三角形形状判定
判断三角形形状
判断三⾓形形状前⾔判断依据主要是正、余弦定理的⾓的形式或者边的形式，其次还可能⽤到诱导公式，两⾓和与差的公式和⼆倍⾓公式等，变形思路①⾓化边，利⽤sinA =a2R等，转化为只有边的形式，然后通过因式分解、配⽅、提取公因式等，解代数⽅程得到边的相应关系，从⽽判断形状；②边化⾓，利⽤a =2RsinA 等，转化为只有⾓的形式，然后通过三⾓恒等变换，解三⾓⽅程得到，得到内⾓的关系，从⽽判断形状；此时要注意由于sinA >0恒成⽴，故⽅程两端出现sin A 可以放⼼约掉；但若出现cosA 时不能约分，需要移项提取公因式。
注意：由sinAcosB =sinA ，只能得到cosB =1，从⽽得到B =π2，即直⾓三⾓形；由cosAsinB =cosAsinC ，应该得到cosA =0或sinB =sinC ，从⽽得到A =π2或B =C ，即直⾓三⾓形或等腰三⾓形；重要结论sinA =sinB ⇒A =B ，等腰三⾓形；sin 2A =sin 2B ⇒A =B 或A +B =π2，等腰或直⾓三⾓形；cosA =cosB ⇒A =B ，等腰三⾓形；cos 2A =cos 2B ⇒A =B ，等腰三⾓形sin (A −B )=0⇒A =B ，等腰三⾓形；cos (A −B )=1⇒A =B ，等腰三⾓形相关拓展三⾓形内⾓和定理A +B +C =π，A +B 2=π2−C 2三⾓形中的三⾓函数关系sin (A +B )=sinC ，cos (A +B )=−cosC ，sin A +B2=cos C 2，cos A +B 2=sin C 2，三⾓形中的射影定理a =b ⋅cosC +c ⋅cosB ，b =a ⋅cosC +c ⋅cosA ，c =b ⋅cosA +a ⋅cosB ，典例剖析№1设ΔABC 的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC +ccosB =asinA ，则ΔABC 的形状为【】A .锐⾓三⾓形B .直⾓三⾓形C .钝⾓三⾓形D .不确定分析：⽤正弦定理的边的形式，边化⾓，得到sinBcosC +sinCcosB =sinAsinA ，即sin (B +C )=sinA =sinAsinA ，由于sinA ≠0，故sinA =1，故A =π2，故为直⾓三⾓形。
初二数学上册：全等三角形五大判定方法
初二数学上册：全等三角形五大判定方法全等三角形5大判定一、边边边（SSS）学习全等三角形判定法则时，第一条就是边边边。
内容：它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
理解：若给出三条线段的长度(满足三角形三边关系)，即可确定出的三角形形状，大小。
若给出三条线段长度AB=c，BC=a，AC=b，确定过程如下：①先确定一边AB；②分别以AB为圆心，分别做半径为b，a长的圆，交于C点；③最后连接AC，BC。
这样三角形的大小，形状就都被确定出来了。
二、边角边（SAS）内容：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
理解：若确定两条公共端点线段的长度，及它们的夹角，即可确定出的三角形形状，大小。
若给出AB=cBC=a∠B=α，确定过程如下：①画∠EAD=α；②在射线AE上截取AC=c，在射线AD上截取AB=c；③连接BC。
这样，三角形的.大小形状同样被确定了。
三、角边角（ASA）内容：两角和他们的夹边分别相等的两个三角形全等。
理解：若给出三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度了，即可确定出的三角形形状，大小。
若有AB=c，∠CAB=α，∠CBA=β，确定过程如下：①先确定一边AB=c；②在AB同旁画∠DAB=α，∠EBA=β，AD，BE 交于点C。
这样，三角形的大小形状同样被确定了。
四、角角边（AAS）内容：两边分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
理解：若给出三角形的两个角的大小和其中一个角对边的长度了，即可确定出的三角形形状，大小。
若有AB=c，∠CAB=α，∠ACB=β，确定过程如下：由三角形的内角和为180度可得出剩下一角∠CBA的度数，这样，利用角边角的思路即可确定三角形形状大小。
相关定理：三角形内角和为180度五、斜边，直角边（HL）内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
(HL)理解：若确定一个三角形为直角三角形，同时得到其一个直角边和斜边的长度，即可确定出三角形的形状大小。
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作
以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩 展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信 息，某些描述可能不够精确或全面。如有需 要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的 应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两 个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他 相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广 泛的情况，例如处理只有一边和两个 角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决 实际问题，例如几何证明、建筑设计、 工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法 （如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使 用圆规在该点上画圆，与直线相交于 两点。连接这两点即可得到经过该点 的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两 边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三 角形全等来确定未知点的位置。例如，已 知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从 而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到 两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知 点的位置，从而满足建筑设计的需求。
判定三角形形状的十种常用方法
判定三角形形状的十种常用方法三角形是数学和几何学中非常基础且重要的概念。
根据三角形的边长和角度，我们可以将其划分为不同的形状。
本文将介绍十种常用的判定三角形形状的方法。
边长比较法：对于任意三角形ABC，若a² + b² = c²（其中a、b、c分别代表三边长度），则三角形ABC为直角三角形，c为斜边。
角度测量法：如果一个三角形中有一个角是90度，那么这个三角形就是直角三角形。
此外，如果三个角都是60度，那么它是等边三角形；如果两个角是45度，那么它是等腰直角三角形。
边长比例法：对于三角形ABC，如果三边长度满足a:b:c = 1:√3:2，那么它是一个30-60-90度的特殊三角形。
中线长度法：在任意三角形ABC中，如果一条中线（连接一个顶点和对边中点的线段）等于该三角形的一半，则这个三角形是直角三角形。
角平分线法：如果一个三角形的角平分线、中线和高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
余弦定理法：利用余弦定理，可以通过三角形的三边长度来计算其角度，从而判断其形状。
正弦定理法：正弦定理可以用来计算三角形的边长，通过边长关系可以进一步判断三角形的形状。
面积法：对于直角三角形，其面积等于两直角边乘积的一半；对于等边三角形，其面积等于边长的平方乘以√3再除以4。
向量法：在向量表示中，如果两个向量的点积为零，则这两个向量垂直。
因此，如果三角形两边的向量点积为零，则这个三角形是直角三角形。
代数法：通过代数运算，如求解二次方程等，可以判断三角形的形状。
例如，在三角形ABC 中，如果a² + b² - c² = 0，则三角形ABC是直角三角形。
这十种方法各有其特点和应用场景，可以灵活选择和使用。
在解决实际问题时，可以根据已知条件和需求选择合适的方法来判断三角形的形状。
高中数学三角形形状的判定汇编
高中数学三角形形状的判定汇编三角形是初中数学中常见的图形，它的形状以及各种性质在高中数学中也扮演着重要的角色。
在解题过程中，正确地判定三角形的形状，对于进一步分析、应用相关定理至关重要。
本文将讨论常见的三角形形状判定方法，并提供一些实例进行说明。
1. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
我们可以通过边长来判定一个三角形是否为等边三角形。
假设三角形的边长分别为a, b, c，如果a=b=c，则该三角形为等边三角形。
实例1：已知三角形ABC的边长分别为3cm，3cm，3cm，请判定该三角形的形状。
解析：因为三角形ABC的边长都相等，所以它是等边三角形。
2. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
我们可以通过边长来判定一个三角形是否为等腰三角形。
假设三角形的边长分别为a, b, c，如果a=b或a=c或b=c，则该三角形为等腰三角形。
实例2：已知三角形XYZ的边长分别为4cm，4cm，5cm，请判定该三角形的形状。
解析：因为三角形XYZ的边XY和XZ长度相等，所以它是等腰三角形。
3. 直角三角形直角三角形是指其中一个角为直角（90度）的三角形。
我们可以通过三边长关系或角度关系来判定一个三角形是否为直角三角形。
判断方法一：三边长关系设三角形的边长分别为a, b, c，最长的边为c。
如果a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形。
实例3：已知三角形PQR的边长分别为3cm，4cm，5cm，请判定该三角形的形状。
解析：因为3²+4²=5²，所以三角形PQR为直角三角形。
判断方法二：角度关系设三角形的三个角分别为A, B, C，其中∠C是直角。
如果sin²A+sin²B=1，则该三角形为直角三角形。
实例4：已知三角形LMN中∠N=90度，sinL=0.6，sinM=0.8，请判定该三角形的形状。
解析：因为sin²L+sin²M=0.6²+0.8²=1，所以三角形LMN为直角三角形。
判定三角形形状的十种方法
判定三角形形状的十种方法三角形是几何学中最基本的图形之一，将一个平面分割成三条边长不为零且不平行的线段后所形成的图形。
在几何学中，我们可以通过不同的方法来判定三角形的形状。
本文将介绍十种常用的方法。
方法一：根据三条边的长度关系首先，我们可以通过三条边的长度关系来判断三角形的形状。
如果三条边的长度满足以下条件之一，则可以确定三角形的形状：1. 如果三条边的长度都相等，则这个三角形是等边三角形。
2. 如果有两条边的长度相等，但与第三条边不相等，则这个三角形是等腰三角形。
3. 如果三条边的长度都不相等，则这个三角形是一般三角形。
方法二：根据三个角的度数关系除了边长关系，我们还可以通过三个角的度数关系来判断三角形的形状。
1. 如果一个角是90度，则这个三角形是直角三角形。
2. 如果一个角大于90度，则这个三角形是钝角三角形。
3. 如果三个角的度数之和等于180度，则这个三角形是锐角三角形。
方法三：根据角度关系判断除了上述的度数关系，我们还可以根据各个角的大小关系来判断三角形的形状。
1. 如果有一个角是锐角，则这个三角形是锐角三角形。
2. 如果有一个角是直角，则这个三角形是直角三角形。
3. 如果有一个角是钝角，则这个三角形是钝角三角形。
方法四：根据角度和边长关系判断接下来，我们来看一些综合考虑角度和边长关系的判断方法。
1. 如果一个角是90度，且边长满足勾股定理的条件，则这个三角形是直角三角形。
2. 如果一个角是60度，且三个边长相等，则这个三角形是等边三角形。
3. 如果一个角是30度，且两边的边长相等，则这个三角形是等腰三角形。
方法五：根据角的相等关系判断三角形中的角也可以根据相等关系来判断形状。
1. 如果两个角是相等的，则这个三角形是等腰三角形。
2. 如果三个角都是相等的，则这个三角形是等边三角形。
方法六：根据边的比例关系判断我们可以通过三个边的比例关系来判断三角形的形状。
1. 如果三个边的比例都相等，则这个三角形是全等三角形。
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
判定三角形形状的常用方法
专题17 判定三角形形状的十种常用方法【专题综述】三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三角形的形状．这也是考试中的常考题型，本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考.【方法解读】一、利用因式分解例1 在△A BC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状。
解：∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．【解读】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=c，即可确定出三角形形状，此题考查了三角形边的牲与因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键。
【举一反三】（2017秋•分宜县校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，判断三角形的形状．【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．二、利用配方法例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．解：将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．故三角形为等边三角形，【解读】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.【举一反三】（2015春•六合区期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请你根据此条件判断这个三角形的形状，并说明理由．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【举一反三】（2016春•雁塔区校级期末）已知△ABC的三条边a、b、c满足关系|a2﹣b2﹣c2|+=0，那么△ABC的形状为．【分析】根据非负数的性质可得a2﹣b2﹣c2=0，b﹣c=0，进而可得a2﹣b2=c2，b=c，从而可得三角形的形状．8.（2016秋•简阳市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．9.（2017春•惠民县校级月考）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2=0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）=0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）=0得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．学#科*网。
全等三角形五大判定方法(两篇)
引言概述：三角形是几何学中最基本的形状之一。
在三角形中，全等三角形是指具有相等的三个角度和相等的三条边的三角形。
全等三角形的判定是几何学中的重要内容之一，它具有广泛的应用。
本文将介绍全等三角形的五大判定方法——边边边（SSS）、角边角（ASA）、边角边（SAS）、角角边（AAS）和直角边（HL）。
正文内容：一、边边边（SSS）判定方法：1.说明边边边（SSS）判定方法是三边相等的三角形判定方法。
2.介绍边边边（SSS）判定方法的步骤和要点。
3.详细解释如何利用边边边（SSS）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.举例说明边边边（SSS）判定方法的应用场景。
5.总结边边边（SSS）判定方法的特点和注意事项。
二、角边角（ASA）判定方法：1.介绍角边角（ASA）判定方法是角度和边相等的三角形判定方法。
2.说明角边角（ASA）判定方法的步骤和要点。
3.详细解释如何利用角边角（ASA）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.举例说明角边角（ASA）判定方法的实际应用。
5.总结角边角（ASA）判定方法的特点和适用条件。
三、边角边（SAS）判定方法：1.说明边角边（SAS）判定方法是一边、一角和另一边相等的三角形判定方法。
2.介绍边角边（SAS）判定方法的具体步骤和要点。
3.详细解释如何利用边角边（SAS）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.引用实际问题，说明边角边（SAS）判定方法的应用场景。
5.总结边角边（SAS）判定方法的特点和限制条件。
四、角角边（AAS）判定方法：1.介绍角角边（AAS）判定方法是两个角和一边相等的三角形判定方法。
2.说明角角边（AAS）判定方法的步骤和要点。
3.详细解释如何利用角角边（AAS）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.举例说明角角边（AAS）判定方法在实际问题中的应用。
5.总结角角边（AAS）判定方法的特点和使用条件。
五、直角边（HL）判定方法：1.介绍直角边（HL）判定方法是直角边和斜边相等的三角形判定方法。
全等三角形的判定
∠A=∠A'，那么△ABC≌△A'B'C'？
A
A'
B
C
B'
C'
叠合法：把△ABC放到△A'B'C'上，使∠A的顶点与∠A'
的顶点重合；△ABC≌△A'B'C'
判定
全等三角形判定方法一:
在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，
那么这两个三角形全等。（简记为S.A.S)
A
在ABC与ABC中
AB AB A=∠A AC AC
全等三角形的 判定
课前回顾
三角形的六个元素中，给定哪三个元素就可以确定三 角形的形状和大小？ 1. 三条边； 2. 两边及其夹角； 3. 两角及其夹边； 4. 两角及其对边. 如果两个三角形满足上述三个元素对应相等，
那么他们就是全等三角形。
新课探索
为什么“两边及其夹角对应相等”的两个三角形全等？ 如图，在△ABC和△A'B'C'中，已知AB=A'B'，AC=A'C'，
新课探索
为什么“两角及其夹边对应相等”的两个三角形全等？
如图，在△ABC和△A'B'C'中，已知∠A=∠A' ， ∠B=∠B ‘ ，AB=A ' B ' ,那么△ABC≌△A'B'C'？
A
A'
B
C
B'
C'
叠合法：把△ABC放到△A'B'C'上，使AB与A'B'重合；
△ABC≌△A'B'C'
中考数学复习指导：判定三角形形状的十种常用方法
判定三角形形状的十种常用方法三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三角形的形状．本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考．一、利用因式分解例1 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状，解∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．二、利用配方法例2 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．解将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．故三角形为等边三角形，三、利用根的判别式例3 已知a，b，c是△ABC的三边，且方程(a2＋b2＋c2)x2－(a＋b＋c)x＋＝0有实根，试判定△ABC的形状．解据题意，有△＝[－(a＋b＋c)]2－4（a2＋b2＋c2）×＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac－3a2－3b2－3c2＝－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0．又∵（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0．∴a＝b，b＝c，a＝c，从而a＝b＝c，故△ABC是等边三角形．四、利用构造方程例4 已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac＝k4－1，试判定以a，b，c为边的三角形形状，解由a＋c＝2k2，ac＝k4－1，可知a，c是方程x2－2k2x＋k4－1＝0的两个根．解得x1＝k2＋1，x2＝k2－1，∴a＝k2＋1，c＝k2－1，或a＝k2－1，c＝k2＋1．∵（k2－1)2＋(2k)2＝(k2＋1)2，∴b2＋c2＝a2，或a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．五、利用公共根例5 设a，b，c是△ABC的三边长，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个相同的根，求证：△ABC是直角三角形证明设两个方程的相同根（公共根）为a，则a2＋2aα＋b2＝0①，α2＋2cα－b2＝0②．①－②，得2(a－c) α＝－2b2，即(c－a) α＝b2．当a＝c时，b＝0不合题意，舍去；当a≠c时，α＝．将其代入①、②，得＋b2＝0．化简，得b2＋c2＝a2，所以△ABC是以∠A为直角的直角三角形．六、利用韦达定理例6 如果方程x2－xb cos A＋a cos B＝0的两根之积等于两根之和，a，b，c为三角形的三边，试判定△ABC的形状．解在△ABC中，作C D⊥AB于D，在△A D C中，A D＝b cos A，在△C D B中，B D＝a cos B，由韦达定理，得x1＋x2＝b cos A，x1·x2＝a cos B．∴b cos A＝a cos B，即A D＝B D．又∵C D⊥AB，∴△ABC为等腰三角形，七、利用三角形面积公式例7 已知△ABC中，若h a＋h b＋h c＝9r，其中h A.h B.h c为三边上的高，r为三角形内切圆的半径，试判定△ABC的形状．解 设△ABC面积为S，由三角形面积公式可得八、利用解方程组例8 已知△ABC的三条边是a，b，c，三个角是A,B,C．若b是a，c的比例中项，且a－b＝b－c，试判定这个三角形的形状．九、利用二次函数性质a，b，c是△ABC的三边长，试判定△ABC的形状．解因为a>0，b>0，c>0，∴a＋b>0．据题设，有故△ABC是等边三角形，十、综合运用判定方法例10 已知a，b，c为△ABC中角A，B，C的对边，当m>0时，关于x的方程b（x2＋m）＋c（x2－m）－2ax＝0有两个相等的实数根，且sin C·cos A－cos C sin A＝0，试判定△ABC的形状．解将原方程整理成∴sin A＝cos C，cos A＝sin C．又sin C cos A－cos C sin A＝0，∴sin2C＝sin2A，∴C＝A，∴a＝c，故△ABC为等腰直角三角形．综上所述，如果要判定的某个三角形是锐角三角形或是钝角三角形或是直角三角形，可通过余弦函数直接去判定角的范围，例如从cos A>0，cos A<0，cos A＝0既可得A< 90°，90°<A<180°，A＝90；如果要判定某个三角形是特殊三角形（例如直角三角形、等边三角形或等腰三角形等），则可以从边的关系人手或从角的关系人手，同时在解题过程中，还要注意综合运用三角形面积公式、韦达定理、根的判别式、二次函数的等等知识．。
如何正确判断三角形的形状
如何正确判断三角形的形状正(余)弦定理是三角函数知识的重要组成部分,它揭示了三角形的边、角关系,是高考的热点之一。
利用正、余弦定理判断三角形的形状,是正、余弦定理应用的重要方面。
1 利用正弦定理判断三角形的形状1.1 在△ABC中,若a2tanB=b2tanA,判断△ABC的形状。
分析:正确使用正弦定理,将已知条件中的边化角后判断△ABC的形状。
解:在△ABC中,有正弦定理:===2Ra=2RsinA,b=2RsinB,∵a2tanB=b2tanA∴(2RsinA)2· =(2RsinB)2· 2sinA2cosA=2sinBcosBsin2A=sin2B,因为A、B为三角形的内角,∴2A=2B或2A=π-2BA=B或A+B=,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形。
点评:本题利用正弦定理将已知条件转化成角的关系,利用诱导公式对条件进行化简、整理判断三角形的形状,同时注意角的关系有两种情况。
1.2 已知△ABC中,设=,=,=,则·=·=·判断△ABC的形状。
分析:要判断△ABC的形状,只需确定△ABC的三边或三角即可,此题解题的关键是建立向量的数量积与△ABC的边角关系。
解:如图所示:·=·得∵| |·||·cos(π-C)=| |·| |·cos(π-A), ∴| |·cosC=| |·cosA由正弦定理:a:c=sinA:sinC得sinAcosC=sinCcosA∴sin(A-C)=0,又∵-π<A-C<π ∴A-C=0即A=C,同理由·=·可得B=C,∴A=B=C即△ABC为正三角形。
点评:由===2Ra:b:c=sinA:sinB:sinC可以看出在题目中出现边的齐次式之比时,可以利用正弦定理将相应的边化为角。
2 利用余弦定理判断三角形的形状2.1 在△ABC中,若cos2=,试判断△ABC的形状。
全等三角形判定方式和解释
全等三角形判定方式和解释一、全等三角形的基础概念全等三角形是指两个三角形能够完全重合，它们的形状和大小都相等。
全等关系是三角形的一种重要性质，它在几何学中有广泛的应用。
二、全等三角形的判定方式1. 边边边（SSS）判定法如果两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。
数学表示为：如果△ABC ≌△DEF，当且仅当AB = DE, BC = EF, AC = DF。
解释：这个判定法是基于三角形的定义和性质。
在平面几何中，三角形的定义是一个由三条边和三个角构成的闭合二维多边形。
因此，如果两个三角形的三条边长度相等，那么它们的角度一定相等，从而它们的形状和大小都相等。
2. 边角边（SAS）判定法如果两个三角形的两边长度相等，并且这两边所夹的角相等，则这两个三角形全等。
数学表示为：如果△ABC ≌△DEF，当且仅当AB = DE, BC = EF, 且∠BAC = ∠DEF。
解释：这个判定法也基于三角形的性质。
在一个三角形中，任何一边的长度都受到与其所夹的两个角的影响。
因此，如果两个三角形的两条边长度相等，并且这两条边所夹的角相等，那么它们的形状和大小一定相等。
3. 角边角（ASA）判定法如果两个三角形的两个角相等，并且这两个角所夹的一边相等，则这两个三角形全等。
数学表示为：如果△ABC ≌△DEF，当且仅当∠A = ∠D, ∠B = ∠E, 且AB = DF。
解释：这个判定法同样基于三角形的性质。
在一个三角形中，任何一角的度数都受到与其所夹的两边长度的影响。
因此，如果两个三角形的两个角相等，并且这两个角所夹的一边长度相等，那么它们的形状和大小一定相等。
4. 角角边（AAS）判定法如果两个三角形的两个角相等，并且其中一个角所对的一边相等，则这两个三角形全等。
数学表示为：如果△ABC ≌△DEF，当且仅当∠A = ∠D, ∠B = ∠E, 且AC = DF。
解释：这个判定法也是基于三角形的性质。
在一个三角形中，任何一角的度数都受到与其所夹的两边长度的影响。
判定三角形形状的十种常用方法
判定三角形形状的十种常用方法三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三s角形的形状．本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考．一、利用因式分解例1 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状，解∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．二、利用配方法例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．解将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．故三角形为等边三角形，三、利用根的判别式例3 已知a、b、c是△ABC的三边，且方程(a2＋b2＋c2)x2－(a＋b＋c)x＋34＝0有实根，试判定△ABC的形状．解据题意，有△＝[－(a＋b＋c)]2－4（a2＋b2＋c2）×3 4＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac－3a2－3b2－3c2＝－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0．又∵（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0．∴a＝b，b＝c，a＝c，从而a＝b＝c，故△ABC是等边三角形．四、利用构造方程例4 已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac＝k4－1，试判定以a、b、c为边的三角形形状，解由a＋c＝2k2，ac＝k4－1，可知a、c是方程x2－2k2x＋k4－1＝0的两个根．解得x1＝k2＋1，x2＝k2－1，∴a＝k2＋1，c＝k2－1，或a＝k2－1，c＝k2＋1．∵（k2－1)2＋(2k)2＝(k2＋1)2，∴b2＋c2＝a2，或a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．五、利用公共根例5 设a、b、c是△ABC的三边长，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个相同的根，求证：△ABC是直角三角形证明设两个方程的相同根（公共根）为a，则a2＋2aα＋b2＝0①，α2＋2cα－b2＝0②．①－②，得2(a－c) α＝－2b2，即(c－a) α＝b2．当a＝c时，b＝0不合题意，舍去；当a ≠c 时，α＝2bc a ．将其代入①、②，得2222b ba c a c a ＋b 2＝0．化简，得b 2＋c 2＝a 2，所以△ABC 是以∠A 为直角的直角三角形．六、利用韦达定理例6 如果方程x 2－xbcos A ＋acosB ＝0的两根之积等于两根之和，a 、b 、c 为三角形的三边，试判定△ABC 的形状．解在△ABC 中，作CD ⊥AB 于D ，在△ADC 中，AD ＝bcos A ，在△CDB 中，BD ＝acosB ，由韦达定理，得x 1＋x 2＝bcos A ，x 1·x 2＝acos B ．∴bcos A ＝acosB ，即AD ＝BD ．又∵CD ⊥AB ，∴△ABC 为等腰三角形，七、利用三角形面积公式例7 已知△ABC 中，若h a ＋h b ＋h c ＝9r ，其中h a 、h b 、h c 为三边上的高，r 为三角形内切圆的半径，试判定△ABC 的形状．解设△ABC 面积为Ｓ，由三角形面积公式可得。
判定三角形形状的十种方法
判定三角形形状的十种方法判断三角形形状是几何学中的一个基本问题，目的是确定给定三个边长的三角形是等边、等腰、直角、锐角、钝角还是不规则三角形等。
下面将介绍十种常见的方法来判定三角形的形状。
1.边长判断法：通过比较三个边长的大小关系，可以快速判断三角形的形状。
-若三个边长相等，则为等边三角形。
-若任意两个边长相等，则为等腰三角形。
-若三个边长均不相等，则为不规则三角形。
2.角度判断法：通过测量三个角的大小，可以判断三角形的形状。
-若三个角均为90度，则为直角三角形。
-若三个角均小于90度，则为锐角三角形。
-若三个角中有一个大于90度，则为钝角三角形。
3.角边关系法：通过边长和角度的关系，可以判断三角形的形状。
-若一个角为90度，且其他两个角中的一个为45度，则为45-45-90直角三角形。
-若一个角为90度，且其他两个角相等，则为30-60-90直角三角形。
4.海伦公式法：海伦公式可以判断给定三个边长的三角形面积，并进一步判断其形状。
-若三角形的面积计算结果为零，则三个点共线，为退化三角形。
-若三角形的面积计算结果大于零，则为常规三角形。
5.直角判断法：判断三角形是否为直角三角形，可以通过勾股定理或余弦定理来判断。
-若满足勾股定理（c²=a²+b²），则为直角三角形。
6.等腰判断法：判断三角形是否为等腰三角形，可以通过边长关系和角度关系来判断。
-若两边边长相等，则两边对应的两个角也相等。
若两个角相等，则为等腰三角形。
7.等边判断法：判断三角形是否为等边三角形，可以通过边长关系来判断。
-若三个边长相等，则为等边三角形。
8.角平分线法：判断三角形是否为等腰三角形，可以通过角平分线的性质来判断。
-若一个角的角平分线与对边相等，则为等腰三角形。
9.角度和法：若三个角相加等于180度，说明是一个三角形。
通过角度和可以进一步判断其形状。
-若三个角不相等，且和为180度，则为不规则三角形。
利用正(余)弦定理判断三角形形状
利用正（余）弦定理判断三角形形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：A R a sin 2=，C ab c b a cos 2222=-+等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系.如：sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B)＝0⇔A ＝B ；sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A+B ＝2π等； 二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如bca cb A R a A 2cos ,2sin 222-+==等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.例：在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c ，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab ，且2cos Asin B=sin C ，试判断△ABC 的形状.思路一：根据条件，判断三角形三边的关系，此时需要化角为边；思路二：可以把角和边巧妙地结合起来，同时考虑边之间的关系，角之间的关系. 方法一：由正弦定理得b c B C =sin sin ，∵2cos Asin B=sin C ，bc B C A 2sin 2sin cos ==∴， 由余弦定理的推论得bca cb A 2cos 222-+= ∴bc bc a c b 22222=-+， 化简得2222c a c b =-+，∴a=b ； 又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab ，∴ab c b a 3)(22=-+，化简得22234b c b =-，∴b=c ，∴a=b=c ，即△ABC 是等边三角形.方法二：∵A+B+C=π，∴sin C=sin(A+B)，又2cos Asin B=sin C ，∴2cos Asin B=sin(A+B)， ∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B ，∴sin Acos B-cos Asin B=0，∴sin(A-B)=0，∵A,B ∈(0,π)，∴A-B ∈(-π,π)， ∴A=B ，又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab ，∴ab c b a 3)(22=-+，即ab c b a =-+222，由余弦定理的推论得2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 又C ∈(0,π)，3π=∴C ，又A=B ，∴△ABC 是等边三角形.规律总结：应用正弦定理进行判断或证明的方法：①判断三角形的形状实质是判断三角形的三边或三角具有怎样的关系；②利用正弦定理化边为角或化角为边，以实现边角的统一，便于寻找三边或三角具有的关系；③判断三角形的形状的常见结果有等腰三角形、等边三角形、直角三角形或等腰直角三 角形.针对性练习：1.在△ABC 中，若a 2tan B=b 2tan A ，试判断△ABC 的形状.【解析】法一：由正弦定理及已知，得sin 2A ·sin B cos B=sin 2B ·sin A cos A ， 即sin Acos A=sin Bcos B ，∴sin 2A=sin 2B. ∵0<2A,2B<2π，2A+2B<2π；∴2A=2B 或2A=π-2B.即A=B 或A+B=2π. 所以，三角形ABC 是等腰三角形或直角三角形.法二：在得到sin 2A=sin 2B 后，也可以化为sin 2A-sin 2B=0， ∴2cos(A+B)sin(A-B)=0，∴cos(A+B)=0或sin(A-B)=0.∵0<A+B<π，且-π<A-B<π，∴A+B=2π或A-B=0， 即A+B=2π或A=B.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 2.在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状.【解析】方法一：由正弦定理，得2sin B=sin A+sin C.∵B ＝60°，∴A+C ＝120°,即A ＝120°－C ，代入上式，得2sin 60°=sin(120°-C)+sin C 展开，整理得： ∴sin(C+30°)=1,∴C+30°=90°，∴C ＝60°，故A ＝60°，∴△ABC 为正三角形.方法二：由余弦定理，得B ac c a b cos 2222-+=，∵B=60°, 2c a b +=， 60cos 2)2(222ac c a c a -+=+， 整理，得0)(2=-c a ，∴a=c. 从而a ＝b ＝c ，∴△ABC 为正三角形.。
判定三角形的形状的三种方法
Ａ Ａ Ｂ Ｃ为钝 角三 角形 。
， ’ ０ ＋ ｂ 一ｃ
ｃｏ 乩 — 一 。
例３ ： 已知 Ａ 、 Ｂ 、 ｃ为 ＡＡ Ｂ Ｃ的 内角 ， 函数 ） 在（ 一 １ ， １ ） 单 调
递增 ， 且， （ ｓ ｉ ｎ Ａ ） ＞ ｃ ｏ ｓ Ｂ ） ｓ ｉ ｎ Ｂ ）＞ ｃ ｏ ｓ Ｃ ） ｓ ｉ ｎ Ｃ ） ＞ ， （ ｃ ｏ ｓ Ａ ） ，
文 献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ ５ — ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ） 一 ０ ４— ０ ０ ２ ９－ ０ １
关 键词 ： 三 角形 ； 形状 ； 判 定方 法
中图分 类号 ： Ｃ ， ６ ３ ３
一
、
根据 三角 形的 “ 三 边” 关 系去判 定三 角形 的形状
。
角三 角形 的三边 满 足 的条件 为 ： ｂ ＋ ｃ 一ａ ＞０且 ａ ＋ｃ 一ｂ ＞ ０ 成立） 。 且ａ ＋ ｂ 。 一 ｃ ＞ ０ 。而边长 为 １ ， ２ ， ２的三角 形满 足 以上 不 等关 系 ，
（ ２ ） 若ｔ ａ ｎ Ａ ｔ ａ ｎ Ｂ＞１ 或ｔ ａ ｎ Ａ ｔ ａ ｎ Ｃ＞１ 或ｔ ａ ｎ Ｂ ｔ ａ ｎ Ｃ＞１ ， （ 或
综 合 以上分 析 ， 同时满 足 只 能 Ａ Ｂ ９ ｏ 。 且Ｂ ｃ ９ ０ 。 且Ａ
＋ Ｃ ＞９ ０。 。 ｄ
，
－
，
例１ ： ＡＡ Ｂ Ｃ三 边分 别 为 ： （ １ ） １ ， ２ ， ； （ ２ ） １ ， ２ ， ２ ； （ ３ ） １ ， ２ ， ２ ． ５ ，
从 中可 以得到 ：
（ １ ） 若 誊ｂ ＋ Ｃ ２ 一 ａ ２ ： ０ 或ａ ２ ＋ ｃ ２ 一 ｂ ： ０ 或ａ ２ ＋ ｂ 一 ｃ ： ０
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浅析三角形形状的判定
三角形形状的判定是解三角形的重要内容，也是高考的一个重要考点，本文从常见的几种类型分析三角形形状的判定。
一、利用三角函数
例1.在△abc中，已知：sina×tanbsina·sinb，则△abc是（）
a.锐角三角形
b.直角三角形
c.钝角三角形
d.等腰三角形
解析：cosa·cosb>sina·sinb？圳cos（a+b）>0，
∴ a+b90°，c为钝角。
应选c。
例3.在△abc中，如果sinasinb+sinacosb+cosasinb+cosa cosb=2，则△abc是（）
a.等边三角形
b.钝角三角形
c.等腰直角三角形
d.直角三角形
解析：由已知，得cos（a—b）+sin（a+b）=2，
又cos（a—b）≤1，sin（a+b）≤1，
故cos（a—b）=1且sin（a+b）=1，
即a=b且a+b=90°，故选c。
二、利用平面向量
三、利用正弦、余弦定理
例6.（2012年上海理）在△abc中，若sin2a·sin2b<sin2c，则△abc的形状是（）
a.锐角三角形
b.直角三角形
c.钝角三角形
d.不能确定
解析：由条件结合正弦定理，得a2+b2<c2，再由余弦定理，得cosc=■<0，所以c是钝角，选c。
例7.在△abc中，sin2a=sin2b+sin2c，则△abc为（）
a.直角三角形
b.等腰直角三角形
c.等边三角形
d.等腰三角形
解析：sin2a=sin2b+sin2c？圳（2r）2sin2a=（2r）2sin2b+（2r）2sin2c，即a2=b2+c2，由勾股定理的逆定理得△abc为直角三角形。
故选a。
a.直角三角形
b.等边三角形
c.钝角三角形
d.等腰直角三角形
例9.在△abc中，a=2bcosc，则这个三角形一定是（）
a.等腰三角形
b.直角三角形
c.等腰直角三角形
d.等腰或直角三角形
解析：由a=2bcosc得，sina=2sinbcosc，
∴ sin（b+c）=2sinbcosc，
∴ sinbcosc+cosbsinc=2sinbcosc，
∴ sin（b—c）=0，∴b=c，故选a。
a.正三角形
b.直角三角形
c.等腰直角三角形
d.等腰三角形
利用正、余弦定理判断三角形形状主要有以下两种途径：
（1）利用正、余弦定理，把已知条件转化为边边关系，然后通过因式分解、配方等方法，得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。
（2）利用正、余弦定理，把已知条件转化为角角关系，然后通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状。
四、利用二次函数性质
例11.设∠a、∠b、∠c是△abc的三个内角，∠c是锐角，若关于x的方程x2—（2sin∠c）x+sinasinb=0有两个相等的实根，且 4sin2∠c+4cos∠c—5=0，求证：△abc为等边三角形。
证明：因为方程x2—（2sin∠c）x+sinasinb=0有两个相等的实根，所以？驻=（2sinc）2—4sinasinb=0，
根据正弦定理，得：c2—ab=0，所以c2 = ab，
由4sin2∠c+4cos∠c—5=0，
得：4（1—cos2c）+4cosc—5=0，即：4cos2c—4cosc+1=0，又因为∠c为锐角，
所以：∠c=60°
再根据余弦定理，得：c2=a2+b2—2abcos60°，
即c2=a2+b2—ab，所以a2+b2—ab=ab，故（a—b）2=0，所以a=b，
所以△abc为等边三角形。
综上所述，判定三角形的形状时，必须熟练掌握三角形边与边、边与角之间的关系，在具体解题时要分析清楚题目所给的条件与课
本所学过的知识点之间的联系，从而正确使用所学知识，以达到解决问题的目的。
（作者单位江西省宜春三中）。