大学文科数学——极限
大学文科数学全部公式
A B AB A AB
3. 概率的计算方法
直接计算 P(A) A中包含的样本点个数
tan xdx ln cos x C . cot xdx ln sin x C .
不定积分的分部积分法
分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，
如 x na x dx ， x n sin xdx ， x n arctan xdx ， e x cos xdx 等.
（4）若 lim
x 是 x 的 k 阶无穷小量.
k
L ( L 0, k 0) ，则称 x0 时，
重要结论：
1 x, 当 x 0 时, loga (1 x) ～ lna
ln( 1 x ) ～ x ,
e x 1 ～ x ,
a 1 ～ x lna ,
x
(1 x) 1 ～ x.
（1）齐次方程组(1)只有零解 R( A) n (未知量的个数). （2）齐次方程组(1)有非零解 R( A) n (未知量个数). 有n个未知数n个方程的齐次线性方程组 有非零解的充要条件是它的系数矩阵行列式 A 0.
求解齐次线性方程组的一般步骤：
① 对系数矩阵A施行初等行变换化为行最简矩阵； ② 由行最简矩阵写出对应的同解方程组； ③令同解方程组中的自由未知量分别为 c1 , c2 ,, cnr ,
1 y C ] ， 3
1 4 故原方程的通解为 x y Cy . 3
行列式的计算
三种常用方法
三角法 ： 根据行列式的特点，利用行列式的性 质，把它逐步化为三角行列式，然后求得其值。
降阶法 ： 利用行列式按行（列）展开法则降阶， 把它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需 结合化简性质运用。 通过降阶法建立起行列式与其同形的 递推法 ： 较低阶的行列式的关系式--------递推关系式，然后由 递推关系式求解其值。
南开大学高等数学课件12极限-PPT精品文档
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大学文科数学
例5 等比级数的求和． 解. 等比级数： a0+a0q+a0q2+…+a0qn+… = 部分和sn: a0+a0q+…+a0qn-1 =
2.2极限
部分和数列{sn}: s1=a0，s2=a0+a0q，…，sn=a0+a0q+…+a0qn1，…．
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通项1/2n无限接近0，但又永远不会等于0． 正如《庄子》所说：“万世不竭”． 哲学辩证的思想：有限和无限的统一 数学的思想：数列极限
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大学文科数学
2.2 极限
例2刘徽运用割圆术算出圆周率． 东汉科学家张衡：=3.16;东汉天文学家王蕃：=3.156 三国时代数学家刘徽：割圆术，用圆的内接正n边形周长逼 近圆周．n无限增大时，其周长无限接近圆周d，算出 =3.1416。南北朝数学家祖冲之：用刘徽割圆术计算11 次，分割圆为12288边形，=3.14159265 ，成为此后千 年世界上最准确的圆周率。
n 1 1 , 1 , 1 , 1 , ,( 1 ) 无极限
1 ， 3 ， 5 ， 7 ， ， ( 2 n 1 ), 无极限
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大学文科数学
2.2 极限
数列与函数的关系 x n ) ,它的定义域是全体正整数 n f( 用Mathematica在平面上画出数列的散点图 Table [f[n]，{n，min，max，step} ] 利用ListPlot[ ]和Table[ ]语句作图，如画出{n/(n+1)} ListPlot[Table[ n/(n+1),{n,1,100}]]
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法第一篇：高数中求极限的16种方法高数中求极限的16种方法——好东西假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎,可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。
函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下: 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致极限分为一般极限还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了你还能有补充么）等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提必须是X趋近而不是N趋近（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！必须是0比0 ,无穷大比无穷大当然还要注意分母不能为0 LHopital法则分为3中情况1, 0比0 ,无穷比无穷时候直接用2,0乘以无穷,无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了 3, 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近0)3, 泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！)E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母看上去复杂处理很简单5,无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
大学文科数学_张国楚_集合、实数、极限
第一章微积分的基础问题——集合、实数、极限学而不思则罔，思而不学则殆-----孔子《论语²为政》历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，哲学使人深邃，道德使人严肃，逻辑与修辞使人善辩。
-----培根本章简介在中学，我们学习过集合、实数和简单的极限以及微积分知识，这为进一步学习高等数学奠定了一定的基础．然而，学习微积分为什么要学习集合、实数和极限，它们之间有什么关系，这涉及到所谓的数学基础问题，即数学的可靠性问题．本章将粗略介绍微积分的基础问题，使文科学生对数学有较深入的了解，同时对中学学过的实数和极限知识作一些引申，而集合的具体知识不再述及。
（一）学习目的和要求本章的目的是介绍集合、实数和极限。
要求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。
了解我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。
（二）课程内容1．极限、实数与集合在微积分中的作用2．实数系的建立及邻域的概念实数系的演变及性质、刻画极限的邻域概念。
3．变量无限变化的数学模型——极限从分形几何中Koch雪花的周长谈起——数列极限、函数极限、无穷小量、极限的四则运算。
4．我国古代伟大数学家——祖冲之（三）重点和难点本章重点：集合、实数与极限在微积分中的作用、邻域的概念。
本章难点：极限概念及其在微积分中的作用。
（四）课程要求1.了解：集合、实数与极限在微积分中的作用，我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。
2.理解：函数极限、无穷小量。
3.掌握：极限的四则运算法则。
§1极限、实数与集合在微积分中的作用提出问题数学史中有所谓的第二次数学危机，它与微积分有什么关系呢？现在来开始研究这一问题。
学习过程（1）第二次数学危机概说17 世纪上半叶笛卡儿（法）创建解析几何之后，变量便进入了数学．随之，牛顿（英）和莱布尼茨（德）集众多数学家之大成，各自独立地发明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑．微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛有效的应用．然而初期的微积分在逻辑上存在着矛盾．粗略地讲，牛顿、莱布尼茨的导数概念是建立在所谓的“无穷小”理论之上的，他们所谓的无穷小，时而是零时而又不是零，这违背了逻辑学中的排中律．正因此，不少学者对微积分的可靠性产生了怀疑，并且一些思想保守的人物借此提出非难，特别是代表守旧势力的英国红衣大主教贝克莱，从维护宗教神学的利益出发，亟力反对蕴含运动变化这一新潮思想的微积分．数学界、哲学界、宗教界的许多人围绕微积分的逻辑基础问题展开了激烈的争论，被数学史界称为第二次数学危机．（2）微积分的理论基础是什么？微积分在长达两个世纪的自身理论完善过程中，法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯先后建立了极限理论，从而摒弃牛顿、莱布尼茨的含混不清的“无穷小”概念，而代之以“以零为极限的变量为无穷小量”的明确定义，从而解决了微积分的逻辑基础问题，也就消除了第二次数学危机．可见极限是微积分的理论基础．（3）极限的理论基础是什么？极限是微积分的理论基础，然而极限作为运算不总是通行无阻的，例如在有理数范围内就可能行不通．譬如，由的不足近似值构成的有理数序列1， 1．4， 1．41， 1．414， 1．4142，…若在有理数范围内来考察，就不存在极限．但在实数范围内来考察，它的极限就是．可见实数是极限的理论基础，进而可知实数是微积分的基础．（4）实数的理论基础是什么？在19世纪，数学家们认识到实数的可靠性来源于自然数.于是自然数便成了实数的基础，进而自然数成了微积分的基础．（5）自然数的基础是什么？数学家们对数学基础的研究并未到自然数为止．19世纪末，又认识到自然数可由德国数学家康托儿提出的集合来定义，于是微积分的可靠性就取决于集合论的可靠性．因而集合又成了微积分的基础．而微积分又是现代数学的基础知识，于是几乎全部数学都可以建立在集合基础之上．可见集合是整个数学大厦的基石．（6）数学发展的动力是什么？通过前面的介绍，我们体会到，对微积分基础的研究大大推动了微积分的完善和发展，体现了数学发展动力的一个方面，即由数学自身矛盾运动产生的内部力量．还应认识到数学发展动力的另一个方面，即由人类社会实践所产生的外部力量．17世纪资本主义生产力的发展正是推动微积分产生和发展的外部力量．（7）检验数学可靠性的标准是什么？关于数学的可靠性问题，我们固然应该根据数学科学的特点追求数学的逻辑可靠性，但最终还要符合实践可靠性，即数学的可靠性尚需接受社会实践的检验.小结微积分的理论基础如下图所示.集合自然数实数极限微积分作业思考题微积分的基础是什么？§2 实数系的建立及邻域概念提出问题实数既然是极限的基础，那么，实数具有什么性质呢？在实数范围内又是如何实现极限的呢？学习过程由微积分的基础可知，微积分所涉及的数仅限于实数，本节将简述实数的演变及刻画极限的邻域概念.2.1 实数系的演变及性质（略，有兴趣的学生可参阅教材）（1）为什么要先介绍邻域概念？微积分的理论基础是极限，而极限的理论基础是实数.要在实数范围内用极限解决微积本身的问题，就要借助于邻域概念.（2）如何从几何直观抽象出邻域概念？观察图1.1，在点x0附近的数轴上，有一个开区间（x0－δx0+δ）（δ＞0），其内凝聚着无穷多个连绵不断的点，当δ变小时，开区间（x0－δx0+δ）便会变小，其内仍然凝聚着无穷多个连绵不断的点，由点与实数的一一对应，以及实数的连续性可知，当δ越来越小时，开区间也会越来越小，但其内仍有无穷多个连绵不断的点，这就表明落在（x0－δx0+δ）内的变数x便会与x0越来越接近.显然这样的开区间便可作为刻划变量x无限接近于常数x0的一种工具，这一工具便称为x0的δ领域.由此可抽象出领域概念.定义与点x0距离小于δ（＞0）的全体实数的集合称为点x0的δ领域，记作U（x0，δ），x0称为邻域的中心，δ称为邻域的半径（图1.1）.显然点x0的δ领域可用集合记号表示为｛x｜｜x-x｜＜δ﹜，或用区间表示为（x0－δ，x0+δ）.如果点x0的δ邻域U（x0，δ）不包括点x0，则称为点x的去心邻域（图1.2）,记作U°（x0，δ），也可用集合记号表示为｛x｜0＜｜x- x｜＜δ.例用邻域符号和区间符号表示不等式（ε＞0）所确定的x的范围，并描绘在数轴上.解由得，即.所以它表示以点为中心、以为半径的邻域，用邻域符号表示为U（）.由得，所以用区间符号表示为（，）.数轴表示略.小结实数最重要的性质是连续性，正是由于这一性质，极限才得以通行无阻，而邻域是极限在实数范围内得以实行的工具。
文科高等数学(2.微积分的直接基础-极限)
第二章 微积分的直接基础——极限§2.1 从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列的极限 一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A 1；再作内接正八边形, 它的面积记为A 2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A 3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正8×2n -1边形的面积记为A n . 这样就得到一系列内接正多边形的面积: A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅设想n 无限增大（记为n →∞, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时A n 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅当n →∞时的极限.数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数x n , 则得到一列有次序的数x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅这一列有次序的数就叫做数列, 记为{x n }, 其中第n 项x n 叫做数列的一般项. 数列的例子: {1+n n }: 21, 32, 43, ⋅ ⋅ ⋅ ,1+n n⋅ ⋅ ⋅; {2n}: 2, 4, 8, ⋅ ⋅ ⋅ , 2n, ⋅ ⋅ ⋅; {n 21}: 21, 41, 81, ⋅ ⋅ ⋅ , n 21, ⋅ ⋅ ⋅ ; {(-1)n +1}: 1, -1, 1, ⋅ ⋅ ⋅ , (-1)n +1, ⋅ ⋅ ⋅ ; {nn n 1)1(--+}: 2,21, 34, ⋅ ⋅ ⋅ , n n n 1)1(--+, ⋅ ⋅ ⋅ .它们的一般项依次为1+n n , 2n , n 21, (-1)n +1, n n n 1)1(--+.数列的几何意义:数列{x n }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅.数列与函数:数列{x n }可以看作自变量为正整数n 的函数: x n =f (n ),它的定义域是全体正整数. 数列的极限:数列的极限的通俗定义:对于数列{x n }, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项x n 无限地接近于某一确定的数值a , 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或称数列{x n }收敛a . 记为a x n n =∞→lim . 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.例如11l i m =+∞→n n n ,021lim =∞→nn , 1)1(lim 1=-+-∞→nn n n ; 而{2n }, { (-1)n +1}, 是发散的.对无限接近的刻划:x n 无限接近于a 等价于|x n -a |无限接近于0,极限的精确定义:定义 如果数列{x n }与常a 有下列关系:对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切x n , 不等式|x n -a |<ε都成立, 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞→lim 或x n →a (n →∞).如果数列没有极限, 就说数列是发散的.a x n n =∞→l i m ⇔∀ε >0, ∃N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -a |<ε .数列极限的几何解释: 例题: 例1. 证明1)1(lim 1=-+-∞→nn n n .分析: |x n -1|=nn n n 1|1)1(|1=--+-. 对于∀ε >0, 要使|x n -1|<ε , 只要ε<n1, 即ε1>n .证明: 因为∀ε >0, ∃]1[ε=N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -1|=ε<=--+-nn n n 1|1)1(|1, 所以1)1(lim1=-+-∞→nn n n .例2. 证明0)1()1(lim 2=+-∞→n nn .分析: |x n -0||0)1()1(|2-+-=n n 11)1(12+<+=n n .对于∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<+11n , 即11->εn .证明: 因为∀ε >0, ∃]11[-=εN ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -0|=ε<+<+=-+-11)1(1|0)1()1(|22n n n n ,所以0)1()1(lim2=+-∞→n nn .例3. 设|q |<1, 证明等比数列 1, q , q 2, ⋅ ⋅ ⋅ , q n -1, ⋅ ⋅ ⋅的极限是0.分析: 对于任意给定的ε >0, 要使 |x n -0|=| q n -1-0|=|q | n -1<ε ,只要n >log |q |ε +1就可以了, 故可取N =[log |q |ε +1]。
大学数学极限
o
1
x
对数函数 y log a x (a 0, a 1)
y ln x
y log a x
(1,0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(a 1)
y log a x
(0 a 1)
x 0
lim ln x
例如：
求 lim f ( x), lim f ( x)
x 0
x , 1 x 0 y f ( x) sin x, 0 x 2 2 x 1, 2 x
n n
n
二、函数 y=f(x)的极限： 设函数 y=f(x) 在点 x0 的邻域内 ( 点 x0 可以除外 ) 有定义， 如果当自变量x无限趋近于x0(但x≠x0)时，函数f(x)无限 趋近于某个固定常数 A, 则称当 x 趋于 x0 时，函数以 A 为 极限。
记作
x x0
lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x x0 )
x x0
lim f ( x) lim f ( x) A
x 1, x 0 f ( x) 0 , x 0 x 1 , x 0 讨论 x 0 时 f ( x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 因为
例6. 设函数
f (0 0) lim f ( x)
lim sin x
不存在
二、自变量趋于有限值时函数的极限
x x0 x0
为有限值
f(x) →变化趋势?
例7 讨论当 x 2 时，函数
的变化趋势
x
… 1.999999
1.999999999
2
2.000000001
2.0000.1
1-1 (2)大学文科数学
x x0
x0
不等式表示法： 0 x x0
区间表示法：
几何表示法：
( x0 , x0 )
x0 x0
。 去心邻域： )的几何表示： x0，U（x0， ） U x0， ）中不包括 （ 邻域U ( x0 , 2
x0
x0
(
)
负分数
法封闭，对 减法不封闭
( )复数
( c )无理数 正无理数
无限不循环小数
具有连续性
负无理数
虚数
微积分研究的是连续变化的事物在数 量方面的关系，今后所指的数是实数.
二.邻域
邻域的定义：
与点x0的距离小于δ (＞0)的全体实数的 集合称作点x0的邻域,记作U(x0,δ ),称x0为 邻域的中心,δ 为邻域的半径. 邻域的表示方法： 集合表示法： x
邻域U x0， ） （
x0
x0
比如：U 1，） （ 3， （ 2 1）
3 1
1
U。 1， ( 3,-1)(-1 , 1) ( 2)
3 1
1
例1 用邻域符号和区间符号分别表示不等式 2x 1 ( 0) 所确定的 x 的范围.
2
解
1 1 2 x 1 2[ x ( )] x ( ) 2 2 2 2 2 4 4
已知不等式 2 x 1 ( 0) 2 1
这是以
1 用邻域符号表示是 U ( , ) 2 4
为中心，以
为半径的邻域
1 1 用区间表示是 ( , ) 2 4 4 2 4
高等数学(函数与极限)完全归纳笔记
目录：函数与极限 (1)1、集合的概念 (1)2、常量与变量 (2)2、函数 (3)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (4)5、复合函数 (5)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
大学文科数学2 第二章 第三节 极限应用的一个例子——连续函数
1
x
y
x ， 0< x<1 ， 1 f ( x) = x −1 ， 1≤ x ≤ 2 ，
o
y = f (x)
1
2
x
f ( x )的 定 义 域 （0， ， 不 是 闭 区 间 ， f ( x ) 2] 在 该 区 间 不 连 续 ， x = 1是 不 连 续 点 ， 但 f ( x ) 既 有 最 大 值 f (2) = 1， 也 有 最 小 值 f (1) = 0.
第三节 极限应用的一个例子——连续函数
主要内容： 一、连续函数的概念 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质
一、连续函数
连续函数是微积分研究的主要对象. 连续函数是微积分研究的主要对象. 的定义域是X,当 增量的定义 设函数 y = f (x)的定义域是X,当 变化到新的点x 自变量从定点 x0 变化到新的点x 时,它们的差 称为自变量的增量(或叫做改变量).记做 称为自变量的增量(或叫做改变量).记做
∆x = x − x0 ,自 x = x0 + ∆x. 然
应 函 值 f 对 的 数 由 ( x0 ) ∆y = f ( x0 +∆x) − f ( x0 ) 作 数 增 ， 称 函 的 量 ∆ 即 y = f ( x) − f ( x0 ).
化 f 变 到 ( x0 + ∆x)， 差 其
y
y = f (x)
1 1 1 . 又lim = = x→x0 x + 2 lim( x + 2) x0 + 2
x→x0
1 1 , Qlim = f ( x0 ) = x→x0 x + 2 x0 + 2
函 在 ∴该 数 x0点 续 由 0任 性 知 连 ， x 意 可 在 1 f ( x) = 定 域 ,f ( x)是 续 . 义 内 连 的 x+2
高等数学——极限的四则运算法则
极限的四则运算法则§1.3介绍了极限的概念，并用观察法求出了一些简单函数的极限。
但对于较复杂的函数的极限就很难用观察法求得，因此，还需研究极限的运算。
本节主要是建立极限的四则运算法则，并利用该法则求一些常见类型极限。
1.5.1极限的四则运算法则定理1.5.1 设A x f x =→)(lim ?，B x g x =→)(lim ?，则（1）B A x g x f x g x f x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim )]()([lim ???（2）B A x g x f x g x f x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim ???（3）BA x g x f x g x f x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim ???（0≠B ）证明略。
注：（1）定理中，记号“?lim →x ”表示该定理对于自变量各种变化趋势的极限均成立。
（2）法则（2）中，若C x g =)(（C 为常数），则有)(lim )(lim ??x f C x Cf x x →→=（3）法则（1）、（2）均可推广到有限个函数的情形：设函数)()()(21x f x f x f n ，，， 当?→x 时的极限均存在，则有 )(lim )(lim )(lim )]()()([lim ?2?1?21?x f x f x f x f x f x f n x x x n x →→→→±±±=±±±)(lim )(lim )(lim )]()()([lim ?2?1?21?x f x f x f x f x f x f n x x x n x →→→→⋅⋅⋅=⋅⋅⋅特殊地，当)()()()(21x f x f x f x f n ==== 时，个个n x x x n x x f x f x f x f x f x f )(lim )(lim )(lim ])()()([lim ????→→→→⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 即n x n x x f x f )](lim [)]([lim ??→→=另注：（1）该定理给求极限带来了极大方便，但应注意，运用该定理的前提是被运算的各个变量的极限必须存在，并且，在除法运算中，还要求分母的极限不为零。
文科数学数列极限三种教学方法对比实证研究
①基金项目：六盘水师范学院教学改革项目“数学学科中高等师范教育与基础教育的协同创新研究”（LPSSYjg201903）；“应用型本科高校教师教学能力提升策略研究———以六盘水师范学院为例”（LPSSYjg201920）；“应用型本科院校创新人才培养模式的探索与实践———以数学与应用数学为例”（LPSSYjg201808）；“离散数学”（LPSSYjpkc201903）。
作者简介：杨应明（1979—），男，本科，副教授，研究方向：数学教育。
张文林（1988—），男，硕士，副教授，研究方向：微分方程。
［摘要］以一个知识点入手，通过分析文科学生在数学数列极限这个知识点的课前准备、课中课堂表现、课后学习效果，对三种教学方法进行对比研究，得出混合式教学法优于传统教学模式教学法，传统教学模式教学方法优于翻转课堂教学方法。
［关键词］文科数学；数列极限；教学方法；对比实证［中图分类号］G642［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2020）27-0042-02文科数学数列极限三种教学方法对比实证研究①杨应明，张文林（六盘水师范学院，贵州六盘水553004）一、背景文科数学在我国越来越被重视，但是文科高等数学的教学效果不是那么理想，原因是文科生这个特殊的群体没有被足够重视。
我国大学文科类专业开设得到教育界的共识，是当代大学生自身发展和社会发展的必然需求。
高等数学以变量为研究对象，研究的基本方法为极限。
[1]极限概念抽象且难理解，对文科生而言，在对数列极限的教学中只用单一的教学方法，学生很难内化知识。
目前，对大学文科教学方法研究都是宏观上的研究，例如，何穗教师对文科数学教学方法研究表明现今对大学文科教学方法不足[2]，直接导致教学效果不明显，学生学习兴趣不高。
而对于数列极限知识点的研究就更少了，其中最有代表性的是王书臣团队认为学习数列极限分成三个阶段，即观察、归纳、抽象概括。
[3]刚刚上大学的学生，学习方法和思维方式还停留在基础教育阶段，思考问题处于静态，没有“变化”的概念，习惯用“静态”的思维方式分析问题，这种模式在大学数学中需要转变[4]。
极限计算方法总结
极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。
求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。
下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim≠=∞→a b a an bn 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；⎩⎨⎧≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q nn ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B BAx g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限 （1）1sin lim0=→xxx（2）e x xx =+→1)1(lim ； e x xx =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
例如：133sin lim 0=→xx x ，e x xx =--→210)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
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Q
an
1 (1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 n
1, 100
只n 要 10 时 ,0有
an
1
1, 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0,0有
an
1
1, 1000
大家好
给定 1 , 10000
只要 n100时 0, 有 0an
1
1, 10000
给 定 0,只 要 nN(1)时 ,就 有an1成 立 .
第二章 微积分的直接基础——极限
大家好
1
第一节 数列极限
主要内容： 数列及数列极限的概念
大家好
2
早在两千多年前，人们从生活、生产实际中产生了朴 素的极限思想，公元前3世纪，我国的庄子就有“一尺 之棰，日取其半，万世不竭”的名言.17世纪上半叶法国 数学家笛卡儿（Descartes）创建解析几何之后，变量就 进入了数学.随之牛顿（Newton、英国）和莱布尼茨 （Leibniz、德国）集众多数学家之大成，各自独立地发 明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑.微积分诞 生不久，便在许多学科中得到广泛应用，大大推动那个 时代科学技术的发展和社会进步. 经过长达两个世纪的 自身理论不断完善的过程，才建立了极限理论.可见“极 限”是微积分的基础.
下面我们直观地看一下 极限的定义
大家好
lim
n
an
a
a1
a2
a3
a5 a a4
n 越 大 ， a n a 越 小 a n a
不 等 式 a n a 刻 画 了 a n 与 a 的 无 限 接 近 .
在数学中一定要力避几何直观可能带来的错
误，因此作为微积分逻辑演绎基础的极限概念，
必须将凭借直观产生的定性描述转化为用形式
大家好
阿基里斯追龟 一位古希腊学者芝诺（Zenon，约
公元前496 — 约前429）曾提出一个著 名的“追龟”诡辩题。大家知道，乌龟 素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希 腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙.芝 诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追 不上乌龟！
大家好
假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处.为了赶上乌龟 ，阿基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时， 乌龟已前进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到 B2点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地 方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是 永远追不上乌龟的！
若该数列不以任何常数为极限，则称 这个数列发散.
这个定义是在运动观点的基础上凭借几 何图像,直觉用自然语大家好言作出的定性描述.
a 2n
–1
0
a 2n1
x
1
(1 ){( 1 )n 1}的 极 限 不 存 在 ; 因为当n∞ 时，{(1)n1}
1 lim 0 2 n n
反复地取 1和－1， 没有明显 的变化趋势, 是发散的.
n
注： lnim an
该数列有一定的发展趋势——趋向于无穷 大，并不收敛，所以{ 2n }无极限.为叙述 方便，可以说{ 2n }的极限是+∞.
大家好
结束
大家好
28
化的数学语言表达的，超现实原型的理想化的
定量描述.
大家好
观 察{1数 (1列 )n1}当 n 时 的 变 . n
当 n 无限增大时, x n 是否无限接近于某一确
定的数值?如果是,如何确定?
•
大家好
当 n 无 限 增 大 时 ,a n 1 ( 1 n )n 1无 限 接 近 于 1 .
“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画 它.
具有很小正数的固定性； 具有随意小的任意性.
2 ） 是 首 先 给 定 的 ， N 是 由 确 定 的 ， 常 记 作 N N ().
大家好
例 1证 明limn(1)n11.
n
n
证明
an 1
n(1)n1
1
1
n
n
任 给 0,要 an1,
只要 1 ,
n或n 1,取N 1,则n 当 N时 ,就有n(1)n1 1 , 即lim n(1)n11.
一尺之棰，日取 其半，万世不竭. 初始长度为：1
大家好
截丈问题： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭.
第一天剩的长度为： 1 2
大家好
截丈问题： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭.
第二天剩的长度为：
1 22
大家好
截丈问题： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭.
第三天剩的长度为：
1 23
大家好
截丈问题： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭.
第四天剩的长度为：
1 24
大家好
一尺之棰，日取 其半，万世不竭.
这样可以看出第n
天剩的长度为：1 2n
于是得到了数列:
111 1
, 2
4
,
,L 8
,
2n
L
当n 越来越大时,棰越来越短,逐渐趋于0.
再看一下整个过程. 大家好
举例:
① 1 , 1 ,1 , 1 ,L ,( 1 )n 1 ,L
这个数列的通项是:
1 (2){2n
}的极限是0;
1
因为当n∞ 近于常数 0 .
时，{
2
n
}趋
… an … a3
a2
••••• •••••
01
1
1
2n
8
4
a1
1
x
大家好
2
③ 2, 4, 6, …, 2n, … 这个数列的通项是: an 2n
④ 1, 1, …,1,…, 1,… 这个数列的通项是:
an 1
注： ④中各项均为相同的数（常数) 1,我们 把这样的数列称作常数列.因为不论 n 取 何值，每项都是1，因此该数列的极限是 1.
A
B
B
B1
大家好
B1 B2
让我们再看一看乌龟所走过的路程:设阿基里斯的速 度是乌龟的十倍，龟在前面10米.当阿基里斯跑了10米 时，龟已前进了1米；当阿基里斯再追1米时，龟又前 进了0.1米，阿再追0.1米，龟又进了0.01米…..把阿基里 斯追赶乌龟的距离列出，便得到一列数：
10，1，0.1，0.01，…，102－n，… 这称为数列，an ＝102－n 为通项，数列常简记为 ｛ an ｝. 所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为
一列数：
10，1，0.1，0.01，…，102－n，… 称为数列. 102－n为通项. 以 下 均 为 数 列 :
111 1
, , ,L 248
, 2 n ,L
.
1,1, 1,L ,( 1)n ,L .
2 大家好 , 4 , 6 , L , 2 n , L .
一、数列的极限（问题的引入）：
在《庄子·天下篇》 中有“截丈问题”的 精彩论述：
大家好
数列有以下几种变化趋势:
有一定的
变化趋势
数列的变化 趋势
无 限 接 近 常 数 a 收 敛
无限增大 无限减少
定向发散
无 一 定 的 变 化 趋 势 不定向发散
1 2
,
1 4
,2 L,4 ,1 ,216 ,n ,8 1 ,L,,1 L , ,1 2 ,L n ,L ,( 1 )n 1 ,L
大家好
S1011 1 L a1 10 100(米）.
10 100
1q 1 1 9
10
所以，阿基里斯只要坚持跑到11.2米的路程就可以
追上乌龟！
大家好
然而芝诺将这样一个直观上都不会产生怀
疑的问题与无限纠缠在一起，以至于在相当
长时间内不得不把“无限”排除在数学之外.
直到19世纪，当反应变量无限变化极限理论 建立之后，才可用极限理论回答芝诺的挑战.
x 2n
•
–1
0
x 2n1
•
1
an (1)n1 x
②
11
1
, ,L 24
, 2n
,L
… xn … x3
x2
••••• •••••
01
1
1
这个数列的通项是:
x1
1 an 2n
1
x
2n
8
4
大家好
2
数列极限的定义(定性描述):
如果当n无限增大时，数列{an}的通项 无限趋近于常数a，则称数列以a为极限， 记作lni m ana，或ana(n). 也称该数列收敛.
n
n
n
大家好
( 3 ) { 2 n } 的 极 限 不 存 在 ( 趋 于 ) ;
因为n∞ 时，{2n} 逐渐变得无穷大，并不 趋近于 某个常数.但由于{2n} 的变化趋势是逐 渐增大的， 所以又可认为该数列趋于无穷大. 即 l i m 2 n ， 或 表 示 成 2 n ( n ) .
定义 如果对于任意给定的正数ε(不论它多么
小)，总存在着相应正整数N，使得满足n>N的
一切n，不 等 式 a n a 恒 成 立 ， 则 称 数 列 { a n }
以a为极限，或 者 称 数 列 a n 收 敛 于 a ， 记 为 l n i m a n a ,或 a n a(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
大家好
由 不 等 式 ana联 想 到 U(a,)，
如 图 ：
a 1 a 2 a N 1 a
aN a3 x
当 nN 时 ,所 有 的 点 a n 都 落 在 (a ,a )
内 ,只 有 有 限 个 (至 多 只 有 N 个 )落 在 其 外 .
大家好
注： 1）定义中的常数具有二重性：