复合函数单调区间的求法

复合函数单调区间的求法

汪 卫 国

（孝昌二中，湖北 432900）

函数的单调性是函数的最重要性质之一，它有很广泛的应用，在整个高中数学中占有重要的地位，每年全国各地的高考试题几乎都会涉及到函数的单调性，而且多数情况下都是考察难易程度不同的复合函数的单调性，因此，掌握复合函数单调区间的求法就显得尤为重要。本文先通过介绍求解复合函数单调区间的一般步骤，再结合一些相应的例题，以帮助同学们切实掌握复合函数单调区间的求法。

定义 由函数)(u f y =和)(x g u =所构成的函数)]([x g f y =称为复合函数，其中)(u f y =通常称为外层函数，)(x g u =称为内层函数。

求上述复合函数)]([x g f y =的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行：

（1） 写出构成原复合函数的外层函数)(u f y =和内层函数)(x g u =；

（2） 求外层函数)(u f y =的单调区间（包括增区间和减区间）B A 、等；

（3） 令内层函数A x g u ∈=)(，求出x 的取值范围M ；

（4） 若集合M 是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则M 便是原复合函数)]([x g f y =的一个单调区间；若M 不是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则需把M 划分成内层函数)(x g u =的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数)]([x g f y =的单调区间；

（5） 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数)]([x g f y =在集合M 或这些单调子区间的增减性；

（6） 令内层函数B x g u ∈=)(，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。若外层函数)(u f y =还有更多的单调区间C 、D ，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。

例1 求函数2)2

1(-=x y 的单调区间 解 原函数是由外层函数u y =和内层函数2)2

1(-=x u 复合而成的； 易知)0[∞+，是外层函数u y =的单调增区间； 令02)21(≥-=x

u ，解得x 的取值范围为]1,(--∞； 由于]1,(--∞是内层函数2)21(-=x

u 的一个单调减区间，于是]1,(--∞便是原函数的一个单调区间；

根据复合函数“同增异减”的复合原则知，]1,(--∞是原函数的单调减区间。

例2 求函数)23(log 2

2

1x x y --=的单调区间. 解 原函数是由外层函数u y 21log =和内层函数2

23x x u --=复合而成的；

易知),0(+∞是外层函数u y 2

1log =的单调减区间；

令0232

>--=x x u ，解得x 的取值范围为)1,3(-；

结合二次函数的图象可知)1,3(-不是内层函数223x x u --=的一个单调区间，但可以把区间)1,3(-划分成内层函数的两个单调子区间]1,3(--和)1,1[-，其中]1,3(--是其单调增区间，)1,1[-是其单调减区间；

于是由复合函数“同增异减”的复合原则可知，]1,3(--是原函数的单调减区间，)1,1[-是原函数的单调增区间。

例3 求函数2

42--=

x x y 的单调区间. 解 原函数是由外层函数u

y 4=和内层函数22--=x x u 复合而成的； 易知)0,(-∞和),0(+∞都是外层函数u y 4=的单调减区间； 令022<--=x x u ，解得x 的取值范围为)2,1(-；

结合二次函数的图象可知)2,1(-不是内层函数22--=x x u 的一个单调区间，但可以把区间)2,1(-划分成内层函数的两个单调子区间]21,1(-和)2,21[，其中]2

1,1(-是其单调减区间，)2,2

1[是其单调增区间； 于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知，]21,1(-是原函数的单调增区间，)2,2

1[是原函数的单调减区间。

同理，令022>--=x x u ，可求得)1,(--∞是原函数的单调增区间，),2(+∞是原函数的单调减区间。

综上可知，原函数的单调增区间是)1,(--∞和]21,1(-，单调减区间是)2,21[和),2(+∞.