苏教版数学高一必修4学案 1. 1.2 弧度制

1．1.2 弧 度 制

度量长度可以用米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便，角的度量是否也能用不同的单位制呢？

一、弧度制的概念

1．弧度制：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做________的角． 2．正角、零角、负角的弧度数． (1)正角的弧度数是一个________； (2)零角的弧度数是________； (3)负角的弧度数是一个________． 答案：1.1弧度 2.(1)正数 (2)零 (3)负数

二、角度制与弧度制的互化

角度制与弧度制的换算：因为周角所对的弧是整个圆周，其长为2πr ，所以周角的弧度数是2π，但周角又等于360°，所以360°＝2π，所以180°＝π，

故得：1°＝________，1 rad ＝________≈________＝________. 附：完成常用角的弧度角度换算表： 度 0° 30° 60° 120° 135° 270° 弧度

π

4

π

2

5π

6

π

2π

答案：π

180 ⎝⎛⎭⎫180π° 57.3° 57°18′

度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0

π

6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π

3π

2

2π

三、弧长公式与扇形面积公式

1．角度制：半径为r ，圆心角为n°的扇形中，圆心角所对的弧长l 和面积S 分别为： 弧长l ＝________，扇形的面积S ＝________．

2．弧度制：半径为r ，圆心角为α rad 的扇形中，圆心角所对的弧长l 和面积S 分别为： 弧长l ＝______，扇形的面积S ＝______＝______．

答案：1.nπr 180 nπr 2360

2．|α|r 12l·r 12

|α|·r 2

角度制与弧度制的换算

角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系、辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad 这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；一些特殊角的弧度数，要求熟记，可通过下图记忆一些角的弧度数与角度数之间的关系．

今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k·360°＋π

3

或者2kπ－60°一类的写法．

角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应(如下图所示)．

弧度制下的弧长与扇形面积公式

这类问题直接考查弧长公式l ＝|α|·r 及扇形的面积公式S ＝12lr ＝1

2|α|r 2，要特别注意公式中各个字

母的含义：|α|是扇形所在圆心角的弧度数的绝对值，l 是弧长，r 是所在圆的半径．

运用弧长公式时圆心角α的单位必须是弧度．今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数．例如：sin π3就表示π

3 rad 的角的正弦．但用角度制表示角

时，即用“度”为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省去．

基础巩固

1．α＝－5 rad ，则α的终边在( A ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

2．已知A ＝⎩

⎨⎧x ⎪

⎪⎭

⎬⎫

x ＝kπ＋（－1）k ·π2，k ∈Z ，B ＝

⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫

x ＝2kπ＋π2，k ∈Z ，则A ，B 之间的关系为( C )

A ．A ⊆

B B ．B ⊆A

C ．A ＝B

D ．A B

3．一条弧长等于所在圆半径的1

2，则此弧所对的圆心角是________．

答案：12

4．在半径为2的圆内，长为4的弧所对的圆心角的大小为________． 答案：2

5．－300°化为弧度是________． 答案：－53

π

6．若有一角和π

3 rad 角终边相同，则此角的集合可以表示为

________________________________．

答案：⎩

⎨⎧α⎪

⎪⎭

⎬⎫

α＝k·2π＋π3，k ∈Z 7．把－11

4π表示成θ＋2kπ(k ∈Z)的形式，则使|θ|最小的θ为________．

答案：－3

4

π

8．一个扇形的弧长为5 cm ，它的面积为5 cm 2，则这个扇形的圆心角的弧度数是________． 答案：52

9．半径为4 cm 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆周的弧长，则这个扇形的面积是________cm 2.

答案：8π－16

10．如下图所示，一条弦的长度等于半径r ，求：

(1)这条弦所对的劣弧长；

(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积． 解析：(1)由题知△AOB 为正三角形， ∴∠AOB ＝60°，即|α|＝π

3.

∴l 劣弧＝|α|·r ＝π

3

r.

(2)S △AOB ＝12r 2sin 60°＝3

4r 2，

S 劣弧＝12|α|·r 2＝π

6

r 2，

∴S 弓形＝S 劣弧－S △AOB ＝⎝⎛⎭⎫π6－34r 2.

能力升级

11．在直径为10 cm 的轮上有一长为6 cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后P 转过的弧长为________．

解析：P 到圆心O 的距离OP ＝52－32＝4(cm)，又点P 转过的角的弧度数α＝5×5＝25(rad)． 所以弧长为α·OP ＝25×4＝100(cm)． 答案：100 cm

12．如果弓形的弧所对的圆心角为π

3，弓形的弦长为2 cm ，求弓形的面积．

解析：如图所示，r ＝AB ＝2(cm)，S △OAB ＝34×4＝3(cm 2)，S 扇形＝12×2×π3×2＝2π3

(cm 2)， ∴S 弓形＝S 扇形－S △OAB ＝

2π

3

－3(cm 2)．

13．如图所示，两轮半径分别是(A 、B 、C 、D 分别是切点)25 cm 和5 cm ，轴心距O 1O 2＝40 cm ，求连接两轮的传动皮带的长．