第二章 线性反演理论及方法

第二章 线性反演理论及方法

在了解了地球物理反演的任务和对象之后，让我们来讨论一下在地球的物理资料反演中 应用最广、研究最为成熟的线性反演理论，特别是离散线性反演的解法。

§2．1 线性反演理论的一般论述

为了使问题简单明了而又不失一般性，我们在此讨论一维问题。设有积分方程

()()()⎰=b

a

d m x G x d ξξξ, (2-1)

式中，()[]b a m ,∈ξ。在观测数据数目有限的情况下，为便于书写，我们把各参量表示成如下形式

()j j d x d = ()()j j j G G x G ==ξξ, ()m m =ξ

式(2-1)即为

⎰=b

a

j j md G d ξ ()M j ,,2,1 = (2-2)

由于()ξm 与()ξ,x G 线性无关，则式(2-2)可以表示成内积形式

()m G d j j ,= ()M j ,,2,1 = (2-3)

假设：

(1) j G ，是线性无关的一组函数； (2) j d 是精确数据，满足方程(2-3)。 我们先用核函数j G 构造另一组正交函数，即

∑==

M

j j kj

k G 1

α

ψ ()M k ,,2,1 = (2-4)

式中，kj α为不同时为零的常量参数，且有

∑==M

j kj 1

2

1α

。由于k ψ为一组正交函数，则有

()kj j k

δψψ

=, (2-5)

这里

⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧≠==j k j k kj ,0,1δ (2-6)

可见ψ和G 是无限维Hilbert 空间的一个M 维子空间。我们再以kj a 为系数对观测数据j d 作一个线性组合，并令其为k E ，则

()()()m m G a m G a d a E k j M

j kj M j j M j kj j kj k ,,,1

1

1

ψ====∑∑∑=== (2-7)

由此可见，k E 是m 在正交基k ξ轴上的投影。最后，我们把[a ,b ]上的函数m 展成级数

()∑∑∞

=∞===1

1

k k k k k k m ϕβξϕβ (2-8)

这里()ξϕk 是Hilbert 空间的任意坐标基，可以正交，也可以是不正交。若将其分成两部分，并取

k k ψϕ= ()M k ,,2,1 = (2-9) k ϕ为其他任意坐标基 M k >

则式(2-8)可写成

()∑∑∞

+=∞

=+

=1

1

M k k

k

k k k m ϕ

βξϕβ (2-10)

可以证明k k E =β。因为

()

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+=⎪⎭

⎫

⎝⎛+==∑∑∑∑∞

+==∞

+==1111,,M l l k l M l l k l M l l l M l l l k k k m E ϕψβψψβϕβψβψψ (2-11)

考虑到式(2-5)及式(2-6)，有

∑∞

==1

l k l

k

l

βψ

ψβ

∑∞

+==1

0M l l k

l

ϕψ

β

所以有k k E β=。如果考虑到式(2-10)中第二项

∑∞

+=1

M l k

l

ϕ

β是无限维空间中一个向量投影之

和，且该向量在M 维正交基k ψ中的投影为零，则对于问题中的模型m ，它可视为零向量，即

()∑∞

+==1

M k k

k m

ϕβξ (2-11)

故

()∑∞

=+=

1

0k k

k

m E m ψ

ξ (2-12)

下面来证明式(2-12)满足方程(2-3)。将式(2-10)代入式(2-3)右端得

⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑∑∞

+==∞+==1111,,,M k k k j M k k k j M k k k M k k k j G E G E G ϕβψϕβψ

将式(2-4)和式(2-7)代入，并考虑到G 为M 维正交空间的向量，即

()()j

j

M

l kj M

k kj

l M

l kl M k M

i j

j

ki

l

M l kl

j

d d a a d a G G a d a m G ===+=∑∑∑∑∑∑======1

2

1111

10

,,

从上面的讨论可以得出以下几个结论：

（1） 给定一组观测数据()M j ,,2,1 =，总能找到一个模型()ξm 使之满足

()m G d j j ,= ()M j ,,2,1 =

即解的存在性得到解决。

（2） 根据观测数据所构制的模型m 由两部分组成，第一部分为

∑=M

k k

k

E 1

ψ

，它取决

于观测数j d 。第二部分为∑==

M

k k

k

E m 1

ψ

，它与观测数据无关。由式(2-12)可知，模型构制

过程就是对核函数G 实行正交变换并求模型在正交基k ψ上投影的过程。

（3） 从式(2-12)中可以看出，反演问题的解m 是非唯一的。这种非唯一性完全由

0m 。所决定。由于0m 是无限维的，所以满足方程的模型有无限多。

（4） 在所有能拟合观测数据的模型中，根据正则化思想，取

1

222

2

2

1

2

210

22

+=++=

+=∑∑∑===M k k M k k k M

k k

k

E m m E m E m

ψψ

(2-13)

的模型，就是“最小模型”或“圆滑模型”。这个最小模型能拟合观测数据而又无零空间的影响。显然，最小模型是正交坐标系k ψ中的一个向量，也可以看成核函数G 的一种线性组