(完整word版)三角形的证明-知识点汇总,推荐文档

合集下载

三角形的证明知识点

三角形的证明知识点三角形是几何学中的基本图形之一，在证明三角形的相关性质时，需要掌握一些重要的知识点。

下面将介绍三角形的一些基本性质和常用的证明方法。

一、三角形的定义和分类1. 三角形的定义：三角形是由三条线段所组成的图形，其中任意两条线段之和大于第三条线段。

2. 三角形的分类：根据三条边的长度关系，三角形可以分为三类：(1) 等边三角形：三条边长度相等的三角形。

(2) 等腰三角形：两条边长度相等的三角形。

(3) 普通三角形：三边长度各不相等的三角形。

二、三角形的性质和证明方法1. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度。

证明方法：可以利用平行线性质、相交线性质等进行证明。

2. 三角形的外角和定理：三角形的外角等于其两个不相邻内角的和。

证明方法：可以利用三角形的内角和定理进行证明。

3. 三角形的角平分线定理：三角形的内角的平分线相交于一个点，该点到各边的距离相等。

证明方法：可以利用相似三角形、角度相等等进行证明。

4. 三角形的中线定理：三角形的三条中线交于一个点，并且该点到三个顶点的距离等于该点到对边中点的距离的两倍。

证明方法：可以利用平行四边形的性质、向量等进行证明。

5. 三角形的高线定理：三角形的三条高线交于一个点，并且该点到三个顶点的距离相等。

证明方法：可以利用相似三角形、向量等进行证明。

6. 三角形的外心、内心、垂心和重心：三角形的外心、内心、垂心和重心四点共线，构成欧拉线。

证明方法：可以利用向量、性质推导等进行证明。

7. 三角形的相似性：具有相等内角的三角形称为相似三角形，相似三角形的对应边长成比例。

证明方法：可以利用对应角相等、对应边成比例等进行证明。

8. 三角形的全等性：具有相等边长和相等夹角的三角形称为全等三角形。

证明方法：可以利用SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA （角-边-角）等进行证明。

三、总结以上是关于三角形的一些重要的证明知识点。

学好这些知识点，能够帮助我们更好地理解和证明三角形的性质，为解决相关题目提供帮助。

(完整版)初中三角形知识点总结

图形的初步认识：三角形考点一、三角形1、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角平等边；等边平等角；大角对大边；大边对大角。

4、三角形的面积三角形的面积 = 1×底×高2考点二、全等三角形1、全等三角形的观点能够完整重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、三角形全等的判断三角形全等的判断定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“ SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“ SSS”）。

（4）角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“ AAS”）。

直角三角形全等的判断：关于特别的直角三角形，判断它们全等时，还有 HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“ HL”）3、全等变换只改变图形的地点，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包含一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行挪动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180°，这类变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转必定的角度到另一个地点，这类变换叫做旋转变换。

考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边平等角）推论 1：等腰三角形顶角均分线均分底边并且垂直于底边。

完整版)三角形知识点总结

完整版)三角形知识点总结三角形知识点总结三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，有三条边，三个内角和三个顶点。

组成三角形的线段称为三角形的边，相邻两边所组成的角称为三角形的内角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形用符号表示为△ABC，其中三个顶点用大写字母A、B、C表示，XXX可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示。

需要注意的是，三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接。

单独的△没有意义。

根据边和角的不同，三角形可以分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形，以及锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

三角形的主要线段包括中线、角平分线、高和中垂线。

三角形的中线是连结一个顶点和它对边中点的线段，三角形的三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（重心），中线把三角形分成两个面积相等的三角形。

角平分线是一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段，三角形的角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（内心），角平分线上的点到角的两边距离相等。

三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。

三角形的三条高所在直线交于一点（垂心）。

三角形的中垂线是过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段，三角形的三条中垂线交于一点（外心）。

总之，三角形的基础知识包括定义、表示和分类，而主要线段包括中线、角平分线、高和中垂线。

理解和掌握这些知识点对于学好三角形及其相关知识非常重要。

的概念和性质定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

性质：等边三角形的三个内角均为60度，也是等腰三角形。

5、三角形的不等式定理三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

注意：这个定理是判断一个三角形是否存在的基本条件，也是判断三条线段能否组成三角形的依据。

三角形的证明知识点

第一章三角形的证明1全等知识点定义：两个图形可以完全重合，或者说两个物体形状相同、大小相等，那么这两个图形全等。

性质：对应角相等、对应边相等。

判定（1）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等“边角边”简称“SAS”；（2）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等“角边角”简称“ASA”；（3）三组对应边分别相等的两个三角形全等“边边边”简称“SSS”；（4）有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等“角角边”简称“AAS”；（5）斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等“斜边、直角边”简称“HL”（直角三角形）；2等腰三角形知识点定义：至少有两边相等的三角形叫等腰三角形。

等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（“三线合一”）。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。

每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。

8.等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。

判定方法1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。

2.在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

3.在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。

三角形的证明知识点

三角形的证明知识点一、三角形的概念三角形是由三条线段首尾顺次相接组成的图形，通常用符号“△”表示。

在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

二、三角形的性质1、三角形的两边之和大于第三边。

2、三角形的内角和等于180°。

3、三角形的面积公式为：面积=底×高÷2。

4、三角形的稳定性：在几何学中，三角形是一种非常稳定的图形，因为它的三条边之间存在一个固定的角度。

这种稳定性在现实生活中也有很多应用，如桥梁、建筑和机械等。

三、三角形的证明1、定义法：根据三角形的定义，通过证明三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形。

2、平行线法：通过证明两条平行线之间的距离相等来证明它们之间的线段组成的图形是三角形。

3、反证法：通过假设反面命题成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。

4、角平分线法：通过证明两个角平分线的交点是三角形的一个顶点，然后证明这个交点到另外两个顶点的距离相等，从而证明这是一个等腰三角形。

5、中位线法：通过证明两条中位线的长度相等来证明三角形是等腰三角形。

6、勾股定理法：通过证明三角形的三条边满足勾股定理来证明这是一个直角三角形。

7、相似三角形法：通过证明两个三角形相似来证明它们对应边之间的比例相等，从而证明这是一个等腰三角形或等边三角形。

8、圆内接四边形法：通过证明一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，从而证明这是一个圆内接四边形，也就是一个等腰梯形。

三角形的证明知识点汇总一、三角形三条边的关系定理：三角形两边之和大于第三边推论：三角形两边之差小于第三边二、三角形内角和定理定理：三角形三个内角和等于180°推论1：直角三角形的两个锐角互余推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三、三角形中线的性质性质：三角形中线平分三角形三条边；三条中线能将三角形分成面积相等的六个部分；三条中线连成的三条线段都大于第三条边的一半。

三角形的证明-知识点汇总(可编辑修改word版)

（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一”
【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形
知识点4 等腰三角形的判定定理
内容
几何语言
条件与结论
等腰三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边
在△ABC 中，若∠B=∠C 则 AC=BC
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等
知识点3 等边三角形的性质定理
内容
性质定理
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度
解读
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质
（1）假设命题的结论不成立
（2）从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果
（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯
定原命题正确
解读
【要点提示】（1）对于一个数学命题，当用直接证法比较困难甚至不能证明时，往往采用间接证法，反证法就是其中一种，当一个命题涉及“一定”“至少”“至多”“无限”“唯一”等情况时，由于结论的反面简单明确，常常用反证法来证明
三角形的证明知识点汇总
知识点 1 全等三角形的判定及性质
判定定理简称
判定定理的内容
性质
SSS
三角形分别相等的两个三角形全等
全等三角形对应边相等、对应角相等
SAS
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
ASA
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
AAS

(完整版)三角形的性质及判定归纳

(完整版)三角形的性质及判定归纳1. 三角形的定义三角形是由三条线段连接而成的图形，其中每条线段称为三角形的边，相邻的两条边之间的交点称为三角形的顶点。

根据三角形的边的长度，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

2. 三角形的性质2.1. 三角形的内角和对于任意一个三角形，三个内角的和始终为180度。

根据角度的大小，可以将三角形分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。

2.2. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。

等边三角形的三个内角的度数都为60度。

由于边长相等，所以等边三角形的三条高度、三条中线和三条角平分线也相等。

2.3. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

等腰三角形的两个底角（非顶角）的度数相等。

等腰三角形的两条高度、两条中线和两条角平分线相等。

2.4. 直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。

直角三角形的边的长度满足勾股定理：a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为两条边的长度，c为斜边的长度。

2.5. 锐角三角形和钝角三角形除了等边三角形、等腰三角形和直角三角形之外，剩下的三角形都属于锐角三角形和钝角三角形。

锐角三角形指的是三个内角的度数都小于90度的三角形，钝角三角形指的是至少有一个内角大于90度的三角形。

3. 三角形的判定3.1. 等边三角形的判定当三个边的长度都相等时，该三角形为等边三角形。

3.2. 等腰三角形的判定当两个边的长度相等或两个底角（非顶角）的度数相等时，该三角形为等腰三角形。

3.3. 直角三角形的判定当三条边的长度满足勾股定理时，该三角形为直角三角形。

3.4. 锐角三角形和钝角三角形的判定当三个内角的度数都小于90度时，该三角形为锐角三角形；当至少有一个内角的度数大于90度时，该三角形为钝角三角形。

结论通过对三角形的性质及判定的归纳，我们可以更好地理解和解决三角形相关的问题，而且可以辅助我们进行三角形的分类和运用。

完整版)解三角形知识点归纳总结

完整版)解三角形知识点归纳总结第一章解三角形一、正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 sinA/a = sinB/b = sinC/c = 2R （其中R是三角形外接圆的半径）。

变形：1) sinA/sinB/sinC = (a/b/c)/(2R)，化边为角；2) a:b:c = = sinA/sinB，化角为边；3) a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC，化边为角；4) sinA = a/2R，sinB = b/2R，sinC = c/2R，化角为边。

利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a，求解：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c。

②已知两边和其中一个角的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A，求解：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再使用正弦定理求出c边。

4.在△ABC中，已知锐角A，边b，则①a<bsinA时，B无解；②a=bsinA或a≥b时，B有一个解；③bsinA<a<b时，B有两个解。

二、三角形面积1.SΔABC = absinC = bcsinA = acsinB；2.SΔABC = (a+b+c)r，其中r是三角形内切圆半径；3.SΔABC = p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)/2；4.SΔABC = abc/4R，R为外接圆半径；5.SΔABC = 2R²sinAsinBsinC，R为外接圆半径。

三、余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即 a² = b² + c² -2bccosA，b² = a² + c² - 2accosB。

第一章三角形的证明知识点

第一章三角形的证明知识点在几何学中，三角形是最基本的图形之一。

它由三条线段组成，它们形成了一个封闭的形状。

三角形的证明是几何学中一个重要的部分，它涉及到三角形的性质和关系的证明。

在本文中，我们将介绍一些与三角形的证明相关的主题和知识点。

1. 三角形的内角和三角形的内角和是指三角形的三个内角之和。

对于任意一个三角形，它的内角和恒等于180度。

这是一个基本的几何性质，可以通过多种方法证明。

例如，可以利用平行线和同位角的性质来证明，或者利用角的外角和的性质来证明。

2. 三角形的外角和三角形的外角是指三角形内角的补角。

三角形的外角和等于360度。

这个性质可以通过利用平行线和同位角的性质来证明，或者利用三角形的内角和等于180度的性质来证明。

3. 三角形的相等条件三角形的相等条件包括SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA（角-边-角）和AAS（角-角-边）四个条件。

这些条件是用来判断两个三角形是否相等的。

可以通过对两个三角形的边长和角度进行比较来判断它们是否相等。

4. 三角形的全等证明三角形的全等证明是一种重要的证明方式，用来证明两个三角形是全等的。

根据SSS、SAS、ASA和AAS四个条件，我们可以得出两个三角形全等的结论。

这些条件可以通过对两个三角形的边长和角度进行比较来判断。

5. 三角形的相似条件三角形的相似条件包括AAA（角-角-角）和AA（角-角）两个条件。

当两个三角形的对应角度相等时，我们可以得出它们相似的结论。

相似的三角形具有相似边长的性质，可以通过对对应边长的比较来判断。

6. 三角形的三边关系三角形的三边关系包括不等边三角形、等腰三角形和等边三角形。

不等边三角形的三条边都不相等，等腰三角形有两边相等，而等边三角形的三条边都相等。

这些三边关系可以通过对三角形的边长进行比较来判断。

7. 三角形的角平分线三角形的角平分线是指从三角形的一个角上作出等分该角的线段。

三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。

(完整word版)全等三角形经典模型总结(2),推荐文档

全等三角形相关模型总结一、角平分线模型(一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线ACA、例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB 的距离是cm.2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.B、模型巩固1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F .求证：1()2BE AC AB=-.例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：1()2AM AB AC=+.（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .A、例题1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ .2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.B、模型巩固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB－AC＞PB－PC .2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC .3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌△ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.试判断△EMC的形状，并证明你的结论.B、模型巩固1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，满足PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦图模型）A、例题已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF .求证：∠ADB＝∠CDF .变式1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF .求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD .（（7），（8）需构造等边三角形证明）例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC 的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M 即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．2、△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形结论：（1）BE ＝CD ；（2）BE ⊥CD .3、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形结论：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .变式1、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ，求证：（1）T 为FD 中点；（2）ABC ADF S S V V .变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，求证：AS⊥BC .4、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：360 12180n︒∠=∠=︒-五、半角模型条件：1,+=1802αββθβ=︒且，两边相等 . 思路：1、旋转辅助线：①延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN ，连AF②将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得△ABF ，注意：旋转需证F 、B 、M 三点共线结论：（1）MN ＝BM ＋DN ；（2）=2CMN C AB V ；（3）AM 、AN 分别平分∠BMN 、∠MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP ⊥MN 交MN 于点P②将△ADN 、△ABM 分别沿AN 、AM 翻折，但一定要证明M 、P 、N 三点共线 .A 、例题例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN ＝BM ＋DN ，求证：（1）∠MAN ＝45°；（2）=2CMN C AB V ；（3）AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM .变式：在正方形ABCD 中，已知∠MAN ＝45°，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动， AH ⊥MN ，垂足为H ，（1）试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系；（2）求证：AB ＝AH例2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且满足EF＝BE＋DF，求证：12EAF BAD ∠=∠.变式：在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，求证：EF＝BE＋DF .。

(完整版)最全解三角形知识点总结,推荐文档

解三角形知识点总结
一、正弦定理：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有
（为的外接圆半径）推论：等角对等边，等边对等角；
大角对大边，等边对等角.
二、余弦定理：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有
，变式：
三、三角形的解的数目、形状判断
在△ABC中，已知a、b、A（两边及其中一边所对的角）
A为锐角A为钝角或直角
a <
b sin A a = b sin A b sin A < a < b a≥b a >b A≤b
无解一解两解一解一解无解2. 判断形状：一看是否有解，二看最大的角，三看是否等腰、等边。

要注意：
（1）三角形中任意两边的边长之和大于第三边，任意两边的边长之差小于第三边；（2）注意角的取值范围及相应的三角函数的取值范围。

三、三角形的面积公式
1. 常用公式
（1）（、、分别表示、、上的高）；
（2）；
（3），为外接圆半径；
（4）；
（5），其中；
（6），是内切圆的半径.
四、综合问题
1. 与三角恒等变换综合
一般思路：将题目条件变形成两个三角函数相等的形式。

常用的技巧有：
①三角函数的诱导公式、和（差）角公式、倍角公式及图像。

②换边为角：题目条件结合正弦定理或余弦定理消去含有边的项。

③减元变换：题目条件中同时出现A、B、C或a、b、c，通过减元变换进行简化。

常用的减元变换关系：
；；
；；；
；；.
特别强调：注意角（及其相应三角函数）的取值范围！
2. 与向量综合——掌握向量的运算、向代数形式的转化、注意数形结合。

三角形的证明-知识点汇总

三角形的证明-知识点汇总三角形是几何学中基础且重要的图形之一。

在证明三角形问题时，我们需要运用一系列几何知识和定理。

本文旨在汇总三角形的证明中常用的知识点，并以清晰、美观的排版方式进行说明。

I. 性质和定义三角形是由三条边和三个角组成的闭合平面图形。

它具有以下一些性质和定义：1. 三角形的内角和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180度。

2. 三角形的外角等于其对应内角的和，即∠A' = ∠B + ∠C、∠B' = ∠A + ∠C、∠C' = ∠A + ∠B。

3. 三边中任意两边之和大于第三边，即a + b > c、a + c > b、b + c > a。

II. 三角形分类根据三条边的长短和角的大小，三角形可以分为不同的类型，常见的包括：1. 等边三角形：三条边长度相等，三个内角均为60度。

2. 等腰三角形：两条边长度相等，两个内角相等。

3. 直角三角形：一个内角为90度的三角形，满足勾股定理，即a^2 + b^2 = c^2。

4. 钝角三角形：一个内角大于90度的三角形。

5. 锐角三角形：三个内角均小于90度的三角形。

6. 斜三角形：三条边中至少有一条边长度为非零实数，既不是等边三角形也不是等腰三角形。

III. 三角形的证明常用定理在证明三角形问题时，我们经常会用到以下一些几何定理：1. 直角三角形的性质：a) 两直角三角形全等，若它们的两条直角边分别相等。

b) 两个直角三角形相似，若它们的内角相等。

2. 等腰三角形的性质：a) 等腰三角形的底边上的高线、中线、角平分线相等。

b) 等腰三角形的底边上的高线、中线互相垂直。

c) 等腰三角形的底边上的高线、中线上的高线、中线、角平分线依次相等。

3. 同位角定理：若两条平行线被一条截线切割，则同位角相等。

4. 弧长定理：一个弧所对的圆心角与该弧所占的圆周角等长。

IV. 三角形的证明示例下面通过一些实际证明的示例，展示如何运用这些知识点和定理证明三角形问题：1. 证明三角形ABC为直角三角形：给定直角三角形ABC，若满足AB^2 + BC^2 = AC^2，则可以证明ABC为直角三角形。

(word完整版)相似三角形证明技巧(整理)

1相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1）三角形相似的条件：① ；② ；③ 。

二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形,从而使问题得以解决。

三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理2a ）已知一对b)己知两边对应成c)己知一个2找顶角对应相等判定定理1找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e ）相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”;若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

有些学生在寻找条件遇到困难时,往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞,乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

例1、已知：如图，ΔABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？说明理由。

三角形的证明知识点超详细

三角形的证明知识点超详细一、全等三角形的证明。

1. 全等三角形的性质。

- 全等三角形的对应边相等。

例如，若ABC≅ DEF，则AB = DE，BC=EF，AC = DF。

- 全等三角形的对应角相等。

即∠ A=∠ D，∠ B=∠ E，∠ C=∠ F。

2. 全等三角形的判定方法。

- SSS（边边边）- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。

- 示例：在ABC和DEF中，若AB = DE，BC = EF，AC=DF，则ABC≅DEF。

- SAS（边角边）- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

- 示例：在ABC和DEF中，若AB = DE，∠ B=∠ E，BC = EF，则ABC≅DEF。

- ASA（角边角）- 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

- 示例：在ABC和DEF中，若∠ A=∠ D，AB = DE，∠ B=∠ E，则ABC≅ DEF。

- AAS（角角边）- 内容：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

- 示例：在ABC和DEF中，若∠ A=∠ D，∠ B=∠ E，BC = EF，则ABC≅ DEF。

- HL（斜边、直角边）（适用于直角三角形）- 内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

- 示例：在Rt ABC和Rt DEF中，若AB = DE（斜边），AC = DF（直角边），则Rt ABC≅ Rt DEF。

二、等腰三角形的证明与性质。

1. 等腰三角形的性质。

- 等腰三角形的两腰相等。

例如，在ABC中，若AB = AC，则ABC是等腰三角形。

- 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）。

即若AB = AC，则∠ B=∠ C。

- 等腰三角形三线合一：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合。

例如，在等腰ABC（AB = AC）中，AD是底边BC上的高，则AD也是BC边上的中线和∠ BAC的平分线。

2. 等腰三角形的判定。

- 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。

(完整版)三角形的证明知识点归纳,推荐文档

三角形的证明1、等腰三角形（1）定义：有两条的三角形是等腰三角形。

（2）性质：①等腰三角形的相等。

（“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。

（3）判定：①定义②“”2、等边三角形（1）定义：的三角形是等边三角形。

（2）性质：①三角都等于②具有等腰三角形的一切性质。

（3）判定：①定义②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是等边三角形。

3、直角三角形(1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

(2)勾股定理及其逆定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（3）“斜边、直角边”或“HL”直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等定理的作用：判定两个直角三角形全等全等三角形的判断及性质：1）三边分别相等的两个三角形全等（SSS）2）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）3）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）4）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）5）全等三角形的对应边相等，对应角相等证明得到与等腰三角形、等边三角形、直角三角形有关的结论1）等腰三角形的两底角相等2）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合3）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°4）有两角相等的三角形是等腰三角形5）三个角都相等的三角形是等边三角形6）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形7）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半证明的一般步骤：根据题意画出图形；根据条件、结论，结合图形写出已知、求证；经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出推理过程，对假命题的判断，只要举出反例来证明即可。

证明两个三角形全等时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已经具备了哪些条件，一般可按下面的思路进行：已知两边：找夹角→SAS找第三边→SSS已知一边一角：边为角的对边→找任意一角→AAS边为邻边：找夹角的另一边→SAS找夹角的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角：找夹边→ASA 找另一个角的邻边→AAS例1：如图：点A、D、B、E在同一直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）例2：如图，已知∠1＝∠2，则不一定．．．能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．BD＝CDC．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA例3：等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A ． 20°B ． 50°C ． 60°D ． 80°例4：已知:如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE.求证:BC ＝DE.(SAS)例5; 已知：如图，B 、C 、E 三点在同一条直线上，AC ∥DE ，AC ＝CE ，∠ACD ＝∠B求证：△ABC ≌△CDE练习：一、选择题1．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A ．7㎝B ．9㎝C ．12㎝或者9㎝D ．12㎝2．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°3．已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，则△ABC 的面积是（）A.24cm 2B.30cm 2C.40cm 2D.48cm 2二、填空题1.如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是度.2.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A ＝30° ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝ABD C E2cm，则AC= .三、解答题：1.如图，DC⊥CA，EA⊥CA， CD=AB，CB=AE．求证：△BCD≌△EAB2.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC3.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD．求证：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形．4.如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是△ABC的角平分线，若BD=1，求DC.A BCDOD EC B ADAC。

三角形的证明主要知识点(一)

三角形的证明主要知识点（一）引言概述：三角形的证明是几何学中的重要内容，在数学学科中具有广泛的应用。

通过证明三角形的性质和定理，可以深入理解和推广三角形的各种特性。

本文将介绍三角形证明的主要知识点，帮助读者掌握三角形证明的方法和技巧。

正文内容：一、角度与边的关系1. 三角形内角和定理：三角形内所有角的和等于180度。

2. 三角形外角定理：三角形的外角等于其余两个内角的和。

3. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角之和等于90度。

4. 等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，等腰线段相等。

5. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角均为60度。

二、边的关系与比例1. 直角三角形的勾股定理：直角三角形的斜边平方等于两条直角边的平方和。

2. 正弦定理：在任意三角形中，边长与对应角度的正弦值成比例。

3. 余弦定理：在任意三角形中，边长与对应角度的余弦值成反比例。

4. 正切定理：在任意三角形中，边长与对应角度的正切值成比例。

5. 边分配定理：已知一个三角形中两边的比例和一个角的大小，可以确定另一个角的大小。

三、相似三角形的证明1. AAA相似定理：如果两个三角形的三个内角分别相等，那么这两个三角形相似。

2. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。

3. SAS相似定理：如果两个三角形的一边成比例，两边夹角相等，那么这两个三角形相似。

4. SSS相似定理：如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形相似。

5. 已知三角形相似，可以证明其它三角形之间的相似关系。

四、三角形的中线和高线1. 中线的性质：在任意三角形中，三条中线交于一点，且该点到三个顶点的距离相等。

2. 高线的性质：在任意三角形中，三条高线交于一点，且该点到三个顶点的距离都相等。

3. 中线长度关系：在任意三角形中，任意两条中线的长度之和等于第三条中线的两倍。

4. 重心与形心的关系：三角形的重心是三条中线的交点，形心是三条高线的交点。