三角形形状判定

浅析三角形形状的判定

三角形形状的判定是解三角形的重要内容，也是高考的一个重要考点，本文从常见的几种类型分析三角形形状的判定。

一、利用三角函数

例1.在△abc中，已知：sina×tanbsina·sinb，则△abc是（）

a.锐角三角形

b.直角三角形

c.钝角三角形

d.等腰三角形

解析：cosa·cosb>sina·sinb？圳cos（a+b）>0，

∴ a+b90°，c为钝角。应选c。

例3.在△abc中，如果sinasinb+sinacosb+cosasinb+cosa cosb=2，则△abc是（）

a.等边三角形

b.钝角三角形

c.等腰直角三角形

d.直角三角形

解析：由已知，得cos（a—b）+sin（a+b）=2，

又cos（a—b）≤1，sin（a+b）≤1，

故cos（a—b）=1且sin（a+b）=1，

即a=b且a+b=90°，故选c。

二、利用平面向量

三、利用正弦、余弦定理

例6.（2012年上海理）在△abc中，若sin2a·sin2b

a.锐角三角形

b.直角三角形

c.钝角三角形

d.不能确定

解析：由条件结合正弦定理，得a2+b2

例7.在△abc中，sin2a=sin2b+sin2c，则△abc为（）

a.直角三角形

b.等腰直角三角形

c.等边三角形

d.等腰三角形

解析：sin2a=sin2b+sin2c？圳（2r）2sin2a=（2r）2sin2b+（2r）2sin2c，即a2=b2+c2，由勾股定理的逆定理得△abc为直角三角形。故选a。

a.直角三角形

b.等边三角形

c.钝角三角形

d.等腰直角三角形

例9.在△abc中，a=2bcosc，则这个三角形一定是（）

a.等腰三角形

b.直角三角形

c.等腰直角三角形

d.等腰或直角三角形

解析：由a=2bcosc得，sina=2sinbcosc，

∴ sin（b+c）=2sinbcosc，

∴ sinbcosc+cosbsinc=2sinbcosc，

∴ sin（b—c）=0，∴b=c，故选a。

a.正三角形

b.直角三角形

c.等腰直角三角形

d.等腰三角形

利用正、余弦定理判断三角形形状主要有以下两种途径：

（1）利用正、余弦定理，把已知条件转化为边边关系，然后通过因式分解、配方等方法，得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。

（2）利用正、余弦定理，把已知条件转化为角角关系，然后通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状。

四、利用二次函数性质

例11.设∠a、∠b、∠c是△abc的三个内角，∠c是锐角，若关于x的方程x2—（2sin∠c）x+sinasinb=0有两个相等的实根，且 4sin2∠c+4cos∠c—5=0，求证：△abc为等边三角形。

证明：因为方程x2—（2sin∠c）x+sinasinb=0有两个相等的实根，所以？驻=（2sinc）2—4sinasinb=0，

根据正弦定理，得：c2—ab=0，所以c2 = ab，

由4sin2∠c+4cos∠c—5=0，

得：4（1—cos2c）+4cosc—5=0，即：4cos2c—4cosc+1=0，又因为∠c为锐角，

所以：∠c=60°

再根据余弦定理，得：c2=a2+b2—2abcos60°，

即c2=a2+b2—ab，所以a2+b2—ab=ab，故（a—b）2=0，所以a=b，

所以△abc为等边三角形。

综上所述，判定三角形的形状时，必须熟练掌握三角形边与边、边与角之间的关系，在具体解题时要分析清楚题目所给的条件与课

本所学过的知识点之间的联系，从而正确使用所学知识，以达到解决问题的目的。

（作者单位江西省宜春三中）