2021届新中考数学必考精点考点专题 专题46 中考数学分类讨论思想 原卷版
2021年数学中考数学分类讨论题型整编
中考数学分类讨论题型整编【知识整合创新】整体感悟：分类讨论问题是创新性问题之一;此类题综合性强;难题较大;在各地中考试题中多以压轴题出现;对考生的能力要求较高;具有选拔性。
目前;中考试卷中;觉见的需分类讨论的知识点有三大类：1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义;函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.2．几何类：几何有各种图形的位置关系;未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等. 3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.特例探究：以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型. 中考高分解密：题型1.考查数学概念及定义的分类规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义;其中以绝对值、方程及根的定义;函数的定义尤为重要;必须明确讨论对象及原因;进而确定其存在的条件和标准。
考题1．求函数251()(3)22y k x k x =-+-+的图象与x 轴的交点？ 名师点拔：二次项系数中含有参数k;此函数可能是二次函数;也可能是一次函数;故应对52k -分类讨论.解：（1）当502k -=时;即52k =时;此函数为1122y x =-+;故其与x 轴只有一个交点（1;0） （2）当55022k k -≠≠，即时;此函数为二次函数;2251(3)4()(2)22k k k ∆=--⨯-⨯=-.①当2k =时;Δ＝0.抛物线与x 轴的交点只有一个.212110,122x x x x -+===;交点坐标为（1;0）②当2k ≠时;Δ＞0;函数与x 轴有两个不同的交点.1(1,0)(,0)52k-和.综合所述：当52k =或2k =时;函数图像与x 轴只有一个交点（1;0）：当52k ≠且2k ≠时;函数图像与x 轴有两个不同交点1(1,0),(,0)52k-. 变式思考1已知关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-= （1）若方程有实数根;求k 的取值范围（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3;另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根;求ΔABC 的周长. 易误点睛：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程;同时应注意的是第（2）问中并无说明哪两边是ΔABC 的腰;故应考虑其所有可能情况. 题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多;考查自变量的取值范围的分类;解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.考题2．（2004;河南）如图（1）边长为2的正方形ABCD 中;顶点A 的坐标是（0;2）一次函数y x t =+的图像l 随t 的不同取值变化时;位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积为S （阴影部分）.（1）当t 取何值时;S ＝3？（2）在平面直角坐标系下（图2）;画出S 与t 的函数图像.名师点拔：设l 与正方形ABCD 的交点为M;N;易知ΔDMN 是等腰Rt Δ;只有当MD ＝2时;1MDN S ∆=;那么3ABCDMDNS SS=-=;此时求得42t =-;第（2）问中;随着t 的变化;S的表达式发生变化;因而须分类讨论t 在不同取值时S 的表达式;进而作出图像.解：（1）设l 与正方形ABCD 的交点为M;N; ∵l 的解析式y x t =+;在x 轴;y 轴上所截线段相等. ∴ΔDMN 为等腰Rt ΔDMN∵S ＝3;∴2231DMN ABCD S S S ∆=-=⨯-= 又∵21122DMN S MD ND ND ∆=⋅= ∴MD ＝ND ＝2;∴ON ＝OD －DM ＝4－2; 即D 点的坐标为（0;4－2） ∴42t =-;即当42t =-时;S ＝3.图（2）（2）∵直线l 与y 轴的交点M 的坐标为(0,)t∴当0≤t ＜2时;21122S B B t =M ⋅N = 当2≤t ＜4时;21(4)42ABCD DMN S S S t ∆=-=--+当t ≥4时;S ＝4根据以上解析式;作图如下图（图2）变式思考2 （2004 资阳）如图所示;在平行四边形ABCD 中; 4AD cm =;∠A ＝60°;BD ⊥AD;一动点P 从A 出发;以每秒1cm 的速度沿A B C →→的路线匀速运动;过点P 作直线PM;使PM ⊥AD.（1）当点P 运动2秒时;设直线PM 与AD 相交于点E;求△APE 的面积：（2）当点P 运动2秒时;另一动点Q 也从A 出发沿A B C →→的路线运动;且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动;在BC 上以每秒2cm 的速度匀速运动.过Q 作直线QN;使QN//PM.设点Q 运动的时间为t 秒（0≤t ≤10）;直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm 2. ①求S 关于t 的函数关系式：②（附加题）求S 的最大值.易误点睛：讨论变量t 的取值范围;是解本题的关键;解此类题应十分注意变量的取值须符合题意;逐层分析.题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.规律提示：熟知直角三角形的直角;等腰三角形的腰与角以及圆的对称性;根据图形的特殊性质;找准讨论对象;逐一解决.考题3．（2004 上海）在ΔABC 中;∠BAC ＝90°;AB ＝AC ＝22;圆A 的半径为1;如图所示;若点O 在BC 边上运动;（与点B 和C 不重合）; 设BO ＝x;ΔAOC 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数解析式;并写出函数的定义域. （2）以点O 为圆心;BO 长为半径作圆O;求当圆O 与圆A 相切时ΔAOC 的面积.名师点拔：（1）过点A 作AD ⊥BC 于D 点 ∵AB ＝AC ＝22 ∴AD ＝AB sin 45⋅︒=2445ABBC Sin ==︒∴OC=BC －BO=4－x;故ΔAOC 的面积y 与x 的函数解析式为12y OC AD =⋅即1(4)242y x x =-⨯=- （2）由于圆与圆相切有两种情况：外切和内切;故解题中须分类讨论.解：（1）过点A 作AD ⊥BC 于点D.∵∠BAC=90° AB=AC=22 ∴BC=4 AD ＝12BC ＝2 ∴112(4)422AOC S OC AD x x ∆=⋅=⨯⨯-=- 即4(04)y x x =-+<<（2）当点O 与点D 重合时;圆O 与圆A 相交;不合题意：当点O 与点D 不重合时;在Rt ΔAOD 中;222224248AO AD OD x x x =+=+-=-+∵⊙A 的半径为1;⊙O 的半径为x ∴①当⊙A 与⊙O 外切时22(1)48x x x +=-+ 解得76x =此时;ΔAOC 的面积717466y =-= ②当⊙A 与⊙O 内切时;22(1)48x x x +=-+ 解得72x = 此时ΔAOC 的面积71422y =-= ∴当⊙A 与⊙O 相切时;ΔAOC 的面积为17162或. 变式思考3（2003 南京）如图;直线443y x =-+与x 轴;y 轴分别交于点M;N （1）求M;N 两点的坐标： （2）如果点P 在坐标轴上;以点P 为圆心;125为半径的圆与直线443y x =-+相切;求点P 的坐标. 易误点睛：本题是一道函数与圆的综合题;注意第（2）小问涉及到分类讨论;与直线相切时的情况;本题可分为两大类;四小类;切勿漏掉;解决此类问题关键是把握标准;正确的分类. 题型4.考查图形的对应关系可能情况的分类规律提示：图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题;对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.考题4（2004 福州）如图所示;抛物线2()y x m =--的顶点为A;直线:33l y x m =-与y轴的交点为B;其中m ＞0.（1）写出抛物线对称轴及顶点A 的坐标 （用含有m 的代数式表示）（2）证明点A 在直线l 上;并求∠OAB 的度数.（3）动点Q 在抛物线的对称轴上;则抛物线上是否存在点P;使以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 全等？若存在;求出m 的值;并写出所有符合上述条件的P 点坐标：若不存在;说明理由.名师点拨：（1）对称轴x m =;顶点A （m,0）（2）把x ＝m 代入33y x m =-得330y m m =-= ∴点A （m,0）在直线l 上;直线l 与y 轴相交;则B 点的横坐标为：3y m =-：B 点坐标为(0,3)m -;由三角函数知识可得：3tan 3OB mOAB OA m∠=== 即∠OAB ＝60° （3）因为全等的对应关系;因而需进行分类论;找准对应关系;从而解决问题。
【数学知识点】2021中考数学总复习知识点
【数学知识点】2021中考数学总复习知识点距离2021年中考越来越近，建议同学们可以利用这个寒假进行系统的知识点复习，这篇文章给大家分享中考数学总复习知识点，供参考。
(一)相关定义1.科学记数法：把一个数字写成的形式的记数方法。
2.统计图：形象地表示收集到的数据的图。
3.扇形统计图：用圆和扇形来表示总体和部分的关系，扇形大小反映部分占总体的百分比的大小;在扇形统计图中，每个部分占总体的百分比等于该部分对应的扇形圆心角与360°的比。
4.条形统计图：清楚地表示出每个项目的具体数目。
5.折线统计图：清楚地反映事物的变化情况。
6.确定事件包括：肯定会发生的必然事件和一定不会发生的不可能事件。
7.不确定事件：可能发生也可能不发生的事件;不确定事件发生的可能性大小不同;不确定。
8.事件的概率：可用事件结果除以所以可能结果求得理论概率。
9.算数平均数：简称“平均数”，最常用，受极端值得影响较大10.中位数：数据按大小排列，处于中间位置的数，计算简单，受极端值得影响较小。
11.众数：一组数据中出现次数最多的数据，受极端值得影响较小，跟其他数据关系不大。
(二)概率1.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率n/m会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
2.随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。
3.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
4.对立事件：即必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。
5.必然事件:那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件。
6.不可能事件：那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件。
7.等可能事件：通常一次实验中的某一事件由基本事件组成。
如果一次实验中可能出现的结果有n个，即此实验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么这种事件就叫做等可能事件。
(一)正负数1.正数：大于0的数。
2021中考数学考点梳理
2021中考数学考点梳理数量的学习起于数，一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的有理数和无理数。
由于计数的需要，人类从现实事物中抽象出了自然数，它是数学中一切“数”的起点。
今天小编在这给大家整理了一些中考数学考点梳理，我们一起来看看吧!中考数学考点梳理圆的定理：1.不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1.①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2.圆的两条平行弦所夹的弧相等3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形4.圆是定点的距离等于定长的点的集合5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7.同圆或等圆的半径相等8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等11.定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角12.①直线L和⊙O相交 d②直线L和⊙O相切 d=r③直线L和⊙O相离 d>r13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上20.①两圆外离d>R+r ②两圆外切 d=R+r③两圆相交 R-rr)④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr)中考数学考点总结一、基本概念1。
2021年中考数学总复习：专题48 中考数学数形结合思想
2021年中考数学总复习：专题48 中考数学数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
2.数形结合思想应用常见的四种类型（1）实数与数轴。
实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。
（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。
利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。
（3）在函数中的应用。
借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。
（4）在几何中的应用。
对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。
3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.【例题1】（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =12+3=2−√3(2+3)(2−3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12 【对点练习】（2019•湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例题2】（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y ＝x +5和直线y ＝ax +b 相交于点P ，根据图象可知，方程x +5＝ax +b 的解是（ ）A ．x ＝20B ．x ＝5C ．x ＝25D ．x ＝15【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k 1x+b 1（k 1＞0）与y=k 2x+b 2（k 2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y 轴围城的三角形面积为4，那么b 1﹣b 2等于 ．【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE 的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【对点练习】（2020山东日照模拟）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=AB．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为．（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．一、选择题1．（2020•温州）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）A．（1.5+150tanα）米B．（1.5+150tanα）米C．（1.5+150sinα）米D．（1.5+150sinα）米2．（2020恩施州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（）A. 4B. 7C. 3D. 123．（2020济南模拟）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣二、填空题4．（2020乌鲁木齐模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）5．（2020•泰安）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°＝1.2）6．（2020济南模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．三、解答题7.（2019•湖南湘西州）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．8. 我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是 _____.（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：①作图确定水塔的位置；②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）.（3）已知x+y=6，求的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= ____DB= ____.②在AB上取一点P，可设AP= _____，BP= _____.③③的最小值即为线段___和线段_____长度之和的最小值，最小值为 ___．9.（2019•山东省滨州市）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值．10．（2019湖南湘西州）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（3，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB＝4．（1）求函数y＝和y＝kx+b的解析式；（2）结合图象直接写出不等式组0＜＜kx+b的解集．11．（2019广西百色）如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0）C（1，2），函数y＝（k≠0）的图象经过点C．（1）求k的值及直线OB的函数表达式：（2）求四边形OABC的周长．12.（2020通辽模拟）如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）。
2021年中考数学知识点梳理中考数学必考知识点归纳 数学中考考点梳理
2021年中考数学知识点梳理_中考数学必考知识点归纳数学中考考点梳理中考数学知识点梳理三角函数关系倒数关系tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1商的关系sinα/cosα=tanα=secα/csc&al pha;cosα/sinα=cotα=cscα/sec&al pha;平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)同角三角函数关系六角形记忆法构造以“上弦、中切、下割;左正、右余、中间1”的正六边形为模型。
倒数关系对角线上两个函数互为倒数;商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。
)。
由此，可得商数关系式。
平方关系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
锐角三角函数定义锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b余割(csc)等于斜边比对边。
2021年中考数学考点梳理之必会考点考点解析
2021年中考数学考点梳理之必会考点考点解析一、基本知识㈠、数与代数A、数与式：1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。
④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N 叫次数。
混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数_的平方等于A，那么这个正数_就叫做A的算术平方根。
②如果一个数_的平方等于A，那么这个数_就叫做A的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。
立方根：①如果一个数_的立方等于A，那么这个数_就叫做A的立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
2021届新中考数学必考精点考点专题 专题48 中考数学数形结合思想 解析版
2021届新中考数学必考精点考点专题专题48 中考数学数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
2.数形结合思想应用常见的四种类型（1）实数与数轴。
实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。
（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。
利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。
（3）在函数中的应用。
借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。
（4）在几何中的应用。
对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。
3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.【例题1】（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°2．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A． 1 B． 1 C．D．【答案】B【分析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD，根据tan22.5°计算即可．【解析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD，∴tan22.5° 1【对点练习】（2019•湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．【答案】C【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2【例题2】（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15【答案】A【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【解析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．【答案】4【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA•OB+=4，∴+=4，解得：b1﹣b2=4．【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG 在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】见解析。
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
2021初中中考数学考点梳理
2021初中中考数学考点梳理现时数学已包括多个分支.法国的布尔巴基学派则认为：数学，至少纯数学，是研究抽象结构的理论。
结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。
今天小编在这给大家整理了一些初中中考数学考点梳理，我们一起来看看吧!初中中考数学考点梳理一.知识框架二.知识概念一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项.本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。
(1)运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.(2)配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1;常数项移到右边;方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q;如果q<0,方程无实根.介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。
这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。
进而举例说明如何解形如的方程。
然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。
最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。
在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。
对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
(3)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c 而定，因此：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，•将a、b、c代入式子x=就得到方程的根.(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
【数学知识点】2021中考数学知识点复习必备
【数学知识点】2021中考数学知识点复习必备二次方程零换y，二次函数便出现。
全体实数定义域，图像叫做抛物线。
抛物线有对称轴，两边单调正相反。
A定开口及大小，线轴交点叫顶点。
顶点非高即最低。
上低下高很显眼。
如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。
列表描点后连线，平移规律记心间。
左加右减括号内，号外上加下要减。
二次方程零换y，就得到二次函数。
图像叫做抛物线，定义域全体实数。
A定开口及大小，开口向上是正数。
绝对值大开口小，开口向下A负数。
抛物线有对称轴，增减特性可看图。
线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
如果要画抛物线，描点平移两条路。
提取配方定顶点，平移描点皆成图。
列表描点后连线，三点大致定全图。
若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随基础。
①相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小。
（1）理解相似形的概念。
（2）掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。
②平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理。
理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。
注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。
③相似三角形的概念：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。
④考点：相似三角形的判定和性质及其应用熟练掌握相似三角形的判定定理（包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理）和性质，并能较好地应用。
⑤三角形的重心：知道重心的定义并初步应用。
⑥向量的有关概念。
⑦向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算、掌握实数与向量相乘、向量的线性运算。
1.三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
2021中考数学必考知识点2021年中考数学高频知识点
2021中考数学必考知识点2021年中考数学高频知识点一、数与式：1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。
④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。
混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。
立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
中考数学的知识点整理2021
中考数学的知识点整理2021学习从来无捷径。
每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学其实和语文英语一样，也是要记、要背、要练的。
下面是小编给大家整理的一些中考数学的知识点，希望对大家有所帮助。
中考数学知识点圆的定理1不在同一直线上的三点确定一个圆。
2垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形4圆是定点的距离等于定长的点的集合5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7同圆或等圆的半径相等8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等中考数学易出错的知识点数与式易错点1：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。
以及绝对值与数的分类。
每年选择必考。
易错点2：实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关;在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
易错点3：平方根、算术平方根、立方根的区别。
填空题必考。
易错点4：求分式值为零时学生易忽略分母不能为零。
易错点5：分式运算时要注意运算法则和符号的变化。
当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。
填空题必考。
易错点6：非负数的性质：几个非负数的和为0，每个式子都为0;整体代入法;完全平方式。
【数学知识点】2021中考数学考点总结归纳
【数学知识点】2021中考数学考点总结归纳1.定义：由整数和分数组成的数。
包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。
可以写成两个整之比的形式。
2.数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
3.相反数：相反数是一个数学术语，指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数。
4.绝对值：绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。
5.有理数的加减法同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。
异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
6.有理数的乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘，积为0. 例：0×1=07.有理数的除法除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不为0的数，都得0。
8.有理数的乘方求n个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
其中，a叫做底数，n叫做指数。
当aⁿ看作a的n次乘方的结果时，也可读作“a的n次幂”或“a的n次方”。
1.圆的对称性(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
2.垂径定理(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3.圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4.在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5.夹在平行线间的两条弧相等。
(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
【数学知识点】2021中考数学重点知识点梳理
【数学知识点】2021中考数学重点知识点梳理学习数学的时候总结知识点是非常重要的一个环节，下面总结了中考数学重点知识点，供大家参考。
1.圆的对称性(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
2.垂径定理(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3.圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4.在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5.夹在平行线间的两条弧相等。
(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
(2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
(直角三角形的外心就是斜边的中点。
)6.直线与圆的位置关系。
d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切;直线与圆没有交点，直线与圆相离。
1.定义：平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
2.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0).3.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
4.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
专题46 中考数学分类讨论思想(教师版)备战2021年中考数学专题复习精讲精练.docx
专题46中考数学分类讨论思想专題知识点概述全国各地每年中考数学试题都离不开考查分类讨论的思想，分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。
比如线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角(边)不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。
分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面数学思维能力。
学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学冋题，掌握分类讨论数学思想方法这个锐利武器，提高学生的综合运用的能力和良好的思维品质。
1.分类讨论思想含义数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨论的方法，我们称为分类讨论法或分类讨论思想。
2.分类讨论一般应遵循以下原则(1)对问题中的某些条件进行分类要遵循同一标准。
(2)分类要完整，不重复，不遗漏。
(3)有时分类并不是一次完成，还需进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。
3.需要分类讨论的试题基本类型及其要求(1)考查数学概念及定义的分类。
熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。
(2)考查字母的取值情况或范围的分类。
此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.(3)考查图形的位置关系或形状的分类。
熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.(4)考查图形的对应关系可能情况的分类。
图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.4.初中数学涉及分类讨论的常见问题（1）绝对值中的分类讨论，（2）应用题中的方案类型，（3）概率统计中的分类讨论，（4）分式方程无解的分类讨论问题（5）一元二次方程系数的分类讨论问题（6）三角形的形状不定需要分类讨论（7）等腰三角形的分类讨论（8）相似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类（9）常见平面问题中动点问题的分类讨论（10）组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。
2021年中考数学几何知识点总结(专题汇总)考点解析
2021年中考数学几何知识点总结(专题汇总)考点解析1 同角或等角的余角相等2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直3 过两点有且只有一条直线4 两点之间线段最短5 同角或等角的补角相等6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)_180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形本文导航 1、首页2、角3、三角形4、等腰三角形5、四边形6、矩形7、菱形8、正方形9、等腰梯形10、等分》》》菱形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a_b)÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
2021初三中考数学知识点总结——涵盖全部知识点
第一章实数考点一、实数的概念及分类（3 分）1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如7 ,32 等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如（3）有特定结构的数，如0.1010010001 ⋯等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3 分）1、相反数π+8 等；3实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立；2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a| ≥0；零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0；正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小；3、倒数如果 a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立；倒数等于本身的数是 1 和-1 ；零没有倒数；考点三、平方根、算数平方根和立方根（3—10 分）1、平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟）；一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根；正数 a 的平方根记做“ a ”；2、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ a ”；正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零；a2 a a （a 0） a 0；注意 a 的双重非负性：- a （a <0） a 03、立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；注意：3a3a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面；考点四、科学记数法和近似数（3—6 分）1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字；2、科学记数法把一个数写做 a 10 n 的形式，其中 1 a 10 ，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法；考点五、实数大小的比较 （3 分）1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可） ；解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用； 2、实数大小比较的几种常用方法 （ 1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； （ 2）求差比较：设 a 、b 是实数，a b 0 a b 0a b 0 a b, a b,a b（ 3）求商比较法：设 a 、 b 是两正实数，a 1 ba b ; a 1 b a b ; a1 b a b;（ 4）绝对值比较法：设 a 、b 是两负实数，则ab a b ；（ 5）平方法：设 a 、b 是两负实数，则 a 2 b 2a b ；考点六、实数的运算（做题的基础，分值相当大）1、加法交换律2、加法结合律 a b b a ( a b) c a(b c)3、乘法交换律 ab ba4、乘法结合律5、乘法对加法的分配律6、实数的运算顺序( ab)c a(b c)a(bc) ab ac先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的；第二章 代数式考点一、整式的有关概念（3 分）1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式；单独的一个数或一个字母也是代数式； 2、单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式；注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如 4 1 a 2b ，这种表示就 3是错误的，应写成次单项式；13 a 2b ；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数； 如 35a 3b 2 c 是 6考点二、多项式 （ 11 分）1、多项式几个单项式的和叫做多项式；其中每个单项式叫做这个多项式的项；多项式中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；单项式和多项式统称整式；用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值；注意：（ 1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入；（ 2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧， “整体”代入； 2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项；几个常数项也是同类项； 3、去括号法则 （ 1）括号前是“ +”，把括号和它前面的“ +”号一起去掉，括号里各项都不变号； （ 2）括号前是“﹣” ，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号；4、整式的运算法则 整式的加减法： （ 1）去括号；（2）合并同类项； 整式的乘法： a m a na m n (m, n 都是正整数 ) （ a m ）na mn ( m,n 都是正整数 ) (ab) n a nb n (n 都是正整数 )(a b)( a b) (a b) 2 a 2(a b)2a 2 a2b22 a b b 2 2ab b2整式的除法： amanam n(m , n 都是正整数 , a 0)注意：（ 1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式；（ 2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同； （ 3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号； （ 4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项； （ 5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式； （ 6） a1(a 0); ap1 (a ap0, p 为正整数 )（ 7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的；考点三、因式分解 （11 分）1、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式； 2、因式分解的常用方法 （ 1）提公因式法： ab （ 2）运用公式法： a 2a2 a 2（ 3）分组分解法： ac （ 4）十字相乘法： a 2ac b22ab 2ab ad ( p a(b (a b 2 b 2bc q ) a c)b )( a (a (a bd pqb ) b) 2b) 2a(c (ad ) p )( ab( c d) q )( a b)( c d )3、因式分解的一般步骤： （ 1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；（ 2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下， 观察多项式的项数： 2 项式可以尝试运用公式法分解因式； 3 项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式； 4 项式及 4 项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 （ 3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止；考点四、分式（8~10 分）1、分式的概念一般地，用 A 、B 表示两个整式， A ÷ B 就可以表示成A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式；B其中， A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母；分式和整式通称为有理式；2、分式的性质 （ 1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变； （ 2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变； 3、分式的运算法则a c ac ;a c a d ad ;b d bd b db c bc( a ) n ba ( n 为整数 ); bn a b a b;c c c a c ad bc b dbd考点五、二次根式（初中数学的基础，分值较大）1、二次根式 式子 a (a0) 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数 a 必须是非负数；2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式；化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （ 1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简；（ 2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来；3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式； 4、二次根式的性质（ 1） (（ 2）a )2a2a (a 0)aa(a 0)a(a 0)（ 3） aba b (a 0,b 0)（ 4）a ba (a b0, b 0)5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）；第三章 方程（组）考点一、一元一次方程的概念（ 6 分）1、方程含有未知数的等式叫做方程；2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解；3、等式的性质 （ 1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；（ 2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零） ，所得结果仍是等式； 4、一元一次方程 只 含 有 一 个 未 知 数 ， 并 且 未 知 数 的 最 高 次 数 是 1 的 整 式 方 程 叫 做 一 元 一 次 方 程 ， 其 中 方 程ax b （0 x 为未知数， a 0）叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数 x 的系数，b 是常数项；n1考点二、一元二次方程 （ 6 分）1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程；2、一元二次方程的一般形式ax 2 bx c 0( a 0) ，它的特征是： 等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式， 等式右边是零， 其中 ax 2叫做二次项， a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数； c 叫做常数项；考点三、一元二次方程的解法（ 10 分）1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法；直接开平方法适用于解形如(x a)2b 的一元二次方程；根据平方根的定义可知， x a 是 b 的平方根，当 b 0时， x a b ，x ab ，当 b<0 时，方程没有实数根；2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的 应用；配方法的理论根据是完全平方公式 a 2 2ab b 2 (a b) 2 ，把公式中的 a 看做未知数 x ，并用 x 代替，则有 x 23、公式法2bx b 2 (x b) 2 ；公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法； 一元二次方程 ax2bx c 0(a 0) 的求根公式：b b2x2a4ac(b 24ac 0)4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法；考点四、一元二次方程根的判别式（3 分）根的判别式 一元二次方程 ax 2bx c 0( a 0) 中， b224ac 叫做一元二次方程 axbx c 0(a 0) 的根的判别式，通常用“”来表示，即b 2 4ac考点五、一元二次方程根与系数的关系（3 分）如果方程 ax 2bx c 0(a 0) 的两个实数根是 x 1， x 2 ，那么 x 1x 2b ， x x ac；也就是说， 对于a任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商；考点六、分式方程 （8 分）1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程；2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” ；它的一般解法是：（ 1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （ 2）解所得的整式方程（ 3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根；3、分式方程的特殊解法 换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法；考点七、二元一次方程组 （8~10 分）1、二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1 的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解；23、二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组；4 二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解；5、二元一次方正组的解法（1）代入法（2）加减法6、三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程；7、三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组；第四章不等式（组）考点一、不等式的概念（3 分）1 、不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式；2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解；对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集；求不等式的解集的过程，叫做解不等式；3、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质（3~5 分）1 、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；考试题型：考点三、一元一次不等式（6~8 分）1 、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式；2、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x 项的系数化为 1考点四、一元一次不等式组（8 分）1 、一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组；几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集；求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组；当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集；2、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集；第五章 统计初步与概率初步考点一、平均数 （ 3 分）1 、平均数的概念（ 1）平均数： 一般地， 如果有 n 个数x 读作“ x 拔”；x 1 , x 2 ,, x n, 那么， x1( x 1 x 2 nx n )叫做这 n 个数的平均数，（ 2）加权平均数： 如果 n 个数中， x 1出现 f 1 次，x 2 出现 f 2 次，⋯，x k 出现 f k 次（这里 f 1 f 2f kn ），那么，根据平均数的定义， 这 n 个数的平均数可以表示为 xx 1 f 1 x 2 f 2 nx k f k，这样求得的平均数 x 叫做加权平均数，其中 2、平均数的计算方法 （ 1）定义法f 1, f 2, , f k 叫做权；当所给数据 x 1 , x 2 , , x n , 比较分散时，一般选用定义公式：1x(x 1 x 2 nx n )（ 2）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：（ 3）新数据法： xx 1 f 1x 2 f 2nx kf k，其中 f 1f 2f kn ；当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：x x' a ；其中，常数 a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x '1 x 1 a ， x'2 x 2 a ，⋯， x' n x n a ；x' 1( x' nx'2 x' n ) 是新数据的平均数（通常把 x 1 , x 2 , , x n , 叫做原数据， x'1 , x' 2 , , x' n , 叫做新数据）；考点二、统计学中的几个基本概念（4 分）1 、总体所有考察对象的全体叫做总体； 2、个体总体中每一个考察对象叫做个体；3、样本从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本； 4、样本容量样本中个体的数目叫做样本容量； 5、样本平均数样本中所有个体的平均数叫做样本平均数； 6、总体平均数总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数；考点三、众数、中位数（ 3~5 分）1 、众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；2、中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；考点四、方差（3 分）1 、方差的概念 在一组数据 x 1 , x2 , , x n , 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差；通常用“ s 2”表示，即s 21[( x x)2(x 2 x) 2( x n x) 2]n1111 x n1 xn12 n 1 2n2 22、方差的计算 （ 1）基本公式：s21[( x x)2(x x) 22( x n x) 2]n（ 2）简化计算公式（Ⅰ） ：s 21[( x 2 2x 2 ) 2 nx ] n也可写成 s21 [( x2 2 x 2 )] xn此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方； （ 3）简化计算公式（Ⅱ） ：s 21 [( x'2x' 2 x'2) 2n x' ]n当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接 近 的 常 数 a ， 得 到 一 组 新 数 据x '1x 1a ， x'2x 2 a ， ⋯ ， x' nx n a ， 那 么 ，s 21 [( x'2x' 2x' 2)] x'n此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方；（ 4）新数据法： 原数据 x 1 , x 2 ,, x n , 的方差与新数据 x'1x 1 a ， x'2 x 2 a ，⋯， x'n x n a 的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得3、标准差x '1 , x ' 2 ,, x ' n , 的方差就等于原数据的方差；方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s ”表示，即s s21 [( x 22x)(x 2 x)( x n2x) ]n考点五、频率分布（6 分）1 、频率分布的意义在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布； 2、研究频率分布的一般步骤及有关概念 （ 1）研究样本的频率分布的一般步骤是： ①计算极差（最大值与最小值的差） ②决定组距与组数 ③决定分点 ④列频率分布表 ⑤画频率分布直方图（ 2）频率分布的有关概念 ①极差：最大值与最小值的差②频数：落在各个小组内的数据的个数③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n ）的比值叫做这一小组的频率；考点六、确定事件和随机事件 （ 3 分）1 、确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件； 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件；2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件；考点七、随机事件发生的可能性 （3 分）一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同；对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小；要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样；所谓判断事件可能性是否2 1 2相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题；考点八、概率的意义与表示方法（5~6 分）1 、概率的意义一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率事件 A 的概率；2、事件和概率的表示方法n会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做m一般地，事件用英文大写字母A，B，C，⋯，表示事件 A 的概率p，可记为P（A）=P考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系（3 分）1 、确定事件概率（1）当 A 是必然发生的事件时，P（A）=1（2）当 A 是不可能发生的事件时，P（A）=02、确定事件和随机事件的概率之间的关系事件发生的可能性越来越小0 1 概率的值不可能发生必然发生事件发生的可能性越来越大考点十、古典概型（3 分）1 、古典概型的定义某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等；我们把具有这两个特点的试验称为古典概型；2、古典概型的概率的求法一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m中结果，那么事件 A 发生的概率为P（A）=mn考点十一、列表法求概率（10 分）1 、列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法；2、列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法；考点十二、树状图法求概率（10 分）1 、树状图法就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法；2、运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率；考点十三、利用频率估计概率（8 分）1 、利用频率估计概率在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率；2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验；3、随机数在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作；把这些随机产生的数据称为随机数；第六章一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系（3 分）1 、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系；其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面；为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限；注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限；2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒；平面内点的坐标是有序实数对，当 a b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标；考点二、不同位置的点的坐标的特征（3 分）1 、各象限内点的坐标的特征点P(x,y) 在第一象限点P(x,y) 在第二象限x 点P(x,y) 在第三象限xx0, y0, y0, y 0点P(x,y) 在第四象限2、坐标轴上的点的特征点P(x,y) 在x 轴上点P(x,y) 在y 轴上x 0, y 0y 0 ，x 为任意实数x 0 ，y 为任意实数点P(x,y) 既在x 轴上，又在y 轴上x，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y) 在第一、三象限夹角平分线上x 与y 相等点P(x,y) 在第二、四象限夹角平分线上x 与y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同；5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点P 与点p’关于x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点P 与点p’关于y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点P 与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y) 到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y) 到x 轴的距离等于y（2）点P(x,y) 到y 轴的距离等于x（3）点P(x,y) 到原点的距离等于x2 y 2考点三、函数及其相关概念（3~8 分）1 、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数；2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式；使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围；3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法；（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法；（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法；4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来；考点四、正比例函数和一次函数（3~10 分）1 、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果y kx b （k，b 是常数，k 0），那么y 叫做x 的一次函数；特别地，当一次函数2、一次函数的图像y kx b 中的b 为0 时，y kx （k 为常数，k 0）；这时，y 叫做x 的正比例函数；所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数y kx b 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数y kx 的图像是经过原点（0，0）的直线；k 的符号 b 的符号函数图像图像特征yb>0 0 x 图像经过一、二、三象限，y 随x 的增大而增大；k>0b<0 y0 x图像经过一、三、四象限，y 随x的增大而增大；yb>00 x图像经过一、二、四象限，y 随x 的增大而减小K<0yb<00 x图像经过二、三、四象限，y 随x 的增大而减小；。
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2021届新中考数学必考精点考点专题
专题46 中考数学分类讨论思想
全国各地每年中考数学试题都离不开考查分类讨论的思想，分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。
比如线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。
分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面数学思维能力。
学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学冋题，掌握分类讨论数学思想方法这个锐利武器，提高学生的综合运用的能力和良好的思维品质。
1.分类讨论思想含义
数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨论的方法，我们称为分类讨论法或分类讨论思想。
2.分类讨论一般应遵循以下原则
（1）对问题中的某些条件进行分类要遵循同一标准。
（2）分类要完整，不重复，不遗漏。
（3）有时分类并不是一次完成，还需进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。
3.需要分类讨论的试题基本类型及其要求
（1）考查数学概念及定义的分类。
熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。
（2）考查字母的取值情况或范围的分类。
此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的
取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.
（3）考查图形的位置关系或形状的分类。
熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.
（4）考查图形的对应关系可能情况的分类。
图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.
4.初中数学涉及分类讨论的常见问题
（1）绝对值中的分类讨论，
（2）应用题中的方案类型，
（3）概率统计中的分类讨论，
（4）分式方程无解的分类讨论问题
（5）一元二次方程系数的分类讨论问题
（6）三角形的形状不定需要分类讨论
（7）等腰三角形的分类讨论
（8）相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类
（9）常见平面问题中动点问题的分类讨论
（10）组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。
（11）圆中的分类讨论等等。
【例题1】（2020•凉山州）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）
A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm
【对点练习】（2019贵州贵阳）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都
在直线y＝x+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）
A．a≤﹣2 B．a＜
C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜
【例题2】（2020浙江绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD．若BD的长为2，则m的值为．
【对点练习】（2019齐齐哈尔）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD＝AC，则等腰△ABC底角的度数为．
【例题3】（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y x2的
图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
【对点练习】在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动，（与点B和C不重合），设BO＝x，ΔAOC的面积为.
（1）求关于的函数解析式，并写出函数的定义域.
（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O
与圆A相切时ΔAOC的面积.
一、选择题
1．为推进新时代课改，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（）
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
2．（2020齐齐哈尔模拟）关于x的分式方程=有解，则字母a的取值范围是（）
A. a=5或a=0
B. a≠0
C. a≠5
D. a≠5且a≠0
二、填空题
3．（2020•铜仁市）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于cm．
（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是．4．
5．（2020•泰州）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为．
6．（2020•哈尔滨）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为．
7．（2020•黑龙江）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE a，连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为．
三、解答题
8．（2020•湖州）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．
（1）特例感知如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP AC；
（2）变式求异如图2，若∠C＝90°，m＝6，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP 的长；
（3）化归探究如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．
9．（2020•遵义）如图，抛物线y＝ax2x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．
10．（2019辽宁本溪）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．
（1）如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：；
（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．
①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；
②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）．。