天一专升本高数知识点教案资料

一专升本高数知识


第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(xfxf，图像关于原点对称。 偶函数：)()(xfxf，图像关于y轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0βαlim，则α是比β高阶的无穷小量。 （2）若cβαlim（不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1βαlim，则α与β是等价无穷小量 （3）若βαlim，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100xxxxxxsinlimsinlim 使用方法：拼凑000sinlimsinlim ，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致 （2）exxxxxx10111)(limlim e101)(lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

5、mnmnmnbaXQxPmnx,,,lim000 xPn的最高次幂是n,xQm的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。mn,以相同的比例趋向于无穷大；mn，分母以更快的速度趋向于无穷大；mn，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：Axfxx)(lim0 右极限：Axfxx)(lim0 AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000充分必要条件是 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： 0)()(limlim0000xfxxfyxx 或)()(lim00xfxfxx 间断：使得连续定义)()(lim00xfxfxx无法成立的三种情况 )()(lim)(lim)()(00000xfxfxfxfxfxxxx不存在无意义不存在， 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim0xfxx、)(lim0xfxx至少有一个不存在 （2）、第一类间断点：)(lim0xfxx、)(lim0xfxx都存在

)(lim)(lim)(lim)(lim0000xfxfxfxfxxxxxxxx跳跃间断点：可去间断点： 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质 （1） 最值定理：如果)(xf在ba,上连续，则)(xf在ba,上必有最大值最小值。 （2） 零点定理：如果)(xf在ba,上连续，且0)()(bfaf，则)(xf在ba,内至少存在一点，使得0)(f 第三讲 中值定理及导数的应用 1、罗尔定理 如果函数)(xfy满足：（1）在闭区间ba,上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）)()(bfaf，则在(a,b)内至少存在一点，使得0)(f 记忆方法：脑海里记着一幅图： 2、拉

格朗日定理 如果)(xfy满足（1）在闭区间ba,上连续 （2）在开区间（a,b）内可导； a b

则在(a,b)内至少存在一点，使得abafbff)()()( 脑海里记着一幅图： a b （*）推论1 ：如果函数)(xfy在闭区间ba,上连续，在开区间（a,b）内可导，且0)(xf，那么在),(ba内)(xf=C恒为常数。 记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。 （*）推论2：如果)(),(xgxf在ba,上连续，在开区间),(ba内可导，且),(),()(baxxgxf，那么cxgxf)()( 记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等 3、驻点 满足0)(xf的点，称为函数)(xf的驻点。 几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线 4、极值的概念 设)(xf在点0x的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有)()(0xfxf，则称)(0xf为函数)(xf的极大值，0x称为极大值点。 设)(xf在点0x的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有)()(0xfxf，则称)(0xf为函数)(xf的极小值，0x称为极小值点。 记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 5、拐点的概念 连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。

注3xy在原点即 是拐点 6、单调性的判定定理 设)(xf在),(ba内可导，如果0)(xf，则)(xf在),(ba内单调增加； 如果0)(xf，则)(xf在),(ba内单调减少。 记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，0)(xf； 在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，0)(xf； 7、取得极值的必要条件 可导函数)(xf在点0x处取得极值的必要条件是0)(0xf 8、取得极值的充分条件 第一充分条件： 设)(xf在点0x的某空心邻域内可导，且)(xf在0x处连续，则 （1） 如果0xx时，0)(xf; 0)(0xfxx时，,那么)(xf在0x处取得极大值)(0xf； （2） 如果0xx时，0)(xf；0)(0xfxx时，，那么)(xf在0x处取得极小值)(0xf； （3） 如果在点0x的两侧，)(xf同号，那么)(xf在0x处没有取得极值； 记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 第二充分条件：

设函数)(xf在点0x的某邻域内具有一阶、二阶导数，且0)(0xf，0)(0xf 则 （1）如果0)(0xf，那么)(xf在0x处取得极大值)(0xf； （2）如果0)(0xf，那么)(xf在0x处取得极小值)(0xf 9、凹凸性的判定 设函数)(xf在),(ba内具有二阶导数，（1）如果),(,0)(baxxf，那么曲线)(xf在),(ba内凹的；（2）如果),(,0)(baxxf，那么)(xf在),(ba内凸的。 图像表现： 凹的表现 凸的表现 10、 渐近线的概念 曲线)(xf在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。 （1） 水平渐近线：若Axfx)(lim,则)(xfy有

水平渐近线Ay (2) 垂直渐近线：若存在点0x，)(limxfx，则)(xfy有垂直渐近线0xx （2） 求斜渐近线：若baxxfaxxfxx)(lim,)(lim，则baxy为其斜渐近线。

11、 洛必达法则 遇到“00” 、“”，就分子分母分别求导，直至求出极限。 如果遇到幂指函数，需用)(ln)(xfexf把函数变成“00” 、“”。 第二讲 导数与微分 1、导数的定义 （1）、0)()(limlim)(00000xfxxfyxfxx （2）、hxfhxfxfh)()(lim)(0000 （3）、000)()(lim)(0xxxfxfxfxx 注：使用时务必保证0x后面和分母保持一致，不一致就拼凑。 2、导数几何意义：)(0xf在0xx处切线斜率 法线表示垂直于切线，法线斜率与)(0xf乘积为—1 3、导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。 4、求导方法总结 （1）、导数的四则运算法则 vuvu uvvuvu???)( 2vuvvuvu （2）、复合函数求导：

xfy是由)(ufy与)(xu复合而成，则 dxdududydxdy? （3）、隐函数求导 对于0),(yxF，遇到y，把y当成中间变量u，然后利用复合函数求导方法。 （4）、参数方程求导 设)()(tytx确定一可导函数)(xfy，则)()(ttdtdxdtdydxdy dtdxdtdxdyddxdxdyddxyd)()(22 (5) 、对数求导法 先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导 （6）、幂指函数求导 幂指函数)()(xvxuy，利用公式aealn )(ln)()(ln)(xuxvxueeyxv然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。 第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导 注：优选选择第二种方法。 5、高阶导数 对函数)(xf多次求导，直至求出。 6、微分 dxydy

记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加dx，不需要单独记忆。 7、可微、可导、连续之间的关系 可微可导 可导连续，但连续不一定可导 8、可导与连续的区别。 脑海里记忆两幅图 （1） （2） 2xy在x=0既连续又可导。 xy在x=0只连续但不可导。 所以可导比连续的要求更高。 第四讲 不定积分 一、 原函数与不定积分 1、原函数：若)()(xfxF，则)(xF为)(xf的一个原函数； 2、不定积分：)(xf的所有原函数)(xF+C叫做)(xf的不定积分，记作CxFdxxf)()( 二、 不定积分公式 记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式 三、不定积分的重要性质 1、dxxfdxxfdxfdxxf)()()()(或

2、cxfdxxf)()( 注：求导与求不定积分互为逆运算。 四、 积分方法 1、基本积分公式 2、第一换元积分法（凑微分法） 把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。 3、第二换元积分法 baxtbax令, 三角代换taxaxtaxaxtaxxatansecsin222222令令令 三角代换主要使用两个三角公式：tttt2222sectan1,1

cossin 4、分部积分法vduuvudv 第五讲 定积分 1、定积分定义 niiixbaxfdxxf10)(lim)( 如果)(xf在ba,上连续，则)(xf在ba,上一定可积。 理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。 2、定积分的几何意义 （1） 如果)(xf在ba,上连续，且0)(xf，则badxxf)(表示由)(xf，,,bxaxx轴所围成的曲边梯形的面积。S=badxxf)(。

（2） 如果)(xf在ba,上连续，且0)(xf， S=badxxf)(。 3、定积分的性质： （1） badxxkf)(badxxfk)( （2）badxxgxf)()(=badxxf)(badxxg)( （3）cabcbadxxgdxxfdxxf)()()( （4）abaabadxxfdxxfabdx)(0)(1badxxf)( （5）如果)()(xgxf，则babadxxgdxxf)()( （6）设m,M分别是)(xf在ba,的min, max,则 )()()(abMdxxfabmba M m 记忆：小长方形面积曲边梯形面积大长方形面积 （7）积分中值定理 如果)(xf在ba,上连续，则至少存在一点ba,，使得))(()(abfdxxfba 记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。 称badxxfab)(1为)(xf在ba,上的平均值。 4、积分的计算 （1）、变上限的定积分

xaxfdttf)())(( 注：由此可看出来xadttfx)()(是)(xf的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有一个是x而不是t （2）、牛顿—莱布尼兹公式 设)(xf在ba,上连续，)(xF是)(xf的一个原函数，则)()()()(aFbFxFdxxfbaba 由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分， 只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。 分部积分法第二换元积分法分法）第一换元积分法（凑微基本积分公式 5、奇函数、偶函数在对称区间上的定积分 （1）、若)(xf在aa,上为奇函数，则0)(xfaa （2）、若)(xf在aa,上为偶函数，则aaadxxfxf0)(2)( 注：此方法只适用于对称区间上的定积分。 6、广义积分 （1） 无穷积分 cacadxxfdxxf)(lim)( bccbdxxfdxxf)(lim)( ccdxxfdxxfdxxf)()()( 7、定积分关于面积计算 )(xf

)(xg 面积dxxgxfSba)()(，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界ba,上的定积分。 d )(yx )(yx c 面积S=dyyydc)()( 记忆方法：把头向右旋转90°就是第一副图。 8、旋转体体积 （1） y )(xf a b x 曲线)(xf绕 x轴旋转一周所得旋转体体积 ：dxxfVbax2)( （2）、 )(xf )(xg a b 阴影部分绕绕 x轴旋转

一周所得旋转体体积：dxxgxfVbax)(22 （3）、 y d )(yx c x

)(yx绕y轴旋转一周所得旋转体体积 ：dyyVdcy2)( (4)、 y d )(yx )(yx c x 阴影部分绕绕y轴旋转一周所得旋转体体积: dyyyVdcy)()(22 （二）、直线与平面的相关考试内容 一、 二元函数的极限 定义：设函数),(yxfz在点),(00yx某邻域有定义（但),(00yx点可以除外），如果当点),(yx无论沿着任何途径趋向于),(00yx时，),(yxfz都无限接近于唯一确定的常数A，则称当点),(yx趋向于),(00yx时，),(yxfz以A为极限，记为 Ayxfyxyx),(lim),(),(00 二、 二元函数的连续性 若),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx，则称),(yxfz在点),(00yx连续。 注：),(yxfz的不连续点叫函数的间断点，二元函数的间断点可能是一些离散点，也可能是一条或多条曲线。 三、 二元函数的偏导数

xyxfyxxfyxfxzxx),(),(lim),(0 yyxfyyxfyxfyzyy),(),(lim),(0 四、 偏导数求法 由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当成常数看待。 五、 全微分：dyyzdxxzdz 六、 二元函数的连续、偏导、可微之间的关系 二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立。 若偏导存在且连续，则一定可微。 函数),(yxfz的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。 七、 二元复合函数求偏导 设),(),,(),,(yxvyxuvufz， 则xvvzxuuzxz ，yvvzyuuzyz 注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。 八、 隐函数求偏导 方程0),,(zyxF确定的隐函数为),(yxfz，则对等号两边同时对x求导，遇到z的函数，把z当成中间变量。 第八讲 多元函数积分学知识点 一、 二重积分的概念、性质 1、 niiiidDfdxdyyxf10),(lim),( ，几何意义：代表由),(yxf，D围成的曲顶柱体体积。 2、性质：

（1）Ddxdyyxkf),(Ddxdyyxfk),( （2）Ddxdyyxgyxf),(),(=Ddxdyyxf),(+Ddxdyyxg),( （3）、DdxdyD （4）21DDD,Ddxdyyxf),(=1),(Ddxdyyxf+2),(Ddxdyyxf (5)若),(),(yxgyxf，则Ddxdyyxf),(Ddxdyyxg),( （6）若,),(Myxfm则MDdxdyyxfmDD),( (7)设),(yxf在区域D上连续，则至少存在一点D),(，使Ddxdyyxf),(Df),( 二、 计算 （1） D:)()(,21xyxbxa )()(21),(),(xxbaDdyyxfdxdxdyyxf （2） D：)()(,21yxydyc， )()(21),(),(xxdcDdyyxfdydxdyyxf 技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围 （3）极坐标下：rdrddxdyryrx,sin,cos )(0)sin,cos(),(rDrdrrrfddxdyyxf 三、 曲线积分 1、第一型曲线积分的计算 （1）若积分路径为L：bxaxy),(，则 Ldsyxf),(=dxxxxfba2))((1))(,( （2）若积分路径为L：dycy

x),(，则

Ldsyxf),(=dyyyyfdc2))((1)),(( （3）若积分路为L：)()(tytx，t，则 Ldsyxf),(=dtttttf22))(())(())(),(( 2、第二型曲线积分的计算 （1） 若积分路径为L：)(xy，起点ax,终点by，则 LdyyxQdxyxP),(),(dxxxxQxxPba)())(,())(,( （2） 若积分路径为L：)(yx，起点cy，终点dy，则 LdyyxQdxyxP),(),(dyyyQyyyPdc)),(()())),(( （3） 若积分路为L：)()(tytx，起点t，终点t，则 LdyyxQdxyxP),(),(dttttQtttP)())(),(()())(),(( 第九讲 常微分方程 一、 基本概念 （1）微分方程：包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。其中未知函数是一元函数的叫常微分方程。 （2）微分方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。 （3）微分方程的解：满足微分方程)(xfy或0),(yxf。前者为显示解，后者称为隐式解 （4）微分方程的通解：含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解 （5）初始条件：用来确定通解中任意常数的附加条件。 （6）微分方程的特解：通解中的任意常数确定之后的解。 二、 一阶微分方程 1、可分离变量的微分方程

（1）形如)()(ygxfdxdy的微分方程。 解法：变形为dxxfdyyg)()(1，两边作不定积分求出通解。 （2）形如xyfdxdy的微分方程。 解法：令uxy，则uxy，两边对x求导，然后代入原方程，则变量分离 2、一阶线性微分方程 一阶线性齐次微分方程 形如0)(yxPdxdy。解法：变量分离 一阶线性非齐次微分方程 形如)()(xQyxPdxdy 解法：常数变易法或公式法 注：一阶线性非齐次微分方程的通解公式为：CdxexQeydxxPdxxP)()()( 在通常使用中建议选择常数变易法