左移，h负右移”简称:左加右减
(3) k决定了二次函数图像的上下平移 “k 正上移，k负下移”简称：上加下减
问题探究
探究3 : y =ax 2和y ax 2 +bx （ c a 0)的图像之间有什么 关系？
复习回顾
二次函数的定义及解析式
(1)二次函数的概念 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 函数________________________ 叫作二次函数，它的定 义域是R. (2)二次函数的解析式 2＋bx＋c(a≠0) y ＝ ax ①一般式：______________________；
y a( x h)2 k (a 0) ②顶点式：_____________________；
2.描点： … … … … -2 4 8 1 -1 1 2
1 2
3.连线： 0 0 0 0 1 1 2
1 2
2 4 8 2
… … … …
…
-8
-2
0
-2
-8 …
抽象概况
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课时作业11二次函数的图像
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数中，其图像开口最小的是()
A．f(x)＝3x2B．f(x)＝1
2x
2＋x－1
C．f(x)＝－1
2x
2－x D．f(x)＝－4x2＋1
【解析】在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，|a|越大，其
图像开口越小．
【答案】 D
2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是()
【解析】选项A，y＝ax＋b中，a>0，而y＝ax2＋bx＋c
的图像开口向下，矛盾；选项B，y＝ax＋b中，a>0，b>0，而y
＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴x＝－b
2a>0，矛盾；选项D，y＝ax
＋b中，a<0，b<0，但y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，矛盾．【答案】 C
3．二次函数y＝－x2＋4x＋t图像的顶点在x轴上，则t的值是()
A．－4 B．4
C．－2 D．2
【解析】二次函数的图像顶点在x轴上，故Δ＝0，可得t ＝－4.
【答案】 A
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则下列
结论正确的是( )
A ．a >0，b <0，c >0
B ．a <0，b <0，c >0
C ．a <0，b >0，c <0
D ．a <0，b >0，c >0
【解析】 因为抛物线开口向下，所以a <0，
因为抛物线的对称轴在y 轴右侧，
所以－b 2a >0，所以b >0，
因为抛物线与y 轴交于正半轴，所以c >0.
【答案】 D
5．将函数y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得图像对应的函数解析式为( )
A ．y ＝2x 2
B ．y ＝2(x ＋2)2－6
C ．y ＝2x 2－6
D ．y ＝2(x ＋2)2
【解析】 将y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位后，得到y ＝2(x ＋2)2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y ＝2(x ＋2)2的图像，故选D.
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )＝________.
【解析】 ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，
∴⎩⎨⎧
(－4)2－4b ＋c ＝c ，
(－2)2－2b ＋c ＝－2，解得b ＝4，c ＝2.
∴f (x )＝x 2＋4x ＋2.
【答案】 x 2＋4x ＋2
7．将二次函数y ＝－2x 2的顶点移到(－3,2)后，得到的函数的解析式为________．
【解析】 因为二次函数y ＝－2x 2的顶点为(0,0)，所以要将
其顶点移到(－3,2)，只要把图像向左平移3个单位，向上平移2个单位即可，所以平移后的函数解析式为y ＝－2(x ＋3)2＋2.
【答案】 y ＝－2(x ＋3)2＋2
8．抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴的两交点为A ，B ，顶点为C ，则△ABC 的面积是________．
【解析】 y ＝－x 2－2x ＋3＝(－x ＋1)(x ＋3)
＝－(x ＋1)2＋4，
由题意，令A (－3,0)，B (1,0)，C (－1,4)，
所以S △ABC ＝12×4×4＝8.
【答案】 8
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为y ＝x 2－2x ＋1，求该二次函数的解析式．
【解析】 将y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得解析式为
y ＝(x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ＋3＝x 2＋(b ＋4)x ＋2b ＋c ＋7.
令x 2＋(b ＋4)x ＋2b ＋c ＋7＝x 2－2x ＋1，
比较对应项系数可得⎩⎨⎧ b ＋4＝－2，2b ＋c ＋7＝1，
解得⎩⎨⎧
b ＝－6，
c ＝6. ∴所求函数解析式为y ＝x 2－6x ＋6.
10．已知二次函数y ＝2x 2－4x －6.
(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像；
(2)求此函数图像与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形的面积．
【解析】 (1)配方得y ＝2(x －1)2－8.
因为a ＝2>0，
所以函数图像开口向上，对称轴是直线x ＝1，
顶点坐标是 (1，－8)．
列表：
x －1 0 1 2 3
y 0 －6 －8 －6 0
描点并画图，得函数y ＝2x 2－4x －6的图像．
如图所示：
(2)由图像得，函数与x 轴的交点坐标为A (－1,0)，B (3,0)，与y 轴的交点坐标为C (0，－6)．
所以S △ABC ＝12|AB |·|OC |＝12×4×6＝12.
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11．不论m 取何值，二次函数y ＝x 2＋(2－m )x ＋m 的图像总过的点是( )
A ．(1,3)
B ．(1,0)
C ．(－1,3)
D ．(－1,0)
【解析】 由题意知x 2＋2x －y ＋m (1－x )＝0恒成立，
所以⎩⎨⎧ x 2＋2x －y ＝0，1－x ＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝1，y ＝3，
所以图像总过点(1,3)．
【答案】 A
12．已知y ＝1与函数f (x )＝x 2－|x |＋a 的图像有两个交点，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 由函数f (x )＝x 2－|x |＋a ＝
⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋a －14，x >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋a －14，x ≤0的大致图像知
f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝a －14，f (0)＝a ，若y ＝1与y ＝f (x )有两个交点，则有a <1或a －14＝
1，即a <1或a ＝54.
【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a <1或a ＝54 13．已知二次函数满足f (x －2)＝f (－x －2)，且其图像在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f (x )的解析式．
【解析】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，
由f (x －2)＝f (－x －2)
得对称轴为x ＝－b 2a ＝－2，
所以b ＝4a .
因为图像在y 轴上的截距为1，所以c ＝1，
又|x 1－x 2|＝b 2－4ac |a |
＝22， 所以b ＝2或b ＝0(舍去)，a ＝12，
所以f (x )＝12x 2＋2x ＋1.
14．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交
点A (x 1,0)，B (x 2,0)，且x 21＋x 22＝269，试问：该抛物线是由y ＝－3(x
－1)2的图像向上平移几个单位长度得到的？。