复合函数单调区间的求法
复合函数单调区间
复合函数单调区间
复合函数的单调性可以通过分析各个函数的单调性来得到。
如果函数f(x) 和g(x) 都是在某个区间上单调递增或单调递减的，则复合函数 h(x) = f(g(x)) 在该区间上也是单调递增或单调递减的。
具体来说，设函数 f(x) 在区间 I 上是单调递增或单调递减的，
函数 g(x) 在区间 J 上是单调递增或单调递减的。
如果区间 J 的值域是区间 I 的子集，则复合函数 h(x) = f(g(x)) 在区间 J 上也
是单调递增或单调递减的。
举个例子，假设函数 f(x) = x^2，在区间I = [0, ∞) 上是单调递
增的；函数 g(x) = x+1，在区间 J = (-∞, ∞) 上是单调递增的。
由于区间 J 的值域 (-∞, ∞) 包含了区间 I，所以复合函数 h(x) =
f(g(x)) = (x+1)^2 在整个区间 J 上都是单调递增的。
需要注意的是，这里的结果只适用于两个函数的单调性相互影响的情况。
如果函数 f(x) 和 g(x) 的单调性没有明显的关系，
那么复合函数的单调性也很难确定。
在这种情况下，可以考虑绘制函数图像或利用导数分析来判断复合函数的单调性。
复合函数的相关方法
序轴法——复合函数单调区间的一种简捷求法复合函数是高中数学中的一类重要函数，讨论复合函数的单调性，求出其单调区间是复合函数问题中的一类重要问题。
而一些书刊上对复合函数单调区间的求法过于繁琐，本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法，供大家参考。
本文介绍的复合函数单调区间求法的理论依据是下面的 定理（判定定理）：若)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 都是单调函数，则n 次复合函数][}{)(121x y F F F n += 在其定义域内也是单调函数，且它为增函数的充要条件是),(1x y F=),(21x Fu =)(,1x F u n n += 中减函数的个数为偶数；它为减函数的充要条件是)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 中减函数的个数为奇数。
[]1下面我们先通过一个例子来说明具体的方法。
例1． 已知x x x f 228)(-+=，若)2()(2x f x g -=，求函数)(x g 的单调区间。
（89年高考理科（11）改编--原题为选择题）解：令t=2x 2-,则82)(2++-=t t f t ，故)(x g 是由这两个函数复合而成的，定义域为实数集R 。
当,1<t 即1122-<⇔<-x x 或1>x 时，)(t f ； 当,1≥t 即11221≤≤-⇔-≥x x 时， )(t f ； 当0<x 时，)(x t ；当0≥x 时，)(x t 。
将-1,0.1按大小顺序标在以向右为正方向的有向直线上（由于不考虑单位，只考虑顺序，故称这条直线为“序轴”），再把各层函数的增减性用升、降箭头标在相应区间上方，然后，在序轴下方的相应区间，根据复合函数单调性的判定定理，用箭头标出复合函数的单调性。
如（图1）)(x t ： )(t f ：)(x g ： -1 0 1 x（图1）由图1可知，)(x g 的递增区间为](1,-∞-，[0，1]；递减区间为（-1，0），（1，+)∞。
复合函数的单调性的判断方法
复合函数的单调性的判断方法
复合函数的单调性判断：依y=f(u)，u=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
判断复合函数单调性的步骤
⑴求复合函数的定义域；
⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；
⑶判断每个常见函数的单调性；
⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
⑸求出复合函数的单调性。
复合函数的单调性判断说明
1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域。
2、函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。
求复合函数的单调区间
c g ( x1 ) g ( x 2 ) b
又y f (u)在(c, d )上为增函数
即c u1 u2 d
即f [ g ( x1 )] f [ g ( x2 )] y f [ g ( x)]在(a, b)上为增函数
f (u1 ) f (u2 )
例1: 已知函数f (x)在R上是增函数，g(x)在[a,b]上是减 函数，求证：f [g(x)]在[a,b]上是减函数.
0 0.4 1
f ( x) log
0.4
y log 0.4 t是减区间。
x
2
4 x 3的单调递增区间为 2,3 ,
单调递减区间为1, 2 。
拓展1：判断函数f ( x) log
2
拓展2：判断函数f ( x) log
a
x
x 2 4 x 3 的单调性。
y u是定义域内是的单调递增函数。
又u x 2 1在 2,3 上是减函数。
2
y x 2 4 x 3在 2,3 上是减函数。
故函数y x 2 4 x 3的单调递减区间为 2,3。
问 你 求 函 ： 能 出 数
y x 2 4 x 3的 调 增 吗 单 递 区 ？
函数，记为y=f(u),u 又是x 的函数，记为u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的 定义域的交集不空，则确定了一个y关于x 的函y=f[g(x)],这时y叫x的复合函数，其中 u叫中间变量，y=f(u)叫外层函数，u=g(x) 叫内层函数。x
u
y
y ax2 bx c(a 0)
O
x
b 2a
x
复合函数单调区间的求法
复合函数单调区间的求法浙江省诸暨市学勉中学（311811） 郭天平一、复合函数单调性的判断：设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则()[]x g f y =在],[b a 上也是单调函数．①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则()[]x g f y =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同．②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则()[]x g f y =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相反．即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时,则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时,则复合函数为减函数．简而言之“同为增，异为减”．二、复合函数单调区间的求解步骤:①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本函数；③分别判定常见的基本函数在定义域范围内的单调性；④由复合函数的增减性判断方法，写出复合函数的单调区间.例1．求函数21xy =的单调区间． 解：由02≠x ，得0<x 或0>x ，令2x t =（0>t ），则t y 1=， ty 1=在),0(+∞上为减函数． 而2x t =在)0,(-∞上为减函数，在),0(+∞上是增函数；由“同增异减”可得，函数21x y =在)0,(-∞上为增函数，在),0(+∞上为减函数．例2．求函数342+-=x x y 的单调区间. 解：由x x x x 243013-+≥⇒≤≥或，∴函数的定义域是(][)-∞+∞，，13 .令u x x =-+243 ,则21u y = ， y u =12在[)+∞,0是增函数，而u 在(]1,∞-上是减函数，在[)+∞,3上是增函数；由“同增异减”得，函数的增区间是[)3，+∞， 函数的减区间是(]1,∞-.例3．若函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，试判断()22x x f y -=的单调区间． 解：原函数的定义域为R令22x x u -=，则()u f y =， 函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，而22x x u -=在(]1,∞-上是增函数，在[)+∞,1上为减函数，y ∴在(]1,∞-上为减函数，在[)+∞,1上为增函数，即原函数的单调减区间为(]1,∞-，单调增区间为[)+∞,1.评注：复合函数求单调区间是一个难点，我们应明确单调区间必须是定义域的子集，当求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域，再根据基本函数的单调性与“同为增，异为减”的原则判断复合函数的单调区间，在函数学习中应树立“定义域优先”的原则．另外，对初学者来说，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步．。
(完整版)复合函数单调性的判定方法
复合函数单调性的判定方法定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同．证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x1)]＞f[g(x2)]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数．(2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x1)]＜f[g(x2)]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数．由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性．例1讨论函数f(x)＝log0.5(x2＋4x＋4)的单调性．解 f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为y＝log0.5u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋∞)上为增函数．又y＝log0.5u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间．解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u ＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数．推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数．(1)若0＜a＜1．当x＜－1时，在构成复合函数的三个函数中，u和v＝x2－x－2是减函数，则f(x)是增函数．当x＞2时，y＝logau是减函数，则f(x)在构成复合函数的三个函数中，只有y＝loga是减函数．(2)若a＞1，当x＜－1时，构成复合函数的三个函数中只有一个函数y＝logu是减函数，则f(x)是减函数．当x＞2时，构成a复合函数的三个函数都是增函数，则f(x)是增函数．。
补充：复合函数的单调性
拓展训练
题型2.解不等式
例3：已知：f(x)是定 解：依题意，f ( x 1) f (x2 1)
义在[－1,1]上的增函数，可转化为不等式组
且f(x－1)<f(x2－1),
1 x 1 1 易错点
求x的取值范围。
1 x2 1 1
注： 在利用函数的
单调性解不等式的 时候，一定要注意 定义域的限制。
这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场景法
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松；
y
y x
O
x
y x在定义域 0, 上是增函数。
本节新知识
1.在某个区间上，若f(x),g(x)同为增函数， 则f(x)+g(x)也为增函数；
2.在某个区间上，若f(x),g(x)同为减函数， 则f(x)+g(x)也为增函数；
3.在某个区间上，若f(x)为增函数，g(x)为减函 数，则f(x)-g(x)也为增函数；
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用身体记忆法时，可以与前面提到过的五感法结合起来，比如产生 一 些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，记忆印象会更加深刻；
TIP2：采用一些怪诞夸张的方法，比如上面例子中腿上面生长出了很多植物， 正 常在我们常识中不可能发生的事情，会让我们印象更深。
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故事法
例2.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。 解：x2 4x 3 0，即x2 4x 3 0，
第十八讲 复合函数的单调性
3．y=logax的单调区间 若a>1，在（0,+∞）上为增函数； 若0<a<1，在（0,+∞）上为减函数。
二．根据变量的增减判断函数的单调性
在某个区间上，x、y同增同减函数为增函数； 在某个区间上，x、y一增一减函数为减函数。 三．单调区间和定义域的关系
单调区间不能超过定义域，研究单调性必须 在定义域内进行。
的函数的单调区间时：
（1）求出函数的定义域； （2）把函数分解为t=ax2+bx+c和（y=q t ） y=logat两个函数； （3）根据定义域作出函数t=ax2+bx+c简图和 函数（y= q t ）y=logat简图；
（4）比较两个图象，根据“同增异减”的 规律确定原函数的单调区间。
例1 求函数y= 2x2 2x2 的单调区间。
把上例中两个函数的图象比较可得结论：
增、增 增； 减、增 减.
例2 求函数 y= log1 (x2 2x 3) 的单调区间。
2ห้องสมุดไป่ตู้
把上例中两个函数的图象比较可得结论：
减、减 增； 增、减 减
概括起来：同增异减。
四．求复合函数单调区间的方法 求形如（y= qax2 bx c）y= logq(ax2 bx c)
第十八讲 复合函数的单调性
一．基本函数的单调区间
1．y=a(x+h)2+k的单调区间
若a>0，在(-∞,-h)上为减函数，在(-h,+∞) 上为增函数；
若a<0，在(-∞,-h)上为增函数，在(-h,+∞) 上为减函数。
2．y=ax的单调区间 若a>0，在（-∞,+∞）上为增函数；
复合函数单调区间的求法
复合函数单调区间的求法汪 卫 国（孝昌二中，湖北 432900）函数的单调性是函数的最重要性质之一，它有很广泛的应用，在整个高中数学中占有重要的地位，每年全国各地的高考试题几乎都会涉及到函数的单调性，而且多数情况下都是考察难易程度不同的复合函数的单调性，因此，掌握复合函数单调区间的求法就显得尤为重要。
本文先通过介绍求解复合函数单调区间的一般步骤，再结合一些相应的例题，以帮助同学们切实掌握复合函数单调区间的求法。
定义 由函数)(u f y =和)(x g u =所构成的函数)]([x g f y =称为复合函数，其中)(u f y =通常称为外层函数，)(x g u =称为内层函数。
求上述复合函数)]([x g f y =的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行：（1） 写出构成原复合函数的外层函数)(u f y =和内层函数)(x g u =；（2） 求外层函数)(u f y =的单调区间（包括增区间和减区间）B A 、等；（3） 令内层函数A x g u ∈=)(，求出x 的取值范围M； （4） 若集合M 是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则M 便是原复合函数)]([x g f y =的一个单调区间；若M 不是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则需把M 划分成内层函数)(x g u =的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数)]([x g f y =的单调区间；（5） 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数)]([x g f y =在集合M 或这些单调子区间的增减性；（6） 令内层函数B x g u ∈=)(，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。
若外层函数)(u f y =还有更多的单调区间C 、D ，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。
例1 求函数2)21(-=x y 的单调区间 解 原函数是由外层函数u y =和内层函数2)21(-=x u 复合而成的；易知)0[∞+，是外层函数u y =的单调增区间； 令02)21(≥-=x u ，解得x 的取值范围为]1,(--∞； 由于]1,(--∞是内层函数2)21(-=x u 的一个单调减区间，于是]1,(--∞便是原函数的一个单调区间；根据复合函数“同增异减”的复合原则知，]1,(--∞是原函数的单调减区间。
复合函数单调性的判断方法
【解】 （1）定义域： 0，
（4）外函数 y 2u 2 2u 1在
（2）此函数是由下列函数复合所得
y 2u 2 2u 1，（ u x） log 1 x
2
（3）内函数 （ u x） log 1 x 在
2
1 1 u ， 单调递减， u ， 单调递增 2 2 2 1 ， （5）原函数在 u ， x 2 2
增减相异复合减
贰
判断
HI
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
【解】 （1）定义域： ， 1 3，
（2）还原复合函数的复合过程：
x 2， 单调递增
（4） y log 1 u 在 u 0, 上单调递减
2
此函数是由下列函数复合所得
y log 1 u，（ u x） x 4x 3
2 2
（5） y log 1 x 2 4 x 3 在
2
u x） x 4x 3 在 （3）内函数 （
2
1 单调递增， 3， 单调递减 ，
复合函数 单调性的判断方法
复合函数单调性的判断方法
1
1
2
定义
2
判断
一
定义
HI
设 y f (u ) 定义域为Ａ， u g ( x) 的值域为Ｂ 若B A 则 y 关于 x 的函数 y f [ g ( x)] 叫做 函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间变量
复合函数单调区间的求法
复合函数单调区间的求法一、基础知识回顾1.复合函数的定义：如果y 是u 的函数，记为y=f(u),u 又是x 的函数，记为u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不为空，则确定了一个y 关于x 的函数 ,这时y 叫x 的复合函数，其中x 叫做 ，u 叫 ，y 叫 ，y=f(u)叫外层函数，u=g(x)叫 .2.常见基本初等函数的单调区间：（1）一次函数y=kx+b(k ≠0) 定义域： ；当k 时，函数单调递增区间： ；当k 时，函数单调递减区间： .（2）反比例函数()0≠=k xk y 定义域： ； 当k 时，函数单调递减区间： ；当k 时，函数单调递增区间： ；（3）二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0) 定义域： ；开口向 （a 0） 单调递增区间： ；单调递减区间： . 开口向 （a 0） 单调递增区间： ；单调递减区间： .（4）指数函数()10≠>=a a a y x且 定义域： ；当 a 时，函数单调递减区间： ；当a 时，函数单调递增区间： .（5）对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1) 定义域： ；当 a 时，函数单调递减区间： ；当a 时，函数单调递增区间： . （6）幂函数x y = 定义域： ；单调递增区间 .总结复合函数单调性的规律： .注：求函数的单调区间首先求函数的 .二、实践演练例：求下列函数的单调区间.（1）34y 2-+-=x x（2）3422-+-=x x y 变式 34221-+-=x x y ）（ （3）)34(22log -+-=x x y 变式 )34(212log -+-=x x y （4）34y 2-+-=x x 变式 3422-+-=x x y 拓展 1.讨论函数)34(2log -+-=x xa y 的单调区间. 2.已知函数()a ax x y --=221log 在()31,-∞-上是增函数，求实数a 的取值范围. 总结 求复合函数单调区间的步骤：。
复合函数的单调性与赋值法证明函数的单调性
一、复合函数 y f 的单调性 g x 将复合函数分解成 y f u , u g x
u g x
增 增 减 减
y f u 增 减 增 减
y f g x
增 减 减 增
复合函数单调性归纳为“同增异减”
（1）求 f
1
（2）证明： f x 在定义域内是增函数
练习2.函数f x 对任意实数a，b都 有 f a b f a f b 明： f x 是R上的增函数
例.求函数 y x 2 x 1 的单调 区间
2
练习：求 y x 2 x 8 的 单调区间
2
二、抽象函数单调性
例1.已知 y f x 在定义域 1,1 2 上是减函数，且f 1 a f a 1 求a的取值范围
练习：已知 y f x 在定义 域 0, 是增函数，且 2 f a f 2a 3 ，求a的取值 范围
例2: 已知定义在R上的函数 f ( x) 满足：对任 意 a, b R，都有 f (a b) f (a) f (b)，且当 x 0 时，f ( x) 0 ，试确定函数的单调性.
练习1：已知函数 f x 的定义域是 0, ， 当x>1时， f x 0，且 f xy f x f y
复合函数求单调区间
复合函数求单调区间定义 由函数)(u f y =和)(x g u =所构成的函数)]([x g f y =称为复合函数，其中)(u f y =通常称为外层函数，)(x g u =称为内层函数。
求上述复合函数)]([x g f y =的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行：（1） 写出构成原复合函数的外层函数)(u f y =和内层函数)(x g u =；（2） 求外层函数)(u f y =的单调区间（包括增区间和减区间）B A 、等；（3） 令内层函数A x g u ∈=)(，求出x 的取值范围M ；（4） 若集合M 是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则M 便是原复合函数)]([x g f y =的一个单调区间；若M 不是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则需把M 划分成内层函数)(x g u =的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数)]([x g f y =的单调区间；（5） 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数)]([x g f y =在集合M 或这些单调子区间的增减性；（勿忘定义域）（6） 令内层函数B x g u ∈=)(，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。
若外层函数)(u f y =还有更多的单调区间C 、D ，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。
例题：求函数2)21(-=x y 的单调区间 解 原函数是由外层函数u y =和内层函数2)21(-=x u 复合而成的；易知)0[∞+，是外层函数u y =的单调增区间； 令02)21(≥-=xu ，解得x 的取值范围为]1,(--∞； 由于]1,(--∞是内层函数2)21(-=xu 的一个单调减区间，于是]1,(--∞便是原函数的一个单调区间；根据复合函数“同增异减”的复合原则知，]1,(--∞是原函数的单调减区间。
例2 求函数)23(log 221x x y --=的单调区间. 解 原函数是由外层函数u y 21log =和内层函数223x x u --=复合而成的； 易知),0(+∞是外层函数u y 21log =的单调减区间； 令0232>--=x x u ，解得x 的取值范围为)1,3(-；结合二次函数的图象可知)1,3(-不是内层函数223x x u --=的一个单调区间，但可以把区间)1,3(-划分成内层函数的两个单调子区间]1,3(--和)1,1[-，其中]1,3(--是其单调增区间，)1,1[-是其单调减区间；于是由复合函数“同增异减”的复合原则可知，]1,3(--是原函数的单调减区间，)1,1[-是原函数的单调增区间。
复合函数的相关方法
1序轴法——复合函数单调区间的一种简捷求法复合函数是高中数学中的一类重要函数，讨论复合函数的单调性，求出其单调区间是复合函数问题中的一类重要问题。
而一些书刊上对复合函数单调区间的求法过于繁琐，本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法，供大家参考。
本文介绍的复合函数单调区间求法的理论依据是下面的定理（判定定理）：若都uuFFF)x?),?y?,(x),(??(x1n?12n1????在其定义域内是单调函数，则n次复合函数FFF)y???(x11n?2也是单调函数，且它为增函数的充要条件是它为中减函数的个数为偶数；uu F FF),(xy?)?xx),???,((11n?2n1减函数的充要条件是中减函数uuFFF)x?(),??(x),?,y?(x1n?12n1??的个1数为奇数。
下面我们先通过一个例子来说明具体的方法。
xx)2f)?28)(fx??x(gx?(?)x(g22的，求函数，若．例1已知2原题为选择题）单调区间。
（89年高考理科（11）改编--xt8?2tf(t)????)xg( R。
合而成的，22是由这两个函数复则，故解：令t=2,定义域为实数集2时，；当即或x1?1?x2???)f?t1,(t1?x2时，；即当1?1??12??x?)tf1,(t?x当时，；当时，。
)x)t(xt(00x?x?将-1,0.1按大小顺序标在以向右为正方向的有向直线上（由于不考虑单位，只考虑顺序，故称这条直线为“序轴”），再把各层函数的增减性用升、降箭头标在相应区间上方，然后，在序轴下方的相应区间，根据复合函数单调性的判定定理，用箭头标出复合函数的单调性。
如（图1）：)xt(：)(tf x 1 0 ：-1 )x(g（图1）??，-1的递增区间为（由图1可知，递减区间为1,???；1]，[0，)x(g 3。
1，+0），（)?这种求复合函数单调区间的方法我们称之为“序轴法”，其一般的解题步骤为：求复合函数的定义域，并把各层函数分解出来；1、求出各层函数单调区间及对应的在复合函数定义域内自2、变量x的取值区间；由各层函数单调区间的端点值，把复合函数的定义域分成、3 若干部分，并在序轴上标出；将各层函数的增减性用升、降箭头在序轴上相应区间的上、 4 方标出；用升、由复合函数单调性的判定定理，在每个区间的下方，5、降箭头标出单调性，从而得出复合函数的单调区间。
求解复合函数单调性
求解复合函数单调性【引理证明】已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,)(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. 【方法技巧】1．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 2．复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域；ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。
ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。
【例题演练】例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则)32(log 121211--=x x y )32(log 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.31,1|{-<>x x x 或则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数. ∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。
复合函数求单调区间
1. 求函数)213sin(x y -=π的单调区间。
解：)213sin()](sin[)]([x x f x f F -==π 可知在ππππ212)(212+≤≤-k x f k （Z k ∈）时)]([x f F 为增函数 而上均为减函数在，的系数因为R x f k x x x f )(0,213)(∴<-=π 根据复合函数性质得增减为减：πππππ212213212+≤-≤-k x k )(354314)(354314Z k k x k Z k k x k ∈+≤≤-∈+-≤≤--ππππππππ即 就为）（x F 的单调减区间。
同理可得）（x F 的单调增区间为：)(3114354Z k k x k ∈+≤≤+ππππ ∴所以)213sin(x y -=π的单调区间为： 增区间：)](354,314[Z k k k ∈+-ππππ 减区间：)](3114,354[Z k k k ∈++ππππ 通过观察能轻易知道)(x f 的增减性，从而结合复合函数求解，即增加了对复合函数回忆的加强又熟悉了三角函数的单调性求法。
2.求函数)4sin(x y -=π在]2,0[π的单调增区间解：)4sin()](sin[)]([x x f x f F -==π 可知在ππππ232)(212+≤≤+k x f k （Z k ∈）时)]([x f F 为减函数 而上均为减函数在，的系数因为R x f k x x x f )(0,4)(∴<-=π根据复合函数性质得减减为增：πππππ2324212+≤-≤+k x k )(412452)(412452Z k k x k Z k k x k ∈-≤≤-∈--≤≤--ππππππππ即就为）（x F 的单调增区间，可知只有k=1的时候增区间在]2,0[π内 ∴)4sin(x y -=π在]2,0[π的单调增区间为]47,43[ππ 两种解法解三角函数的单调区间。
复合函数求单调区间的数形结合方法
复合函数求单调区间的数形结合方法作者：冯艳超来源：《课程教育研究》2017年第28期【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）28-0133-01对于复合函数求单调区间的问题常用解决方法有两种：第一种方法可以用导数方法来求；但是解不等式有的时候难度很大；第二种方法可以用数形结合的方法来求。
这种求复合函数单调区间的方法直观、简便、易懂、便于学生掌握，是值得一试的好方法。
现将这种方法解析如下：比如，求函数y=log■（x2-4x-5）的单调区间。
解：要先分内外层：内层函数为：t=x2-4x-5；外层函数为：y=log■t，画出内层函数t=x2-4x-5的图像；由内层图像可直接观察得到内层函数的定义域和单调区间，外层函数y=log■t当t∈（0，∞）是减函数，用方向箭头代表单调性标在内层图像上；在x轴上方图像对应外层函数为减函数，x轴下方图像无对应的外层单调性即复合函数在这部分范围无意义，只观察内层和外层单调性都同时存在的部分即可；x∈（-∞，-1）内层函数是减函数，外层函数是减函数，所以根据同增异减的原则复合函数在x∈（-∞，-1）是增函数；同理在x∈（5，+∞）内层函数是增函数而对应外层函数是减函数，根据同增异减的原则复合函数在是x∈（5，+∞）减函数。
即：复合函数在区间（-∞，-1）是增函数，在区间（5，+∞）减函数。
现将此方法总结一下：复合函数求单调区间，首先要把复合函数分为内层函数和外层函数；其次画内层函数图像，这是因为自变量范围和单调区间能直接可观察；第三步求出外层函数的单调区间标画在内层函数的图像上；第四步根据内外层函数的同增异减原则直接得出复合函数的单调区间。
再比如，求y=（sinx）2-sinx+1的单调区间。
解：内层函数： t=sinx外层函数：y=t2-t+1在t≥■范围上是增函数，在t≤■范围上是减函数。
周期函数画一个周期的图像即可，由图可知直线t=■上方的内层函数图像对应外层函数单调性是增函数；t=■下方的内层函数图象对应外层函数单调性是减函数；要先求出t=■与内层函数的交点的横坐标，因为交点把内层函数分成四段对应不同的外层单调性，在区间-■，■内层函数是增函数对应外层函数是减函数，所以在这个区间复合函数是减函数；在区间■，■内内层函数是增函数对应外层函数是增函数，所以在这个区间复合函数是增函数；其他同理可得；因为内层函数是周期函数，所以写复合函数的单调区间加上周期即可，所以复合函数单调区间即：2k？仔-■，2k？仔+■（k∈z）和2k？仔+■，2k？仔+■（k∈z）是增函数；2k？仔+■，2k？仔+■（k∈z）和2k？仔+■，2k？仔+■（k∈z）是减函数。
复合函数单调性、函数奇偶性
有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k (k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 ：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
高三数学有关复合函数单调性的定义和解题方法
有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
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复合函数单调区间的求法
汪 卫 国
（孝昌二中，湖北 432900）
函数的单调性是函数的最重要性质之一，它有很广泛的应用，在整个高中数学中占有重要的地位，每年全国各地的高考试题几乎都会涉及到函数的单调性，而且多数情况下都是考察难易程度不同的复合函数的单调性，因此，掌握复合函数单调区间的求法就显得尤为重要。
本文先通过介绍求解复合函数单调区间的一般步骤，再结合一些相应的例题，以帮助同学们切实掌握复合函数单调区间的求法。
定义 由函数)(u f y =和)(x g u =所构成的函数)]([x g f y =称为复合函数，其中)(u f y =通常称为外层函数，)(x g u =称为内层函数。
求上述复合函数)]([x g f y =的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行：
（1） 写出构成原复合函数的外层函数)(u f y =和内层函数)(x g u =；
（2） 求外层函数)(u f y =的单调区间（包括增区间和减区间）B A 、等；
（3） 令内层函数A x g u ∈=)(，求出x 的取值范围M ；
（4） 若集合M 是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则M 便是原复合函数)]([x g f y =的一个单调区间；若M 不是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则需把M 划分成内层函数)(x g u =的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数)]([x g f y =的单调区间；
（5） 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数)]([x g f y =在集合M 或这些单调子区间的增减性；
（6） 令内层函数B x g u ∈=)(，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。
若外层函数)(u f y =还有更多的单调区间C 、D ，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。
例1 求函数2)2
1(-=x y 的单调区间 解 原函数是由外层函数u y =和内层函数2)2
1(-=x u 复合而成的； 易知)0[∞+，是外层函数u y =的单调增区间； 令02)21(≥-=x
u ，解得x 的取值范围为]1,(--∞； 由于]1,(--∞是内层函数2)21(-=x
u 的一个单调减区间，于是]1,(--∞便是原函数的一个单调区间；
根据复合函数“同增异减”的复合原则知，]1,(--∞是原函数的单调减区间。
例2 求函数)23(log 2
2
1x x y --=的单调区间. 解 原函数是由外层函数u y 21log =和内层函数2
23x x u --=复合而成的；
易知),0(+∞是外层函数u y 2
1log =的单调减区间；
令0232
>--=x x u ，解得x 的取值范围为)1,3(-；
结合二次函数的图象可知)1,3(-不是内层函数223x x u --=的一个单调区间，但可以把区间)1,3(-划分成内层函数的两个单调子区间]1,3(--和)1,1[-，其中]1,3(--是其单调增区间，)1,1[-是其单调减区间；
于是由复合函数“同增异减”的复合原则可知，]1,3(--是原函数的单调减区间，)1,1[-是原函数的单调增区间。
例3 求函数2
42--=
x x y 的单调区间. 解 原函数是由外层函数u
y 4=和内层函数22--=x x u 复合而成的； 易知)0,(-∞和),0(+∞都是外层函数u y 4=的单调减区间； 令022<--=x x u ，解得x 的取值范围为)2,1(-；
结合二次函数的图象可知)2,1(-不是内层函数22--=x x u 的一个单调区间，但可以把区间)2,1(-划分成内层函数的两个单调子区间]21,1(-和)2,21[，其中]2
1,1(-是其单调减区间，)2,2
1[是其单调增区间； 于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知，]21,1(-是原函数的单调增区间，)2,2
1[是原函数的单调减区间。
同理，令022>--=x x u ，可求得)1,(--∞是原函数的单调增区间，),2(+∞是原函数的单调减区间。
综上可知，原函数的单调增区间是)1,(--∞和]21,1(-，单调减区间是)2,21[和),2(+∞.。