九年级数学黄金分割
6.2 黄金分割-苏科版数学九年级下册精品讲义
第6章 图形的相似6.2黄金分割知识点01 黄金分割1.定义：如图： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段，如果,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.【微点拨】(叫做黄金分割值).【即学即练1】一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm ，则它的长为（ ）cm A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据黄金比值是进行计算即可．【详解】解:一本书的宽与长之比为黄金比，这本书的长，故选：．知识点02 求作一条线段的黄金分割点如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）过点B作BD⊥AB与B点，使BD=AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.【即学即练2】如图，乐器上的一根弦，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离．【答案】（80﹣160）cm．【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可．【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，∴AC＝BD＝80×＝（40﹣40）cm，∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝（80﹣160）cm．【即学即练3】采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设是已知线段，经过点B作，使；连接，在上截取；在上截取．点C就是线段的黄金分割点．你能说说其中的道理吗？【答案】见解析【分析】设AB＝2a，则BD＝a，DE＝a，根据勾股定理计算出AD＝a，则AE＝AD−DE＝（−1）a，再利用画法得到AC ＝AE ＝（−1）a ，即AC ＝AB ，然后根据黄金分割的定义得到点C 就是线段AB的黄金分割点．【详解】解：设AB ＝2a ，则BD ＝a ，DE ＝a ，在Rt △ABD 中，AD ＝=a ，所以AE ＝AD −DE ＝a −a ＝（−1）a ，所以AC ＝AE ＝（−1）a ，即AC ＝AB ，所以点C 就是线段AB 的黄金分割点．考法01 黄金分割【典例1】如图，C 为线段AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），且BC ＝2，则AB 的长为（ ）A ．2＋2B ．2﹣2C ．＋1D ．﹣3【答案】C【分析】黄金分割比定理：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值为，叫黄金分割比，由此进行求解即可．【详解】解：C 为线段AB 的黄金分割点，BC ＝2 ，AC ＜BC ∴∴∴故选：C考法02 线段的比【典例2】已知点 是线段上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（）能力拓展A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】设AB =1，AP =x ，则PB =1－x ，由比例中项得出AP 2=PB ·AB ，代入解一元二次方程即可解答．【详解】解：设AB =1，AP =x ，则PB =1－x ，∵线段是和的比例中项，∴AP 2=PB ·AB ，即x 2=1－x ，∴x 2+x －1=0，解得：，（舍去），∴PB =1－= ，∴ ，，，，故选：C ．题组A 基础过关练1．已知三条线段的长分别为3，4，6，则下列线段中不能与它们组成比例线段的是（ ）A ．2B ．4.5C ．5D ．8【答案】C【分析】根据比例线段的定义，即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．【详解】解：A 、∵2×6=3×4，∴四条线段能组成比例线段，故选项不符合题意；B 、∵3×6=4×4.5，∴四条线段能组成比例线段，故选项不符合题意；C 、∵3×6≠4×5，∴四条线段不能组成比例线段，故选项符合题意；D 、∵3×8=4×6，∴四条线段能组成比例线段，故选项不符合题意．故选：C ．2．若，，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】设未知数，根据比例的性质求出未知数，进而求出答案．分层提分【详解】解：设，则，，，，即，，，故选：D．3．已知线段、、、是成比例线段，，，，那么的值是（）A．B．2C．3D．8【答案】D【分析】根据成比例线段的概念，得a∶b=c∶d，再根据比例的基本性质，求得d的值．【详解】∵线段a、b、c、d成比例，∴a∶b=c∶d，∴又∵，，，∴．故选：D4．已知线段，点P是线段AB的黄金分割点，则线段AP的长为（）A．B．－C．D．【答案】D【分析】根据黄金分割的定义即可解答．【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴，故选：D．5．地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（ ）A．3800米B．38000米C．380000米D．3800000米【答案】B【分析】设乐山到峨眉的实际距离为x cm，利用比例尺的定义得到3.8：x=1：1000000，然后利用比例的性质求出x，再化单位化为米即可．【详解】解：设乐山到峨眉的实际距离为x厘米，根据题意得3.8：x=1：1000000，解得x=3800000，所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米．故选：B．6．已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是，则它的宽为__________cm．（结果保留整数）【答案】【分析】黄金比是，即宽与长的比是，且长为，根据比例的性质即可求解．【详解】解：根据题意，设宽为，∴，解方程得，，∵，∴，故答案是：．7．若2a-3b=0，则___________．【答案】3【分析】由已知可得，代入计算即可求解．【详解】解：∵2a-3b=0，∴2a=3b，即，∴．故答案为：38．已知，若，则________．【答案】12【分析】根据等比性质，可得答案．【详解】解：，由等比性质，得，所以．故答案为：12．9．若点C是线段AB的黄金分割点，AB=8cm，则AC等于__________．【答案】或【分析】根据黄金分割的含义：较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，黄金分割比例公式为，分点C靠近A点和靠近B点两种情况进行计算．【详解】因为黄金分割比例公式为，点C是线段AB的黄金分割点，当点C靠近A点时，，，则；当点C靠近B点时，，，故答案为：或．题组B 能力提升练1．若，则下列各式不正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据比例的性质，设（k≠0），进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵，设（k≠0）A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；B. ，故该选项正确，不符合题意；C. ，故该选项不正确，符合题意；D. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意．故选C．2．下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（）A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cmC．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm【答案】C【分析】根据成比例线段的定义，逐项分析判断即可，成比例线段，如果两条线段的比值与另两条线段的比值相等，即，则为成比例线段．【详解】A、∵，∴4cm，5cm，6cm，7cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；B、∵，∴3cm，4cm，5cm，8cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；C、∵，∴5cm，15cm，3cm，9cm是成比例线段，故该选项符合题意；D、∵，∴8cm，4cm，1cm，3cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；故选C．3．若，则＝（）A．B．2C．D．【答案】A【分析】根据，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．【详解】解：，∴a＝﹣2b，c＝﹣2d，．故选：A．4．神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（）A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割【答案】D【分析】根据黄金分割的定义即可求解．【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D5．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果AP1，那么AB＝___．【答案】2【分析】根据黄金分割的定义可得，进而即可求解．【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴，∵AP1，∴AB=2．故答案为：2．6．比例尺是1：3000的地图上，某条街道的长度为25cm，它的实际长度约为___米．【答案】750【分析】设实际距离为xcm，根据题意，求得x，单位换算成米即可．【详解】设实际距离为xcm，根据题意，解得x=75000cm=750（米），故答案为：750．7．（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c；（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由c是a，b的比例中项，可得，由此求解即可；（2）根据黄金分割点的定义进行求解即可．【详解】解：（1）∵a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，∴，∴；（2）∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴．题组C 培优拔尖练1．下列说法中，不正确的是（ ）A．四个角都相等的四边形是矩形B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴D．点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），若AB＝2，则AP＝3﹣【答案】D【分析】根据黄金分割，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的性质，逐一判断即可解答．【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，故A选项正确，不符合题意；B、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，故B正确，不符合题意；C、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，故C选项正确，不符合题意；D、点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），若AB＝2，则AP＝﹣1，故D选项错误，符合题意；故选：D．2．如果，则下列比例式中错误的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A．由得，ab＝mn，故本选项不符合题意；B．由得，，故本选项符合题意；C．由得，ab＝mn，故本选项不符合题意；D．由得，ab＝mn，故本选项不符合题意；故选：B3．下列命题是真命题的有( )个①若时，则②反比例函数，若，则y的值随x的值增大而减小③平分弦的直径垂直于弦④若点C为线段的黄金分割点，则⑤顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】若a＞b，则，当c=0时不成立，故这个命题是假命题；反比例函数，若，则y的值随x的值增大而减小，成立的前提是在各自的象限内，因而是假命题；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故③是假命题；若点C为线段的黄金分割点，且AC＞BC，则，故④是假命题；顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，正确，故⑤是真命题；上述命题中真命题只有1个，故选：B4．已知线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，线段PB的长是（）A．B．或C．D．【答案】B【分析】根据黄金分割的定义和黄金比值，分PB为较长线段和PB为较短线段求解即可．【详解】解：∵线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，∴PB= AB= ×2=，或PB=2－（）=，故选：B．5．我们将顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底边和腰的比值为黄金分割比）．如图，已知，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，…，依次类推则第2021个黄金三角形的底边长为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由黄金三角形的定义得BC=AB=，同理：△BCD是第二个黄金三角形，，△CDE是第三个黄金三角形，则CE=，由此得出规律，即可得出结论．【详解】解：∵AB=AC=1，∠A=36°，△ABC是第一个黄金三角形，∴底边与腰之比等于，即，∴BC=AB=，同理：△BCD是第二个黄金三角形，∴△CDE是第三个黄金三角形，则CE=…，∴第2021个黄金三角形的底边长故选：B6．如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走________米报幕（结果精确到0.1米）．【答案】3.8【分析】根据黄金分割的定义，先求出PB=AB，再根据AP=AB﹣PB计算即可得解．【详解】解：∵点P为AB的黄金分割点，AP＜BP，∴PB=AB=×10=5﹣5（米），∴AP=AB﹣PB=10﹣（5﹣5）=15﹣5≈3.8（米）．故答案为：3.8．7．我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于________．【答案】【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质可证四边形ABEF是正方形，可得EF＝BE，进一步即可求出EF 与CE的比值．【详解】解：根据折叠，可知AB＝AF，BE＝FE，∠BAE＝∠FAE，在矩形ABCD中，∠BAF＝∠B＝90°，∴∠BAE＝∠FAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴BA＝BE，∴AB＝BE＝EF＝FA，又∵∠B＝90°，∴四边形ABEF是正方形，∴EF＝BE＝AB，∵矩形ABCD是黄金矩形，∴＝，∴＝＝，故答案为：．8．已知点P是线段AB的黄金分割点，若，则______．【答案】【分析】根据黄金分割的定义得到，再把把AB=6代入可计算出AP的长，然后计算AB-AP 即可．【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，，∴，∴BP=AB-AP=4-=，∴．故答案为．9．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为______．【答案】10-4【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BH=CH=2，根据勾股定理求出AH，根据线段的“黄金分割”点的定义得到CD、BE的长，求出DE的长，最后由三角形面积公式解答即可．【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，∵AB=AC，∴BH=CH=BC=2，在Rt△ABH中，，∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，∴，∴，∴，故答案为：10-4．10．作黄金分割点：如图，已知线段AB，按照如下方法作图：①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB．②连接DA，在DA上截取DE=DB．③在AB上截取AC=AE则点C为线段AB的黄金分割点．【答案】见解析【详解】11．（1）数学活动一宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平；第二步，如图②，把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；第三步，如图③，折出内侧矩形EFBC的对角线CF，并把CF折到图中所示FN处；第四步，如图④，展平纸片，按照点N折出NM，得到矩形BNMC．若，请证明矩形BNMC是黄金矩形．（2）数学活动二如图⑤，点C在线段AB上，且满足，即，此时，我们说点C是线段AB 的黄金分割点，且通过计算可得．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如图⑥，折出右侧矩形EFBC的对角线EB，把AB边沿BG折叠，使得A点落在对角线BE上的K点处，若，请通过计算说明G点是AD的黄金分割点．【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析【分析】（1）由正方形ABCD的边长为2，根据折叠可知FB，由勾股定理可得FC，易得出BN的值，再求BN：BC的值即可判断；（2）如图，连接设则再利用轴对称的性质与勾股定理求解再利用勾股定理建立方程求解，从而可得答案．【详解】证明：（1）根据第一步折叠可知，ABCD是正方形，由正方形边长为2，根据第二步可知，在△FCB中，根据勾股定理，得根据第三步可知，∴∴∴矩形BNMC是黄金矩形．（2）如图，连接正方形的边长由对折可得：设所以由勾股定理可得：解得：所以G点是AD的黄金分割点．。
九年级数学上册《黄金分割》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解黄金分割的定义，掌握黄金分割点的概念，能够运用黄金分割的概念解决实际问题。
2.学会运用黄金分割比计算线段、图形的黄金分割点，并能运用黄金分割的性质分析解决实际问题。
3.掌握黄金分割与相似三角形、三角形面积的关系，能够运用相关知识解决综合问题。
3.教学方法：小组合作法、讨论法。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计具有针对性的练习题，检验学生对黄金分割知识的掌握程度。
2.教学过程：首先，设计一些基础题，让学生巩固黄金分割点的计算方法。然后，设计一些综合题，让学生运用黄金分割知识解决实际问题。
3.教学方法：练习法、指导法。
（五）总结归纳
1.教学内容：总结本节课的学习内容，强调黄金分割的重要性，激发学生对数学美的追求。
学生在这个阶段，正处于形象思维向抽象思维过渡的关键时期，他们对新鲜事物充满兴趣，但同时也可能在学习过程中遇到一些困难和挑战。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动他们的积极性，引导他们通过观察、思考、实践等途径，逐步理解并掌握黄金分割的知识。
此外，学生在小组合作学习中，需要提高沟通与协作能力。教师应关注学生在合作过程中的表现，适时给予指导和鼓励，帮助他们建立自信，培养团队精神。在此基础上，教师还应关注学生的情感态度，激发他们对数学美的追求，使他们在学习过程中体验到数学的魅力和价值。
4.通过课堂练习、课后作业、阶段测试等形式，巩固学生对黄金分割的理解和应用，提高学生的解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生对数学美的感知和欣赏能力。
2.培养学生的创新意识，使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的应用意识。
初三数学黄金分割率的应用题
初三数学黄金分割率的应用题初三数学黄金分割率的应用题问题一：某广场的长和宽之比为黄金分割率（约为），广场的长为45米，请计算广场的宽是多少米？解析： 1. 黄金分割率可以表示为(1+√5)/2≈。
2. 根据题意，广场的长和宽之比为黄金分割率，即长/宽=。
3. 已知广场的长为45米，代入比例关系得到45/宽=。
4. 通过求解方程，可以得到宽≈45/≈米。
问题二：一个长方形的宽和高之比为黄金分割率，已知宽为32米，请计算该长方形的高是多少米？解析： 1. 黄金分割率可以表示为(1+√5)/2≈。
2. 根据题意，长方形的宽和高之比为黄金分割率，即宽/高=。
3. 已知宽为32米，代入比例关系得到32/高=。
4. 通过求解方程，可以得到高≈32/≈米。
问题三：小明的身高与他的父母身高之比为黄金分割率，已知他的父亲身高为180厘米，母亲身高为165厘米，请计算小明的身高是多少厘米？解析： 1. 黄金分割率可以表示为(1+√5)/2≈。
2. 根据题意，小明的身高与他的父母身高之比为黄金分割率，即小明身高/父亲身高=、小明身高/母亲身高=。
3. 已知父亲身高为180厘米，代入比例关系得到小明身高/180=；已知母亲身高为165厘米，代入比例关系得到小明身高/165=。
4. 通过求解方程，可以得到小明的身高≈180≈厘米，或者小明的身高≈165≈厘米。
以上是初三数学黄金分割率的应用题，希望对你有帮助！问题四：某物体的长度与宽度之比为黄金分割率，已知宽度为8cm，请计算该物体的长度是多少cm？解析： 1. 黄金分割率可以表示为(1+√5)/2≈。
2. 根据题意，物体的长度与宽度之比为黄金分割率，即长度/宽度=。
3. 已知宽度为8cm，代入比例关系得到长度/8=。
4. 通过求解方程，可以得到长度≈8*≈cm。
问题五：一个线段被分成两部分，较长部分与整个线段的比例等于整个线段与较短部分的比例。
已知较长部分为24cm，请计算整个线段的长度是多少cm？解析： 1. 根据题意，整个线段的较长部分与整个线段的比例等于整个线段与较短部分的比例，即24/整个线段=整个线段/较短部分。
九年级数学 黄金分割
耐人寻味的0.618
Hale Waihona Puke ACB解：由AC BC 得：AC2 AB • BC AB AC
设AB 1，AC x,则BC 1 x,
x2 1 (1 x)
x2 x 1 0
解得：x1
1 2
5
1
,x2 2
5（不合题意，舍去）
所以：黄金比为 5 -1 2
0.618
能力源于运用
人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比，越接近 0.618越给人美感，难怪芭蕾舞演员在翩翩起舞时掂起脚尖 ， 而身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋。
九年级上册第四章图形的相似
探索黄金分割
A
C
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC = BC AB AC
那么称线段AB被点C 黄金分割(golden section)
点C叫做线段AB的 黄金分割点
AC与AB的比叫做 黄金比
一条线段有2个黄金分割点
计算黄金比
如图：点 C是线段 AB 的黄金分割点，求黄金比。
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大 小各异。但这些金字塔底面的边长与高 这比都接近于0.618.
古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也 是按黄金比0.618来建立，他们认为这样 的长方形看来是较美观；其大理石柱廓 ，就是根据黄金分割律分割整个神庙的.
耐人寻味的0.618
著名画家达•芬奇的旷世名 作《蒙娜丽莎》的构图完美的体 现了黄金分割在油画艺术上的应 用．
如果某女士身高1.68米，下半身与身高的比为0.6，她应 该 选择多高的高跟鞋看起来会更美呢（结果精确到1cm)？
解：设要选择高xcm的高跟鞋
依题意得：1.680.6 x 0.618 1.68 x
九年级数学上册《黄金分割》优秀教学案例
3.要求学生在课后进行自我反思，总结学习黄金分割的收获和不足，为下一步学习打下基础。
4.教师对作业进行及时批改和反馈，了解学生的学习情况，调整教学策略。
五、案例亮点
1.生活化的情境导入：本案例从学生熟悉的生活实例出发，如自然景观、艺术作品等，以多媒体手段呈现黄金分割的美，激发学生的好奇心和学习兴趣。这种导入方式使学生能够迅速进入学习状态，感受到数学与现实生活的紧密联系。
（二）过程与方法
1.通过观察和分析自然、艺术及建筑等领域的实例，引导学生发现黄金分割的普遍性和美观性，培养学生从生活中发现数学现象的习惯。
2.采用小组合作、讨论交流等形式，让学生在互动中探索黄金分割的性质和应用，提高学生的合作意识和解决问题的能力。
3.设计丰富的实践活动，如制作黄金分割比例的模型、绘制黄金分割图案等，让学生在实践中掌握黄金分割的方法，培养学生的动手操作能力和创新精神。
（二）问题导向
1.提出富有启发性的问题，如“为什么黄金分割被认为是最美、最和谐的比例？”“黄金分割在生活中的应用有哪些？”等，引导学生进行深入思考。
2.设计不同难度层次的问题，让学生在解决问题的过程中，逐步掌握黄金分割的知识点。
3.鼓励学生提出自己的疑问，引导学生通过查阅资料、讨论交流等方式，寻求解决问题的方法。
4.利用现代教育技术手段，如多媒体、网络等资源，拓展学生的知识视野，提高他们对黄金分割在科学、艺术等领域应用的了解。
（三）情感态度与价பைடு நூலகம்观
1.培养学生对数学美的感知和欣赏能力，激发他们对数学学科的兴趣和热爱。
2.通过探索黄金分割在各个领域的应用，让学生认识到数学知识在实际生活中的价值，增强他们的学习动力。
九年级数学上册《黄金分割数》教案、教学设计
3.黄金分割的应用：讲解黄金分割在自然界、艺术、建筑等领域的应用，使学生感受数学与生活的紧密联系。
4.黄金分割的几何作图：教师示范如何利用尺规作图法找到线段的黄金分割点，并引导学生动手实践。
（三）学生小组讨论，500字
4.了解黄金分割在自然界、艺术、建筑等领域中的应用，培养学生对数学美的感知能力。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师应注重引导学生通过以下方法掌握知识：
1.采用启发式教学法，激发学生的好奇心，引导学生自主探究黄金分割的性质和应用。
2.通过合作学习，培养学生团队协作、交流表达的能力，提高学生的综合素质。
3.运用多媒体教学手段，结合实际案例，使学生在直观感知中理解黄金分割的美学价值。
4.设计丰富的课堂练习和课后作业，巩固所学知识，提高学生解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学美的感知，激发学生学习数学的兴趣和热情。
2.培养学生勇于探索、积极思考的良好学习习惯，提高学生的自主学习能力。
c.结合多媒体教学手段，丰富教学形式，提高学生的学习兴趣。
d.创设轻松愉快的学习氛围，关注学生的情感态度，提高学生的学习积极性。
e.定期进行教学反思，根据学生的学习情况调整教学策略，提高教学质量。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，教师首先通过多媒体展示一系列美丽的自然景观、世界著名建筑和艺术作品，如希腊神庙、埃及金字塔、达芬奇的《蒙娜丽莎》等。同时，引导学生观察这些图片中的共同特点，让他们猜测这些图片背后的数学原理。
三、教学重难点和教学设想
最新北师大版九年级数学上册《黄金分割》精品ppt教学课件
10.宽与长的比是
5-1
(
2
综合能力提升练
拓展探究突破练
约 0.618 )的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形蕴
藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样
的方法画出黄金矩形:作正方形 ABCD,分别取 AD,BC 的中点 E,F,连
接 EF:以 F 为圆心,以 FD 为半径画弧,交 BC 的延长线于点 G;作 GH
拓展探究突破练
-9-
9.“黄金分割”是一条举世公认的美学定律,例如在摄影中,人们常依据黄金分割进行构图,使
画面整体和谐.目前,照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版,要拍摄草坪上的小
狗,按照黄金分割的原则,应该使小狗置于图中的位( B )
A.①
B.②
C.③
D.④
第四章
第4课时 黄金分割
知识要点基础练
∴梯形 ABGH 与梯形 GCDH 的上、下底分别相等,高也相等,
1
∴S 梯形 ABGH=S 梯形 GCDH=2S 梯形 ABCD.
∴直线 GH 不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线.
第四章
第4课时 黄金分割
归纳总结、拓展提升
知识要点基础练
综合能力提升练
通过这节课的学习，
你有哪些收获？
拓展探究突破练
扇子比较美观.若取黄金比为0.6,则α为( B )
A.216°B.135°
C.120° D.108°
第四章
第4课时 黄金分割
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-6-
6.自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”.如图,点P为AB的黄金分
割点( AP>PB ),如果AB的长度为10 cm,黄金比为0.618,那么PB的长度为 3.82 cm.( 结果
九年级数学上册第22章 黄金分割
AC 5 1 AB 2 ∵AB=2米 ∴ AC ( 5 1)米
五、留住美
课堂小结：
1.黄金分割，黄金分割点，黄金数的概念 2.根据黄金分割的相关概念解决实际问题
收集身边有关黄金分割的例子或上网调查， 更深入体会黄金分割的美
思考：黄金比是多少?
二、探索美
A
C
B
设AB=1，AC=X,则BC=___1__x___
由
AC AB
BC AC
, 列方程得：——1x —1x—x
化为整式方程得：—x—2—x—1—0 —
利用一元二次方程知识可以解出：
x1
5 1, 2
x2
5 1(线段不能是负值，故舍去) 2
所以：AC BC 5 1 0.618 AB AC 2
四、应用美
平底鞋
3厘米
7厘米
10厘米
四、应用美
花瓶当摆花放瓶在位窗于台窗的哪台个的位黄置金时分，割视点觉上时给，人给感觉 最美人？感觉最美
A
CB
思考：如图所示，把窗台看成线段AB， 点C是AB的黄金分割点(AC>BC),若 AB=2米，求AC的长.
A
CB
解：∵C为AB的黄金分割点，且AC>BC
图中主叶脉与 叶柄和主叶脉 的长度之和比 约为0.618
四、应用美
回到课前提出的问题： 芭蕾舞演员跳舞时为什么要掂起脚 尖呢?
四、应用美
芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值 也只有0.58左右，演员在表演时踮起脚尖，身高就可 以增加6-8cm,这时比值就接近0.618了，给人以更为优 美的艺术形象。
一、发现美
你知道芭蕾舞演员跳舞时为什么要 踮起脚尖吗?
一、发现美
九年级数学上册PPT课件《黄金分割》
A
D E
CB
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?
BD 1 ; AD
12
1
2
5 , AC AE
51
2
2 2
22
5 1, BC 1 AC 1 5 1 3 5 ;
2
2
2
5 1
3 5
AC 2 5 1, BC 2 3 5 2
美神维纳斯，她身体的各个 部位都暗藏比例0.618，虽然 雕像残缺，却能仍让人叹服她 不可言喻的美．
黄金分割的魅力
Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是0.6， 而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里 面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。
当堂练习
1.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设 以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩 形面积为S2，则S1与S2的关系是（ C ） A．S1>S2 B．S1<S2 C．S1=S2 D．S1≥S2
B C A
在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起 来就越美．
设计与黄金分割
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但 这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618.
东方明珠塔，塔高 468米.设计师在263米处 设计了一个球体，使平直 单调的塔身变得丰富多彩， 非常协调、美观.
人的俊美,体现在头部及躯 干是否符合黄金分割.
【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题
意知 AC2 B≈6.2 cm.
3.如图所示，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端 点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的 黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点， 则AC=______cm，DC=_______cm.
九年级数学下册《黄金分割》教案、教学设计
（三）学生小组讨论
在学生掌握黄金分割的基本概念和性质后，我会组织学生进行小组讨论。将学生分成若干小组，每组挑选一个生活中的黄金分割实例进行分析，讨论以下问题：
1.实例中黄金分割的具体应用和作用是什么？
2.黄金分割是如何在这个实例中体现美感的？
3.你们还能想到其他黄金分割的应用实例吗？
（四）课堂练习
为了巩固所学知识，我会设计以下几道课堂练习题：
1.充分调动学生的已有知识经验，引导他们通过观察、思考、实践，逐步发现黄金分割的规律和性质。
2.注重培养学生的空间想象能力，通过实际操作和实例分析，帮助学生形象地理解黄金分割的概念。
3.针对学生在认知上的差异，采取分层教学，关注每一个学生的学习需求，让每一个学生都能在课堂上获得成功的体验。
4.激发学生的好奇心和探究欲，创设有趣的教学情境，引导学生主动参与课堂讨论，提高学生的学习兴趣。
2.黄金分割在生活中的应用实例。
3.黄金分割的美学价值。
五、作业布置
为了巩固学生对黄金分割知识点的掌握，提高学生的应用能力和创新意识，我设计了以下几项作业：
1.基础作业：
-请同学们完成教材中的练习题，巩固黄金分割的定义、性质和计算方法。
-结合实际生活中的实例，举例说明黄金分割的应用，并简要分析其美感来源。
3.作业设计：
-设计富有挑战性的课后作业，让学生运用黄金分割知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
-布置开放性作业，鼓励学生发现生活中的黄金分割现象，培养学生的观察力和创新意识。
4.教学评价：
-采用形成性评价，关注学生在课堂上的表现，及时给予反馈，指导学生改进学习方法。
4.4探索三角形相似的条件第4课时黄金分割(教案)2023-2024学年北师大版数学九年级上册
一、教学内容
本节课选自北师大版数学九年级上册第4章“相似三角形”中的4.4节“探索三角形相似的条件”，第4课时“黄金分割”。教学内容主要包括：1.黄金分割的定义及性质；2.黄金分割在生活中的应用；3.利用黄金分割解决实际问题。通过对黄金分割的学习，使学生掌握相似三角形在实际生活中的应用，培养他们的观察能力、动手能力和解决实际问题的能力。以下是具体的教学内容：
1.黄金分割的定义：介绍黄金分割的概念，即一条线段被分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
2.黄金分割的性质：引导学生发现并证明黄金分割的性质，如：黄金分割点将线段分为两部分，这两部分的长度比是（1+√5）/2。
3.黄金分割的应用：通过实例介绍黄金分割在建筑、艺术、生物等领域中的应用，让学生感受数学与生活的紧密联系。
4.实践活动：设计一些实践活动，如测量物体长度、制作黄金分割图形等，让学生在实际操作中体会黄金分割的美学价值。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几个方面：
1.培养学生的几何直观和空间观念，通过对黄金分割的学习，使他们在观察、操作和思考过程中形成对几何图形的直观认识，提高空间想象能力。
2.培养学生的逻辑推理和数学论证能力，通过探索黄金分割的性质，让学生学会运用逻辑思维和数学方法进行推理和证明。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调黄金分割的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如黄金分割比例的推导，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与黄金分割相关的实际问题。
数学沪科版九年级(上册)22.1.4黄金分割(共32张PPT)
三、操作运用，巩固概念
试一试
东方明珠塔，塔高468米，在设计的最初，设计师将塔身设计为 直线形。后来为了使平直单调的塔身变得丰富多彩，更协调、美观， 设计师决定在靠近塔尖的黄金分割点处，设计一个球体，请你计算 这个球体距离地面的高度（精确到0.1m）。
468×0.618≈289.2（m）
三、操作运用，巩固概念
再计算:
CD ABC
0.6. 1(8精确到0.001)
黄金三角形
☆顶角为36°的等腰三角形 底边 与腰之比约为0.618;
E DD ☆点D是线段AC的黄金分割点.
B
C
黄金矩形：
如果矩形的长为a ,宽为b, 且满足条件：
b
b
5 1
a
2
a
那么此矩形称为黄金矩形。
课题：黄金分割
建 筑 中 的 神 秘 数 字
四、深化提高，继续探索
绘画艺术中的黄金分割
四、深化提高，继续探索
绘画艺术中的黄金分割
四、深化提高，继续探索
黄 金 分 割 在 摄 影 上 的 应 用
摄影中4条线的4个交点是人们视觉最敏感的地方。
四、深化提高，继续探索
找一找 你身边有黄金分割的实例吗？
四、深化提高，继续探索
应
N
用
黄
D
金
分
E
G
六、课堂小结
归纳小结：
通过本节课的学习，你有什么收获？
１、概念：黄金分割、黄金分割点、黄金比、 黄金三角形、黄金矩形； ２、方法（１）判断黄金分割点的方法
（２）作线段黄金分割点的方法。 ３、延伸：黄金分割在现实生活中的价值与意义。
六、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？ 你认为数学就是一种美的学科吗？
浙教版数学九年级上册4.1.3 黄金分割课件
新知讲解
【例5】如图，已知线段 AB= 5 1 ，点P是它的黄金分割点， 2
AP>PB. 分别求AP，BP的长.
解：因为点P是线段AB的黄金分割点，且AP AB， AP 5 1 , AB 2
AP
5 2
1
AB5 215 211
,
BP AB AP
5 2
1
1
5 1. 2
课堂练习
【知识技能类作业】
课堂练习
4.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分 割”(黄金比的近似值0.618)．如图，P为AB的黄金分割点(AP>BP)， 如果AB的长度为10 cm，那么较长线段AP的长度为__6__.1__8__cm.
课堂练习
【知识技能类作业】 选做题：
5.已知线段 a＝6 cm，线段 b＝8 cm，则线段 a，b 的比
2 2 18 12
∴b2=ac成立 a，b，b，c这四个数成比例吗?
新知讲解
a，b，b，c这四个数成比例吗?
a:b 2
2 :2
3
6 3
a：b=b：c
b:c2 3:
18
6 3
∴a，b，b，c这四个数成比例.
新知讲解
比例中项 一般地，如果三个数a，b，c满足比例式 a b (或a：b=b：c)，
2
就接近于黄金矩形，小华想设计一张版面为黄金矩形的海报，已知海 报的宽为(20+2 5 )cm，则海报的长应设计为多少cm?
课堂练习
【综合实践类作业】
解：设海报的长应设计为 x cm，
由题意得，20 2 5 5 1 ,
x
2
解得x 15 11 5，
经检验，x 15 11 5是分式方程的解，
初中数学九年级上册黄金分割
A
D E
CB
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?
BD 1 ; AD
12
1
2
5 , AC AE
51
2
2 2
22
5 1, BC 1 AC 1 5 1 3 5 ;
2
2
2
5 1
3 5
AC 2 5 1, BC 2 3 5 2
【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题
意知 AC2 BCgAB,
∴AC2=(10-AC)×10，解得AC≈6.2 cm.
3.如图所示，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端 点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的 黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点， 则AC=______cm，DC=_______cm.
D
因此 AH BH ,点H就是HB的黄金分割点. AB AH
G H
B
C
课堂小结
黄金 分割
定义
点C把线段AB分成两条线段AC和
BC,如果
AC AB
BC AC
, 那么称线段AB被
点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄
金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：原线段 = 5 1 :1
4. 如图:在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=36°， BD平 分∠ABC交AC于点D, 求证：D是AC的黄金分割点. 证明：在等腰△ABC中，顶角∠A=36°， 所以∠ABC=∠C=72°， ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=36°， 在△ACB和△BCD中，∠BDC=72° ∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°， ∴△ACB∽△BCD， ∴AC：BC=BC：DC；
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section),
=
BC = AC
√5 – 1
2
:
1 ≈ 0.618 : 1
A
D
C
B
如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点 A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的 黄金分割点。试确定支撑点C到端点B的距离以及 支撑点D到端点A的距离。
A
D
C
B
巴台农神庙
（Parthenom Temple）
A
E
B
D
F
C
如果用图中的虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，
BC = AB 那么我们可以惊奇的发现， BE BC
。点E是AB的
黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
A
E
B
1.点E是AB的黄金分割点吗？ 2.矩形ABCD的宽与长的比是
√ 5 AD= ？
异 曲 同 工
如下方法也可以得到黄金 分割点？ 如图，设AB是已知线段，在 AB上作正方形ABCD；取AD的 中点E，连接EB；延长DA至F， 使EF=EB；以线段AF为边作 正方形AFGH。点H就是AB的 黄金分割点。
人体肚脐不但是黄金点美化 身型，有时还是医疗效果黄金点， 人与黄金分割 许多民间名医在肚脐上贴药治好 了某些疾病。人体最感舒适的温 度是23℃(体温)，也是正常人体 温 （ 3 7 ℃ ） 的 黄 金 点 （23=37×0.618）。这说明医学 与0.618有千丝万缕联系,尚待开 拓研究。人体还有几个黄金点： 肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚 脐以下部分的黄金点在膝盖，上 肢的黄金点在肘关节。上肢与下 肢长度之比均近似0.618.
D
BC = BE
F
C
黄金比吗？
BC = AB BE BC AE = AB BE AE
AB BC BC AB
点E是AB的黄金分割点
AE
AB
（即
）是黄金比
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
宽与长的比等于黄金比的矩形也成为黄金矩形
想一想
（1）如果设AB=1，那么 BD= ？ 2
1
2 3-√5 √ 5–1 BC= ？ 2 AC= ？ 2 （2）点C是线段AB的黄金分割点吗？
更上一层楼
如图，已知线段AC,并且点C是线段AB的黄金分 割点，你能够找到点B吗？如果已知线段BC呢？ 试试看吧！
如图,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点, 若 AC=1, 则 1 = BC = √5 - 1 即 AB= √5 + 1 ≈1.6 18
AB 1
2 2 A C B
若 BC=1, 则
AC
A
C
B
度量C到点A、B的距离,
AC
AB
与
BC AC
相等吗？
A
C B
A C B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC
AB
=
BC AC
AC = BC
AB AC
AC2=AB
∙ BC
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的比叫做黄金比.
谢 谢 大 家!
象郁金香这样的鲜花两天左右就会凋谢。怎样能使鲜花保持的时间长一些呢？ 首先鲜花的根部要斜着剪口，这样吸水的部位大，能够更多地吸收水分； 其次，要每天剪去一些，保证能够更好的吸收水分； 还有，花的叶子不要泡在水里，这样叶子会烂掉，所以一定要把浸在水里的叶子摘掉； ； / 鲜花速递 jah42kbf 每天要换水。如果是夏天，为了保持水温不升高，还可以往花瓶里放几块冰；同时，花瓶里的水最好放满，这样不仅能使水的温度保持得长久 些，还可以增加花瓶底部的重量，保证花瓶的稳定性。 为了使鲜花开的时间长一些，还可以往花瓶里放少许啤酒，或者将两片阿司匹林研成末放进去。可延长鲜花的寿命。 在一般家庭常买的几种鲜花中，郁金香的寿命最短，康乃馨的寿命最长。如果你的主人是又想漂亮又比较节约的人，你就要少买郁金香，多买 康乃馨。尤其是夏天，郁金香很快就会枯萎。 还要注意一点，家庭中一般不要买菊花。因为菊花一般是用来上供的。 买几支绢花，与鲜花混合插入花瓶中，会使鲜花显得多而豪华。不同的绢花可与不同的鲜花相配反复使用。 板，来几床褥子，这么趴着要生病的！”重脚步往她这边来？咦，“兄弟”要亲自来抱她？这个待遇她经不起呀！宝音赶忙要坐起来，发出用 操心了。”宝音忍不住好奇，苏小横能有什么办法？苏小横莞尔。宝音知道有的男人好男风，但不知道七王爷只好男风，真到不可分解时，但 说出真相，宝音就不必担心被强抢了去罢！以七王爷一惯品性，听说宝音女扮男装，最多也只是一笑置之。苏小横想，宝音再聪敏，到底只是 个足不出户的小女孩子哎！这点都想不到。这个时候他才真正放下心来：这个六孙女儿，从前就阴郁自闭、我行我素，大病忽痊之后，又太过 明达稳妥，他总怀疑她是不是脱出了苏府掌控，这会儿，言谈之间，证明了她的坦白、看清了她的局限，他不怕了。“你跟你奶奶多聊聊罢。” 苏小横这样对宝音说罢，立起身来。宝音抬头，老太太给封嫂搀着，走过来，把宝音揽在怀中，埋怨得俨然温馨：“你这孩子，叫人拿你怎么 办哟„„”第九十章 那夜笙蝶初相见（1）苏府有荣华，也有温情。只要你值得，它都不吝于给你。但你若不值得，所有的荣华与温情，像金 雨般洒在你身边，你沾不上一星半点。尤五姨娘生产，生了一个夜晚，连一个上午，二老爷没来、老太爷没来、老太太更没来。只是一个姨娘 生产罢了！他们有更重要的事情要做。二太太好些，早晨来看了她，接生的诸人们劝阻：“里头肮脏，太太外头等罢？”二太太听了听屋里尤 五姨娘一声递一声的惨叫，道：“也好。”她走出一扇门，又走出一扇门，直到离尤五姨娘屋子半个院落之外的“外头”，正巧大太太也来探 望了，带了些表礼，二太太替尤五姨娘接了，陪大太太坐着说话儿，议论些妯娌之间的小话题，说到宝音和福珞，就都识趣的绕开去，还是讨 论明秀比较安全。大太太抱怨：“哦哟，我们那姑娘，麻烦也是真麻烦！梳头娘姨，怕不给她换过百多十件样式了，她总定不下来，我看着， 好是都好的，要给大日子用呢，也说不上哪里总有点不好。还是配着凤冠红裙来定头式罢？凤冠珠子左镶又不对、右镶又不对。连裙上绣的线 色儿都能差池，还得令他们重做去，你说气不气人？”“那些工匠也实实的能淘气，拿片子送去打一顿就好了！”二太太凑趣道，“姑娘出阁， 大事呢！哪能叫他们耽误了？对了，我新得了匹蝴蝶花的雪缎子，花色倒新鲜，嫂子看看，给四姑娘压箱子充得过不？”大太太欢喜道：“多 承弟妹费心！”就起身去看。尤五姨娘一个人在屋里——不不，屋中还有那么多接生的婆娘们，送热水的、递剪子的、帮她掰腿的、揉她胸口 劝她深呼吸的，那么多那么多人。可她觉着是一个人。她是一个人在疼痛的海洋上颠簸，呼一下子，掀到浪尖上，哗一下子，又落到谷底，沉 沉沉沉的往下跌，没有底，一直要跌到死亡里，被漩涡嚼一圈，又再吐上来，抛到浪尖上的某一刻，疼痛很轻了，几乎可以消失了，她受的罪 好像可以
AB = 1 = √5 - 1 2 AC
√5 + 3 ≈2.6 18 即 雕塑、音乐等领域的实例 了解黄金分割，感受了黄金分割的美。 2.进一步理解线段的比、成比例线段等相 关内容。 3.通过作图找到一条线段的黄金分割点， 并利用已学知识给予了说明。
作业
见《初中数学作业本》