高考数学函数的奇偶性复习讲义

复习课
函数的奇偶性和周期性
要点梳理
1.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 f（-x）=f（x） ，那么函数f（x）就叫做偶函数. 有_______________ 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 f（-x）=-f（x） 有_______________ ，那么函数f（x）就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴 对称.
若f（a）=2，则f（-a）的值为 A.3 解析 B.0 C.-1 D.-2 （B ）
设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数.
∴f（x）=g（x）+1.∵f（a）=g（a）+1=2， ∴g（a）=1， ∴g（-a）=-1，∴f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.
4.(2011年全国大纲卷)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2 x(1-x),则f(- )等于 (
函数；
②两个偶函数的和、积是_________ 偶函数 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是_________. 奇函数
4.函数的周期性
(1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数f(x)定义域内的任意
x,都有f(T+x)=f(x),则称f(x)为周期函数.不为零的常数T叫做这个函
数的周期.如果在所有的周期ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ存在着一个最小的正数,这个最小的正 数叫做最小正周期.
1 x 的图象关于 x
（C）
A.y轴对称 C.坐标原点对称 B.直线y=-x对称 D.直线y=x对称
1 解析 ∵ f ( x ) x, x 1 1 f ( x) x ( x) f ( x). x x ∴f（x）是奇函数.∴f（x）的图象关于原点对称.
3.（2008·福建理）函数f（x）=x3+sin x+1 (x∈R),
基础自测
1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是 A.y=2x-3 B.y=-3x2 （C ）
C.y=ln 5x
解析
D.y=-|x|cos x
A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函
数.设y=f(x)=ln 5x=xln 5,∴f（-x）=-xln 5=
-f（x）.
2.（2008·全国Ⅱ理）函数 f ( x)
2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般 步骤是: （1）考查定义域是否关于____________ 原点对称 ；
（2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）： -f（x） 若f（-x）=_______ ，则f（x）为奇函数；
f（x） ，则f（x）为偶函数； 若f（-x）=________ -f（x） 若f（-x）=_______ 且f（-x）=________, f（x） 则f(x)既是 奇函数又是偶函数；
是否成立.
知能迁移1
判断下列函数的奇偶性:
4 x2 f ( x) ; | x 3 | 3
解
2 4 x 0 , (1)∵ | x 3 | 3
∴-2≤x≤2且x≠0,
∴函数f(x)的定义域关于原点对称.
4 x2 4 x2 f ( x) . x 33 x 4 ( x) 2 4 x2 又f ( x) , x x ∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
题型二
函数的奇偶性与单调性
【例2】 已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=
f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； (2)如果x为正实数，f（x）<0,并且f(1)= 1 , 试求 2 f(x)在区间［-2，6］上的最值. 思维启迪 (1)根据函数的奇偶性的定义进行证明, 只需证f(x)+f(-x)=0; (2)根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇 偶性的应用.
思维启迪 判断函数的奇偶性,应先检查定义域是 否关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否
相等或相反.
解
(1) 1 x 0 1 x 1, 定义域关于原点对称. 1 x
1 x 1 x 1 又f ( x) lg lg( ) 1 x 1 x 1 x lg f ( x), 1 x
故原函数是奇函数. 1 x (2) ≥0且1-x≠0 -1≤x<1, 1 x 定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.
探究提高 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备
条件:
一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的 必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题 是有利的; 二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶 性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关 系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))
若f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），则f（x）既
不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.
3.奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______, 相同
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______( 相反 填 “相同”、“相反”）. (2)在公共定义域内， ①两个奇函数的和是________, 奇函数 两个奇函数的积是偶
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)
5.已知奇函数f(x)的周期为4.当x∈[0,2]时,f(x)=2x,则f(-1009)=
. 【解析】函数f(x)周期为4,于是f(-1009)=f(-1)=-f(1)=-2.
【答案】-2
题型分类
题型一 函数奇偶性的判断
深度剖析
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
1 x f ( x) lg ; (1) 1 x 1 x (2) f ( x) ( x 1) ; 1 x
(2)性质:
①周期函数的周期不止一个.如果T是函数f(x)的周期,则nT(n∈Z,且n ≠0)也是f(x)的周期. ②如果函数f(x)的周期为T,则f(ω x)(ω ≠0)也是周期函数,且周期为
1 ③如果函数f(x)的周期为T,则T也是f 的周期. ( x)
.
T ω
④周期的推导与利用函数的周期解决问题.