二次函数的图像和性质总结精心整理
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也可以是两组对应值,当x=a时，y=b. 当x=c时，y=d.
五、y=a(x-h) （a≠0）的图像和性质：
①它的图像是一条顶点在x轴上的抛物线。
②顶点（h,0），对称轴是直线x=h。
③a的符号确定抛物线的开口方向。
a＞0,开口向上；a＜0，开口向下；
④︳a︳的值确定抛物线开口大小。
︳a︳的值越大，开口越小；︳a︳的值越小，开口越大。
⑥采用五点法画y=ax +c的图像
首选顶点（0,c），以顶点（0,c）为中心，往两边对称性的取两对点。
⑦平移
抛物线y=ax +c的图像是由抛物线 的图像平移 个单位而得到的。当 时向上平移；当 时向下平移。（上加下减）
⑧利用待定系数法求y=ax +c的解析式
需要知道两个条件：可以是一个点的坐标P（a,b），O（c，d）
⑤增减性与最值
当a>0时，在对称轴左侧（或x＜h）,x↑y↓;
在对称轴右侧（或x＞h）,x↑y↑;
此时，二次函数有最低点，即二次函数y=a(x-h) 有最小值，当x=h时，y最小值=0;
当a＜0时，在对称轴左侧（或x＜0）,x↑y↑;
在对称轴右侧（或x＞0）,x↑y↓;
此时，二次函数有最高点，即二次函数y=a(x-h) 有最大值，当x=h时，y最大值=0;
二次函数的图像和性质总结
一、二次函数的定义
一般地，形如 的函数叫作二次函数。
二、二次函数的五种形式：
①y=ax （a≠0） ②y=ax +c （a≠0）
③y=a(x-h) （a≠0） ④y=a(x-h) +k （a≠0）顶点式
⑤y=ax +bx+c （a≠0） 一般式
三、y=ax （a≠0）的图像和性质：
⑤增减性与最值
当a>0时，在对称轴左侧（或x＜h）,x↑y↓;
在对称轴右侧（或x＞h）,x↑y↑;
此时，二次函数有最低点，即二次函数y=a(x-h) +k有最小值，当x=h时，y最小值=k;
当a＜0时，在对称轴左侧（或x＜h）,x↑y↑;
在对称轴右侧（或x＞h）,x↑y↓;
此时，二次函数有最高点，即二次函数y=a(x-h) +k有最大值，当x=h时，y最大值=k;
当a＜0时，在对称轴左侧（或x＜ ）,x↑y↑;
在对称轴右侧（或x＞ ）,x↑y↓;
也可以是两组对应值,当x=a时，y=b. 当x=c时，y=d.
六、y=a(x-h) +k （a≠0）的图像和性质：
①它的图像是一条顶点在任意位置的抛物线。
②顶点（h,k），对称轴是直线x=h。
③a的符号确定抛物线的开口方向。
a＞0,开口向上；a＜0，开口向下；
④︳a︳的值确定抛物线开口大小。Leabharlann Baidu
︳a︳的值越大，开口越小；︳a︳的值越小，开口越大。
首选顶点（0,0），以顶点（0,0）为中心，往两边对称性的取两对点。
⑦利用待定系数法求y=ax 的解析式
需要知道一个条件：可以是一个点的坐标P（a,b），
也可以是一组对应值,当x=a时，y=b.
例题1.已知二次函数的图像过点P（1,2），求这个函数解析式。
解：设这个函数解析式为y=ax （a≠0）
因为此二次函数的图像过点P（1,2）
在对称轴右侧（或x＞0）,x↑y↑;
此时，二次函数有最低点，即二次函数y=ax 有最小值，当x=0时，y最小值=0;
当a＜0时，在对称轴左侧（或x＜0）,x↑y↑;
在对称轴右侧（或x＞0）,x↑y↓;
此时，二次函数有最高点，即二次函数y=ax 有最大值，当x=0时，y最大值=0;
⑥采用五点法画y=ax 的图像
⑤增减性与最值
当a>0时，在对称轴左侧（或x＜0）,x↑y↓;
在对称轴右侧（或x＞0）,x↑y↑;
此时，二次函数有最低点，即二次函数y=ax +c有最小值，当x=0时，y最小值=c;
当a＜0时，在对称轴左侧（或x＜0）,x↑y↑;
在对称轴右侧（或x＞0）,x↑y↓;
此时，二次函数有最高点，即二次函数y=ax +有最大值，当x=0时，y最大值=c;
①它的图像是一条顶点在原定（0,0）的抛物线。
②顶点（0,0），对称轴是直线x=0（或y轴）。
③a的符号确定抛物线的开口方向。
a＞0,开口向上；a＜0，开口向下；
④︳a︳的值确定抛物线开口大小。
︳a︳的值越大，开口越小；︳a︳的值越小，开口越大。
⑤增减性与最值
当a>0时，在对称轴左侧（或x＜0）,x↑y↓;
⑥采用五点法画y=a(x-h) 的图像
首选顶点（h,0），以顶点（h,0）为中心，往两边对称性的取两对点。
⑦平移
抛物线y=a(x-h) 的图像是由抛物线 的图像平移 个单位而得到的。当 时向右平移；当 时向左平移。（左加右减）
⑧利用待定系数法求y=a(x-h) 的解析式
需要知道两个条件：可以是一个点的坐标P（a,b），O（c，d）
a＞0,开口向上；a＜0，开口向下；
（四）︳a︳的值确定抛物线开口大小。
︳a︳的值越大，开口越小；︳a︳的值越小，开口越大。
（五）增减性与最值
当a>0时，在对称轴左侧（或x＜ ）,x↑y↓;
在对称轴右侧（或x＞ ）,x↑y↑;
此时，二次函数有最低点，即二次函数y=ax +bx+c有最小值，当x= 时，y最小值= ;
所以2=a×1 所以a=2
所以这个函数解析式为y=2x
四、y=ax +c（a≠0）的图像和性质：
①它的图像是一条顶点在y轴上的抛物线。
②顶点（0,c），对称轴是直线x=0（或y轴）。
③a的符号确定抛物线的开口方向。
a＞0,开口向上；a＜0，开口向下；
④︳a︳的值确定抛物线开口大小。
︳a︳的值越大，开口越小；︳a︳的值越小，开口越大。
⑥采用五点法画y=a(x-h) +k的图像
首选顶点（h,k），以顶点（h,k）为中心，往两边对称性的取两对点。
⑦平移
抛物线的 图像是由抛物线 的图像上下平移 个单位，左右平移 个单位而得到的。当 时向上平移；当 时向下平移；当 时向左平移；当 时向右平移。（上加下减，左加右减）
⑧利用待定系数法求 的解析式
需要知道三个条件：可以是一个点的坐标P（a,b），O（c，d），M（e,f）
也可以是两组对应值,当x=a时，y=b. 当x=c时，y=d.
当x=e时，y=f.
七、y=ax +bx+c （a≠0）的图像和性质：
（一）它的图像是一条顶点在任意位置的抛物线。
（二）公式法：
顶点 ，对称轴是直线x= 。
（三）a的符号确定抛物线的开口方向。
五、y=a(x-h) （a≠0）的图像和性质：
①它的图像是一条顶点在x轴上的抛物线。
②顶点（h,0），对称轴是直线x=h。
③a的符号确定抛物线的开口方向。
a＞0,开口向上；a＜0，开口向下；
④︳a︳的值确定抛物线开口大小。
︳a︳的值越大，开口越小；︳a︳的值越小，开口越大。
⑥采用五点法画y=ax +c的图像
首选顶点（0,c），以顶点（0,c）为中心，往两边对称性的取两对点。
⑦平移
抛物线y=ax +c的图像是由抛物线 的图像平移 个单位而得到的。当 时向上平移；当 时向下平移。（上加下减）
⑧利用待定系数法求y=ax +c的解析式
需要知道两个条件：可以是一个点的坐标P（a,b），O（c，d）
⑤增减性与最值
当a>0时，在对称轴左侧（或x＜h）,x↑y↓;
在对称轴右侧（或x＞h）,x↑y↑;
此时，二次函数有最低点，即二次函数y=a(x-h) 有最小值，当x=h时，y最小值=0;
当a＜0时，在对称轴左侧（或x＜0）,x↑y↑;
在对称轴右侧（或x＞0）,x↑y↓;
此时，二次函数有最高点，即二次函数y=a(x-h) 有最大值，当x=h时，y最大值=0;
二次函数的图像和性质总结
一、二次函数的定义
一般地，形如 的函数叫作二次函数。
二、二次函数的五种形式：
①y=ax （a≠0） ②y=ax +c （a≠0）
③y=a(x-h) （a≠0） ④y=a(x-h) +k （a≠0）顶点式
⑤y=ax +bx+c （a≠0） 一般式
三、y=ax （a≠0）的图像和性质：
⑤增减性与最值
当a>0时，在对称轴左侧（或x＜h）,x↑y↓;
在对称轴右侧（或x＞h）,x↑y↑;
此时，二次函数有最低点，即二次函数y=a(x-h) +k有最小值，当x=h时，y最小值=k;
当a＜0时，在对称轴左侧（或x＜h）,x↑y↑;
在对称轴右侧（或x＞h）,x↑y↓;
此时，二次函数有最高点，即二次函数y=a(x-h) +k有最大值，当x=h时，y最大值=k;
当a＜0时，在对称轴左侧（或x＜ ）,x↑y↑;
在对称轴右侧（或x＞ ）,x↑y↓;
也可以是两组对应值,当x=a时，y=b. 当x=c时，y=d.
六、y=a(x-h) +k （a≠0）的图像和性质：
①它的图像是一条顶点在任意位置的抛物线。
②顶点（h,k），对称轴是直线x=h。
③a的符号确定抛物线的开口方向。
a＞0,开口向上；a＜0，开口向下；
④︳a︳的值确定抛物线开口大小。Leabharlann Baidu
︳a︳的值越大，开口越小；︳a︳的值越小，开口越大。
首选顶点（0,0），以顶点（0,0）为中心，往两边对称性的取两对点。
⑦利用待定系数法求y=ax 的解析式
需要知道一个条件：可以是一个点的坐标P（a,b），
也可以是一组对应值,当x=a时，y=b.
例题1.已知二次函数的图像过点P（1,2），求这个函数解析式。
解：设这个函数解析式为y=ax （a≠0）
因为此二次函数的图像过点P（1,2）
在对称轴右侧（或x＞0）,x↑y↑;
此时，二次函数有最低点，即二次函数y=ax 有最小值，当x=0时，y最小值=0;
当a＜0时，在对称轴左侧（或x＜0）,x↑y↑;
在对称轴右侧（或x＞0）,x↑y↓;
此时，二次函数有最高点，即二次函数y=ax 有最大值，当x=0时，y最大值=0;
⑥采用五点法画y=ax 的图像
⑤增减性与最值
当a>0时，在对称轴左侧（或x＜0）,x↑y↓;
在对称轴右侧（或x＞0）,x↑y↑;
此时，二次函数有最低点，即二次函数y=ax +c有最小值，当x=0时，y最小值=c;
当a＜0时，在对称轴左侧（或x＜0）,x↑y↑;
在对称轴右侧（或x＞0）,x↑y↓;
此时，二次函数有最高点，即二次函数y=ax +有最大值，当x=0时，y最大值=c;
①它的图像是一条顶点在原定（0,0）的抛物线。
②顶点（0,0），对称轴是直线x=0（或y轴）。
③a的符号确定抛物线的开口方向。
a＞0,开口向上；a＜0，开口向下；
④︳a︳的值确定抛物线开口大小。
︳a︳的值越大，开口越小；︳a︳的值越小，开口越大。
⑤增减性与最值
当a>0时，在对称轴左侧（或x＜0）,x↑y↓;
⑥采用五点法画y=a(x-h) 的图像
首选顶点（h,0），以顶点（h,0）为中心，往两边对称性的取两对点。
⑦平移
抛物线y=a(x-h) 的图像是由抛物线 的图像平移 个单位而得到的。当 时向右平移；当 时向左平移。（左加右减）
⑧利用待定系数法求y=a(x-h) 的解析式
需要知道两个条件：可以是一个点的坐标P（a,b），O（c，d）
a＞0,开口向上；a＜0，开口向下；
（四）︳a︳的值确定抛物线开口大小。
︳a︳的值越大，开口越小；︳a︳的值越小，开口越大。
（五）增减性与最值
当a>0时，在对称轴左侧（或x＜ ）,x↑y↓;
在对称轴右侧（或x＞ ）,x↑y↑;
此时，二次函数有最低点，即二次函数y=ax +bx+c有最小值，当x= 时，y最小值= ;
所以2=a×1 所以a=2
所以这个函数解析式为y=2x
四、y=ax +c（a≠0）的图像和性质：
①它的图像是一条顶点在y轴上的抛物线。
②顶点（0,c），对称轴是直线x=0（或y轴）。
③a的符号确定抛物线的开口方向。
a＞0,开口向上；a＜0，开口向下；
④︳a︳的值确定抛物线开口大小。
︳a︳的值越大，开口越小；︳a︳的值越小，开口越大。
⑥采用五点法画y=a(x-h) +k的图像
首选顶点（h,k），以顶点（h,k）为中心，往两边对称性的取两对点。
⑦平移
抛物线的 图像是由抛物线 的图像上下平移 个单位，左右平移 个单位而得到的。当 时向上平移；当 时向下平移；当 时向左平移；当 时向右平移。（上加下减，左加右减）
⑧利用待定系数法求 的解析式
需要知道三个条件：可以是一个点的坐标P（a,b），O（c，d），M（e,f）
也可以是两组对应值,当x=a时，y=b. 当x=c时，y=d.
当x=e时，y=f.
七、y=ax +bx+c （a≠0）的图像和性质：
（一）它的图像是一条顶点在任意位置的抛物线。
（二）公式法：
顶点 ，对称轴是直线x= 。
（三）a的符号确定抛物线的开口方向。