第2章1-2 Maxwell方程组与边界条件 [兼容模式]

矢量恒等式： A (A) 2A 理想介质内部无自由电荷的条件： E(x,y,z) = 0
2E(x,y,z) + 2 E(x,y,z) 0 2H(x,y,z) + 2 H(x,y,z) 0
(2-6a) (2-6b)
理想介质中电磁场的波动方程（两个一元二次偏微 分方程，有对称性）
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第二章 电磁波传输系统理论
——麦克斯韦方程组和边界条件
辅助方程（物质方程）：
，， 是表征媒质电磁性质的三个参量，它们都有量纲，一
般说来可能与 x，y，z，t 有关。 有关
—— 电容率(法拉/米)， —— 磁导率 率 (亨利/米)， —— 电导率 (西门子/米 1/欧姆米)。
r和r 是相对于真空而言的相对值，是无量纲的数值。
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Байду номын сангаас
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第二章 电磁波传输系统理论
——麦克斯韦方程组和边界条件
求解一个任意截面、无限长、均匀传输系统内的电磁场。 麦克斯韦方程组是一个矢量偏微分方程组
分别求解矢量各分量所满足的偏微分方程
分离变量
（试探解）
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将偏微分方程分解为若干常微分方程
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第二章 电磁波传输系统理论
——麦克斯韦方程组和边界条件 方
真空中的介电常数和磁导率为： 0 8.854 真空中的介电常数和磁导率为 8 8541012 (法拉/米)， 0 1.2566106 (亨利/米)，都有量纲，但与 x，y，z，t 无关。
对于均匀(与坐标、时间无关)、线性(与场强无关，不产生新的频 率分量，可应用线性叠加原理)、各向同性 (与方向无关，标量) 的媒质，定义相对介电常数r 和相对磁导率r ： r 0 (2-3a) r 0 (2 3b) (2-3b)
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第二章 电磁波传输系统理论
——主要内容 简介 麦克斯韦方程组和边界条件 矩形金属波导 圆形金属波导 同轴线 奇偶禁戒规则 模式、截止波长、传播常数、色散、传输线的截止状态、 模式 截止波长 传播常数 色散 传输线的截止状态 模式简并…
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第二章 电磁波传输系统理论
微带线 介质层 H E
y x
地板层
h
z
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第二章 电磁波传输系统理论
——麦克斯韦方程组和边界条件 麦克斯韦方程组的微分形式： 麦克斯韦方程组的微分形式
麦克斯韦方程组描述的物理量为 H、E，场源为J、， 自变量为 x，y，z，t；除媒质要连续外，未引入任何限 制条件。电/磁转化, 时/空转化
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第二章 电磁波传输系统理论
2 2 麦克斯韦方程组和边界条件 2.2
[ t2 ( 2 k z2 )]E( x, y ) 0
(2 - 10a)
本征值问题——在一定的边界条件下，求解含参数 (2 + kz2) 的齐 次常微分方程的非零解 (本征函数) 以及相应的参数值 (本征值) 的问题。 方程 (2-10a) (2 10a) 的本征函数就是E(x,y x y)。对应于方程 对应于方程 (2-10a) (2 10a) 的每 的每一个 个 本征函数，存在一个相应的本征值。（每个模式有自己的传播特性。） 本征值实际上是由边界条件确定的，而只有在 (2 + kz2)1/2 等于 本征值的条件下，本征方程才有非零解。 本征值限定了电磁波工作频率与传播特性的关系。也可以说边界 条件限定了电磁波工作频率与传播特性的关系。
微波技术
第二章 电磁波传输系统理论 李艳萍
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回顾
通常将频率为 300 MHz 至 30 GHz 的电磁波称作微波， 将频率在 30 GHz 至 300 GHz 的电磁波称作毫米波 的电磁波称作毫米波，将 将 频率在300 GHz至3000 GHz的电磁波称为亚毫米波。 微波的频率介于无线电波和光波之间。微波能够穿透等 离子体和电离层。 微波电路理论既要考虑物理量的时变规律，也要考虑物 理量的空间分布规律。 量的空间分布规律 微波的基本理论是经典的电磁理论（场的方法）和微波 的等效电路理论（路的方法）。 的等效电路理论（路的方法）
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第二章 电磁波传输系统理论
2 2 麦克斯韦方程组和边界条件 2.2
[ t2 ( 2 k z2 )]E( x, y ) 0
(2 - 10a) ( )
方程 (2-10a) 是一个典型的本征值方程。本征值方程 是用分离变量法求解边值问题的必然结果 是用分离变量法求解边值问题的必然结果。 本征值方程的基本特征： 本征值方程的基本特征 1、属于齐次偏微分方程，必然存在“零解”。 2、括号内的参数称为本征值，当其取某些特定数值时， 方程有对应的“非零解”。而且，对应每个非零解 存在 个本征值（不一定一一对应）。 存在一个本征值 3、本征值由系统的边界条件确定。
第二章 电磁波传输系统理论
——麦克斯韦方程组和边界条件
各矢量以复数表示 由于 各矢量以复数表示，由于：
在完成微分运算后，就得到复数形式的麦克斯韦方程组：
0
0
在均匀、线性、各向同性的无损耗理想媒质中，电场 与磁场矢量在空间上正交。 与磁场矢量在 间 交
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第二章 电磁波传输系统理论
2 2 麦克斯韦方程组和边界条件 2.2 (2-6a) (2-7) (2-8a)
2E(x, y, z) + 2 E (x, y, z) 0 E (x, y, z) E (x, y) Z (z)
2[E(x,y)Z(z)] + 2 [E(x,y)Z(z)] 0
2 ＝ ＋ 2 z
2E( (x, y, z) + 2 E (x, y, z) 0 试探解 E (x, y, z) E (x, y) Z (z) (2-7) (2-6a) ( )
注意：E (x, y, z)，E (x, y) 为矢量，Z (z) 为标量。
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第二章 电磁波传输系统理论
2 2 t
1 2 Z(z) k2 z 2 Z(z) z
kz 是在分离 变量 z 时引 入的参数。
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1 1 2 Z(z) 2 2 t E ( x , y) 0 2 Z(z) z E ( x , y)
两个自变量不相 同的函数之和等 于常数 则这两 于常数，则这两 个函数必分别为 常数。
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第二章 电磁波传输系统理论
——麦克斯韦方程组和边界条件 一 分离变量 t 一、分离变量 在均匀、线性、各向同性的理想介质中麦克斯韦微分方 程组的解可以采用简谐场的复数表达式描述 程组的解可以采用简谐场的复数表达式描述。
b1 a1 b a 2 K 2 b3 a3 b 4 a4 B1 A1 B A 2 K 2 B3 A3 B 4 A4
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第二章 电磁波传输系统理论
——麦克斯韦方程组和边界条件 求解一个任意截面、无限长、均匀传输系统内的电磁场。 求解 个任意截面 无限长 均匀传输系统内的电磁场
传输系统内填充的介质是无损耗的理想介质。 =0， = 0。
0
求解麦克斯韦微分方程组 : 分离变量 t 将复数形式麦克斯韦方程组化为波动方程 分离变量 z 用 Ez(x,y) 和 Hz(x,y) 表示其它分量 导行电磁波按其纵向分量的特点分类 微波传输系统的边界条件
微波同轴线、同轴接头
同轴线不能工作在高频和大功率条件下!
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第二章 电磁波传输系统理论
——简介 能够定向传输电磁波的空心金属管就是微波金属波导。 金属波导的优点是：损耗小、功率容量大，缺点是： 单模工作频带较窄。
2a
圆波导
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第二章 电磁波传输系统理论
——简介 微带线是一种双导线传输系统，两导体间的距离非常近。 微带线 种 线传输 统 两 体 离非常 优点：工作频带宽、体积小、重量轻，可构成微波集成电路 缺点：损耗较大，功率容量较小
——简介 • 定向传输电磁能量的线路称为电磁波传输系统，沿传 定向传输电磁能量的线路称为电磁波传输系统 沿传 输系统传播的电磁波称为导行电磁波。 • 当电磁波的频率较低时，只要用两根导线就可以将电 当电磁波的频率较低时 只要用两根导线就可以将电 磁能量从电磁波源传输到负载。(电磁能量在哪里?) • 当电磁波的频率较高，电磁能量将不再仅仅沿着导线 当电磁波的频率较高 电磁能量将不再仅仅沿着导线 传输，还会通过导线向自由空间辐射。
双导线
在微波频率下，双导线系统可 能起到天线的作用，不能用来 定向传输电磁能量！
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第二章 电磁波传输系统理论
——简介 • 同轴线 具有封闭形式的双导线传输系统，可以避免 轴线——具有 式 线传输 统 免 微波能量的辐射损耗。 问题： 1、欧姆损耗 2 击穿 2、击穿
2a
同轴线 2b
b1 B1 a1 A1 b a A H、D、B 、 JB 矢量也都可以写成类似的复数表达式。 2 2 2 K 2 b3 B3 a3 A3 b B a A 4 4 4 4
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第二章 电磁波传输系统理论
——麦克斯韦方程组和边界条件 方
E、H、D和 B 均为瞬时值。 原则上,可以在任意边界条件下的连续媒质中，通过 可以在任意边界条件下的连续媒质中 通过 求解方程组 (2-1) 来求解电磁场的问题。 麦克斯韦方程组在特定条件或近似条件下的解有特 定的应用条件和前提!
2.2 麦克斯韦方程组和边界条件
(2 - 9b)
Z ( z) A ekz z A e kz z
(2 - 9c)
电磁波在传输过程中，其振幅沿传输方向总是逐渐减小的， 可以规定： 第一项 :正向波，当z增大时 (z > 0，远离波源) 波振幅减小； 第二项: 反向波，当z减小时 (z < 0，靠近波源) 波振幅减小； 是积分常数，可由电磁波在无穷远处的边界条件 可由电磁波在无穷远处的边界条件 A+ 和 A 是积分常数 和激励条件确定。
——麦克斯韦方程组和边界条件
均匀 线性 理想 介质
0
j t
瞬时值形式的方程组 变量 x、y、z、t
复数形式方程组 （二元一次偏微分方程组） 变量 x、y、z
以后的结论均不可应用于非线性媒质系统！
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第二章 电磁波传输系统理论
——麦克斯韦方程组和边界条件
二、将复数形式的麦克斯韦方程组化为波动方程 H(x,y,z) j E(x,y,z) E(x,y,z) j H(x,y,z) (2-5a) (2-5b)
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第二章 电磁波传输系统理论
三、分离变量 z (寻找试探函数)
2 2 麦克斯韦方程组和边界条件 2.2
通常规定 z 方向作为电磁波传输系统的传输方向。 方向作为电磁波传输系统的传输方向 在电磁场的传播方向—— z 方向（无限长）上，电场 E(x,y,z) 和磁 场 H(x,y,z) 随 z 的变化规律 的变化规律一定呈现波动性；而在 定呈现波动性；而在 x 和 y 方向（与波长 可比）上，电场 E(x,y,z) 和磁场 H(x,y,z) 都呈现振荡特性。 由于电场矢量 E(x,y,z) 沿纵向和横向具有不同的物理/函数特征， 电场矢量 E(x,y,z) 就可能用两个函数的乘积来描述。
d 2 Z ( z) k z2 Z ( z ) 0 2 dz [ t2 (ω 2 με k z2 )]E ( x, y ) 0 其中：ω με ω
(2 - 9b) (2 - 10a)
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μr εr 2 μr εr c 0
第二章 章 电磁波传输系统理论 系 论
d 2 Z ( z) 2 k Z ( z) 0 z 2 dz