非线性规划多目标规划

s.t. x12 x22 1,
2 x1 x2 1, x1 , x2 0.
解1 图解法
x2
f 3.25 f 0.25
1, 0
x1
解2 用Lingo软件求解 min=(x1-1.5)^2+x2^2; x1^2+x2^2<=1; 2*x1+x2>=1; Local optimal solution found. Objective value: 0.2500004 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 25
若在上述问题中, 箱子的底与两侧使用废料来做, 而 废料只有4平方米, 则问题为:
min W 0.1 V / x1 x2 x3 40 x2 x3 5 x1 ,
s.t. 2 x1 x3 x1 x2 4.
xi 0.
在上面问题中, 目标函数与约束条件中的每一项可表达 成 ax1 1 x2 2 x3 3 xn n 的形式（其中的
5.非线性规划模型 前面介绍了线性规划问题，即目标函数和约 束条件都是线性函数的规划问题，但在实际工作 中，还常常会遇到另一类更一般的规划问题，即 目标函数和约束条件中至少有一个是非线性函数 的规划问题，即非线性规划问题.
由于非线性规划问题在计算上常是困难的，
理论上的讨论也不能像线性规划那样给出简洁的

i 为整数） ,
数学上将其成为广义多项式, 相应的规划称为几何规划. 当系数为正数时, 规划称为正项几何规划.
非线性规划问题的标准形式为：
min f ( x) g i ( x ) 0, i 1, 2, m s.t. h j ( x ) 0, j 1, 2, r
20元/米2, 箱子两侧的材料费为5元/米2, 箱底的两个滑
行器与箱子同长, 材料费为2.5元/米. 问木箱的长宽高各 为多少米,才能使运费与箱子的成本费的总和为最小.
建模 设木箱的长宽高分别为 x1 , x2 , x3 , 运费与成本费的总 和为W , 则目标函数为
min W 0.1 V / x1 x2 x3 20 x1 x2 10 x1 x3 40 x2 x3 5x1 , xi 0.
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
a1b1 h1 x1 a2b2 h2 x2 min f ( x1 , x2 ) 2 x2 2 x1 s.t. g ( x1 , x2 ) t1 x1 t2 x2 T
且提供数据如表5所示：
注意到该矩阵为正定阵, 因而该点为极小值点.
注意到此方法只有对一些特殊的函数才有效. 一般情 况下, 要求出函数的驻点是比较困难的. 下面我们简单 介绍求解该类问题的数值解法.
1.给出 f x 的极小点 x 的一个初始估计值 x
*
0
, 称为初
始点; 2.如果 x
,已求得, 并且不是极小点, 设法选取一个方向 k s （该方向称为搜索方向）, 使目标函数 f x 沿该方


上式取到极小值的值. 4.检验 f x

k 1
是否为函数 f x 的极小值, 或者满足
精度的要求, 若不是, 再回到第二步.
2) 只有等式约束的非线性规划问题通常可用消 元法、拉格朗日乘子法或反函数法，将其化为 无约束问题求解. 3) 具有不等式约束的非线性规划问题解起来很 复杂，求解这一类问题，通常将不等式化为 等式约束，再将约束问题化为无约束问题， 用线性逼近的方法将非线性规划问题化为线 性规划问题. 下面介绍一个简单的非线性规划问题的 例子，其中的一些约束条件是等式，这类非线 性规划问题可用拉格朗日方法求解.
结果形式和全面透彻的结论. 这点又限制了非 线性规划的应用，所以，在数学建模时，要进行 认真的分析，对实际问题进行合理的假设、简化， 首先考虑用线性规划模型，若线性近似误差较大
时，则考虑用非线性规划.
问题1
抽水费用最小问题
f i x , 其中 x 为抽水流量. 泵站与各灌溉地块 B1 , B2 , B3 , B4
用渠道连接. 在一个灌溉周期中, 地块 B j 需流量 b j立方 米/小时. 泵站 Ai 的最大抽水能力为 Qi , 由于渗透和蒸发,
某地区有3个泵站: A1 , A2 , A3 . 第i 个泵站的抽水费用为
从i 泵站到 j地块的水量要打一折扣, 即乘上系数 cij . 称 为水的实用系数. 问应如何确定每一泵站的输水量, 才
无约束非线性规划一般可写成
x x1 , x2 , , xn , f C 1. 其中
T
min f x ,
解法 1.求 f x 的梯度 f , 2.令梯度 f
0, 解出 f x 的驻点 x , x ,, x
* 1 * 2
* T n

,
3.验证 f x 在该点的Hessian矩阵是否为正（负）定的, 若成立, 则该点为函数的极小（大）值点.
（ 布料 生产数量 m / h ） 利润（ 元 / m ） 最大销售量（ m / 周） 40000 51000 30000 能耗（ t / km ） 1.2 1.3 1.4
A1 A2
400 510 360
0.15 0.13 0.20
A3
问每周应生产三种布料各多少 m ， 才能使该厂的利润 最高，而能源消耗最少？
模型求解： 拉格朗日函数的形式为：
L( x1 , x2 , ) f ( x1 , x2 ) g ( x1 , x2 ) T
即:
27 20 L( x1 , x2 , ) 0.25 x1 0.10 x2 2 x1 4 x2 24 x1 x2
例8．（石油最优储存方法）有一石油运输公司， 为了减少开支，希望作了节省石油的存储空间.
但要求存储的石油能满足客户的要求.为简化问
题，假设只经营两种油，各种符号表示的意义
如表4所示.其中供给率指石油公司供给客户的
速度.
表4 各种符号表示意义表
xi
ai
bi hi
ti
第i种油的存储量
第i种油的价格
第i种油的供给率 第i种油的每单位的存储费用 第i种油的每单位的存储空间
⑵ 等式约束非线性规划模型：
min f ( x) s.t. h j ( x) 0, j 1,2, r
⑶ 不等式约束非线性规划模型：
min f ( x) s.t. gi ( x) 0, i 1,2,m
针对上述三类非线性规划模型，其常用求解的基 本思路可归纳如下：
1) 无约束的非线性规划问题
i 1, 2,3
注: 在上面的问题中, 输水费用函数 f x 一般不是 x 的线性函数. 因而相应的规划不是线性规划.
问题2
砂石运输问题
设有 V立方米的砂石,要由甲地运到乙地, 运输前需 先装入一个有底无盖并在底部装有滑行器的木箱中. 砂 石运到乙地后, 从箱中倒出,在继续用空箱装运. 不论箱 子大小, 每装运一箱, 需0.1元, 箱底和两端的材料费为
x1 , x2 , x3
6、多目标规划模型
在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标
准往往不止一个，例如设计一个导弹，既要射程 最远，又要燃料最省，还要精度最高. 这一类问题
统称为多目标最优化问题或多目标规划问题. 我们
先来看一个生产计划的例子.
例 10． （生产计划问题）某厂生产三种布料 A1 , A2 , A3 ， 该厂两班生产， 每周生产时间为 80 h ， 能耗不得超过 160 t 标准煤，其它数据如下表：
表5
石油的 种类 1
ai
数据表
bi hi ti
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24
代入数据后得到的模型为：
27 20 min f ( x1 , x2 ) 0.25 x1 0.10 x2 x1 x2 s.t. 2 x1 4 x2 24
从而可得最小值是 12.71 .
相 表示当约束条件右边的值增大一个单位后， 应目标函数值的增加值。 比如说： 如总存储空间由 24 变 为 25 时 ， 最 优 值 会 由 12.71 变 为 12.71 0.3947 13.10
。
非线性规划解法 例9 求解非线性规划
2 min z ( x1 1.5) 2 x2
能使总的抽水费用为最小? 试建立相应的数学模型.
分析
问题的关键是确立决策变量和目标函数. 设从泵站 i 到地块 j 的输水量为 xij ,
Leabharlann Baidu
4 min z f x fi xij i 1 j 1
3
s.t. xij Qi ,
4
j 1 3 c x b , j 1, 2,3, 4 ij ij j i1 xij 0.
Variable Value X1 0.9999996 X2 0.000000
Reduced Cost 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.2500004 -1.000000 2 0.8162711E-06 0.5000006 3 0.9999992 0.000000
有
y1 f1 ( x ) 0.15 400 x1 0.13 510 x2 0.20 360 x3 y2 f 2 ( x ) 1.2 0.4 x1 1.3 0.51x2 0.36 1.4 x3
2 2 例7 求函数 x 4 x1 4 x2 4 x1 x2 12 x2 的极小点. f
解
f x 的梯度为
f 8 x1 4 x2 ,8 x2 4 x1 12 ,
令 f 0, 则驻点为 1, 2 .函数的Hessian阵为
T
2 f 8 4 G x . x1x2 22 4 8
k
向是下降的（一般取梯度方向）;
3.在射线 x
k
k s 0 取适当的步长, k ,记
k k f x k s f x , k k 1 k 由此确定点 x x k s , 其中的 k 一般取使得
k
其中， x为 n维欧式空间 R n 中的向量， f ( x) 为 目标函数，g i ( x )、 j ( x)为约束条件. 且h j ( x)、 h
g i ( x )、 f ( x)中至少有一个是非线性函数.
非线性规划模型按约束条件可分为以下三类： ⑴ 无约束非线性规划模型：
min f ( x) x Rn
解：设该厂每周生产布料 A1 , A2, A 3的小时数为 ，总能耗为 x1 , x 2, x 3，总利润为 y1 f1 ( x ) （元）
T ，其中 x = ( x1 , x2 , x3 ) ，则上述 y2 f 2 ( x )（ t 标准煤）
问题的数学模型为
min y1 f1 ( x ) min y2 f 2 ( x ) x1 x2 x3 80 s.t. 1.2 0.4 x1 1.3 0.51x2 1.4 0.36 x3 160 0 x 100,0 x 100,0 x 250 / 3 1 2 3
对 L( x1 , x2 , ) 求各个变量的偏导数，并令它们等 于零，得:
L 27 2 0.25 2 0 x1 x1 L 20 2 0.10 4 0 x2 x2 L 2 x1 4 x2 24 0
解这个线性方程组得：
x1 5.0968, x2 3.4516, 0.3947, f ( x1 , x2 ) 12.71