二项式定理系数的性质
二项式定理性质
二项式定理性质是一个强有力的数学工具，它的出现使得多项式的计算变得简单明了。
它可以帮助我们简化计算，减少计算时间。
一、二项式定理性质的定义
二项式定理性质是指用简单的方法求解多项式的方法，可以将多项式的乘积表达为幂次和系数的形式。
它的定义是：若a、b是实数，（a+b）^n是n次幂，则（a+b）^n=Σ（n）C（i）ai bn-i。
二、二项式定理性质的实际应用
二项式定理性质可以用来处理多项式计算问题，比如：对于（x+y）^n，可以用到二项式定理性质，将它化简为Σ（n）C（i）xi yn-i。
此外，它还可以用来解决组合数问题，比如求解n个物品中任取m个物品的可能组合数。
三、二项式定理性质的证明
要证明二项式定理性质，需要用到二项式系数的概念，即C（i）=（n）/（i）（n-i）。
证明的步骤如下：
（1）首先，将（a+b）^n展开，可得：
（a+b）^n=Σ（n）C（i）aibn-i
（2）其次，按照上式，计算出C（i）值，即：C（i）=（n）/（i）（n-i）
（3）最后，将C（i）值代入式子，可得：（a+b）^n=Σ（n）C（i）ai bn-i
以上就是二项式定理性质的证明过程。
四、二项式定理性质的总结
总之，二项式定理性质是一种强大的数学工具，它可以帮助我们简化多项式计算，缩短计算时间，解决组合数问题，提高计算效率。
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式定理
二项式定理1．二项式定理2.(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －kn .(2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)C r n an －r b r 是二项展开式的第r 项．(×) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．(√) (4)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×)(5)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.(×) (6)在(x ＋1)n 的展开式中，每一项的二项式系数就是这项的系数．(√) (7)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 的展开式中通项公式是一样的．(×)(8)(x －y )n 的展开式中，第m 项的系数为(－1)m C m －1n .(×)(9)(1＋2x )5的展开式中含x 的项的系数为5.(×)(10)n x x )12(3 的展开式中不可能有常数项．(×)考点一 二项展开式的通项及应用[例1] (1)(2016·高考全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)解析：T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(x )r ＝25－r C r 5·，令5－r2＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3，∴x 3的系数为10. 答案：10(2)(2016·高考四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4解析：∵T r ＋1＝C r 6x r (i)6－r ，∴含x 4的项为T 5＝C 46x 4i 2＝－15x 4.答案：A(3)(2017·河北唐山一模)322)21(-+xx 展开式中的常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20 D ．20解析：∵322)21(-+x x ＝6)1(xx -，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r rx )1(-＝C r 6(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.答案：C(4)(2015·高考课标全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 解析：法一：利用二项展开式的通项公式求解．(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.法二：利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.答案：C[方法引航] 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可.1．在本例(1)中，求展开式中系数最大的项是第几项． 解：设第r ＋1项的系数最大，T r ＋1＝25－r C r 5·，第r 项的系数为26－r C r －15第r ＋2项的系数为24－r C r ＋15∴⎩⎨⎧25－r C r 5≥26－r C r －1525－r C r 5≥24－r C r ＋15，1≤r ≤2当r ＝1时，T 2＝ 当r ＝2时，T 3＝故系数最大的项为T 2或T 3.2．在本例(2)中，求展开式中的常数项．解：由T r ＋1＝C r 6x6－r ·i r可知，当r ＝6时． 常数项为T 7＝C 66·i 6＝－1. 3．在本例(4)中，求展开式中含x 3y 3的系数．解析：(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有三个取y ，一个取x 2，一个取x 即可，所以x 3y 3的系数为C 35C 12C 11＝10×2×1＝20.考点二 二项展开式的系数和问题[例2] 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．解：设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.[方法引航] (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a 、b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.1.5)12)((x x x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 解析：选D.令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1.因此5)12)(1(x x x x -+展开式中的常数项即为5)12(xx -展开式中1x 的系数与x 的系数的和.5)12(xx -展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·(－1)k ·x －k ＝C k 525－k x 5－2k·(－1)k .令5－2k ＝1，得2k ＝4，即k ＝2，因此5)12(xx -展开式中x 的系数为C 2525－2(－1)2＝80.令5－2k ＝－1，得2k ＝6，即k ＝3，因此5)12(x x -展开式中1x 的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40. 所以5)12)(1(x x x x -+展开式中的常数项为80－40＝40.2．(2017·广西来宾一中检测)(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 14x 14，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13的值为________．解析：设f (x )＝(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4.令x 分别取1，－1，f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 13＋a 14＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－…－a 13＋a 14＝27，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝f (1)－f (－1)2＝1－272＝－13.答案：－13考点三 二项式定理的综合应用[例3] (1)若S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727，求S 除以9的余数． 解：S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1 ＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2.∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是正整数，∴S 被9除的余数为7.(2)求1.025的近似值．(精确到两位小数)解：1.025＝(1＋0.02)5＝1＋C 15×0.02＋C 25×0.022＋…＋C 55×0.025≈1＋5×0.02＝1.10.[方法引航] (1)利用二项式定理进行近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n ≈1＋nx . (2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.1．将本例(1)变为S ＝1＋2＋22＋…＋25n －1.求证：S 能被31整除． 证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n－1＝32n －1＝(31＋1)n －1 ＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．2．将本例(2)改为：求1.028的近似值．(精确到小数点后三位)解：1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.[易错警示]多次应用二项展开式通项公式搭配不全[典例] (x 2＋2)52)11(-x的展开式的常数项是( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 [正解] 二项式52)11(-x展开式的通项为： T r ＋1＝C r 5r x-52)1(·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r. 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5；当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. [答案] D [易误] (x 2＋2)与52)11(-x的各因式的积为常数项，不只是2与(－1)的积，还有x 2与x －2的积也为常数．[警示] 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时要抓住一个二项式逐项分类，分析其它二项式应满足的条件，然后再求解结果．[高考真题体验]1．(2015·高考课标全国卷Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.解析：(1＋x )4的展开式通项为C r 4x r ，其中r 可取0,1,2,3,4. x 的所有奇数次幂为a C 14x ，a C 34x 3，C 04x ，C 24x 3，C 44x 5，∴系数和为8a ＋8＝32，∴a ＝3. 答案：32．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)解析：(x －y )(x ＋y )8＝x (x ＋y )8－y (x ＋y )8，故展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.答案：－203．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)解析：∵(x ＋a )10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10x10－r a r (r ＝0,1，…，10)， ∴(x ＋a )10的展开式中x 7的系数为C 310a 3＝15，得a ＝12. 答案：124．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：选B.由题意可知a ＝C m 2m ，b ＝C m ＋12m ＋1，又13a ＝7b ，即13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，解得m ＝6.课时规范训练 A 组 基础演练1．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )A ．80B ．40C ．20D ．10解析：选B.T k ＋1＝C k 515－k (2x )k ＝C k 5×2k ×x k ，令k ＝2，则可得含x 2项的系数为C 25×22＝40.2.532)2(x x -展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40解析：选C.T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k kx )2(3-＝C k 5(－2)k x 10－5k，令10－5k ＝0得k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.3．(x －2y )8的展开式中，x 6y 2项的系数是( )A ．56B ．－56C ．28D ．－28解析：选A.二项式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－2y )r ，令8－r ＝6，即r ＝2，得x 6y 2项的系数为C 28(－2)2＝56.4．已知8)(x a x -展开式中常数项为1 120，其中a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28解析：选C.由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式中各项系数的和为(1－a )8＝1或38.5．如果nx x )12(2+的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．6 D ．10解析：选B.n xx )12(2+的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ·(2x )n －r rx )1(2＝∵n ，r ∈N ，且r ≤n ，∴n ＝5r ∈N ，即n 的最小值为5.6．在n x x )12(3-的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( ) A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28解析：选B.由题意有n ＝8，T k ＋1＝C k 8k -8)21((－1)kx 8－43k ，k ＝6时为常数项，常数项为7. 7．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋22C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 等于( )A ．63B ．64C ．31D ．32解析：选A.逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A.8．若n x x )1(2-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是( ) A ．－10 B ．10 C ．－45 D ．45解析：选D.因为展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r·＝C r n (－1)r，所以C 2nC 4n＝314，解得n ＝10，所以T r ＋1＝C r 10·(－1)r ·，令20－5r 2＝0，则r ＝8.所以常数项为T 9＝C 810＝C 210＝45.9．在52)12(x x -的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：选D.因为T k ＋1＝C k 5(2x 2)5－k kx )1(-＝C k 525－k x 10－2k (－1)k x －k ＝C k 525－k(－1)k x 10－3k ， 令10－3k ＝1，得k ＝3，所以x 的系数为C 3525－3(－1)3＝－40. 10．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9解析：选B.(1＋3x )n 的展开式中含x 5的项为C 5n (3x )5＝C 5n 35x 5，展开式中含x 6的项为C 6n 36x 6，由两项的系数相等得C 5n ·35＝C 6n ·36，解得n ＝7.B 组 能力突破1．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．20解析：选C.设展开式的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx ·2－kx＝C k 6·(－1)k ·212x －3kx ，∴12x －3kx ＝0恒成立．∴k ＝4，∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 2．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1)B.34(3n －2)C.32(3n －2)D.32(3n －1) 解析：选D.在展开式中，令x ＝2得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ， 即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n－1)．3．设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________. 解析：a 10，a 11分别是含x 10和x 11项的系数，所以a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021，所以a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0.答案：04．(2016·高考山东卷)若52)1(xax +的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. 解析：T r ＋1＝rrrx C a 251055--，令10－52r ＝5，解之得r ＝2，所以a 3C 25＝－80，a ＝－2.答案：－25．(2016·高考天津卷)82)1(xx -的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答)解析：T r ＋1＝C r 8x 16－2r (－1)r x －r ＝(－1)r ·C r 8x 16－3r，令16－3r ＝7，得r ＝3，所以x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.答案：－566．已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．解析：由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n＝121，则12n ·(n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项是T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8. 答案：T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8。
二项式定理的推论
二项式定理的推论一、二项式系数的性质在二项式定理中，展开式的每一项都可以表示为二项式系数的形式。
二项式系数的一些重要性质如下：1. 对称性：二项式系数满足对称性，即C(n,k) = C(n,n-k)。
这意味着，在二项式系数中，每个系数与其对称的系数相等。
2. 递推关系：二项式系数之间存在递推关系，即C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)。
这意味着，我们可以通过前一行的系数计算出下一行的系数。
这些性质使得二项式系数在组合数学中有广泛的应用。
例如，在排列组合、概率论、图论等领域中，二项式系数经常用于计算和推导。
1. 幂的展开式：二项式定理可以用来展开幂的形式。
例如，对于任意实数a和b，以及正整数n，我们有：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n,n)a^0 b^n这个推论可以用于计算复杂的幂，例如高次多项式的展开式。
2. 平方差的展开式：二项式定理还可以用来展开平方差的形式。
例如，对于任意实数a和b，我们有：(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2这个推论可以用于计算平方差的形式，例如在代数运算中计算平方差的结果。
3. 二项式系数的和：二项式系数有一个重要的性质，即每一行的系数之和等于2的n次方。
换句话说，对于任意正整数n，有：C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n这个推论是二项式系数的一个重要性质，也可以通过二项式定理的展开式来证明。
三、应用举例1. 组合数学：二项式系数的计算在组合数学中有广泛的应用。
例如，在排列组合中，可以使用二项式系数来计算组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。
这在概率论、统计学等领域中都有重要的应用。
2. 二项分布：二项分布是概率论中的一个重要分布，它描述了在n 次独立重复试验中成功的次数的概率分布。
高中数学选择性必修三 6 3 2 二项式系数的性质
＋a4＋a5＋a6等于
A.4
B.－71
√C.64
D.199
解析 ∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6， 令x＝0，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.
12345
4.x－1x10的展开式的各项系数的和为__0__.
12345
5.(2x－1)6的展开式中各项系数的和为__1__；各项的二项式系数的和 为__6_4__. 解析 令x＝1，得各项系数的和为1； 各二项式系数之和为26＝64.
即Cnm＝_C_nn－_m_
增减性 与最 大值
增减性：当k<n＋1 时，二项式系数是逐渐增大的；当k> n＋1 时，二项式系
2
2
n
数是逐渐 减小的 .最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数_C__n2_最大；
n1
n1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数__C_n_2__，___C_n_2__相等，且同时取得
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)二项式系数的性质. (2)赋值法求各项系数的和. 2.方法归纳：一般与特殊、函数与方程. 3.常见误区：赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式 系数的和，则n的值为___5__. 解析 (7a＋b)10 的展开式中二项式系数的和为 C010＋C110＋…＋C1100＝210， 令(x＋3y)n中x＝y＝1， 则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
高中数学完整讲义——二项式定理3.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差
1思维的发掘 能力的飞跃1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...nn n n n nnnnC a C a b C ab C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r rnC a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rnC b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r rr n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系知识内容赋值求某些项系数的和与差2 思维的发掘 能力的飞跃数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅，3思维的发掘 能力的飞跃()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．，()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1kn n n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式3赋值求某些项系数的和与差【例1】 的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例2】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1()n x x+典例分析4 思维的发掘 能力的飞跃【例3】 (82x 展开式中不含4x 的项的系数和为A ．1-B ．92C ．102D ．152【例4】 若展开式的各项系数之和为，则_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）【例5】 ，则______．【例6】 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例7】 的展开式中的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例8】 若，则的值为_____（用数字作答）．231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭32n =6260126(1)x a a x a x a x -=++++L 0a +126a a a +++=L 42nx x 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x 423401234(23)x a a x a x a x a x =++++2202413()()a a a a a ++-+5思维的发掘 能力的飞跃【例9】 设的展开式的各项系数之和为， 二项式系数之和为，若， 则展开式中的系数为（ ）A ．B ．150C ．D ．500【例10】 若展开式的二项式系数之和等于，则第三项是 ．【例11】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【例12】 在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．⑴求展开式的第四项；⑴求展开式的常数项；⑴求展开式的各项系数的和．(5nx xM N 240M N -=3x 150-500-n x )2(+641nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭332nx x6 思维的发掘 能力的飞跃【例13】 若，求的值．【例14】 若，则 ．【例15】 若，则的值为_____（用数字作答）．【例16】 若，则_____．【例17】 已知，求．()10023100012310023xa a x a x a x a x =+++++L ()()22024********a a a a a a a a ++++-++++L L 201(1)(1)(1)(1)(1)n nn x x x a a x a x ++++++=+-+-L L 01n a a a ++=L 423401234(23)x a a x a x a x a x =++++2202413()()a a a a a ++-+52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++12345a a a a a ++++=7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017||||||a a a +++L7思维的发掘 能力的飞跃【例18】 若，求的值．【例19】 若，则的值为（ ）．A ．B ．C ．D ．【例20】 若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【例21】 已知，求：⑴ ；⑴ ； ⑴ ．【例22】 若，求的值．()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++0246a a a a +++423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++2202413()()a a a a a ++-+11-021002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-L 13599a a a a ++++=L 1001(31)2-1001(31)2+1001(51)2-1001(51)2+()77012712x a a x a x a x -=++++L 1237a a a a ++++L 1357a a a a +++0246a a a a +++()10023100012310023xa a x a x a x a x =+++++L ()()22024********a a a a a a a a ++++-++++L L8 思维的发掘 能力的飞跃【例23】 若，则________．（用数字作答）【例24】 若，则 ．【例25】 若，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【例26】 已知．⑴当时，求的值；⑴设． 试用数学归纳法证明：当时，．55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++12345a a a a a ++++=201(1)(1)(1)(1)(1)n nn x x x a a x a x ++++++=+-+-L L 01n a a a ++=L ()2009200901200912x a a x a x -=+++L 20091222009222a a a +++L 021-2-23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N L ≥5n =012345a a a a a a +++++22343,2n n n n ab T b b b b -==++++L 2n ≥(1)(1)3n n n n T +-=9思维的发掘 能力的飞跃【例27】 请先阅读：在等式的两边求导得，由求导法则得，化简得．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式（，整数），证明：； ⑴对于整数，求证：．⑶对于整数，求证①；②．【例28】 证明：．【例29】 证明：．【例30】 求证：2cos 22cos 1()x x x =-∈R 2(cos2)(2cos 1)x x ''=-(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-sin22sin cos x x x =012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x x x --+=+++⋅⋅⋅++x ∈R 2n ≥112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑3n ≥1(1)C 0nk kn k k =-=∑3n ≥21(1)C 0nkknk k =-=∑10121C 11n nkn k k n +=-=++∑220C (1)2nk n n k k n n -==+∑n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅L10思维的发掘 能力的飞跃【例31】 求的二项展开式．【例32】 设，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【例33】 设，求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭5432()5101051f x x x x x x =-+-++1()f x -51x +512x --512x +-51x -2a i =+11212121212121A C a C a C a =-+-+L高中数学讲义 11 思维的发掘 能力的飞跃【例34】 已知数列（）满足： 求证：对于任意正整数， 是一次多项式或零次多项式．【例35】 若，则等于（ ） A ． B ．C ．D ．0123a a a a L ，，，，00≠a 112(123)i i i a a a i -++==L ，，，n 01111011()(1)(1)(1)C C C C n n n n n n n n n n n n f x a x a x x a x x a x ----=-+-++-+L 0()C n i i n i f m m ==∑22log (3)log (1)f f 21213。
二项式定理
－ － －
＋ n· 2n－1＝(n＋2)· 2n－1， 故 3n>(n＋2)· 2n－1.
2 n 例 4：已知( x－ 2) (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三 x 项的系数的比是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 的项； (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
2 3 1 ( x 2) 【 3】 展开式中的常数项是_______. 2 x
20
1 1 3 3 C x C 2 C1 ( 2) C3 (2) x
1 3 2 1 2
20.
( x 2 12 2)3 ( x 1 )6 x x
Tr +1 = (1) C x
r n－ r r n－ r r a＝2x，b＝3y，Tr＋1＝Cn2 · 3 x y ，其中 r Cn
2n－r3r 就是 Tr＋1 项的系数．
求展开式中的特定项或特 定项的系数
1 x＋ n 例 1 在二项式 4 的展开式中，前三项的系数成等 2 x 差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．
4 所以x的系数为 C4 5 3 2 240.
【点评】三项式不能用二项式定理,必须转化 为二项式．
例1. 求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数． 解法二：因为 (x2 十 3x 十 2)5 ＝ (x2 十 3x 十 2)(x2 十 3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2), 所以 (x2 十 3x 十 2)5 展开式的各项是由五个 因式中各选一项相乘后得到的. 则它的一次项只能从五个因式中的一个取 一次项3x,另四个因式中取常数项2相乘得到.
二项式定理及其系数的性质
03
这些性质在解决某些数学问题 时非常有用，如求和、求积等 。
03 系数性质分析
组合数性质回顾
组合数定义
$C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$，表示从 $n$个不同元素中选取$k$个元素的组合数。
VS
组合数性质
$C_n^k = C_n^{n-k}$（互补性）， $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$（帕斯卡三角形）， $C_n^0 + C_n^1 + ldots + C_n^n = 2^n$（二项式定理特例）。
根据二项式定理的通项公式，可以直接计算出展开式中 任意一项的系数。具体方法为：确定该项在展开式中的 位置（即序号$k$），然后代入通项公式计算即可。
若需要求多项式的某一项系数，可以先将多项式按照 二项式定理展开，然后找到对应位置的项并计算其系 数。
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常见问题一
根据二项式定理的通项公式，若某项 的系数为0，则该项不存在于展开式 中。因此，可以通过判断通项公式中 组合数或二项式系数的值是否为0来 确定某项是否存在。
VS
当$n<k$时，组合数$C_n^k=0$， 因此对应的二项式系数也为0。此时， 展开式中不存在该项。
常见问题二：如何求展开式中特定项系数？
在二项式定理的通项公式$T_{k+1}=C_n^k cdot a^{n-k} cdot b^k$中，混淆$n$、$k$、$a$、$b$的含义和取值范围。其 中，$n$表示二项式的次数，$k$表示项的序号（从0开始计数），$a$和$b$分别表示二项式中的两个实数。
错误地认为通项公式中的组合数$C_n^k$与二项式系数完全相同，实际上二者在数值上相等，但意义不同。组合数表示从 $n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数，而二项式系数表示$(a+b)^n$展开后各项的系数。
【课件】二项式系数的性质 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
则3k≥6－1 k， 5－1 k≥k＋3 1，
解之得72≤k≤29.又 k∈N，∴k＝4.
∴展开式中系数最大的项为
2
26
T5＝C45x3(3x2)4＝405x 3 .
训练 3 在 x－x228的展开式中， (1)求二项式系数最大的项；
题型二 二项展开式的系数的和问题
例2 设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R). (1)求a0的值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值. 解 ∵(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023， (1)令x＝0，得(1－0)2 023＝a0，因此a0＝1. (2)令x＝1，得(1－2)2 023＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1， 因此a1＋a2＋…＋a2 023＝－2.
迁移2 若本例条件不变，试求a1＋a3＋…＋a2 023的值.
解 分别令x＝－1，x＝1，
得3－2 012＝3＝aa0＋0－aa1＋1＋aa2＋2－aa3＋3＋……＋＋aa2 202022＋2－aa2 202032，3，①②
由②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023).
∴a1＋a3＋…＋a2
+
Cnn
2n1
(n是偶数).
• 证明 ∵n为偶数,
：
∴Cn0
Cn2
Cn4
Cnn
Cn1
Cn3
Cn5
C n1 n
.
又∵C
0 n
Cn1
二项式定理常用推论
二项式定理常用推论二项式定理是高中数学中的重要定理之一，它描述了一个二次多项式的展开形式。
在二项式定理的基础上，还有一些常用的推论，这些推论在数学中具有广泛的应用。
本文将介绍几个常用的二项式定理推论。
一、二项式定理的推论一：二项式系数的性质在二项式定理中，展开式的每一项都可以表示为C(n, k) * a^(n-k) * b^k的形式，其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
根据组合数的性质，我们可以得到二项式系数的一些重要性质：1. C(n, k) = C(n, n-k)：这是组合数的对称性质，表示从n个元素中选择k个元素和选择n-k个元素的组合数是相等的。
2. C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)：这是组合数的递推关系，表示从n个元素中选择k个元素的组合数等于从n-1个元素中选择k个元素的组合数加上从n-1个元素中选择k-1个元素的组合数。
这些性质在概率论、组合数学等领域中具有广泛的应用，可以简化计算过程，提高效率。
二、二项式定理的推论二：二项式系数的和根据二项式定理，展开式的每一项都可以表示为C(n, k) * a^(n-k)* b^k的形式。
如果我们将这些项的系数相加，可以得到以下结果：1. (a+b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n2. (a+b)^n = C(n, 0) * a^n + C(n, 1) * a^(n-1) * b + ... + C(n, n) * b^n这个结果表明，如果将两个数a和b相加后再求幂，然后将展开式的系数相加，结果就等于将a和b分别求幂后再相加。
这个推论在代数运算中经常被使用，可以简化计算过程。
三、二项式定理的推论三：二项式系数的对称性在二项式定理的展开式中，每一项的系数都是由组合数C(n, k)给出的。
二项式定理的性质
二项式定理的一般形式
二项式定理的一般形式是指将任意实数的幂展开为多项式的形式。该形式是 二项式定理的拓展和推广，适用于更加广泛的数学领域。
二项式定理的证明方法
二项式定理的证明方法有多种，主要有代数证明、组合证明和数学归纳法。 不同的证明方法提供了不同的视角和思路，加深了对定理的理解。
二项式定理的不等式性质
二项式定理具有多种有趣的不等式性质，如二项式展开的不等式、二项式系数的不等式等。这些性质在 数学推导和证明中具有重要的应理是数学中描述两个数相加或相乘的定理，用于展开二项式和计算多项式。该定理广泛应用于 代数、组合数学和概率论等领域。
二项式系数
二项式系数是二项式定理中的重要参数，表示在展开二项式时每个项的系数。 二项式系数由组合数学中的组合公式计算得出。
二项式定理的展开式
二项式定理可以将以二项式为底数的幂展开为多项式。展开式的项数为等差 数列，具有一定规律。展开式的具体形式可由二项式系数和幂运算计算得出。
二项式定理的性质
二项式定理是数学中重要的定理之一，涉及多个方面的性质和应用。本文将 介绍二项式定理的各种性质和相关内容。
二项式定理的公式
二项式定理是数学中用于展开二项式的重要公式，其形式为：$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^{k}$$ 其中，$C(n, k)$表示二项式系数。
二项式定理及二项式系数的性质应用
累加性质
01
二项式系数满足累加性质，即对 于任意非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n-1$），有$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$。
02
这一性质表明，在二项式展开 式中，相邻两项的二项式系数 之和等于下一项的二项式系数 。
03
通过累加性质，可以推导出二 项式系数的其他性质，如求和 公式等。
二项式系数与通项公式
二项式系数是指$(a+b)^n$展开后各项的系数，记作$C_n^k$，表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素 的组合数。
二项式系数的通项公式为$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$，其中$n!$表示$n$的阶乘。
二项式定理展开方法
二项式定理的展开方法是通过组合数公式和乘法分配律逐步推导出来的。
02
在组合数学中，多项式定理可用 于推导组合恒等式和求解组合问
题。
在物理学和工程学中，多项式定 理可用于描述多维空间中的物理 量和场分布。
03
在计算机科学中，多项式定理可 用于设计和分析算法的时间复杂
度和空间复杂度。
04
05 思考题与练习题选讲
思考题选讲
题目1
证明二项式定理对任意正整数$n$都成立。
对于$(a+b)^n$，可以先将其表示成$(a+b)(a+b)cdots(a+b)$的形式， 然后按照乘法分配律进行展开。
在展开过程中，每一项都是$a$和$b$的乘积，且$a$和$b$的指数之和为 $n$。根据组合数公式，可以计算出每一项的系数。
02 二项式系数性质
对称性
二项式系数具有对称性，即对于任意 非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n$），有$C_n^k = C_n^{n-k}$。
二项式定理(通项公式)
二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=.（2）二项式系数kn C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)na n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式；【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；。
二项式系数性质与应用
二项式系数性质与应用二项式系数是组合数学中的一种重要概念，它在代数、概率、统计等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍二项式系数的性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、二项式系数的基本性质1.1 二项式系数的定义二项式系数表示为C(n,k)，其中n和k为非负整数，且0 ≤ k ≤ n。
其计算方法为C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中“!”表示阶乘运算。
1.2 二项式系数的对称性二项式系数具有对称性，即C(n,k) = C(n,n-k)。
这是由于在组合中，选取k个元素与选取n-k个元素是等价的。
1.3 二项式系数的递推关系二项式系数有递推关系：C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)。
这一关系可以用来计算任意二项式系数，而无需重新计算阶乘。
1.4 二项式定理二项式定理是二项式系数的一个重要性质，表示为(a+b)^n = ΣC(n,k) * a^(n-k) * b^k，其中Σ表示求和运算，k的取值范围为0到n。
二、二项式系数的应用2.1 代数中的应用在代数中，二项式系数被广泛应用于多项式展开和系数计算。
通过二项式定理，我们可以展开任意次多项式，从而计算多项式的各项系数。
2.2 概率与统计中的应用在概率与统计中，二项式系数与二项分布密切相关。
二项分布用于描述一组独立重复试验中成功（或失败）的次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数可以用二项式系数来表示。
2.3 组合数学中的应用二项式系数是组合数学的基础概念，它与排列、组合、二项式定理等紧密相关。
在组合数学中，可以利用二项式系数解决一些计数问题，如排列组合问题、子集问题等。
2.4 离散数学中的应用离散数学中的一些问题可以转化为二项式系数的计算问题，如定理证明、图论、递归关系等。
二项式系数的递推关系和性质在解决这些问题时起到了重要的作用。
2.5 应用于经济学和金融学二项式系数在经济学和金融学中也有一定的应用，例如二项式期权定价模型和二项式资产定价模型。
二项式定理ppt课件
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.
二项式定理
2
4
10－2r ∈Z， 3 (3)根据通项公式，由题意 0≤r≤10， r∈N. 10－2r 3 令 ＝k(k∈Z)，则 10－2r＝3k，即 r＝5－ k， 3 2 ∵r∈N，∴k 应为偶数． ∴k 可取 2,0，－2，即 r 可能取 2,5,8. 所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 15 1 12 2 2 5 8 ，C10－ 8x－2. C10(－ ) x ，C10 － 2
nr
[自主解答] (1)通项为
1 n 2 r r ＝Cn－2r x 3 ，
Tr＋1＝Cr x n
3
1 － r x 2
r 3
n－2r 因为第 6 项为常数项，所以 r＝5 时，有 ＝0， 3 即 n＝10. n－2r 1 1 (2)令 ＝2，得 r＝ (n－6)＝ ×(10－6)＝2， 3 2 2 ∴所求的系数为 1 2 45 2 C10 － ＝ .
⇒5≤r≤6.∴r＝5 或 r＝6.
∵r∈{0,1,2，…，8}． ∴系数最大的项为 T6＝1792x5，T7＝1792x6.
6. C n 2 C n 4 C n 2 C n 等于（
0 1 2 n n
A）
3 1
n
(A) 3
n
(B) 2 3
2 2
n
(C)
3 3
2
n
1
n n
0 4 Cn＋C2 ＋Cn＋… n ＝
2n－1 .
[思考探究2] 二项式系数与项的系数有什么区别？ 提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项 式系数是指 ，它只与各项的项数有关，而与a，
b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不 仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．
二项式定理项的系数
二项式定理项的系数二项式定理是指二项式定理项的系数，其中n对应的项中含有n 阶多项式，故又称为二项式定理项。
它最早出现在17世纪，是数学家汉尼拔斯特罗普森（Hans von Sterbenz）发现的。
二项式定理项的系数是一种重要的数学研究领域，因为它为数学中的许多有趣的概念奠定了基础。
比如它可以用来求解高阶多项式的值，研究线性方程和组合数学等。
在这篇文章中，我们将详细讨论二项式定理项的系数，包括定义、形式、性质和算法等，以及如何使用它们来求解所有高阶多项式的值。
二项式定理项系数是一个n阶s多项式，其中n是被称为阶的自然数，s是被称为系数的实数。
记作(n,s)，形式如下:(n,s)=(-1)^nC_n,s其中C_n,s是被称为组合数的位置系数，它是在n个置换里挑选s个元素的方案数，其形式如下:C_n,s=n!/[s!(n-s)!]其中！表示阶乘,可以表示为1x2x3xxn。
二项式定理项的系数有许多性质，非常重要。
它表明，对于任何n和s，(n,s)只有两个可能的值，如果n和s是偶数，则(n,s)的值为1，如果n和s是奇数，则(n,s)的值为-1。
如果n和s不是偶数，那么(n,s)的系数可以用一种称为二元组合的组合方式计算。
此法的步骤如下：1）将 (n,s)的值记录为|(n,s)|2）如果n和s都是奇数，则 |(n,s)|=-13）如果n或s是偶数，那么|(n,s)|=n!/(s!(n-s)!)4）如果n和s都是偶数，那么|(n,s)|=1以上就是二项式定理项的系数的定义、形式、性质和计算方法。
二项式定理的计算可以用来求解所有高阶多项式的值。
二项式定理的应用有很多，比如求解线性方程和组合数学等。
例如，如果需要计算一个四项式f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的值，可以根据二项式定理来计算。
将每个项用二项式定理表示，并将系数带入，就可以求出系数。
在组合数学中可以用二项式定理来求解组合数学中复杂的问题。
二项式系数
二项式系数第二节二项式定理1、二项式定理：(1)(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn。
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr (r＝0,1,2,…,n)为展开式第r+1项。
(3)展开式的特点：共有n＋1项；第r＋1项的二项式系数为C；2、二项式系数的性质:(1)C＝C。
(2)若n为偶数,中间一项＋1的二项式系数最大；若n奇数,中间两项、＋1的二项式系数相等并且最大．(3)C＋C＋C＋…＋C＝2n。
(4)C＋C＋C。
＝C＋C＋C＋。
＝2n－1、3、二项式中的最值问题求(a＋b)n展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1设第r＋1项系数最大，则4、二项式定理的主要应用(1)赋值求值；(2)证明一些整除问题或求余数；(3)证明有关等式与不等式；(4)进行近似计算。
例1、(1)求的值。
(2)求展开式中含项的系数为？(3)求展开式中所有有理项。
练习1:(1＋3)(＋)6展开式中的常数项为_____．例2、已知(+)n(n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1、(1)求展开式中各项系数和及二项式系数和；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．例3、已知(3－1)7＝a07＋a16＋…＋a6＋a7。
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a7的值；(2)求，a0，＋，a1，＋，a2，＋…＋，a7，的值；(3)求a1＋a3＋a5＋a7的值．解析(1)令＝1，得a0＋a1…＋a7＝(31－1)7＝27＝128。
(2)易知a1，a3，a5，a7为负值，，a0，＋，a1，＋，a2，＋…＋，a7，＝a0－a1＋a2－…－a7＝－(－a0＋a1－a2＋…＋a7)－[3(－1)－1]7＝47。
(3)令f()＝(3－1)7，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7，f(－1)＝－a0＋a1－a2＋…＋a7。
∴2(a1＋a3＋a5＋a7)＝f(1)＋f(－1)＝27－47。
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二项式系数的性质及应用
【学习目标】
1. 掌握二项式系数的性质
2. 培养观察发现、抽象概括及分析解决问题的能力 【课前练习】
1. 已知c bx ax x f ++=2
)(
（1）若2)1(=f ，则=++c b a （2）若1-=+-c b a ，则=-)1(f
2. =+n
b a )( ，其中二项式系数分别是
=+n x )1(
【活动方案】
活动一：理解二项式系数的性质
1. 请同学们阅读书37页到38页的材料——杨辉三角
2. 请大家写出当n 依次取0，1，2，3，… 时，将()n
a b +展开式的二项式系数填入下表． n
(a +b )n 展开式的二项式系数
1 2 3 4 5 6
将上表改成三角形几何排列
3. 观察二项式系数表与杨辉三角，探究这两者之间的关系，从中你能发现二项式系数有什
么特点？ 4. 从函数的角度看，r
n C 可看成以r 为自变量的函数)(r f ，其定义域是{}
n r N r r ≤∈,，
分别画出r C r f 6)(=)61,0( =r 以及r
C r f 7)(=)71,0( =r 的图像．
5．结合课前练习思考所有二项式系数的和是多少？ 总结： 1. 对称性
2. 增减性与最大值
3. 二项式系数的和
活动二：掌握二项式系数性质的应用——赋值法
例1证明：在()n
a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
小结：
例2已知72
70127(12)x a a x a x a x -=+++
+，求：
（1）0a ； （2）127a a a +++； （3）76543210a a a a a a a a -+-+-+-
变式训练：（1）求2
53126420()(）a a a a a a a ---+++
（2）求72172a a a +++
（3）求7
722
1222a a a +++
活动三：掌握二项展开式中的系数最大项与最小项的求法
例3已知n
x x 223)(+的展开式的各项系数和比n x )13(-的展开式的各项系数和大992，
求n x
x 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项．
课堂小结与自主检测 一、课堂小结
1．二项式系数由哪些性质？
2．应用二项式定理可以解决哪些常见的问题？
二、自主检测
1．设n a 为()n
x +1展开式中2
x 项的系数，则1032a a a +---++等于 ．
2．若()n
x 13+的展开式中各项系数的和为256，则展开式中2
x 项的系数为 ．
3．()7722107
2x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-．
（1）求721a a a +⋅⋅⋅++的值； （2）求7531a a a a +++的值．
4．已知：223
(3)n
x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．。