裂项相消法求和附答案解析.docx

.裂项相消法
利用列相消法求和，注意抵消后并不一定只剩下第一和最后一，也有可能前面剩两，后面剩两，再就是通公式列后，有需要整前面的系数，使列前后等
式两保持相等。

（ 1 ）若是 {a n }等差数列，1 1 .( 11
) ,1 1 .( 1 1 )
a n a n 1 d a n a n 1a n a n 22d a n a n 2
（ 2 ）
111 n（n1） n n1
（ 3 ）1
k)1 ( 1
n
1)
n(n k n k
（ 4 ）1 1 (11)（2n 1（)2n 1） 2 2n 1 2n 1
（ 5 ）
n(n
1
2)
1[1
(n
1] 1)( n2n(n 1)1)(n2)
（ 6 ）1n1n
n n1
（ 7 ）
11
n k n) n n k
(
k
1. 已知数列的前n和，．（1 ）求数列的通公式；
（2 ），求数列的前n和．
[ 解析 ] (1)⋯⋯⋯⋯⋯①
.
,⋯⋯⋯⋯⋯②
①②得 :
即⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
在①中令, 有, 即，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
故
2. 已知 {a n} 是公差 d 的等差数列，它的前n 和 S n， S4=2S 2 +8 ．
（Ⅰ）求公差 d 的；
（Ⅱ）若 a 1 =1 ， T n是数列 {} 的前 n 和，求使不等式T n≥所有的
n ∈N* 恒成立的最大正整数m 的；
[ 解析 ] （Ⅰ）数列{a n }的公差 d ，
∵ S4 =2S 2 +8 ，即 4a 1 +6d=2(2a 1 +d) +8，化得：4d=8，
解得 d=2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
（Ⅱ）由 a 1=1 ， d=2 ，得 a n =2n-1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
∴=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
.∴ T n =
=
=≥ ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分
又∵ 不等式
n
所有的 n ∈ N* 恒成立，T ≥
∴ ≥，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分
化得： m 2 -5m-6≤0 ，解得： -1 ≤m ≤6 ．
∴ m 的最大正整数 6 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分3.) 已知各均不相同的等差数列{a n } 的前四和S4 =14, 且 a 1 ,a3 ,a7成等比数列 . ( Ⅰ) 求数列 {a n } 的通公式 ;
( Ⅱ)T n数列的前n和,求T2 012的.
[ 答案 ] ( Ⅰ ) 公差 d, 由已知得(3 分)
解得 d=1或d=0(舍去),∴a1=2. (5分)
故 a n =n+1. (6分)
( Ⅱ)==-,(8 分 )
.∴T n= - + - + ⋯+ -= -=. (10 分 )
∴T 2 012 =. (12分)
4.) 已知数列 {a}是等差数列 ,- =8n+4, 数列 {|a
n |} 的前 n 和 S ,数列的前 n
n n 和 T n .
(1)求数列 {a n }的通公式 ;
(2)求 : ≤T n <1.
[ 答案 ] (1) 等差数列 {a n }的公差d,a n =a 1 +(n-1)d. (2分)
∵- =8n+4,
∴(a n+1 +a n )(a n+1 -a n )=d(2a 1 -d+2nd)=8n+4.
当n=1,d(2a 1 +d)=12;
当n=2,d(2a 1 +3d)=20.
解方程得或(4 分)
知 ,a n =2n或a n=-2n都足要求.
∴a n =2n或a n=-2n. (6分)
(2) 明 : 由 (1) 知 :a n =2n或a n=-2n.
∴|a n |=2n.
.∴S n =n(n+1). (8分)
∴ == -.
∴T n=1- + - + ⋯+ -=1-. (10 分 )
∴ ≤T n <1. (12分)
5. 已知等差数列 {a n } 的公差2, 前 n 和 S n ,且 S1,S2 ,S4成等比数列 .
( Ⅰ) 求数列 {a n } 的通公式 ;
( Ⅱ) 令 b n =(-1)n-1,求数列 {b n }的前 n 和 T n .
[ 答案 ] 看解析
[ 解析 ] ( Ⅰ ) 因 S1 =a 1 ,S2=2a 1 +×2=2a1+2,
S =4a
1+×2=4a
1
+12,
4
由意得 (2a 1+2) 2 =a 1 (4a 1+12),解得 a 1 =1,
所以 a n =2n-1.
( Ⅱ)b n =(-1)n-1=(-1)n-1
=(-1) n-1
当 n 偶数 , T n =-=1-
=.
当 n 奇数 , T n =-
.
所以 T n =
.
.
+ ⋯ +-
+ ⋯ -+++=1+=
6.已知点的象上一点，等比数列
的首，且前和
( Ⅰ) 求数列和的通项公式；
( Ⅱ) 若数列
[ 解析 ] 解： (Ⅰ )因为的前项和为，问
，所以
的最小正整数
，
是多少？
所以，，
，
又数列是等比数列，所以，所以，又公比，所以，
因为，
又
所以数列所以
所以，所以，所以
构成一个首项为 1 ，公差为
，当时，
. （ 6 分）
，
1 的等差数列，
，
，
( Ⅱ) 由(Ⅰ ) 得
，（10 分）
由得，满足的最小正整数为 72.（ 12 分）
7. 在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列（） .
（Ⅰ）求，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的
结论；
（Ⅱ）证明：.
[ 解析 ] （Ⅰ）由条件得，
由此可得.
猜测. （ 4分）
用数学归纳法证明：
①当时，由上可得结论成立.
②假设当时，结论成立，即，
那么当时，
.
所以当时，结论也成立.
由①②，可知对一切正整数都成立. （ 7 分）
（Ⅱ）因为.
当时，由（Ⅰ）知.
所以
.
综上所述，原不等式成立. (12分）
8. 已知数列的前项和是，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，求使成立的最小
.的正整数的．
[ 解析 ]（1）当，，由，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1分
当，
∴是以首，公比的等比数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
故⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
（2 ）由（ 1 ）知，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
，
故使成立的最小的正整数的.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
.
9.己知各均不相等的等差数列 {a n } 的前四和 S4=14 ，且 a 1， a 3， a 7成等比数列．
（I）求数列 {a n } 的通公式；
（ II ） T n数列的前n和，若T n≤¨ 恒成立，求数的最小．
[ 解析 ] 122.解得（Ⅰ）公差 d. 由已知得
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
，所以
3 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
（Ⅱ），
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分
恒成立，即恒成立
10.
又
∴的最小⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
已知数列前和，首，且，，成等差数列.
12 分
.
（Ⅰ）求数列的通公式；
（ II ）数列足，求：，
[ 解析 ] （Ⅰ）成等差数列,∴，
，
当，,
两式相减得：.
所以数列是首，公比 2 的等比数列，.（6分）( Ⅱ)，（ 8 分）
，
.（ 12 分）
11. 等差数列 {a n } 各均正整数, a 1 =3,前n和S n,等比数列{b n}中, b1=1,且
b 2 S2 =64, {} 是公比64 的等比数列 .
( Ⅰ) 求 a n与 b n ;
( Ⅱ) 明 : + + ⋯ + <.
. [ 答案 ] ( Ⅰ ){a n } 的公差d, {b n }的公比q, d 正整数 ,
a n =3+(n-1) d,
b n =q n-1.
依意有①
由(6+d) q=64知q正有理数,又由q=知, d 6 的因子 1, 2, 3, 6之一,解①得d=2, q=8.
故 a n =3+2(n-1) =2n+1, b n =8n-1.
( Ⅱ) 明 :S n =3+5+⋯+(2n+1) =n(n+2) ,
所以+ + ⋯+ =+++ ⋯+
=
=<.
12.等比数列{a n}的各均正数, 且 2a 1+3a 2 =1,=9a 2a 6.
( Ⅰ) 求数列 {a n }的通公式 ;
( Ⅱ) b n =log 3 a 1+log3a 2 +⋯+log 3 a n ,求数列的前n和.
[ 答案 ] ( Ⅰ ) 数列 {a n} 的公比q.由=9a 2 a 6得=9 , 所以 q 2=.
因条件可知q>0,故q=.
.由 2a 1 +3a 2 =1 得 2a 1 +3a 1 q=1,所以a1=.
故数列 {a n } 的通公式 a n=.
( Ⅱ) b n =log 3 a 1+log3a 2 +⋯+log 3 a n
=-(1+2+⋯+n)
=-,
故=-=-2,
+ + ⋯+ =-2++ ⋯ +=-.
所以数列的前 n 和 -.
13. 等差数列 {a n } 的各均正数,a 1=3, 其前 n 和 S n ,{b n } 等比数列 ,b 1 =1, 且
b 2 S2 =16,b3 S3 =60.
( Ⅰ) 求 a n和 b n ;
( Ⅱ) 求+ + ⋯ +.
[ 答案 ] ( Ⅰ ) {a n }的公差d, 且 d 正数 ,{b n }的公比q,
a n =3+(n-1)d,
b n=q n-1 ,
依意有 b 2 S2 =q ·(6+d)=16,
b 3 S3 =q 2·(9+3d)=60,(2分)
.解得 d=2,q=2.(4分)
故 a n =3+2(n-1)=2n+1,b n =2n-1.(6分)
( Ⅱ)S n =3+5+⋯+(2n+1)=n(n+2),(8分)
所以+ + ⋯+
=+++ ⋯+
=(10 分 )
=
= -.(12 分 )
14. 数列 {a n } 的前 n 和 S n足 :S n =na n -2n(n-1).等比数列{b n}的前n和T n,公比
a 1 ,且 T5 =T 3 +2
b 5 .
(1)求数列 {a n }的通公式 ;
(2) 数列的前n和M n,求:≤M n<.
[ 答案 ](1) ∵T5 =T 3+2b 5 ,∴b 4+b 5=2b 5,即 (a 1 -1)b 4 =0, 又 b 4≠0, ∴a1 =1.
n ≥2,a n =S n -S n-1 =na n -(n-1)a n-1 -4(n-1),
即(n-1)a n-(n-1)a n-1 =4(n-1).
∵n-1 ≥1, ∴a n -a n-1 =4(n≥2),
.∴数列{a n }是以 1 首 ,4 公差的等差数列,
∴a n =4n-3. (6分)
(2) 明 : ∵==·,(8 分 )
∴M n =++ ⋯+
=
=< ,(10 分 )
又易知 M n增 ,故 M n≥M 1=.
上所述 , ≤M n < . (12分)。