2007年《随机过程》课程试卷答案及评分标准

北方工业大学

2007-2008学年第一学期研究生

随机过程试题参考答案

一、（15分）

设随机变量X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，求

（1）X 的特征函数()g t ；

（2）利用特征函数计算X 的数学期望及方差。

解：（1）特征函数 ()()

()i t X i t x g t E e e d F x +∞-∞==⎰ 1()ibt iat

b itx a e e e dx b a i b a t

-==--⎰ 8分 （2）由()(0)()k k k g i E X =得

011()(0)lim ()2

t a b E X g g t i i →+''=== 22

2

22011()(0)lim ()3t a ab b E X g g t i i →++''''=== 从而 2

22

()()()()12b a D X E X EX -=-= 7分 二、（20分）

试求随机相位余弦波()cos()X t a t ω=+Θ的均值函数，方差函数和自相关函数。其中,a ω为常数，Θ服从(0,2)π上的均匀分布。

9分

自相关函数为

12(,)X R t t

6分

5分

三、（20分）

设粒子按平均率为每分钟4个的泊松过程到达某计数器，()N t 表示在[0,)t 内到达计数器的粒子个数，试求

（1） 在第3分钟到第5分钟之间到达计数器的粒子个数的概率分布；

（2） 在2分钟内至少有2个粒子到达计数器的概率。

解：（1）到达计数器的粒子个数的概率分布为

8

8{(5)(3)}(0,1,)!

k e P N N k k k --=== 10分 （2）所求概率为

8

1

08{(2)(0)2}1!k k e P N N k -=-≥=-∑ 819e -=- 10分

四、（15分）

设马氏链的转移矩阵为

00.60.40000.30.710001000P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

（1） 求两步转移矩阵；

（2） 求出各类的周期，并讨论其常返性。

解：（1）两步转移矩阵

20.400.180.42100000.60.4000.60.40P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

7分 （2）从状态转移图可看出，4个状态是互通的

(1)(2)(3)1111110,0.4,0.6f f f ===

()110(4)n f n =≥

()11111

0.40.61n n f f ∞===+=∑，故状态1是常返的 5分

又 ()1111 2.6n n nf μ∞

===<∞∑，故状态1是正常返的

显然状态1的周期是1 3分

因而状态1，2，3，4均为非周期的正常返态。

五、（20分）

设()s t 是一个周期为2T 的连续函数，Y 是服从区间[,]T T -上均匀分布的随机变量。定义()()X t s t Y =+为随机相位周期过程，试讨论其平稳性。

5分

7分

6分

2分

六、（10分）

设平稳过程()X t 的相关函数()a X R e

ττ-=，求()X t 的谱密度。 解：()X t 的谱密度

()()i X X S R e d ωτωττ+∞--∞=

⎰ 4分 0

2cos a a i e e d e d ττωττωττ+∞+∞----∞==⎰⎰ 2分 222a

a ω=+ 4分