微分方程自测题答案概论

※提示：差分方程内容不用看

微分方程自测题A 答案与提示

一、单项选择题 1. 答案：A 提示： 原方程可化为2211

y x

dy dx y x =+-. 2. 答案：D 提示：原方程可化为22dx

yx y x dy

-=（伯努利方程2n =）. 3. 答案：A

提示：特征方程为220r -=，1,22r λ=≠=.故特解为x e A x A y 221)(+=*. 4. 答案：C

提示：特征方程为240r +=,1,220r i λ=±≠=.故特解为)2sin 2cos (21x A x A x y +=*. 5. 答案：B

提示：所求齐次微分方程的特征方程的根应为1,21r i =±，而选项B 的特征方程为

2220r r -+=，满足条件.

6. 答案：B

提示：由已知条件，特征方程320r ar br c +++=有根12,31, 0r r =-=.故

32232(1)r ar br c r r r r +++=+=+，则0,0,1===c b a .

7. 答案：B

提示：按照差分及差分方程的定义验证即可. 8. 答案：C

提示：差分方程的定义验证即可.

二、填空题 1．答案：2

12x e

y -=

1

dy

y

=-

，解得()

y x=由

(1)2

y=，得2

C=，从而2

1

2x

e

y-

=.

2. 答案：)

(

1

c

x

x

y+

=

提示：原方程可化为变量可分离方程

11

1

dy dx

y x

=

-

，解得)

(

1

c

x

x

y+

=.

3. 答案：

2

1

2

x

x

y

+

=

提示：原方程可化为齐次方程

2

dy y y

dx x x

⎛⎫

+= ⎪

⎝⎭

.令y ux

=，则

22

du dx

u u x

=

-

，解得2

2

1

u

Cx

=

-

，即

2

2

1

x

y

Cx

=

-

.由(1)1

y=，得1

C=-，故

2

1

2

x

x

y

+

=.

4. 答案：x

e

x

x

c

x

c

e

y x

x2

cos

4

)

2

sin

2

cos

(

2

1

-

+

=

提示：特征方程为2250

r r

-+=，特征根为

1,2

12

r i

=±.则齐次方程的通解为12

(cos2sin2)

x

Y e c x c x

=+.由于12i

+是特征方程的根(1,2)

λω

==,所以应设特解为()

*sin2cos2

x

y xe a x b x

=+.把它代入原方程，可得

1

0,

4

a b

==-.

5. 答案：6

=

xy

提示：设曲线方程为()

y y x

=.过曲线上点(,)

x y的切线方程为()

dy

y y x x

dx

=+-.因切线被切点平分，则

(0)

2

dy

y x

dx

y

+-

=.由此得微分方程

dx dy

x y

-=，解得xy c

=，又曲线通过点(2, 3)，则6

c=.

6. 答案：)1

(

2

1

2

2-

-x

e x

提示：函数()

y f x

=连续，则

()

x

xf x dx

⎰可导，从而2

1

()2()

2

x

x

f x e xf x dx

-

=--⎰可导.对其求导，得2

2x

dy

xy xe

dx

-

+=，解得

22

(2)(2)(2)2

1

()

2

x dx x dx x dx

x x

y Ce e xe e dx e x C

----

⎰⎰⎰

=+=+

⎰.由1

(0)

2

f=-,得

1

2

C=-.故