第二章数学发现的基本方法

3.运用联想把问题引申推广 不要满足于解完一道题，还应该把问题加以推广引申 拓展反思。
例8 在1到100这100个数中，任找10个数，使其倒数和为 1.
§3 尝试
• 通过对数学问题进行观察、联想，我们往往从总体 上把握问题，形成初步的策略意识。尝试就是将初步 的策略意识付诸实施，试探是否可行，是否有进展， 是否可以接近目标，是否能缩小解答所在的范围等。
1，2，3，4，使得f (1) f (2 ) f (3) f (4 ) 1 求证：对任何整数都不能使f( )=-1.
4.逆向联想 逆向联想是指从问题的正面想到问题的反面
例4 已知p,p+10,p+14是பைடு நூலகம்数，求p
5.横向联想 横向联想是指数学各分支之间，乃至数学与物理，化学
• 所谓感知，包括感觉和知觉.感觉是客观事物作 用于感觉器官而引起的，是人脑对直接作用于 感觉器官的客体个别属性的主观反映.知觉是在 感觉的基础上形成的，是客观事物直接作用于 感官时人脑产生的直接整体反映.
• 从信息论的观点看，观察应是外部环境的信息通过感官 输送到大脑皮层，经过加工处理，感知外部世界的过程
产生联想的三要素：“某种概念”、“相关概念”、 “联想线路”。
• 二、联想的方法 在数学发现和解决问题的过程中，联想的主要方式有以 下五种：
1.接近联想 接近联想又称为形似联想，主要是由概念、原理、法则 的接近而产生的联想
例1 若（z x）2 4(x y)( y z) 0
证明：2y x z.
例4 设f(a)=a10 a5 a2 a 1
求证：对一切实数a，都有f (a) 0.
• 二、特殊化，寻找突破口
• 对于某些数学问题，先找出符合题意的特殊值、特殊图形、 特殊位置来进行试探，往往能得到启示，找到解题途径。
1、分析特例，寻找启示
例5 一列数1,1,2,3,5,8,13,21……从第三项开始每一项是前 两项之和，此数列的第2013项除以8的余数是多少？
例2、有80枚硬币，其中有一枚比标准重量重。用一架天 平，最少称几次可以找出其中的次品？
例3、设m,n是任意实数，试在平面上找出这样的点，它位 于下述方程所表示的每一条曲线上：
x2 y 2 2mx 2ny 4(m n 2) 0.
2、将复杂问题分解成几个简单问题 复杂的综合问题，往往是由一些比较简单的问题巧妙地糅 合而成的，因此，要善于通过观察，分解成几个小问题， 各个击破后再综合起来。
1、完全归纳法
完全归纳法是对某事物的全体对象的考察，发现它们都具 有某一种属性，从而得出这类事物都具有这种属性的一般 性结论的推理方法，完全归纳法又分为穷举归纳法和类分 法两种类型。
• （1）穷举法 穷举法是对有有限个对象的某类事物进行研究时，将
它的每个对象逐一进行考察的归纳推理. • 例1 在2×3的矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为
现已知上面这些话中只有两句是真话，而且取得第 一名的那个人至少说了一句真话，则这四人获得 第一名的是（ ）
A、甲 B、乙 C、丙 D、丁
• 一、简单化，化难为易
• 常见的数学解题的探索是连续化简的 过程，因此，将难题简化是尝试的一 个基本方法。
1、从简单入手 首先考虑符合题意的最简单的情形，尝试找出这种情形的 解法，然后再过渡到一般情形。
• 例1、如图是由9个小正方形组成的大正方形，小正方 形的每条边长都是1米，今有一个小虫子由 A点至B点， 不走重复路，试问（1）最少要走多少米？（2）最多 要走多少米？
B
A
§5 归纳猜测
归纳是人类探索真理和发现真理的主要工具之一 在研究数学问题时，我们常常在观察和实验等的基础 上，把一些特殊的问题一般化，从中发现新问题，有 时还可以发现新问题的解法，这种由特殊到一般的思 考就是归纳猜测。
• 一、归纳法的原理、意义和类型 （一）归纳的原理
逻辑推理的方法有两种：一是演绎推理，即由一般到特殊 的推理；二是归纳推理，即由特殊到一般的推理。
（二）归纳法的意义
归纳法虽然是一种“似然”的“合情推理”，实际上，对 于数学的发展和创新而言，归纳推理的巨大作用，是论证 推理无法替代的。
• （三）归纳法的类型
等学科之间的联想
例5.求代数式 x2 2x 2 x2 4x 13 的最小值.
练习： 求f(x)= x4 x2 6x 10+ x4 3x2 4的最小值.
• 三、联想能力的培养
1.重视基础知识，掌握知识之间的纵横联系，注意把已掌握 的知识系统化
例6 已知x,y,zR,x+y+z=xyz.
• 2、不完全归纳法 不完全归纳法是根据对某类事物部分对象的考察而得出这 类事物都具有这种属性的一般性结论的推理方法。
（1）枚举归纳法
枚举归纳法是根据某类事物的n个特殊对象，具有 某种属性而作出的这类事物都具有这种属性事物一 般性结论的推理方法。
求ABC的最大角。
• 四、逆反转换，灵活解题
• 逆反转换是指沿着解题的习惯思维 方向的相反方向进行探索，即顺推不 行时，考虑逆推，直接解决不易时考 虑间接解决，从正面入手有困难时， 就从反面入手等等。
1、倒推法
倒推法就是把问题发生的顺序到过来，逐步 还原。
例12 五个猴子相约到海滩上去分香蕉，第一 个猴子早到，它将香蕉等分为五份，多出的一 个吃掉了，留下一份，拿着其它四份找同伴去 了；第二个猴子到了海滩，又将香蕉等分为五 份，多出的一个吃掉了，留下一份，拿着其它 四份去找同伴；第三个、第四个猴子都如此办 理，最后第五个猴子来到海滩，同样将香蕉等 分成五份，吃掉多出的一个，拿走四份，这时 海滩上只留下了一只香蕉，问最初海滩上有多 少只香蕉？
• 实验方法比观察方法有更大的优越性。
• 数学试验具有科学试验的特点，属于科学实验的范畴，但 它又不同于一般的科学实验。
• 数学实验是为了获得某种数学理论，检验某个数学猜想， 解决某类数学问题，实验者运用一定的物质手段，在思维 的参与下，在典型的实验环境中或者特定的实验条件下所 进行的一种数学探索活动。
第二章 数学发现的基本方法
数学是在解决问题中产生的，并在 解决问题的过程中不断发展起来的. 美国著名数学家哈尔莫斯（Halmos） 说过：“数学的真正组成部分是问 题和解”，“数学研究主要的就是 发现问题和解决问题.”
• 数学发现是以提出问题和解决问题为主要标 志的，而这方面的能力又是衡量一个人数学水 平的重要标志。
• 例1 甲、乙、丙、丁四人进行一次赛跑，最后分 出了高低。但这四人都是出了名的撒谎者，他们 所说的赛跑结果是：
甲：（1）我刚好在乙之前到达；（2）我不是第一名 乙：（3）我刚好在丙之前到达；（4）我不是第二名 丙：（5）我刚好在丁之前到达；（6）我不是第三名 丁：（7）我刚好在甲之前到达；（8）我不是第四名
2、反客为主 有些问题，把它的主要元素与某个次要元素倒过来，常
常能取得出人意外的效果。
例13.解方程x3 2 3x2 3x 3 1 0
§4 实验
• 实验是在观察的基础上，进一步发挥人的主观能动性， 从而进一步获得感性资料。
• 实验是观察的发展，在现代科学研究中，实验往往同 观察紧密地结合在一起，观察依赖于实验，而实验伴 随着观察，它们两者之间是相互依存的。
• 从认识论上来说，观察是人类科学认识中的一种重要实 践活动，是获取感性经验的科学事实的根本途径
• 从方法论上来说，观察是人们通过感官，或借助于一定 的科学仪器，对客观对象（数学对象、自然现象、社会 现象等）在自然条件下，进行有目的、有计划、有步骤 的描述和考察的一种方法
• 用数学中的“映射”来看，观察是由客体或已有成果 到大脑的一种“映射”.
• 数学方法源自数学思想，思想是由思维产生 的.通常把思维分为三类，即抽象（逻辑）思维、 形象（直觉）思维、灵感（顿悟）思维.根据对 思维的分类方法，数学方法就可以分为发现方 法和化归方法两大类。
• 发现方法通常包括观察、联想、尝试、实验、 归纳、猜想、类比、模拟等。
§1 观察
• 在心理学中，观察被看做是一种有目的、有计 划、有步骤的感知活动，是一种主动地、对思 维起积极作用的感知活动。
2、数形转换
例9已知不等式2 x ax b的解集是 1 x 4,求a,b的值.
例10
已知x1满足2x+2x
=5，x2满足x+log
(x-1)=
2
5 2
.
求x1
+x 的值. 2
3、横向求索
例11.在ABC中，已知
a2

a

2b

2c

0
a 2b 2c 3 0
求证：2x 2y 2z
8xyz
.
1 x2 1 y2 1 z2 (1 x2 )(1 y2 )(1 z2 )
2.既要开展控制联想，又要开展自由联想
例7 已知x,y,z,m,n均为正实数，且x2 +y2 =z2. 求证：mx ny z.
m2 n2
①从代数角度考虑，可以用柯西不等式来证； ②从三角的角度考虑，用正弦余弦来换元； ③从几何方面考虑，可用托勒密定理； ④从解析几何考虑，可结合距离公式做。
• 三、变换角度，选择主攻方向 • 如果按照题意直接解题有很大困难，我们可以尝试变换一
个角度去看问题，或者变易论题，或者换用另一种数学内 容方法来求解。 1、变易论题
例8 已知二次方程ax2 2bx 1 0和cx2 +2dx+1=0
(ac 0)的系数a,bd,c组成等差数列。
求证：上述两个方程至少一个有实数根。
1) x 1 x 4 1 0
2) x 1 x 4 1 0
3) x 8 2 x 5 0
§2 联想
• 联想是思维的一种形式，也是记忆的一种表现；联想是 回忆旧知识，发现新知识的重要手段
• 一、联想的意义和作用
现代心理学认为：联想是主体和客体相互作用的过程中 产生的，它是按照一定的规律形成心理之间的一种联系， 这个联系反映着客观世界事物与现象以及各种事物之间的 联系。
格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形共有（ ）个
A.24 B.38 C.46 D.50
（2）类分法
类分法是指具有无限多个对象的某类事物进行研究 时，将这类事物划分为互相排斥，且其外延之和等于 该类事物的几个子类，并分别对他们进行考察.
例2 某商店有3kg、5kg两种包装的糖果，数量极为充足， 保证供应，求证凡购买8kg以上整公斤的糖果时，都 可以不用拆包。
可见，观察是认识主体通过感官对客体的认识（活动） 过程，如果说工具是人类四肢的延伸，科学仪器就是感 官的延伸。
• 例1 哥德巴赫猜想.
德国人哥德巴赫在1742年提出两个猜想：（一）每 个大于2的偶数都是两个素数之和；（二）每个大于5 的奇数都是三个素数之和.
• 例2.已知 y z x x y z z x y p xyz zxy yzx
2.类比联想 类比联想又称为对比联想，主要是根据问题的具体情况，
从具有类似和相似特点的数、式、图形以及相近内容和性 质等进行联想
例2 求证：正四面体内任一点到各面的距离之和为定值。
3.关系联想 关系联想是根据知识之间的从属关系、一般关系、因果
关系以及其内在联系而进行的一种联想
例3一个整系数四次多项式f (x),若有四个不同的整数
求p3 p2 p的值.
• 例3 化简
1 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 1) 1 (1 1 )(1 1)(1 1) ab a c a b d a b c (1 1 )(1 1)(1 1)(1 1 )
abcd
• 例4 不解方程，判断下列方程是否有解：
• 2、利用特例奠定基础
• 例6 将625枚围棋围成一个大圆圈，并依次编号为1~625号， 然后，按如下方法取棋子，拿走1,2号保留3号，再拿走4,5 号保留6号，……每次取2枚留下1枚，一直如此循环下去.问： 最后留下的一枚棋子原来的编号是几？
3、使用特例，完善解题
例7 证明：下述圆系经过定点，并求定点的坐标： x2 y 2 2(1 sin 2 )x 2(1 sin 2 ) y (1 6sin 2 ) 0