控制理论大作业

一级倒立摆研究

（160232 蒋琴）

1. 背景介绍

倒立摆装置被公认为自动理论中的典型实验设备， 也是控制理论教学和科研中不可多得 的典型物理模型。通过倒立摆的研究，可以将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、 数学 和电学有机结合起来，在倒立摆中进行综合应用。

在稳定控制问题上， 倒立摆既具有普遍性又具有典型性。 其结构简单， 价格低廉， 便于 模拟和数字实现多种不同的控制方法，倒立摆的控制方法有很多种，如 PID 、自适应、状态 反馈、智能控制、模糊控制及神经元网络等多种理论和方法。

用现代控制理论中的状态反馈方法来实现倒立摆系统的控制，就是设法调整闭环系统 的极点分布，以构成闭环稳定的倒立摆系统，实际上，用线性化模型进行极点配置求得的 状态反馈阵，不一定能使倒立摆稳定竖起来，能使倒立摆竖立起来的状态反馈阵是实际调 试出来的，这个调试出来的状态反馈阵肯定满足极点配置。

2. 倒立摆简介

倒立摆可以分为直线倒立摆、平面倒立摆和环形倒立摆等。

3. 模型构建

3.1 倒立摆系统运动示意图

M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数

2-3 环形倒立摆

3-1 倒立摆系统运动示意

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度

I 摆杆惯量

F 加在小车上的力

x 小车位置

Φ摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正）

θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）3.2受力分析

3-2 倒立摆受力分析图

3.3模型构建

1）理论分析

应用 Newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下。分析小车水平方

向所受的合力，可以得到以下方程：

Mx'' F bx' N

由摆杆水平方向所受的合力，可以得到如下方程：

d

2

2 N m

d

2（

x lsin ）mx'' mlcos '' mlsin （ '）2

dt

2

合并得：

(M m)x'' bx' ml[ '' cos ( ')2 sin ] F

摆杆垂直方向：

P mg m d2(l cos ) ml[ '' sin ( ')2 cos ] dt2

I '' Pl sin Nl cos

合并得到力矩平衡方程：

Pl sin Nl cos I '' （3）

当夹角很小时（小于 1rad ） ,可以做如下近似处理：

cos cos 1 ，sin sin ，'' 0

用 u 代替 F，可得：

(M m)x'' bx' ml '' u

(I ml2 ) '' mgl

(4)

mlx''

设状态空间表达式为：

1）

X' AX Bu y CX Du

在（ 4）式中对 x''和 ' '进行线性求解，可得：

x' x'

(I ml 2)b m 2gl 2 I ml 2

x'' x' u pp '' '' mlb x' mgl(M m) ml u

其中： p I(M m) Mml 2 )

2）实际问题

实际系统参数如下：

M 小车质量 1.096kg

m 摆杆质量 0.109kg

b 小车摩擦系数 0.1N/m/s

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m

I 摆杆惯量 0.0034 kg m 2

T 采样时间 0.005s 所以，状态空间表达式为： x' 0 1 0 0x

0 x'' 0 0.0883 0.6300 0 x' 0.8832

' 0 0 0 1

u

0 '' 0 0.2357 27.8570 0 ' 2.3566 整理后，得到状态空间表达式

为： 0

x' x'' '

'' y 10 0 其中： 1 (I ml 2)b p 0 mlb p 00 1 0 22 m 2gl 2 p 0 mgl(M m) p x 0

x' 0 ' 00u

p I(M m) Mml 2

ml 2

p

ml

p

6）

5）

x

1 0 0

001 3.4 系统的能观性和能控性 能观性矩阵：

M [B AB A 2B A 3

B]

0 0.8832 0.0780 1.4915

0.8832 0.0780 1.4915 0.2629

0 2.3566 0.2082 65.6662

2.3566 0.2082 65.6662 6.1506 rank (M ) 4

能控性矩阵：

N C CA CA 2 CA 3 T

1.0000 0 0

0 0 0 1.0000

0 0 1.0000 0

0 0 0 1.0000

0 - 0.0883 0.6300 0

0 - 0.2357 27.8570 0

0 0.0078 0.0556 0.6300

0 0.0208 0.1485 27.8570 rank ( N ) 4

所以，系统是能控能观的，本身即为最小系统。

3.5 Simulink 仿真

00u

4. 倒立摆实验

4.1 倒立摆硬件系统结构 直线倒立摆本体结构如下图所示， 主要部件有： 交流伺服电机， 同步带， 增量式光电编码 器，小车，摆杆，滑杆，限位开关等。

4-1 直线倒立摆 4-2 倒立摆控制框图

4.2Matlab 程序

%求传递函数 gs(输出为摆杆角度 )和 gspo(输出为小车位置 ) q=(M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2; num=[m*l/q 0];

den=[1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q]; gs=tf(num,den);

numpo=[(I+m*l^2)/q 0 -m*g*l/q];

denpo=[1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0]; gspo=tf(numpo,denpo);

%求状态空间 sys(A,B,C,D) p=I*(M+m)+M*m*l^2;

A=[0 1 0 0;0 -(I+m*l^2)*b/p m^2*g*l^2/p 0;0 0 0 1;0 -m*b*l/p m*g*l*(M+m)/p 0]; B=[0;(I+m*l^2)/p;0;m*l/p]; C=[1 0 0 0;0 0 1 0];

3-4 小车位移输出图 3-5 摆杆角度输出图