浅谈排列组合应用问题中解题思考方法

浅谈排列组合应用问题中解题思考方法

排列组合应用问题是高中数学中一块较为抽象的问题，因而学生对这一块内容始终觉得头疼，并且很难能够找出错误的原因，因而高考得分率较低．笔者根据本人的教学经验，谈一些排列组合应用问题的思考方法．

1.总的原则

⑴深入弄清问题的情景

要深入弄清所要解的问题的情景，切实把握住各因素之间的相互关系，不可A或m n c乱套一气．具体地说：首先要弄清有无“顺序”的要求，分析不透就用m

n

A；反之用m n c．其次，要弄清目标的实现，是分如果有“顺序”的要求，用m

n

步达到的，还是分类完成的．前者用乘法原理，后者用加法原理．事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用乘法原理，哪一步用加法原理．

⑵两个方向的解题途径

对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．

⑶要特别强调一题多解

原因有二．第一，一题多解几乎是解排列组合应用问题最主要的检验方法；第二，一题多解，可以从不同角度对题目进行剖析，是训练这类问题的分析能力的有效手段．

2.对常见问题分类总结

⑴有相邻要求的排列问题

例１７人站成一排照相，其中王、张、李三个朋友要挨在一起．求有多少种站法？

分析：解决这个问题，当然有许多方法，可以让其余的人排好，把王、张、李逐次放入，也可以７人全排列后，把王、张、李不全相邻的情况去掉．但最简单的方法是：第一步，把王、张、李看成一个人，去和其他的４人做５人的全排列，第二步，在上面的每种站位里，让王、张、李再做３人全排列．这好像先把有相邻要求的人捆起，以后在放开。我们不妨称之为“捆绑法”．

⑵分配问题

把一些元素分给另一些元素来接受．这是排列组合应用问题中难度较大的一

类问题．因为这涉及到两类元素：被分配元素和接受单位．而我们所学的排列组合是对一类元素做排列或进行组合的，于是遇到这类问题便手足无措了．事实上，任何排列问题都可以看作面对两类元素．例如，把10个全排列，可以理解为在10个人旁边，有序号为1，2，……，10的10把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构”：

①每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是m

n

A，这里n m≥.其中m是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生活中原来的意义，只要n m

≥.个数为m的一个元素就是“接受单位”，于是，方法还可以简化为A少多.这里的“多”只要≥“少”.

例2 8名大学生分配给9个工厂，每个工厂至多要1名大学生，问有多少种分配方案？

例3 把9名大学生分配给8个工厂，每个工厂至多接受1名大学生，问有多少种分配方案？

以上两例的解答相同，都有8

9362880

A=种方案.

②分组问题

几个元素分成p组，各组内元素数目为

1

m，2m，…p m,其中组内元素数

相等的组数为k，则分组方案

123

112

p

p n n n

k

k

m

m m m

m m m m

c c c c

A

---

.

③被分配元素和接受单位的每个成员都有“归宿”,并且不限制一对一的分配问题，方法是分组问题的计算公式乘以k

k

A.

因为在分组问题里，如果第1组内,,

a b c,第2组内,,

d e f,和第２组内,,

a b c，且第１组内,,

d e f算同一个方案.所以，要把总方案数除以2

2

A.

例4 把６棵不同的蔬菜，分别捆成３捆，在下列情况下，分别有多少分捆的方法？

⑴每捆２棵；⑵一捆3棵，一捆2棵，一捆1棵.

解：⑴

222

642

3

3

15

c c c

A =⑵

321

631

60

c c c =

例5 把6棵不同的菜，分别种在3块不同的土地上，在下列情况下，分别有多少种植方法？

⑴ 每块地上种2棵；

⑵ 甲地3棵，乙地2棵，丙地1棵；

⑶ 一块地上3棵，一块地上2棵，一块地上1棵. 解：⑴ 2

226

4

290c c c

= ⑵ 32

163160c c c

=

⑶ 321

33

6

3

1

360c c c A

=

变式：如果是7棵不同的菜，种到13块土地上，一块地上3棵，一块地上2棵，还有一块地上2棵呢？

答案为 3

2

22

7

422

c c A A

④各接受单位的接受数目不限（包括可以不接受）且全部元素要分完的问. 例6 有5名高中毕业生报考大学，有3所大学可供选择，每人只能填一个志愿，有多少种不同报名方案？

分析：每名学生都有3种选择5

333333⨯⨯⨯⨯= ⑶有不相邻要求的排列问题

方法可以是，第一步先把没有不相邻要求的元素排列好；第二步把有不相邻要求的元素，向已排列好的队伍中元素间的“空挡”（包括两端）作分配．

例7 要排一张有5个唱歌节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不相邻，问有多少种不同排法？

解法一：5

356A A

解法二：636

5

A A

解法二的思路是，先把1个舞蹈节目和5个歌唱节目一起全排列，然后把余下2个舞蹈节目去插空，由于队伍中已有1个舞蹈的两边不能插舞蹈，于是有

35

A

．