函数奇偶性的判断
函数的奇偶性的判断和证明
函数的奇偶性的判断和证明一、函数的奇偶性的定义对于函数 f(x) ，其定义域 D 关于原点对称，如果 x D,恒有 f( x) f ( x) ，那么函数 f(x)为奇函数；如果 x D,恒有 f( x) f (x) ，那么函数 f (x)为偶函数 . 二、奇偶函数的性质1、奇偶函数的定义域关于原点对称；2、 偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称；3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反；4、 奇函数在原点有定义时，必有f(0) 0.三、判断函数的奇偶性的方法 判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法 .1 、定义法 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果 函数的定义域关于原点对称，则继续求 f( x) ；最后比较 f( x)和 f (x)的关系，如果有 f( x)=f (x)， 则函数是偶函数，如果有 f ( x) 2、和差判别法=- f (x) ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数 .对于函数定义域内的任意一个x ，若f( x) f(x) 0，则 f(x) 是奇函数；若f(x) f ( x)0 ，则 f (x) 是偶函数 .3、 作商判别法对于函数定义域内任意一个 x ，设 f ( x) 0，若f (x)1，则 f(x) 是奇函数，f (x) 1，则 f(x)f( x)f ( x)是偶函数解题步骤首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非 偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 f( x) ；最后比较 f ( x) 和 f(x)的关 系，如果有 f( x)= f (x) ，则函数是偶函数，如果有 f( x)=- f ( x) ，则函数是奇函数，否 则是非奇非偶函数 .例 1】判断下列函数的奇偶性②令 x 0，则 f (y) f( y) 2f (0) f (y)2) f (x)2lg(1 x 2) x22点评】(1)判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则 函数是非奇非偶函数 . (2) 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇偶函数的必要非充分条件 . (3)函数的定义域求出来之后，还要注意在解题中应用，不是走一个过场和形式 .第 2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简 .例 2】定义在实数集上的函数f (x) ，对任意 x 、y R ，有 f(x y) f(x y) 2f (x) f(y)且 f (0) 0①证： f (0) 1 ②求证： y f (x)是偶函数解析】证明：①令 x y 0，则 f (0) f (0) 2[ f (0)] 2f (0) 0 ∴ f(0) 1∴ f ( y) f (y)1) f (x) (1 x)1x 1x∴ y f (x) 是偶函数【点评】 对于抽象函数的奇偶性的判断， 和具体函数的判断方法一样， 不同的是， 由于它是抽象函数， 所以在判断过程中，多要利用赋值法，常赋一些特殊值，如 0、-1、1等. 学科 * 网【例 3】判断函数f (x)x x (x 0)的奇偶性x 2x (x 0)【点评】(1)对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函 数，所以要分类讨论 . (2)注意，当 x 0时，求 f ( x) 要代入下面的解析式，因为 x 0, 不是还代入上 面一段的解析式 .1)证明函数 f (x)是奇函数；(2)讨论函数 f(x)在区间 [ 1,1]上的单调性；3)设 f(1) 1 ，若 f (x) m 22am 1，对所有 x [ 1,1]， a [ 1,1]恒成立，求实数 m 的取值范 围.反馈检测 1】已知 f(x)2x 1 2x 11)判断 f(x) 的奇偶性； 2)求 f(x) 的值域．反馈检测 2】已知函数 f (x) 定义域为 [ 1,1] ，若对于任意的 x,y [ 1,1]，都有f (x y) f(x)f (y)，且 x 0时，有 f (x) 0.例 4】判断函数 f(x) lg(x x 1) 的奇偶性 .【点评】 和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用和差 判别法可以化繁为简，简捷高效 .【反馈检测 3】已知函数 f(x) log a x 2(a 0且a 1).ax 2(1)求 f (x)的定义域； (2)判定 f (x)的奇偶性；3)是否存在实数 a ，使得 f (x)的定义域为 [ m,n ]时，值域为 [log an数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由xx例 5】判断函数 g(x)x xx的奇偶性 .2x1 2x x x 0，所以 g( x) g(x) ，所以g(x)是偶函数 .点评】 和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用和差判别法可以化繁为简，简洁高效1, log a m 1] ？若存在，求出实解析】由题得 x 0 ，因为 g( x) g(x)xx2 x 1 2 xx 2x 1 2x(2x 1)2x 1a1例 6】 证明函数 f (x) x (a 0， a 1)是奇函数 .ax 1【点评】 作商判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 判别法可以化繁为简，简捷高效 .参考答案反馈检测 1答案】(1)奇函数；(2){y| 1 y 1} ．但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用作商奇函数；( 2)单调递增函数；( 3)m 2或 m 2.令x y 0 ，得 f (0) f (0) f (0) ，所以 f (0) 0 ， 令y x 可得：f (0) f (x) f( x) 0, 所以 f ( x)f (x) ，所以 f (x)为奇函数(2)f (x) 是定义在 ［1,1］上的奇函数，由题意设 1 x 1x 2 1，则f(x 2) f (x 1) f (x 2) f ( x 1) f (x 2 x 1)由题意x 0时，有 f(x) 0， f(x 2) f (x 1)反馈检测 2 详细解析】 1)因为有 f (x y) f (x) f(y) ， f (x) 是在 ［ 1,1］上为单调递增函数；反馈检测 2 答案】( 1)3)因为 f (x)在 ［ 1,1］上为单调递增函数，所以 f (x)在［ 1,1］上的最大值为 f (1) 1，2所以要使 f (x) <m 22am 1，对所有x [ 1,1],a [ 1,1] 恒成立，22只要 m 2 2am 1 1 ，即 m 2 2am0，22令 g(a) m 2am 2am m2 由g( 1) 0 得2m m 2 g(1) 0 2mm 2m 2或 m 2.反馈检测 3 答案】(1)定义域为 (2) (2, )；(2)f (x) 在定义域上为奇函数； ( 3)a (0,3 2 2)2) .x2即m、n是方程log a log a x 1的两个实根，于是问题转化成关于x的方程x22ax2 (2a 1)x 2 0在(2, ) 上有两个不同的实数解令g(x)ax2(2a1)x2, 则有：322 3 2 2(2a1)28a0a或a222a 11 3 2 2 2a0 a 又0 a 1 2a62g(2) 8a 0a0故存在这样的实数a(0,3222) 符合题意.2。
函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法在数学中，我们经常会遇到需要判断一个函数的奇偶性的情况。
函数的奇偶性对于函数图像的对称性有着重要的影响，因此掌握函数奇偶性的判断方法对于理解函数的性质至关重要。
本文将介绍函数奇偶性的判断方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们需要了解函数的奇偶性的定义。
一个函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，那么这个函数就是偶函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，那么这个函数就是奇函数。
也就是说，偶函数具有轴对称性，而奇函数具有中心对称性。
接下来，我们来介绍如何判断一个函数的奇偶性。
对于一个给定的函数f(x)，我们可以通过以下几种方法来判断它的奇偶性：1. 代数判断法。
对于一个函数f(x)，我们可以将其展开成幂函数的形式，然后通过代数运算来判断它的奇偶性。
具体来说，如果一个函数可以写成f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+aₙxⁿ的形式，那么我们只需要判断a₁、a₃、a₅...这些奇次幂的系数是否为0，以及a₀、a₂、a₄...这些偶次幂的系数是否为0，就可以得出函数的奇偶性。
2. 函数图像判断法。
我们知道，奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于y轴对称。
因此，我们可以通过观察函数的图像来判断它的奇偶性。
如果函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数。
3. 导数判断法。
对于一个函数f(x)，如果它是奇函数，那么它的导数f'(x)是偶函数；如果它是偶函数，那么它的导数f'(x)是奇函数。
因此，我们可以通过计算函数的导数来判断函数的奇偶性。
通过以上方法，我们可以比较准确地判断一个函数的奇偶性。
在实际应用中，我们经常会遇到需要判断函数奇偶性的情况，比如在求函数的积分、解方程等问题中，掌握函数奇偶性的判断方法可以帮助我们更好地解决问题。
奇偶函数的判断口诀
奇偶函数的判断口诀
判断一个函数是奇函数还是偶函数可以使用以下口诀：
"奇函数积偶负，偶函数积偶正"。
这句口诀的意思是，如果一个函数是奇函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是负数；如果一个函数是偶函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是正数。
另外，还可以通过函数的定义来判断。
奇函数满足f(-x)=-
f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
通过这两个条件，可以判断一个函
数是奇函数还是偶函数。
此外，还可以通过函数图像的对称性来判断。
如果函数的图像
关于原点对称，则该函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，则该函数是偶函数。
综上所述，通过口诀、函数的定义和函数图像的对称性这几种
方法，可以较为全面地判断一个函数是奇函数还是偶函数。
判断奇函数偶函数的方法
判断奇函数偶函数的方法一、奇函数偶函数的基本概念1.1 奇函数呢，就像是一个调皮捣蛋的小顽童，有着独特的性质。
对于函数f(x)，如果满足f(-x)= -f(x)，那这个函数就是奇函数。
简单来说，就好比你把x换成 -x的时候，函数值就变成原来的相反数了。
比如说y = x这个函数，当x = 2时，y = 2；当x = -2时，y = -2，完全符合奇函数的定义。
这就像照镜子，镜子里的像和自己是相反的，奇函数在关于原点对称的点上的函数值也是相反的。
1.2 偶函数就不一样啦，它像是一个规规矩矩的乖孩子。
对于函数f(x)，要是满足f(-x)=f(x)，那这个函数就是偶函数。
例如y = x²这个函数，当x = 2时，y = 4；当x = -2时，y还是4呢。
这就好比不管你从左边看还是右边看，它都是一个样，偶函数关于y轴对称，在关于y轴对称的点上函数值是相等的。
二、判断方法2.1 首先看函数表达式。
如果函数表达式里只有x的奇次幂，那这个函数很可能是奇函数。
像y = x³，这里面x是三次幂，是奇次幂，按照咱们前面说的定义去验证一下，f(-x)=(-x)³=-x³=-f(x)，果不其然是奇函数。
要是函数表达式里只有x的偶次幂，那这个函数大概率是偶函数。
例如y = x⁴，f(-x)=(-x)⁴=x⁴=f(x)，就是偶函数。
这就像是看一个人的穿着打扮，从外表大概能判断出他的性格一样。
2.2 然后呢，可以通过图像来判断。
奇函数的图像关于原点对称，就像一个旋转180度之后还和原来重合的图案。
比如说y = sinx这个函数的图像，你把它绕着原点转180度，会发现和原来的图像一模一样，这就是奇函数图像的特点。
偶函数的图像关于y轴对称，就像左右两边是完全对称的。
像y = cosx的图像，以y轴为对称轴，两边是对称的，这就是偶函数图像的特征。
这图像啊，就像是函数的一张脸，从脸上就能看出它是奇函数还是偶函数。
第07讲 函数的奇偶性的判断和证明
精品二轮第07讲：函数的奇偶性的判断和证明【知识要点】一、函数的奇偶性的定义对于函数()f x ，其定义域D 关于原点对称，如果,x D ∀∈恒有()()f x f x -=-，那么函数()f x 为奇函数；如果,x D ∀∈恒有()()f x f x -=，那么函数()f x 为偶函数.二、奇偶函数的性质1、奇偶函数的定义域关于原点对称；2、 偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称；3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反；4、 奇函数在原点有定义时，必有(0)0f =.三、判断函数的奇偶性的方法判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法.1、定义法首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2、和差判别法对于函数定义域内的任意一个x ，若()()0f x f x -+=，则()f x 是奇函数；若()()0f x f x --=，则()f x 是偶函数.3、 作商判别法对于函数定义域内任意一个x ，设()0f x -≠，若()1()f x f x =--，则()f x 是奇函数，()1()f x f x =-，则()f x 是偶函数.【方法讲评】【例1】判断下列函数的奇偶性.（1）x x x x f -+-=11)1()( （2）2lg(1)()22x f x x -=--【例2】 定义在实数集上的函数()f x ，对任意x y R ∈、，有()()f x y f x y ++-2()()f x f y =⋅且(0)0f ≠①求证：(0)1f = ②求证：()y f x =是偶函数【例3】判断函数⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f 的奇偶性【反馈检测1】已知1212)(+-=x x x f （1）判断)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的值域．【反馈检测2】已知函数()f x 定义域为[1,1]-，若对于任意的,[1,1]x y ∈-，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >.（1）证明函数()f x 是奇函数；（2）讨论函数()f x 在区间[1,1]-上的单调性；（3）设(1)1f =，若2()21f x m am <-+，对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【例4】判断函数)1x x lg()x (f 2++=的奇偶性.【反馈检测3】已知函数)10(22log )(≠>+-=a a x x x f a 且. （1）求)(x f 的定义域； （2）判定)(x f 的奇偶性；（3）是否存在实数a ，使得)(x f 的定义域为],[n m 时，值域为]1log ,1[log ++m n a a ？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【例5】判断函数2x 12x )x (g x +-=的奇偶性.【例6】 证明函数)1a 0a (1a 1a )x (f x x ≠>-+=，是奇函数.精品二轮第07讲：函数的奇偶性的判断和证明参考答案【反馈检测1答案】（1）奇函数；（2）}11|{<<-y y ．【反馈检测2答案】（1）奇函数；（2）单调递增函数；（3）2m <-或2m >.【反馈检测2详细解析】（1）因为有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，所以(0)0f =，令y x =-可得：(0)()()0,f f x f x =+-= 所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数.（2）)(x f 是定义在[1,1]-上的奇函数，由题意设1211x x -≤<≤，则212121()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-由题意0x >时，有()0f x >，21()()f x f x ∴>()f x ∴是在[1,1]-上为单调递增函数；（3）因为()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，所以()f x 在[1,1]-上的最大值为1)1(=f ，所以要使()f x <221m am -+，对所有[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，只要2211m am -+>，即220m am ->，令22()22g a m am am m =-=-+由(1)0(1)0g g ->⎧⎨>⎩ 得222020m m m m ⎧+>⎪⎨-+>⎪⎩，2m ∴<-或2m >. 【反馈检测3答案】（1）定义域为),2()2,(+∞⋃--∞；（2）)(x f 在定义域上为奇函数；（3）)2223,0(-∈a . 即m n 、是方程1log 22log +=+-x x x a a 的两个实根，于是问题转化成关于x 的方程 ),2(02)12(2+∞=+-+在x a ax 上有两个不同的实数解.令 ,2)12()(2+-+=x a ax x g 则有： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=>-->--=∆08)2(221208)12(2a g a a a a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-<+>⇒06122232223a a a a 或22230-<<∴a 10<<a 又 故存在这样的实数)2223,0(-∈a 符合题意.。
判断函数奇偶性的方法
判断函数奇偶性的方法
⑴定义域法
求出函数的定义域，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；如果定义域关于原点对称，则要用下面方法继续判别。
⑵解析法
利用函数解析式，根据奇偶性的定义确定函数奇偶性的方法。
⑶图像法
利用图像的对称性确定函数奇偶性的方法。
⑷运算法
利用已知函数的奇偶性，确定它们的和、差、积、商型函数的奇偶性。
注意：一般来说，函数的奇偶性有四种情况，一个函数不可能有两种奇偶性。
但函数Y=0是特殊情况，它既是奇函数、又是偶函数，这点要特别考虑。
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函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法在学习函数的性质时，我们经常会遇到函数的奇偶性判断问题。
那么，什么是函数的奇偶性呢？如何准确地判断一个函数的奇偶性呢？本文将详细介绍函数奇偶性的判断方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来了解一下函数的奇偶性的概念。
一个函数的奇偶性是指该函数图象关于原点对称的性质。
具体来说，如果对于函数f(x)，对于任意实数x，有f(-x)=f(x)，那么我们称该函数为偶函数；如果对于函数f(x)，对于任意实数x，有f(-x)=-f(x)，那么我们称该函数为奇函数。
接下来，我们将介绍如何判断一个函数的奇偶性。
首先，我们可以利用函数的解析式来进行判断。
对于一个函数f(x)，如果它的解析式中只包含偶次幂的项（如x^2, x^4,等），那么该函数就是偶函数；如果它的解析式中只包含奇次幂的项（如x, x^3,等），那么该函数就是奇函数；如果它的解析式中即包含偶次幂的项，又包含奇次幂的项，那么该函数既不是偶函数，也不是奇函数。
其次，我们可以利用函数的图象来进行判断。
对于一个函数f(x)，如果它的图象关于y轴对称，那么该函数是偶函数；如果它的图象关于原点对称，那么该函数是奇函数；如果它的图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，那么该函数既不是偶函数，也不是奇函数。
除此之外，我们还可以利用函数的性质来进行判断。
对于一个函数f(x)，如果它满足函数的奇偶性质，那么我们可以利用函数的性质来进行判断。
例如，对于偶函数，我们有f(x)+f(-x)=0；对于奇函数，我们有f(x)-f(-x)=0。
总之，函数的奇偶性判断方法主要有三种，利用函数的解析式、利用函数的图象、利用函数的性质。
通过这些方法，我们可以准确地判断一个函数的奇偶性。
在实际问题中，我们经常需要根据函数的奇偶性来简化问题的求解过程，因此掌握这一知识点对于我们的学习和工作都是非常重要的。
希望本文能够帮助大家更好地理解和掌握函数奇偶性的判断方法，同时也希望大家能够在实际问题中灵活运用这一知识点，提高问题的解决效率。
函数的奇偶性口诀
函数的奇偶性口诀函数奇偶性的判断口诀：内偶则偶，内奇同外。
验证奇偶性的前提：要求函数的定义域必须关于原点对称。
判定奇偶性四法（1）定义法用定义来判断函数奇偶性，是主要方法。
首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称。
其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性。
（2）用必要条件具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。
例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性。
（3）用对称性若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。
若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。
（4）用函数运算如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)?g(x)是偶函数。
简单地，“奇+奇=奇，奇×奇=偶”。
类似地，“偶±偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇”。
函数奇偶性性质1、大部分偶函数没有反函数（因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数）。
2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
3、奇±奇=奇（可能为既奇又偶函数），偶±偶=偶（可能为既奇又偶函数），奇X奇=偶，偶X偶=偶，奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）.4、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数。
若g(x）是偶函数且f（x）是奇函数，则F[x]是偶函数。
若g(x）是奇函数且f（x）是奇函数，则F[x]是奇函数。
若g(x）是奇函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数。
5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称。
判断奇偶性的步骤
判断奇偶性的步骤
1、用定义来判断函数奇偶性。
首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称。
其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性。
奇函数：定义域关于原点对称的函数f（x），满足在定义内任意f（x）都有f（x）=-f（-x）。
偶函数：定义域关于原点对称的函数f（x），满足在定义内任意f（x）都有f（x）=f（-x）。
2、具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。
例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性。
3、用对称性。
若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。
若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。
4、用函数运算。
如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)•g(x)是偶函数。
如：“奇+奇=奇，奇×奇=偶”。
怎么判断奇偶函数
怎么判断奇偶函数
按定义来说：对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都满足f(x)=f(-x)。
所以,一般来说判断一个函数是奇函数还是偶函数必须要将定义域中的的所有数带入,这肯定不可能的。
那么我们可以先看看定义域,奇偶函数的定义域必须是对称的,一个函数的定义域若不是对称的,那么就不用判断了,肯定不是.这个基本一看就能看出。
定义域对称,这时候要判断奇偶性,首先是利用公式,若能推出
f(x)=f(-x)或者f(x)=-f(-x),那么就可以判定了.所以若是有表达式,一般是将-x带入。
还有可以看图像,看图象是否关于原点对称（此为奇函数）或关于y 轴对称（此为偶函数）。
若以上两种都没有判断出奇偶,一般就很可能是非奇非偶函数了.不过考虑有的函数表达式复杂,f(x)=f(-x)或者f(x)=-f(-x)难以推断,我们也可以将之分解,化成几个函数相加减或乘除的形式,然后根据各自的奇偶性再判断.当然这时要记住奇函数、偶函数相加减或乘除之后的奇偶变化。
判断函数奇偶性
判断函数奇偶性函数奇偶性是一种常用的数学概念，它是在函数和其变换后的对称性之间存在的关系。
也就是说，函数奇偶性是提供一种理解和判断函数是否是变换后的对称图像的方法。
函数奇偶性定义如下：函数f(x)是奇函数，当且仅当f(-x)=-f(x)成立；函数f(x)是偶函数，当且仅当f(-x)=f(x)成立。
讨论奇函数一般来说，奇函数是一类具有变换性质的函数，它通常对称于y 轴或原点，而当函数的变换结果与原函数的图像形状完全一致时，就表示该函数是一个奇函数。
例如在二维平面中，函数f(x)=-x，它具有以下特性：若x给定，则f(-x)=-f(x)成立，即函数具有奇函数的特性。
另外，当函数具有如下关系时，函数也是一个奇函数：f(x+2a)=f(x)，其中a是常量。
例如函数f(x)=x^3，在常量a=1时：f(x+2)=f(x)，即f(-x)=(-x)^3=x^3=f(x)，此时函数f(x)也是一个奇函数。
讨论偶函数偶函数也是一类具有变换性质的函数，它的定义是当函数的变换结果与其原函数的图像镜像（对称）时，即表示该函数为一个偶函数。
例如函数f(x)=x^2，当x给定时，f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)，即函数具有偶函数的性质。
另外，当函数有如下关系：f(x+2a)=f(x)，其中a是常量。
例如函数f(x)=x^4，在a=1时：f(x+2)=f(x)，即f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)，此时函数f(x)也是一个偶函数。
关于判断函数奇偶性的方法（1）可以利用函数的变换性质，奇函数的变换结果和原函数的图像形状完全一致，而偶函数的变换结果与原函数的图像形状是镜像所成的，可以根据这一特性来判断函数的奇偶性。
（2）可以利用变换后的函数的值来判断函数的奇偶性，使用函数f(x)=-f(-x)，如果函数定义域上的点满足上述关系，则函数为奇函数；反之，函数f(-x)=f(x)，如果函数定义域上的点满足上述关系，则函数为偶函数。
考点05 函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向(解析版)
专题二 函数考点5 函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向【方法点拨】一、处理函数奇偶性的判断及应用问题的方法 1. 函数奇偶性的判断方法 (1) 定义法：利用定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)； (2) 性质法：在公共定义域内，有“奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇x 奇=偶，偶x 偶=偶，奇x 偶=奇”. (3) 图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性. 2. 函数奇偶性的应用主要有两个方向 （1）求函数值或函数解析式：利用奇偶性将所求值或解析式对应的自变量转化到已知解析式的区间，构造方程(组).(2)求参数：由定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)得到恒等式，再利用系数相等构造方程(组). 【高考模拟】1．已知()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，若()()22xf xg x --=，则()1g -=（ ）A ．5B ．5-C ．3D ．3-【答案】D 【分析】根据题意可得出关于()1f -、()1g -的方程组，进而可解得()1g -的值. 【解析】()()22x f x g x --=，所以，()()31128f g ---==，①，()()112f g -=，②，因为()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，由②可得()()112f g -+-=，则有()()()()118112f g f g ⎧---=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得()13g -=-.故选：D.2．设()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，又()40f -=，则不等式()()440f x f x x+--->的解集是（ ）A ．()0,4B ．()8,4--C ．()()4,00,4- D ．()()8,40,4--⋃【答案】B 【分析】分析出函数()f x 在(),0-∞、()0,∞+上的单调性，以及()()440f f =-=，化简得出()40f x x+>，结合图象可得出关于实数x 的不等式组，由此得出原不等式的解集. 【解析】因为()f x 是R 上的奇函数，则()00f =，由于函数()f x 在(),0-∞上是减函数，则该函数在()0,∞+上也为减函数，()40f -=，则()()440f f =--=，作出函数()f x 的大致图象如下图所示：由()()440f x f x x +--->，可得()240f x x+>，由()400f x x ⎧+>⎨>⎩，可得440x x +<-⎧⎨>⎩或0440x x <+<⎧⎨>⎩，此时x ∈∅；由()400f x x ⎧+<⎨<⎩，可得4400x x -<+<⎧⎨<⎩或44x x +>⎧⎨<⎩，解得84x -<<-.因此，不等式()()440f x f x x+--->的解集是()8,4--.故选：B. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.3．函数2()x x e e f x x -+=的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和特殊点确定正确选项. 【解析】()f x 的定义域为{}|0x x ≠，()()2x xe ef x f x x-+-==，所以()f x 为偶函数，由此排除CD 选项. ()211101e e f e e+==+>，由此排除B 选项.故选：A4．已知定义域为R 的函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()log (1)f x x m =++.若2(2020)log 3f =，则m =（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B 【分析】由①可知函数()f x 为奇函数，由②可知图象关于34x =对称，则函数()f x 为周期函数，周期为3，然后利用周期性可知()21(2020)1log 32f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭解出m 的值. 【解析】由①可知函数()f x 为奇函数，又33()22f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3(3)()2f x f x f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，即函数()f x 的周期为3，∴2213(2020)(1)log log 322f f f m ⎛⎫===+= ⎪⎝⎭，解得1m =. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的性质的综合，常见的与函数的对称性、周期性有关的结论有： ①若()()2f x f a x =-，则函数()f x 图象关于x a =对称；②若函数()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 图象关于点(),a b 中心对称；③若函数()f x 的图象关于点(),a c 中心对称，且关于直线()x b a b =≠对称，则函数()f x 为周期函数，周期4T a b =-.5．已知(21)2()21x xa f x +-=+是奇函数，那么实数a =（ ） A ．0 B ．-1C ．2D ．1【答案】D 【分析】由奇函数的性质(0)0f =求解即可； 【解析】解：因为(21)2()21x x a f x +-=+定义域为R ，又(21)2()21x xa f x +-=+是奇函数 所以(0)0f =，即()0(21)20021a f +-==+，解得1a =.所以21()21x xf x ， ()()21221112x xx x f x f x ----===-++-，即21()21x x f x 是奇函数； 故选：D6．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+,(0)2f =，则(10)f =（ ） A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】C 【分析】由已知偶函数及(1)(1)f x f x -=+，得出函数是周期函数，周期为2，由此可得结论． 【解析】解：根据题意，函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+， 则()()2f x f x -=+，又由()f x 为偶函数， 则有()()f x f x -=，则(2)()f x f x +=， 函数()f x 是周期为2的周期函数， 故(10)(0)2f f ==， 故选：C.7．下列函数在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．1()2x f x = B ．()sin f x x = C ．()cos f x x = D ．()||f x x x =-【答案】D 【分析】根据基本初等函数的基本性质判断各选项中函数的单调性与奇偶性，即可得出合乎题意的选项. 【解析】对于A 选项，函数1()2xf x =是非奇非偶函数； 故A 不正确. 对于B 选项，函数()sin f x x =在定义域内不是减函数，故B 不正确. 对于C 选项，函数()cos f x x =在定义域内不是减函数，故C 不正确.对于D 选项，()||f x x x =-,则()||()f x x x f x -=-=-，所以()f x 为奇函数.又220()0x x f x x x x x≥⎧-=-=⎨<⎩,当0x ≥时，2()f x x =-为减函数.又()f x 为奇函数，则()f x 在(]0-∞，上单调递减，且()00f = 所以()f x 在R 上单调递减，满足条件，故D 正确. 故选：D8．已知3()1f x ax bx =++，且f (5)=7，则f (－5)的值是（） A ．－5 B ．－7C ．5D ．7【答案】A 【分析】令3()g x ax bx =+利用函数的奇偶性计算可得； 【解析】解：因为3()1f x ax bx =++，令3()g x ax bx =+，()()1f x g x =+则()()()()33()g x a x b x ax bx g x -=-+⋅-=-+=-，即3()g x ax bx =+为奇函数，又()57f =，所以()()5517f g =+=，所以()56g =，所以()()556g g -=-=-，所以()()551615f g -=-+=-+=-故选：A9．若()x φ，()g x 都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在（0，＋∞）上有最大值5，则()f x 在（－∞，0）上有（ ） A ．最小值－5 B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3【答案】C 【分析】由于()x φ、()g x 为奇函数，得()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数，则()2f x -在（0，＋∞）上有最大值3，即可得()f x 的最值. 【解析】因为()x φ、()g x 为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数． 又()f x 有最大值5， ∴()2f x -在（0，＋∞）上有最大值3，∴()f x －2在(,0)-∞上有最小值－3，∴()f x 在(,0)-∞上有最小值－1． 故选：C10．偶函数()y f x =在1[,)2+∞内是增函数，下列不等式一定成立的是（ ） A ．(1)(2)0f f +-> B ．(1)(2)0f f +-< C ．(1)(2)0f f --> D ．(1)(2)0f f --<【答案】D 【分析】利用函数的单调性可得(1)(2)0f f -<，再利用奇偶性可得答案. 【解析】因为函数()y f x =在1[,)2+∞内是增函数，且1212>>， 所以(2)(1)(1)(2)0f f f f >⇒-<， 又因为函数()y f x =是偶函数， 所以(2)(2)f f =-， 所以(1)(2)0f f --<， 故选：D.11．若奇函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，且最小值是1，则f (x )在[-b ，-a ]上是（ ） A ．增函数且最小值是-1 B ．增函数且最大值是-1 C ．减函数且最小值是-1 D ．减函数且最大值是-1【答案】B 【分析】根据奇函数在对称区间上的单调性相同，结合选项判断即可． 【解析】因为函数f （x ）是奇函数，且在[a ，b]上是增函数，故函数在对称区间上单调性相同，即函数在[-b ，-a]上是增函数，在-1处取得最大值，由奇函数的性质得到(1)(1) 1.f f -=-=- 故选：B12．已知函数2()f x x ax b =++，且(2)f x +是偶函数，则57(1),(),()22f f f 的大小关系是（ ）A ．57()(1)()22f f f <<B ．75(1)()()22f f f <<)C ．75()(1)()22f f f <<D ．75()()(1)22f f f <<【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性及单调性即可比较大小. 【解析】由(2)f x +是偶函数可知函数2()f x x ax b =++关于直线2x =对称，所以(1)(3)f f =， 又该函数图象开口向上，当2x >时单调递增， 故57()(1)()22f f f <<， 故选：A.13．已知函数()22,x xf x -=-则不等式()()280x f f +-<的解集为（ ）A ．(-3，0)B ．(),3-∞C ．(0，3)D ．()3,+∞【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性转化为解()2(8)xf f <.【解析】因为(2,)2x x R f x x -=-∈，()()22xx f x f x --=-=-，所以()22xxf x -=-为奇函数，2x y =是增函数，2x y -=是减函数()22x x f x -=-为R 上的增函数，所以()2(8)0x f f +-<等价于()2(8)xf f <，因此28x <，即：3x <. 故选：B.14．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()21f x x =+，则(3)f 等于（ ） A ．7- B ．7C ．5-D ．5【答案】D 【分析】由奇函数定义可求解 【解析】()33215f -=-⨯+=- ()(3)35f f =--=故选：D15．已知()()22xxf x a a =-≠为奇函数，则“12m <-”是“()0f m >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】根据奇函数的定义及充要条件的定义判断. 【解析】 因为()()22xx f x a a =-≠为奇函数，所以()()0f x f x +-=，220x x x x a a ---+-=，()()12102xxx a a ⎡⎤--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦恒成立，()21xa =，12a =， ()22x x f x -=-为R 上的减函数，且()00f =，所以()0f m >，0m <， 因此，“12m <-”是“()0f m >”的充分不必要条件. 故选:B ．16．已知y =f (x )的图象关于坐标原点对称，且对任意的x ∈R ，f (x +2)=f (-x )恒成立，当10x -≤<时，f (x )=2x ，则f (2021)=_____________. 【答案】12- 【分析】由已知条件推出函数()f x 的周期，利用函数的周期和奇偶性求值即可． 【解析】y =f (x )的图象关于坐标原点对称，则()()f x f x =--又()()2f x f x +=-，可得()()()22f x f x f x +=-=-，即()f x 的周期为4()()()()1202145051112f f f f =⨯+==--=-故答案为：12-17．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()f x g x x x a -=++，则(2)g =__________．【答案】8 【分析】由已知求得()()f x g x ---，建立方程组，可求得()3g x x =-，代入可求得答案．【解析】 因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以3232()()()()f x g x x x a x x a ---=-+-+=-++，即32()()f x g x x x a +=-++，又32()()f x g x x x a -=++，所以()3g x x =-，所以()3228g ==-，故答案为：-8．18．已知()f x 为奇函数，且当0x >时单调递增，(3)0f =，则不等式()0xf x <的解集__________． 【答案】(3,0)(0,3)-⋃ 【分析】把()0xf x <转化为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，利用()f x 的单调性、奇偶性及(3)0f =可解.【解析】由题意(3)(3)0f f -=-=，当0x >时，由()0f x <得03x <<， 根据函数为奇函数，当0x <时，函数单调递增，由()0f x >得30x -<<，所以0()0()0x xf x f x >⎧<⇔⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，解得03x <<或30x -<<．所以不等式的解集为(3,0)(0,3)-⋃． 故答案为：(3,0)(0,3)-⋃ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式.19．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=，又当(0,1)x ∈时，()21x f x =-，则12(log 7)f 的值等于__________．【答案】34- 【分析】由(2)()f x f x +=，得()f x 的周期为2，再判断12log 72+的范围为(1,0)-，再利用奇函数的性质可得1111222277(log 7)(log 72)(log )(log )44f f f f =+==--，然后代入()21x f x =-中可得结果 【解析】(2)()f x f x +=，()f x 是周期为2的函数，123log 72-<<-，121log 720∴-<+<，()y f x =是定义在R 上的奇函数，1111222277(log 7)(log 72)(log )(log )44f f f f =+==--27log 473(21)(1)44=--=--=-．故答案为：34-． 20．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上为增函数，若112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式1(21)0f x -≤+≤的解集为___________ 【答案】3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，【分析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，将不等式1(21)0f x -≤+≤，转化为()1(21)02f f x f ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，利用函数在R 上是增函数求解. 【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以()11,002f f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， 所以不等式1(21)0f x -≤+≤，即为()1(21)02f f x f ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，因为函数在[)0,+∞上为增函数，则在R 上是增函数，所以12102x -≤+≤， 解得3142x -≤≤-，所以不等式的解集为3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，，故答案为：3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，21．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=-f (x ).当x ∈[0，2]时，()22.f x x x =- （1）求证：f (x )是周期函数；（2）当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式； （3）计算()()()012)20(17f f f f +++⋯+. 【答案】（1）证明见解析；（2）f(x)=x2-6x+8；（3）1. 【分析】（1）把2x +看成一个整体证明()()4f x f x +=即可； （2）先求x ∈[-2，0]的解析式，再利用周期性即可； （3）利用周期性即可获解. 【解析】（1）∵f(x+2)=-f(x)，∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. （2）当x ∈[-2，0]时，-x ∈[0，2]， 由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2，∴f(x)=x2+2x. 又当x ∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数 ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x ∈[2，4]时，f(x)=x2-6x+8.（3）f （0）=0，f （2）=0，f （1）=1，f （3）=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f （0）+f （1）+f （2）+f （3）=f （4）+f （5）+f （6）+f （7）=… =f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0， ∴f （0）+f （1）+f （2）+…+f(2017)= f （0）+f （1）=0+1=1. 22．函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5=-f ，求((5))f f .【答案】15- 【分析】先通过1(2)()f x f x +=可推断函数()f x 是以4为周期的函数，进而可求得(5)(1)f f =，(5)(1)f f -=-；根据1(2)()f x f x +=可求得1(1)(1)f f -=，进而可求得((5))f f .【解析】 1(2)()f x f x +=， 1(22)(1)5(2)f x f f x ∴++===-+，((5))(5)(1)f f f f =-=-，又111(1)(12)(1)5f f f -===--+，1((5))5f f ∴=-.23．已知函数11(),11f x ax a R x x =++∈+-． （I ）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）当2a <时，证明：函数()f x 在(0,1)上单调递减． 【答案】（Ⅰ）()f x 为奇函数，证明见解析；（Ⅱ）证明见解析； 【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，然后直接利用奇偶性的定义判断； （Ⅱ）直接利用单调性的定义证明； 【解析】（Ⅰ）解：()f x 为奇函数； 证明：因为11(),11f x ax a R x x =++∈+- 所以()f x 的定义域为{|1x R x ∈≠-且1}x ≠， 1111()()()1111f x ax ax f x x x x x -=-++=-++=--+--+-， ∴函数()f x 为奇函数；（Ⅱ）证明：任取1x ，2(0,1)x ∈，设12x x <，则 212112121212()()()(1)(1)(1)(1)x x x x f x f x a x x x x x x ---=-++--++12121211()[](1)(1)(1)(1)x x a x x x x =-----++121222122(1)()[](1)(1)x x x x a x x +=----．1201x x <<<，122(1)2x x ∴+>，22120(1)(1)1x x <--<，∴1222122(1)2(1)(1)x x a x x +>>--， 1222122(1)0(1)(1)x x a x x +∴-<--．又120x x -<，12()()f x f x ∴>．∴函数()f x 在(0,1)上单调递减；24．（1）()f x 是R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()31f x x x =-，求x ∈R 时()f x 的解析式；（2）设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，求()f x 和()g x 的解析式．【答案】（1）()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩；（2）()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-；()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-.【分析】（1）利用函数的奇偶性求得函数()f x 的解析式.（2）利用函数的奇偶性列方程组，解方程组求得()f x 和()g x . 【解析】（1）由于()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x >时，0x -<，所以()()()()3311f x f x x x x x ⎡⎤=--=--=+⎣⎦.所以()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩. （2）由于()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+， 所以()()21f x g x x x ---=-，即()()21f xg x x x--=-， 由()()()()2211f x g x x x f x g x x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-⎩，解得()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-；()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-.25．设函数()f x 的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的12x x ≠，有f (12x x -)=12211()()()()f x f x f x f x +- . 求证：()f x 是奇函数.【答案】证明见解析 【分析】对定义域内任意x 存在1x 和2x ，使12x x x =-，同样存在1x 和2x ，使21x x x -=-，根据条件可得12()f x x -与21()f x x -的关系，即()f x 与()f x -间的关系，根据奇偶函数定义即可判断．【解析】解：函数()f x 在定义域内是奇函数．因为在定义域内，对任意x 存在1x 和2x ，使12x x x =-， 且满足1212211()()()()()f x f x f x x f x f x +-=-，由于函数()f x 的定义域关于原点对称，x -必与x 同时在定义域内， 同样存在1x 和2x ，使21x x x -=-，且满足：2121121()()()()()()f x f x f x f x x f x f x +-=-=-，即()()f x f x =--，()()f x f x ∴-=-，∴函数()f x 在定义域内是奇函数．26．()f x =为奇函数，则a 的取值范围【答案】1a ≤- 【分析】先求函数得定义域，再根据奇函数得出恒等式，进而可得结果. 【解析】()f x 定义域为11x -≤≤且0x ≠，()f x 为奇函数，所以()()-==-=f x f x 所以对11x -≤≤且0x ≠，++=---x a a x a a 恒成立 所以+=2+--x a x a a 恒成立()+2221min x a x a x a x a x +-≥⇒-≥⇒≤-=-所以1a ≤- 【点睛】关键点点睛：函数的定义域容易被忽略，本题考查了计算化简能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 27．已知函数()()f x g x 、的定义域都是R ，而()f x 是奇函数，()g x 是偶函数. ①判断[]2()()3()F x f x g x =-的奇偶性；②如果22()3()623f x g x x x +=-+，求函数()()f x g x 、的表达式. 【答案】①偶函数；②2(),()21f x x g x x =-=+ 【分析】（1）按照定义判断即可；（2）由条件解得22()3()2()3()623f x g x f x g x x x -+-=-+=++，然后解出即可. 【解析】（1）因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数所以[][][]()222()()3()()3()()3()F x f x g x f x g x f x g x F x -=---=--=-= 所以[]2()()3()F x f x g x =-是偶函数（2）因为22()3()623f x g x x x +=-+，()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 所以22()3()2()3()623f x g x f x g x x x -+-=-+=++ 所以可解得2(),()21f x x g x x =-=+28．2()2x x af x a-=+为奇函数，则a 的值【答案】±1 【分析】利用奇函数的定义可得()()f x f x -=-列式，化简可求出a 的值 【解析】解：因为2()2x x af x a-=+为奇函数，所以()()f x f x -=-，即2222x x x xa aa a----=-++， (2)(2)(2)(2)x x x x a a a a ---+=+-化简得21a =，得1a =±， 当1a =时，21()21x x f x （x ∈R ），此时211221()()211221x x x x xx f x f x ------===-=-+++， ()f x 为奇函数，当1a =-时，21()21x x f x +=-（0x ≠），此时211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，()f x 为奇函数， 所以1a =±29．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且当[)2,0x ∈-时，()2f x x x =-.（1）求函数()f x 在[2,2]-上的解析式.（2）若()229m x m f a --≥对所有[2,2]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()[)()()(]()222,0,00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩；（2）[]1,1-.【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式；（2）由二次函数的性质可得函数()f x 的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数m 的取值范围． 【解析】（1）函数()f x 为定义域上的奇函数，所以()00f =，当(]0,2x ∈时，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦，所以()[)()()(]()222,0,00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩（2）根据题意得，函数()f x 为减函数，所以()f x 的最小值为()26f =-， 要使()229m x m f a --≥对所有[]2,2x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即2629m am -≥--对所有[]1,1a ∈-恒成立，则()()221230,1230,g m m g m m ⎧-=+-≤⎪⎨=--≤⎪⎩即31,13,m m -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ∴11m -≤≤，∴实数m 的取值范围是[]1,1-. 30．已知函数()()()21,311x x xf xg x f x x x x --=++=--+. （1）判断并证明函数()g x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()g x 在(1)+∞，上的单调性； （3）若()()2227244f m m f m m -+≥-+成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）递增，证明见解析；（3）[]1,3-. 【分析】（1）函数()g x 为奇函数，计算得到()()g x g x -=-得到证明；（2）函数()g x 在()1,+∞上单调递增，设121x x <<，计算()()120g x g x -<得到证明；（3）根据函数的单调性得到不等式2227244m m m m --+≥+，计算得到答案. 【解析】（1）根据题意，()g x 为奇函数，()()21111331111x x x g x f x x x x x x x --⎛⎫=-=++-=-++ ⎪-+-+⎝⎭， 其定义域为{|1x x ≠-且0x ≠且1}x ≠，关于原点对称， 则有()()11111g x g x x x x ⎛⎫-=-++=-⎪-+⎝⎭，则函数()g x 为奇函数； （2）根据题意，函数()g x 在()1,+∞上的单调递增，设121x x <<，()()121112221111111111g x g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+++++ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()()()()121212121111111x x x x x x x x ⎡⎤=-++⎢⎥--++⎢⎥⎣⎦，又由121x x <<，则()()120g x g x -<，则函数()g x 在()1,+∞上的单调递增， （3）根据题意，()g x 在()1,+∞上的单调递增，()()3f x g x =+在()1,+∞上的单调递增；又由()()2222271612442121m m m m m m +=-+>+=--+->，， ()()2227244f m m f m m -+≥-+，∴2227244m m m m --+≥+，解可得：13m -≤≤； 即m 的取值范围为[]1,3-. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==.。
函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法可以通过以下步骤进行：
1. 对函数进行求导，求得函数的导函数。
根据函数导数的性质，奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。
2. 对导函数进行判断。
如果导函数是奇函数，则原函数是偶函数；如果导函数是偶函数，则原函数是奇函数。
这是因为奇函数的导函数是偶函数，而偶函数的导函数是奇函数。
3. 对函数进行奇偶性的验证。
可以选择任意一个点，例如选择$x=0$或$x=1$，计算函数在这个点上的值。
如果函数在选定
的点上的函数值与该点的对称点的函数值相等，则函数是偶函数；如果函数在选定的点上的函数值与该点的对称点的函数值相反，则函数是奇函数。
4. 对函数进行数学性质的分析。
对于多项式函数，可以通过观察多项式的幂次、系数的奇偶性来判断函数的奇偶性。
例如，对于只包含偶次幂的多项式函数，它是偶函数；对于只包含奇次幂的多项式函数，它是奇函数。
5. 对函数进行图像观察。
通过绘制函数的图像，观察函数的对称性和变化趋势来判断函数的奇偶性。
奇函数的图像通常具有关于原点对称的特点，而偶函数的图像则具有关于y轴对称的特点。
通过以上方法的一个或多个的综合应用，可以准确地判断一个函数的奇偶性。
如何判断一个函数的奇偶性
如何判断一个函数的奇偶性函数的奇偶性是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们研究函数的性质和特点。
判断一个函数的奇偶性可以从不同的角度出发，下面将介绍几种常见的方法。
一、利用函数的定义进行判断对于定义在整个实数集上的函数f(x)，我们可以通过以下方式来判断它的奇偶性：1. 如果f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；2. 如果f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；3. 如果既不满足条件1，也不满足条件2，则函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数。
例如，对于函数f(x) = x²，我们有f(-x) = (-x)² = x²，因此函数f(x)是偶函数。
二、利用函数图像进行判断通过观察函数的图像，我们也可以判断函数的奇偶性。
对于定义在整个实数集上的函数f(x)，如果函数的图像关于y轴对称，则函数是偶函数；如果函数的图像关于原点对称，则函数是奇函数。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，我们知道正弦函数的图像关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数。
三、利用导数进行判断对于可导函数f(x)，我们还可以通过判断函数的导数来确定其奇偶性。
如果函数的导数f'(x)满足以下条件：1. 如果f'(-x) = f'(x)，则函数f(x)是偶函数；2. 如果f'(-x) = -f'(x)，则函数f(x)是奇函数；3. 如果既不满足条件1，也不满足条件2，则函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数。
例如，对于函数f(x) = x³，我们有f'(-x) = (-x)³ = -x³，而f'(x) = 3x²，因此函数f(x)是奇函数。
四、利用级数展开进行判断对于周期为2π的函数f(x)，我们还可以通过将函数展开成傅里叶级数来判断函数的奇偶性。
根据傅里叶级数的性质，如果函数f(x)满足以下条件：1. 如果f(x) = f(-x)，则函数f(x)是偶函数；2. 如果f(x) = -f(-x)，则函数f(x)是奇函数；3. 如果既不满足条件1，也不满足条件2，则函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数。
判断函数奇偶性的三种方法
判断函数奇偶性的三种方法函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性。
当函数在原点对称时，我们称其为偶函数；当函数关于原点对称时，我们称其为奇函数。
判断函数奇偶性的三种方法分别是函数表达式的法则、函数图像的法则和函数的性质法则。
一、函数表达式的法则：设函数表达式为f(x)，则有以下判断准则：1.当f(x)=f(-x)时，函数为偶函数。
如f(x)=x^2，f(-x)=(-x)^2=x^2，因此函数f(x)=x^2是偶函数。
2.当f(x)=-f(-x)时，函数为奇函数。
如f(x)=x^3，f(-x)=(-x)^3=-x^3，因此函数f(x)=x^3是奇函数。
通过观察函数表达式中的幂指数的奇偶来判断函数的奇偶性，奇次幂代表奇函数，偶次幂代表偶函数。
二、函数图像的法则：函数图像关于y轴对称时，函数为偶函数；函数图像关于原点对称时，函数为奇函数。
通过绘制函数的图像来观察图像的对称性，从而判断函数的奇偶性。
如果图像关于y轴对称，则函数为偶函数；如果图像关于原点对称，则函数为奇函数。
三、函数的性质法则：对于连续函数，可以通过计算函数的导数来判断函数的奇偶性。
1.对于偶函数，其导函数也为偶函数。
如果函数f(x)是偶函数，则f'(x)=0，即f'(-x)=0。
因此，函数f(x)的导函数f'(x)也是偶函数。
例如f(x)=x^2，f'(x)=2x，f'(-x)=2(-x)=-2x，f'(x)也是偶函数。
2.对于奇函数，其导函数也为奇函数。
如果函数f(x)是奇函数，则f'(x)=-f'(-x)。
因此，函数f(x)的导函数f'(x)也是奇函数。
例如f(x)=x^3，f'(x)=3x^2，f'(-x)=3(-x)^2=3x^2，f'(x)也是奇函数。
综上所述，判断函数的奇偶性主要有三种方法：函数表达式的法则、函数图像的法则和函数的性质法则。
高中数学知识点：判断函数奇偶性的常用方法
第 1 页 共 1 页 高中数学知识点：判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.
（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()
f x f x -=±是否成立即可. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.。
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函数奇偶性的判断在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件，一是定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；二是判断f (x )与f(－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立，这样能简化运算如本题中(4)，判断f (x )＋f (－x )＝0是否成立，要方便得多．本题(3)是分段函数判断奇偶性，分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )是否成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．函数奇偶性的应用()()()()()()()()2211lg 2(1(0)1134.212(0)xx f x f xx x x x xf x f x x x x -+⎧+>⎪≥⎨--<⎪⎩判断下列函数的奇偶性．＝＝－＝；＝【－例1】()()()()11011111()lg lg(111lg 11101112xx xf x x x f x x xx f x xx x x-><<+--++-++≥≤<-－由，得－，故的定义域关于原点对称．又－＝＝－＝－，故原函数是奇函数．由，得－，定义域不关于原点对称，故原函数是非奇非【解析】偶函数．()()()()()()()()()2222(0)(0)000()000()()11211121212222134x x x xf x x f x x x x x f x x x f x x f x x x x x f x x x f x f x f x f x ∞∞><><><-=---R 的定义域为－，，＋，它关于原点对称．又当时，＝＋，则当时，－，故－＝－＝；当时，＝－，则当时，－，故－＝＋＝．故原函数是偶函数．因为的定义域为，且－＝－＝－＝－，()()()()()()()()21lg 12|2|23lg( 14211 f x x f x x f x x x x f x x x (-)--⎧≤⎪⎨->⎪⎩判断下列函数的奇偶性．＝；【＝．＝变式练习】()()()()2{1,1}()1011|2|2()12f x f x x x x x f x f x ±><<因为定义域－关于原点对称，且－＝，所以原函数既是奇函数又是偶函数．【解析】由－，得－，则－－＝－，且－＝－，故原函数是奇函数．()()()()())lg(34f x x x f x f x R 因为定义域为全体实数，且－＝＝＝－＝－，故原函数是奇函数．因为定义域是，关于原点对称，作出函数的图象，可知是偶函数．()log (a f x x a 【若函数＝是奇函数，求实例】数2的值．()()222()0log (log )0log 2021.0200log 0212a a a f x f x x x a a a a f a a >由＋－＝，得＋＝，即＝，所以＝因为，所以＝因为奇函数的定义域为全体实数，所以函数在原点有定义，则＝定义法：，即，则＝，得性质【法：＝解析】抓住奇函数的定义或特殊性质，是解决此类问题的重要法宝函数的周期性【例3】偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝－f (x )，当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝2x ，求f (116.5)的值．【解析】因为f (x ＋6)＝f [3＋(x ＋3)]＝－f (x ＋3)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝6. 又116.5＝19×6＋2.5，所以f (116.5)＝f (2.5)＝f (－2.5)＝2×(－2.5)＝－5.求周期函数的函数值，要根据函数的周期性，将自变量的范围转化到已知区间上，利用已知区间上函数的表达式求函数值【变式练习2】已知函数f (x )(x ∈R )的图象经过原点，且f (x ＋2)＝f (x ＋5)，求f (2010)的值．【解析】令u ＝x ＋2，得x ＝u －2，则f (u )＝f (u ＋3)，所以函数f (x )的周期为3. 依题意，f (0)＝0，且2010＝670×3， 所以f (2010)＝f (0)＝0.函数的奇偶性、周期性的综合在抽象函数讨论中，函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性是紧密联系在一起的，如偶函数具有对称轴x ＝a (a >0)，则一定是周期函数．因为图象关于x ＝a (a ≠0)对称，则f (a －x )＝f (a ＋x )成立，所以f (2a ＋x )＝f [a ＋(a ＋x )]＝f [a －(a ＋x )]＝f (－x )＝f (x )，所以周期为2a 【变式练习4】f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋3)＝f (3－x )．若x ∈(0,3)时，其解析式为y ＝x 2＋1，求x ∈(－6，－3)时，函数f (x )的解析式．【解析】因为f (x )在R 上是奇函数， 所以f (6＋x )＝f [3＋(3＋x )]＝f [3－(3＋x )] ＝f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (x ＋6)．当x ∈(－6，－3)时，x ＋6∈(0,3)， 所以f (x ＋6)＝(x ＋6)2＋1，则f (x )＝－x 2－12x －37(x ∈(－6，－3))1.若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝_________ 【解析】由f (－1)＝f (1)，得0＝2(1－a )，所以a ＝1.【解析】定义域是R ，关于原点对称，且f (x )＋f (－x )＝0，故为奇函数．()21lg 12.2a b a D axf x D x∈≠++R 设，且，定义在上的函数＝是奇函数，求定【练习】义域变式()222222211()0lg lg 012121lg 0114 4.142 2.1201211<x<.2211(-)22ax axf x f x x x a x a x x a x a a x D x D +-+---≠->+由＋－＝，得，即＝，所以－＝－，得＝又，所以＝－故函数的定义域由确定，解得-故原函数的定义域为【，解析】()()()()()(2)1(2)(2).124f x f x f x f x f x f x f x ()R 已知是定义在上的函数，＋＝－－，＋＝－函数是不是周期函数，若是，求出其一个周期；判断【例】的奇偶性．()()()()()()()()1(4)[2(2)]24.(2)(2)22(4)(4)()(41)1(2)f x f x f x f x f x f x f x u x x u f u f u f x f x x x f x f x f x f x (+)是周期函数．因为＋＝＋＋＝－＝，故其一个周期为由＋＝－－，令＝－，则＝－，故＝－－，即＝－－．用－代，得－＝－＋．结合知，－＝－，是【解析】奇函数．()2.f x 判断函数是________函数．3.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________【解析】方法1：因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝－f (－0)＝－f (0)，所以f (0)＝0， 所以f (6)＝－f (4)＝f (2)＝－f (0)＝0.方法2：因为f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数．又因为f (0)＝－f (－0)＝－f (0)，所以f (0)＝0， 所以f (6)＝f (2)＝－f (0)＝0.4.已知f (x )是R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋log2x ，求函数f (x )的解析式．5.已知函数f (x )对一切x 、y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求证：f (x )是奇函数；(2)若f (－3)＝a ，用a 表示f (12)．1．函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．因此，判断函数的奇偶性，一要看定义域是否关于原点对称；二要看f (x )与f (－x )的关系．2．判断函数奇偶性的方法一般有两种：一是定义法，步骤：看定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数；若对称，则看解析式能否化简，能够化简的，一定要化简解析式；看f (x )与f (－x )的关系，可以直接观察，也可以用定义的变形式；二是图象法，作出图象，根据图象的对称性得出结论，一般分段函数的奇偶性的判断多用图象法．3．奇函数f (x )如果在x ＝0处有意义，则必有f (0)＝0，即奇函数的图象若与y 轴有交点，则交点一定是原点． 4．如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则这个函数的函数值恒为0，且定义域关于原点对称．5．函数的周期性亦是函数在其定义域上的整体性质，它反映了函数值周期变化的规律．值得注意的是周期函数不一定存在最小正周期．注意以下几个常用结论：()()()222200()2log ()()2log ()002log (0)0(0)2log ()(0)x x x x x x f x x f x f x x f x x f x x x x <>⎧>⎪=⎨⎪<⎩－－－设，则－，所以－＝＋－，那么＝－－＝－－－．又＝，＋所【解析以＝－－－】()()()()()()()()()()()()()()()()()000.00()()(3)()1226434(3)4.12f x f x y f x f y x y f x y y x f f x f x f x f x f x f a f x y f x f y f x f f f f a R 证明：显然的定义域关于原点对称．在＋＝＋中，令＝＝，得＝令＋＝，即＝－，得＝＋－，即－＝－，故为上的奇函数．由－＝，＋＝＋，为奇函数得＝＝＝－－【＝－解析】()()()()()()()()()()()(0)21()(0)21231()(0)14f x f x T f x T f x T f x f x T T f x f x T f x f x f x T T f x f x T ≠±≠()+()≠-()若函数满足＋＝－，则是周期函数，且是它的一个周期．若函数满足＋＝，则是周期函数，且是它的一个周期．若函数满足＋＝，则为周期函数，且是它的一个周期．。