2020年1月重庆市三峡名校联盟高2021届高2018级高2021届高2018级高二第一学期联合考试数学试题及解析

2019～2020学年度重庆市三峡名校联盟高中二年级第一学期
联合考试数学试题
一、单选题
1.将选项中所示的三角形绕直线l 旋转一周,可以得到下图所示的几何体的是( )
A. B. C. D.
【试题参考答案】B
由几何体的轴截面特征直接判断即可。

【试题解答】
由题可得:该几何体的轴截面是关于直线l 对称的, 并且l 的一侧是选项B 中的三角形形状。

故选:B
本题主要考查了空间思维能力及关于直线旋转的几何体特征,属于基础题。

2.设k 为实数,则方程()1y k x =+表示的图形是( ) A.通过点()1,0的所有直线 B.通过点()1,0-的所有直线
C.通过点()1,0且不与y 轴平行的所有直线
D.通过点()1,0-且不与y 轴平行的所有直线 【试题参考答案】D
由直线方程的斜截式判断,再由直线方程得到过定点判断。

【试题解答】
由直线方程的斜截式可知,直线斜率为k ,故直线不能与y 轴平行。

再由直线方程得到过
定点()1,0-,
本题考查了直线方程的斜截式及过定点问题。

3.已知命题:,(0,1)∀∈P x y ,2x y +<,则命题 P 的否定为( ) A.,(0,1)∀∈x y ,2x y +≥ B.,(0,1)∀∉x y ,2x y +≥ C.00,(0,1)∃∉x y ,002+≥x y D.00,(0,1)∃∈x y ,002+≥x y
【试题参考答案】D
根据全称命题的否定是特称命题,可直接得出结果. 【试题解答】
命题:,(0,1)∀∈P x y ,2x y +<的否定为“00,(0,1)∃∈x y ,002+≥x y ”。

故选D
本题主要考查全称命题的否定,只需改写量词与结论即可,属于基础题型.
4.如图,正方形O A C B ''''的边长为1cm ,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则它的原图形面积( )
A.22 C.2(13)+ D.6
【试题参考答案】A
由题意求出直观图中O B ''的长度,根据斜二测画法,求出原图形平行四边形的底和高,求出面积即可. 【试题解答】
由正方形O A C B ''''的边长为1cm ,所以2O B ''=
又正方形O A C B ''''是水平放置的一
个平面图形的直观图,所以它对应的原图为平行四边形高为222''=O B 底边长为1,所以原图形的面积为12222⨯=故选:A
本题主要考查斜二测画法,属于基础题.
5.已知m ,n 为两条直线,,αβ为两个平面,下列命题中正确的是( ) A.若n αP ,n βP ,则αβ∥ B.若m αP ,n αP ,则m n P C.若m α⊥,n β⊥,则αβ∥ D.若m α⊥,m β⊥,则αβ∥
【试题参考答案】D
A 项中,当直线平行于两相交平面的交线时,则直线与两平面都平行;
B 项中,平行于同一平面的两直线可能平行,可能相交,也可能异面;
C 项中,因为m 与n 关系不确定,所以由
m α⊥,n β⊥无法确定α与β间关系;D 项中,垂直于同一直线的两平面平行,即可得出
结论. 【试题解答】
A 项中,若n αP ,n βP ,则α与β平行或相交,故A 错;
B 项中,若m αP ,n αP ,则m 与n 平行、相交、异面均有可能,故B 错;
C 项中,若m α⊥,n β⊥,因为m 与n 关系不确定,所以无法确定α与β间关系,故C 错;
D 项中,若m α⊥,m β⊥,由垂直于同一直线的两平面平行可得αβ∥,故D 正确. 故选:D
本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系,解题的关键熟练掌握空间中线、面关系.
6.过点(1
2)A ，的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为( ) A.10x y -+=
B.30x y +-=
C.20x y -=或+30x y -=
D.20x y -=或10x y -+=
【试题参考答案】D
设直线方程为(1)2y k x =-+,计算截距得到2
210k k
--+=,计算得到答案. 【试题解答】
易知斜率不存在时不满足;
设直线方程为(1)2y k x =-+,则截距和为:2
210k k
--+=解得1k =或2k = 故直线方程为:1y x =+和2y x = 故选:D
本题考查了直线方程,意在考查学生的计算能力.
7.在ABC ∆中,“0AB AC ⋅<u u u r u u u r
”是“ABC ∆为钝角三角形”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【试题参考答案】A
由0AB AC ⋅<u u u r u u u r
可得出角A 为钝角,然后再利用充分条件、必要条件定义得出两条件之间的关系. 【试题解答】
cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅<u u u r u u u r u u u r u u u r
Q ,cos 0A ∴<,则A 为钝角, ∴“0AB AC ⋅<u u u r u u u r
”⇒“ABC ∆是钝角三角形”,
另一方面,“ABC ∆是钝角三角形”⇒“A 是钝角”.
因此,“0AB AC ⋅<u u u r u u u r
”是“ABC ∆为钝角三角形”的充分非必要条件.
故选:A.
本题考查充分不必要条件的判断,要结合充分条件与必要条件的定义来判断,考查推理能力,属于中等题.
8.圆台上底半径为2,下底半径为6,母线长为5,则圆台的体积为( ) A.40π
B.52π
C.50π
D.
212
3
π 【试题参考答案】B
作出圆台的轴截面,由圆台的上、下底面半径分别为2,6,构造直角三角形,结合母线长 为5,由勾股定理求出圆台的高.再求圆台的体积. 【试题解答】
作出圆台的轴截面如图所示:
上底面半径2MD =,下底面半径6NC =,过D 做DE 垂直NC , 则624EC =-=
由5CD = 故3DE = 即圆台的高为3,
所以圆台的体积为221
3(26523
V πππ=⋅⋅⋅+⋅=. 故选B .
本题考查的知识点是旋转体及其体积的计算,圆台的几何特征,其中画出轴截面,将空间问题转化为平面问题是解答的关键.
9.已知圆心(,)a b (0,0)a b ><在直线21y x =-+上,且与x 轴相切,在y 轴上截得的弦
长为则圆的方程为( ) A.22(3)(5)25x y -++= B.22(2)(3)9x y -++=
C.2
2
(1)(1)1x y -++= D.22
2749339x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 【试题参考答案】B
由题意可分析出圆的半径为b ,圆心到y 轴的距离为a ,y
轴上截得的弦长为圆心到直线的距离、弦长的一半和半径正好构成直角三角形,
由勾股定理可列出等式
2
22
=+
b a ,再由圆心(,)a b 在直线21y x =-+上,所以21b a =-+,联立方程求出
a ,
b 的值,写出椭圆方程即可.
【试题解答】
因为圆心(,)a b (0,0)a b ><在直线21y x =-+上,所以将圆心(,)a b 代入直线方程可得21b a =-+①,因为圆与x 轴相切,所以圆的半径为b ,圆心到y 轴的距离为a ,又因为在y
轴上截得的弦长为
所以由勾股定理可得2
22=+
b a ②,联立①②
可得
2
2221
b a b a =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩
,又因为0,0a b ><,所以可解得2a =,3b =-,所以圆心为(2,3)-,
半径为3,所以圆的方程为22
(2)(3)9x y -++=. 故选:B
本题主要考查直线与圆的位置关系,解题的关键是运用数形结合的思想解题.
10.若圆()()22
235x y r -++=上有且只有两个点到直线432x y -=的距离等于1,则半径r 的范围是( ) A.(]4,6
B.[)4,6
C.()4,6
D.[]4,6
【试题参考答案】C
先求出圆心到直线的距离d ,再根据有且只有两个点到直线432x y -=的距离等于1得到半径的范围为()1,1d d -+. 【试题解答】
圆心坐标为()3,5-,它到直线432x y -=的距离为5d =
=,
因为有且只有两个点到直线432x y -=的距离等于1,故半径()1,1R d d ∈-+, 所以()4,6R ∈. 故选C.
若圆的圆心到直线的距离为d ,圆的半径为r ,
(1)若圆上有且仅有四个点到直线的距离为m ,则0d r m ≤<-; (2)若圆上有且仅有三个点到直线的距离为m ,则d r m =-; (3)若圆上有且仅有四个点到直线的距离为m ,则r m d r m -<<+; (4)若圆上有且仅有一个点到直线的距离为m ,则d r m =+.
11.如果底面是菱形的直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,60ABC ︒∠=,E ,M ,N 分别为,AB ,BC 1CC 的中点,现有下列四个结论:①CE ⊥平面11CC D D ②1A B MN ∥③1AD ∥平面1A MN ④异面真线1D C 与MN 所成的角的余弦
值为
3
4
,其中正确结论的个数为( ) A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【试题参考答案】C
根据线面垂直的性质可判断①正确;由1MN BC P 可知1A B 与MN 为异面直线,故②错误;根据线面平行的性质可判断③正确;根据异面直线1D C 与MN 所成的角即为11A BC ∠,可求出其余弦值.
【试题解答】
如图,①连接AC ,CE ,因为60ABC ︒∠=,AB BC =,所以ABC ∆为等边三角形,又E 为
AB 的中点,所以CE AB ⊥,因为1111ABCD A B C D -为底面是菱形的直棱柱,所以
AB CD ∥,所以CE CD ⊥,因为1CC ⊥底面ABCD ,又CE ⊂底面ABCD ,所以
1⊥CC CE ,又因为1=I CC CD C ,所以CE ⊥平面11CC D D ,故①正确;
②连接1A B ,MN ,1C B ,因为M ,N 分别为BC ,1CC 的中点,所以1MN BC P ,又
11A B BC B ⋂=,所以1A B 与MN 为异面直线,故②错误;
③连接1AD ,所以11AD BC P ,又1MN BC P ,所以1∥MN AD ,又因为MN ⊂平面
1A MN ,1AD ⊄平面1A MN ,,所以1AD ∥平面1A MN ,故③正确;
④连接1A B ,所以11D C A B P ,又1MN BC P ,所以异面真线1D C 与MN 所成的角即为
11A BC ∠,设1111ABCD A B C D -的所有棱长都为1,则112==A BC B ,111=AC ,由余弦
定理可知113
cos 4
222=
=⨯⨯∠BC A ,故④正确.所以正确的有①③④.
故选:C
本题主要考查空间几何体中线面关系,要重点考查线面垂直、线面平行的性质,以及异面直线所成角的求法.
12.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比
||
||
MQ MP λ=(0,1)λλ>≠,那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹
是阿波罗尼斯圆,其方程为2
2
1x y +=,定点Q 为x 轴上一点,1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
且2λ=,若点(1,1)B ,则2||||MP MB +的最小值为( )
A.6
B.7
C.10
D.11
【试题参考答案】C
设(),0Q a ,(),M x y ,根据
||
||
MQ MP λ=和221x y +=求出a 的值,由2||||||||+=+MP MB MQ MB ,两点之间直线最短,可得2||||MP MB +的最小值为
BQ ,根据坐标求出BQ 即
【试题解答】
设(),0Q a ,(),M x y ,所以()22=
-+MQ x a y ,由1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
,所以2
212⎛⎫=++ ⎪⎝⎭PQ x y ,因为||||MQ MP λ=且2λ=,所以()
2
2
22212-+=⎛⎫++ ⎪⎝
⎭x a y x y
,整理可得222421
33+-++=
a a x y x ,又动点M 的轨迹是221x y +=,所以24203113
a
a +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,解得 2a =-,所以()2,0Q -,又=2||MQ MP 所以2||||||||+=+MP MB MQ MB ,因为
(1,1)B ,所以2||||MP MB +的最小值为()()
22
121010=
++-=BQ .
故选:C
本题主要考查圆上动点问题,考查两点间直线最短.
二、填空题
13.若“x a >”是“2x >”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是________. 【试题参考答案】(2,)+∞
根据“x a >”是“2x >”的充分不必要条件,可知{}x x a >是{}
2x x >的子集,由集合间关系即可求出. 【试题解答】
因为“x a >”是“2x >”的充分不必要条件,所以2>⇒>x a x ,所以2a >. 故答案为:(2,)+∞
本题主要考查充分、必要条件,解题的关键是会分析充分必要条件与集合间关系.
14.已知12,F F 为椭圆22
1259
x y += 的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B ， 两点,若
2212F A F B += ,则||AB = ________
【试题参考答案】8
运用椭圆的定义,可得三角形ABF 2的周长为4a ＝20,再由周长,即可得到AB 的长. 【试题解答】
椭圆22
259
x y +=1的a ＝5,
由题意的定义,可得,|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a , 则三角形ABF 2的周长为4a ＝20, 若|F 2A |＋|F 2B |＝12, 则|AB |＝20﹣12＝8. 故答案为:8
本题考查椭圆的方程和定义,考查运算能力,属于基础题.
15.过点P 且与圆224x y +=相切的直线方程 ___.
40y +-=
解:因为点P 在圆上,则过圆上点的切线方程为
00434
xx yy x y +=∴+=
化为一般式即为340
x y
+-=
16.已知底面边长为a的正三棱柱111
ABC A B C
-(底面是等边三角形的直三棱柱)的六个顶点在球1
O上,且球
2
O与此正三棱柱的5个面都相切,则球
1
O与球
2
O的表面积之比为________.
【试题参考答案】5: 1
设球1
O与球
2
O的半径分别为R,r,由题意分析球
2
O的半径等于正三棱柱底面正三角形内切圆的半径,且等于正三棱柱高的一半,求出其半径r,再由球1
O的球心在上下底面中心连线的中点上,求出半径R,再由球的表面积公式求出比值即可.
【试题解答】
设球1
O与球
2
O的半径分别为R,r,因为球
2
O与此正三棱柱的5个面都相切,所以球
2
O的半径等于正三棱柱底面正三角形内切圆的半径,且等于正三棱柱高的一半,如图所示,因为正三棱柱111
ABC A B C
-底面边长为a的正三棱柱,所以AB a
=,所以
233
323
=⨯=
AE a a,
133
236
===⨯=
r DE OE a a,因为正三棱柱
111
ABC A B C
-的六个顶点在球
1
O上,所以球
1
O的球心在上下底面中心连线的中点上,所以
22
22222
335
12
⎛⎫⎛⎫
==+=+=
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
R OA OE AE a a a,所以球1O与球2O的表面积之比为
2
22
2
22
5
412
5
43
π
π
===
⎛⎫
⎪
⎝⎭
a
R R
r r
a
,所以表面积之比为5: 1.
故答案为:5: 1
本题以三棱柱为依托,考查正三棱柱外接球及内切球的性质,考察了空间想象能力,逻辑推理能力和运算求解能力.
三、解答题
17.已知:,p x R ∀∈cos x m >,q :方程22184x y
m m
+=+-表示焦点在x 轴上的椭圆,
(1)若命题p 为假命题,求实数m 的取值范围;
(2)若命题p 和命题q 中有一个为真命题且另一个为假命题,求实数m 的取值范围. 【试题参考答案】(1)1m ≥-(2)2m ≤-或14m -≤<
(1)令p 为真命题,求出m 的范围,则命题p 为假命题时,取补集即可;
(2)令命题q 为真命题,求出对应的m 范围,由命题p 和命题q 中有一个为真命题且另一个为假命题,则分情况p 真q 假和p 假q 真讨论,求出m 的取值范围即可. 【试题解答】
(1)若p 真;则cos x m >恒成立,所以1m <-; 则当P 为假时,1m ≥-.
(2)若q 真,方程22
184x y m m +=+-表示焦点在x 轴上的椭圆,则8440m m m +>-⎧⎨
->⎩
, 即:24m -<<则m 的取值范围是(2,4)-.
若p 真q 假,则1
42
m m m <-⎧⎨
≥≤-⎩或,所以2m ≤-;
若p 假q 真,则1
24m m ≥-⎧⎨
-<<⎩
,所以14m -≤<; 综上,2m ≤-或14m -≤<.
本题主要考查真假命题,熟练掌握命题的真假与集合补集间关系. 18.已知圆2
2
1:1C x y +=与圆2
2
2:60C x y x m +-+=. (1)若圆1C 与圆2C 外切,求实数m 的值;
(2)在(1)的条件下,若直线l 与圆2C 的相交弦长为(2,1),求直线l 的方程. 【试题参考答案】(1)5m =;(2)直线l 方程为:2x =或1y =
(1)先根据圆的方程求出圆心坐标和半径,再由由圆1C 与圆2C 外切,可知两圆心的距离等
于两圆半径之和,代入数据求解即可;
(2)分析可知弦的垂直平分线过圆心,由勾股定理可求出圆心到直线的距离,再由直线l 过点(2,1),可设出直线方程,分斜率存在和不存在两种情况,求出方程即可. 【试题解答】
(1)221x y +=Q ,1(0,0),C ∴11r =,
2260x y x m +-+=Q ,22(3)9x y m ∴-+=-,
2(3,0)C ∴,2r ,
Q 圆1C 与圆2C 外切,1212C C r r ∴=+,
31∴=,5m ∴=;
(2)由(1)得5m =,圆2C 的方程为22(3)4,x y -+=2(3,0),C 22r =,
设圆心2C 到直线l 的距离d ,因为直线l 与圆2C 的相交弦长为则有
2
22
2=+
r d ,代入数据解得1d =,
当直线l 无斜率时:直线方程为2x =.符合题意. 当直线l 斜率为k 时,则直线方程为1(2)y k x -=-, 化为一般形式为210kx y k --+=, 则圆心(3,0)到直线l 的距离
1d =
=,解得0k =.
综上,直线l 方程为:2x =或1y =.
本题主要考查圆与圆的位置关系,圆与直线的位置关系,求直线方程时要分析斜率是否存在.
19.如图,已知三棱锥A -BPC 中,,AP PC ⊥AC BC ⊥,M 为AB 的中点,D 为PB 的中点,且PMB △为正三角形.
(1)求证:DM P 平面APC ;
(2)若4BC =,10AB =,求三棱锥D -BCM 的体积. 【试题参考答案】(1)证明见解析53
(1)因为M 为AB 的中点,D 为PB 的中点,由中位线定理可得MD AP P ,再由线面平行的判定定理即可证明;
(2)根据题意得M 到平面BCD 的距离为MD 的长,由三棱锥D -BCM 的体积即为三棱锥M -BCD 的体积,由题设条件求出MD 的长,及三角形BCD 的面积,由椎体体积公式代入数据求解即可. 【试题解答】
(1)证明:因为M 为AB 的中点,D 为PB 的中点, 所以MD 是ABP △的中位线,MD AP P . 又MD Ë平面APC ,AP ⊂平面APC , 所以MD P 平面APC .
(2)在等边三角形PMB 中,D 为PB 的中点,
MD PB ∴⊥,AP PB ∴⊥,
又AP PC ⊥,PB PC ⊂、平面PBC ,PB PC P ⋂=,
AP ∴⊥平面PBC ,MD ∴⊥平面PBC , BC ⊂Q 平面PBC ,AP BC ∴⊥,
又BC AC ⊥Q ,PA AC ⊂、平面P AC ,PA AC A =I ,
BC ∴⊥平面P AC ,∴⊂PC 平面PBC ,BC PC ∴⊥.
MD ⊥Q 平面PBC ,即MD 是三棱锥M -DBC 的高.
又因为10AB =,M 为AB 的中点,PMB △为正三角形, 所以5PB MB ==,53
=
MD ,
由BC ⊥平面APC ,可得BC PC ⊥,
在直角三角形PCB 中,由5,PB =4BC =,可得3PC =. 于是111
433222
∆∆=
=⨯⨯⨯=BCP BCD S S ,
所以M D B BCM D C V V --=13∆=⋅BCD S MD 133=⨯=.
本题主要考查线面平行的判定及椎体的体积,解题的关键时对三棱锥体积的转化.
20.已知椭圆2
22:1x C y m
+=(常数1m >),P 是曲线C 上的动点,M 是曲线C 的右顶点,定
点A 的坐标为(2,0).
(1)若M 与A 重合,求曲线C 的焦距. (2)若3m =,求||PA 的最大值与最小值.
【试题参考答案】(1)||PA 的最大值为5,最小值为
2
. (1)由M 与A 重合,可得椭圆的右顶点的坐标为(2,0),即2m =,再由222c a b =-即可求出c 的值,从而求出焦距2c ;
(2)设(),P x y ,利用两点间的距离公式及点P 坐标满足椭圆方程,得到||PA 关于x 的一元二次方程,根据二次函数的性质求出||PA 的最大值与最小值即可. 【试题解答】
(1)根据题意,若M 与A 重合,即椭圆的右顶点的坐标为(2,0),
则2m =,所以椭圆的方程为:2
214
x y +=,其焦点在x 轴上,
设焦距为2c ,所以有2413=-=c 则c =,
所以椭圆焦距为(2)若3m =,则椭圆的方程为2219x y +=,变形可得22
19
x y =-,
设(),P x y ,则2
2
2
||(2)PA x y =-+2
288941
2
5994⎛⎫=-+=- +⎪⎝⎭x x x (33)x -≤≤
根据二次函数的性质,可得3x =-时,2||PA 取得最大值25, 当94x =
时,2
||PA 取得最小值12
, 所以||PA 的最大值为5,最小值为2
.
本题主要考查椭圆知识的综合应用,解题的关键是熟练掌握并应用椭圆的有关性质. 21.如图,在直角梯形
中,
,
,且
,点是
中点,现将
沿
折起,使点到达点的位置.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)若
与平面
所成的角为
,求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
【试题参考答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)
第(Ⅰ)问先证
平面
,由线面垂直证明面面垂直;
第(Ⅱ)问先找垂直关系后建立空间直角坐标系,利用向量法求出两面的法向量,进而求所成二面角的余弦值. 【试题解答】 解:(Ⅰ)证明:∵,,点是
中点,
∴,,∴四边形
为平行四边形,
∴, 又,∴, ∴,,∴
平面
,
∴平面, 又∵
平面
,∴平面平面
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面, ∴即为
与平面所成的角,
∴, ∵
平面
,∴
,∴
为等腰直角三角形,∴
,
故为等边三角形,
取的中点,连结,则,
∵平面,又平面,
∴平面平面,又平面,
∴平面,
以为坐标原点,过点与平行的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图,
设,则,,,,
从而,,
设平面的一个法向量为,
则由得,令得,
又平面的一个法向量,
则,
所以,平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
本题是一道立体几何综合题,考查面面垂直的证明及二面角的求解。

其中需注意:
证明面面垂直,需先找线面垂直,即先证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一平面内的两条相交直线;
求解二面角的步骤:一是先建立空间直角坐标系,求出所需点或所求两面内的向量的坐标;二是求两平面的法向量;三是利用法向量研究二面角的余弦值.
22.已知椭圆
22
22
:1
x y
C
a b
+=(0)
a b
>>6,左、右焦点分别为
1
F、
2
F,A为
椭圆
C 上一点,且1AF 的中点B 在y 轴上,66
OB =
.
(1)求椭圆C 的标准方程:
(2)若直线(2)y k x =-(0)k ≠交椭圆于P 、
Q 两点,若PQ 的中点为N ,O 为原点,直线ON 交直线3x =于点M ,求
2
||
PQ MF 的最大值. 【试题参考答案】(1)22
162
x y +=3(1)由BO 为12F AF ∆的中位线,可求出2AF ,由此可设6⎛ ⎝⎭A c ,代入椭圆方程,联立
6c e a =
=
,2
22a b c =+,即可求出2b ,2a ,从而得到椭圆方程; (2)设()11,P x y 、()22,Q x y ,联立22
162
(2)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
,化为关于x 的一元二次方程,由根与系数的关系及中点坐标公式求出PQ 的中点N 的坐标,再由弦长公式求出||PQ ,由点N 的坐标写出直线ON 的方程,求出点M .的坐标,再由两点间距离公式求出2MF ,然后求
2
||
PQ MF ,换元法求出其最大值. 【试题解答】
(1)因为B 为1AF 的中点, O 为线段12F F 的中点, 所以BO 为12F AF ∆的中位线,所以26=23
=
OB AF , 又因为12BO F F ⊥,所以212AF F F ⊥,所以可设6⎛ ⎝⎭
A c
又A 为椭圆C 上一点,
所以将,3⎛ ⎝⎭A c
代入椭圆方程可得2
2221⎝⎭+=c a b
又c e a =
=
,2
22a b c =+,联立解得22b =,26a =, 故所求椭圆方程为22
162
x y +=;
(2)由直线方程为(2)y k x =-,
联立22
162
(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,可得()2222
31121260k x k x k +-+-=. 设()11,P x y 、()22,Q x y ,则2
122
1231
k x x k +=+,2122
12631k x x k -=+, 所以为()12124y y k x x k +=+-2431
k
k -=+;
所以PQ 的中点N 坐标为
222
62,3131k k k k ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
,
||==PQ
因此直线ON 的方程为13y x k
=-, 从而点M 为13,k ⎛⎫-
⎪⎝⎭,又()22,0F ,
所以2MF =, 设22
2
||PQ I MF =
()
()
222
224131k k k +=
+,令231u k =+,则2
1
3
=
-u k , 所以2(1)(2)83u u I u -+=216111322u u ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭2
161193416u ⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
, 因此当4u =,即1k =±时2
||
PQ
MF
本题主要考查团圆方程的求法,以及直线与椭圆的位置关系,解题时尤其要注意弦长公式及中点坐标的应用.。