二项式定理(基础+复习+习题+练习)

课题：二项式定理

考纲要求：

1.能用计数原理证明二项式定理；

2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教材复习

1.二项式定理及其特例：

()101()()n n n r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，

()21(1)1n r r

n n n x C x C x x +=++

++

+

2.二项展开式的通项公式：r

r n r n

r b a C T -+=1210(n r ，，， =3.常数项、有理项和系数最大的项：

求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.

4.二项式系数表（杨辉三角）

()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式

系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.

5.二项式系数的性质：

()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r

n C 可以看成以r 为自变量

的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）

6.()1对称性．

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n n C C -=）．直线2

n

r =

是图象的对称轴. ()2增减性与最大值：

当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n

C

-，12n n

C

+取得最大值.

()3各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=++

++

+，

令1x =，则012

2n r n

n n n n n C C C C C =+++

+++

7.在使用通项公式1r n r r

r n

T C a b -+=时，要注意： ()1通项公式是表示第1r +项，而不是第r 项.()2展开式中第1r +项的二项式系数r n C 与

第1r +项的系数不同.()3通项公式中含有1,,,,r a b n r T +五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n . ()4证明组合恒等式常用赋值法.()5要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.()6要注意区分项的系数与项的二项式系数. ()7二项式展开式系数可用通项公式及组合知识.

()8用二项式定理进行近似运算，关键是恰当地舍取不影响精度的项，一般地：当α

很小时，有()()21

1112

n

n n n ααα±≈±+

-. 典例分析：

考点一 二项展开式定理及通项公式的应用

问题

1．()1（2013江西）5

2

32x x ⎛⎫- ⎪⎝

⎭展开式中常数项为.A 80.B 80-.C 40 .D 40-

()2求()

10

2x +展开式中系数最大的项

()3求()100

32

x展开所得x的多项式中，系数为有理数的项数

3+

考点二“生成法”的应用

问题2．()1求()62

+-展开式中5x的系数（要求用两种方法解答）.

123

x x

()2（2012安徽）2521

(2)(

1)x x

+-的展开式的常数项是.A 3- .B 2- .C 2 .D 3

考点三 “赋值法”的应用

问题3．()1已知()443322104

32x a x a x a x a a x ++++=+，

则()()2

2

02413a a a a a ++-+=

()2（07安徽文）已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，

则024135()()a a a a a a ++++的值等于 ．

()3（06浙江）若多项式21091001910(1)(1)(1)x x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅++++，则9a =

.A 9 .B 10 .C 9- .D 10-

()4（05天津）设*n N ∈，则12321666n n n n n n C C C C -+++⋅⋅⋅+=

()5（2012浙江）若将函数5()f x x =表示为()()2

012()11f x a a x a x =+++++… ()5

51a x ++， 其中12,,a a ，…，5a 为实数，则3a =

考点四 二项式展开式在其它方面的应用

问题3．()1求51.997的近似值（精确到0.001）

、

()2已知*n N ∈，求证：231222++++…512n -+能被31整除.

问题4．求证：()1322n n n ->+⋅（n N +∈且2n >）.

课后作业：

1.()7

232x y z --展开式中含432x y z 项的系数是

2.()6

2x y z +-展开式中z y x 23的系数是

3.若()

2009

12x -=2012a a x a x +++…20092009a x +()x R ∈，则

3

1223222a a a +++ (20092009)

2a + 的值为 .A 2 .B 0 .C 1-

.D 2-