2011年考研数学三真题及答案解析
2011年考研数学三真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x时，3sin sin3f x x x 与kcx 是等价无穷小，则( )(A) k=1, c =4 (B ) k=1,c = 4(C) k=3,c =4(D ) k=3,c =4【答案】(C)【详解】本题涉及到的主要知识点：当0x时，sin x x在本题中，3sin sin 3limkxx xcx3sin sin cos 2cos sin 2limk xxx xx xcx2si n 3c o s 22c o sl i mkxxx x cx213c o s 22c o sl i mk xx x cx22132cos 12cos limk xx xcx221144cos 4sin limlimk k xxx x cxcx34l i m 14,3kx c kcx，故选择(C).(2) 已知函数f x 在x=0处可导，且0f =0，则2332limxx f xf xx = ( )(A) 2f (B)f (C) 0f (D) 0.【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点：导数的定义0000()()lim()xf x x f x f x x在本题中，2322333020220limlim x x x f xf xx f xx f f xf x x3300lim20200xf x f f xf f f f xx故应选(B)(3) 设n u 是数列，则下列命题正确的是( )(A)若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛(B) 若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛(C) 若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛(D) 若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛【答案】(A)【详解】本题涉及到的主要知识点：级数的基本性质若级数1n n u 收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变.在本题中，由于级数2121()nn n u u 是级数1n n u 经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1n n u 收敛时，2121()nn n u u 也收敛，故（A ）正确.(4) 设40ln sin Ix dx ，40ln cot Jx dx ，40ln cos K xdx ，则,,I J K 的大小关系是( )(A) IJ K(B) I KJ(C) JIK(D) KJ I【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点：如果在区间[,]a b 上，()()f x g x ，则()()b b aaf x dxg x dx ()ab 在本题中，如图所示：因为04x，所以0sin cos 1cot x x x又因ln x 在(0,)是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x xx(0,)4x4440ln sin ln cos ln cot x dx x dx x dx即I KJ .选（B ）.(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ，210000101P ，则A = ( )(A)12P P (B)112P P (C)21P P (D)121P P 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n 矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.π/4在本题中，由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110,1A B 即111,AP B ABP 故由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故10000101B E即2,P BE 故122,BP P 因此，1112121,A P P P P 故选(D)(6) 设A 为43矩阵，123,,是非齐次线性方程组Ax的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax的通解为()(A) 23121()2k (B)23121()2k (C)23121231()()2k k (D)23121231()()2k k 【答案】(C)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果1，2是Ax b 的两个解，则12是0Ax 的解；（2）如n 元线性方程组Axb 有解，设12,,,t是相应齐次方程组0Ax的基础解系，是Ax b 的某个已知解，则11220ttk k k 是Axb 的通解（或全部解），其中12,,,t k k k 为任意常数.在本题中，因为123,,是Ax的3个线性无关的解，那么21，31是0Ax的2个线性无关的解.从而()2n r A ，即3()2()1r A r A 显然()1r A ，因此()1r A 由()312n r A ，知（A ）（B ）均不正确. 又232311222AAA，故231()2是方程组Ax的解.所以应选（C ）.(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是()(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x (C)1()f x 2()F x (D)1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：连续型随机变量的概率密度()f x 的性质：()1f x dx 在本题中，由于1()f x 与2()f x 均为连续函数，故它们的分布函数1()F x 与2()F x 也连续.根据概率密度的性质，应有()f x 非负，且()1f x dx .在四个选项中，只有（D ）选项满足1221()()()()f x F x f x F x dx2112()()()()F x dF x F x dF x 121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x 1故选（D ）.(8) 设总体X 服从参数为(0)的泊松分布，12,,,(2)n X X X n为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111ni i T X n和121111n in i T X X n n，有()(A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C)1ET <2ET ,1DT >2DT (D)1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）泊松分布()X P 数学期望EX ，方差DX（2）()E cX cEX ，()E X Y EXEY ，2()D cX c DX ，()D XY DXDY （X 与Y 相互独立）在本题中，由于12,,,n X X X 独立同分布，且0iiEX DX ，1,2,,i n ，从而111111()()nni i i i E T E X E X n E Xnnn，112111111()()11n n ini n ii E T EX X E X E X n nn n11(1)()()1i n n E X E X n n111E XE X nn故12E T E T 又1121((11))ni i D T D n D X D Xn nX nn，12221111()(1)1(1)n in i D T D X X n n nn n12()1D T n nn，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 设0lim 13xtt f x x t，则f x.【答案】313xex【详解】本题涉及到的主要知识点：重要极限公式1l i m (1)xxxe在本题中，3130lim 13lim13x t x tttttf x x tx t 3xx e所以有313xf x ex .(10) 设函数1xyx z y，则1,1dz.【答案】12ln 2dx dy【详解】用对数求导法.两边取对数得ln ln(1)x x zyy，故11[ln(1)]z x x z xyyxy，21[ln(1)]z x x x z yyyxy令1x ，1y ，得(1,1)2ln 21z x ，(1,1)(2ln 21)z y，从而(1,1)12ln 2dz dx dy(11) 曲线tan 4yxye 在点0,0处的切线方程为.【答案】2yx【详解】方程变形为arctan()4y x ye ，方程两边对x 求导得211y yeyy e，在点(0,0)处(0)2y ，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2yx .(12) 曲线21yx，直线2x及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为.y21y x【答案】43【详解】本题涉及到的主要知识点：设有连续曲线()yf x ()axb ，则曲线()yf x 与直线x a ，x b 及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周产生的旋转体的体积2()b xaV f x dx在本题中，222223111141().33Vy dxxdxx x (13) 设二次型123,,Tf x x x x Ax 的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Qy 下的标准形为.【答案】213y【详解】本题涉及到的主要知识点：任给二次型,1()nij i j ijji i j fa x x a a ，总有正交变换xPy ，使f 化为标准形2221122nnfyyy ，其中12,,,n是f 的矩阵()ij A a 的特征值.在本题中，A 的各行元素之和为3，即1112131112132122232122233132333132333,13113,1313113113a a a a a a a a a a a a A a a a a a a 所以3是A 的一个特征值.再由二次型Tx Ax 的秩为10是A 的2重特征值.因此，正交变换下标准形为：213y.(14) 设二维随机变量,X Y 服从正态分布22,;,;0N，则2E X Y= .【答案】22()【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果随机变量X 和Y 的相关系数0XY，则称X 与Y 不相关.（2）若随机变量X 与Y 的联合分布是二维正态分布，则X 与Y 独立的充要条件是X 与Y 不相关.（3）如果随机变量X 与Y 相互独立，则有()E XY EXEY在本题中，由于,X Y 服从正态分布22,;,;0N，说明X ，Y 独立同分布，故X 与2Y 也独立.由期望的性质有22()E XY EX EY ，又EX，2222()EYDYEY ，所以222()()E XY 三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)求极限012sin 1limln 1xx x x x【详解】本题涉及到的主要知识点：当0x时，ln(1)x x在本题中，012sin 1limln 1xx x x x212sin 1lim x xx x2cos 1cos 12sin cos 12sin 212sin lim lim lim 22212sin x x x xx xx x x xxx xcos sin cos 112sin lim lim .22212sin x x x x x xx(16) (本题满分10分)已知函数,f u v 具有连续的二阶偏导数，1,12f 是,f u v 的极值，(,,)z f x y f x y .求21,1zx y【详解】本题涉及到的主要知识点：极值存在的必要条件设(,)zf x y 在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则必有00(,)0x f x y ，00(,)0y f x y .在本题中，(,(,))z f xy f x y 121(,(,))(,(,))(,)z f xy f x y f xy f x y f x y x2111221(,(,))(,(,))(,)(,)zf x y f x y f x y f x y f x y f x y x y21222212[(,(,))(,(,))(,)](,(,)),f xy f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y 1,12f 为,f u v 的极值121,11,1f f211212(1,1)2,2(2,2)(1,1)z f f f x y (17) (本题满分10分)求不定积分arcsin ln xxdxx【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）()x t ，1()[()]()()[()]f x dx f t t dt G t C G x C ；（2）udvuvvdu ；（3）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx . 在本题中，令t x,2xt ,2dxtdt arcsin ln xxdxx2arcsin ln 2tttdt t 22arcsin ln t t dt22222arcsin 22ln 21tt t tdt t tt dttt222(1)2arcsin 2ln 41d t t t t tt t222arcsin 2ln 214t t t ttt C2arcsin 2ln 214x x x x x x C ，其中C 是任意常数.(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 303xx恰有两个实根.【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）零点定理设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ），那么在开区间(,)a b 内至少有一点，使()0f （2）函数单调性的判定法设函数()yf x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导.①如果在(,)a b 内()0f x ，那么函数()y f x 在[,]a b 上单调增加；②如果在(,)a b 内()0f x ，那么函数()yf x 在[,]a b 上单调减少. 在本题中，令4()4arctan 33f x xx，'24()11f x x当3x 时，'()0f x ，()f x 单调递减；当3x时，'()0f x ，()f x 单调递增.4(3)4a r c t a n (3)(3)303f .当3x 时，()f x 单调递减,,3x,()0f x ；当33x时，()f x 单调递增, 3,3x,()f x 3x是函数()f x 在(,3)上唯一的零点.又因为48(3)4arctan33323033f 且4lim lim 4arctan 3.3xxfxx x由零点定理可知，03,x ，使0f x ,方程44arctan 303xx恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间0,1具有连续导数，(0)1f ，且满足'()()ttD D f xy dxdyf t dxdy , (,)0,0(01)tD x y yt x xt t，求()f x 的表达式.【详解】本题涉及到的主要知识点：一阶线性微分方程()()dy P x y Q x dx 的通解()()(())P x dxP x dxyeQ x edx C .在本题中，因为()()t tt xD f xy dxdydxf xy dy ，令x y u ，则()()()()t x t x f x y dyf u duf t f x 0()(()())()()tt t D f xy dxdyf t f x dxtf t f x dx21()()()()2tt D tf t f x dxf t dxdyt f t . 两边对t 求导，得2()()02f t f t t ,解齐次方程得212()(2)dt t C f t Cet 由(0)1f ，得4C . 所以函数表达式为24()(01)(2)f x x x .(20) (本题满分11分)设向量组11,0,1T，20,1,1T，31,3,5T不能由向量组11,1,1T,21,2,3T,33,4,Ta线性表出.(I)求a 的值；(II)将1，2，3用1，2，3线性表出.【详解】本题涉及到的主要知识点：向量组12,,,l b b b 能由向量组12,,,m a a a 线性表示的充分必要条件是121212(,,,)(,,,,,,,)m m l r a a a r a a a b b b (I)因为123101,,01310115，所以123,,线性无关.那么123,,不能由123,,线性表示123,,线性相关，即123113113,,124011501323aaa，所以5a (II)如果方程组112233(1,2,3)jx x x j 都有解，即123,,可由123,,线性表示.对123123,,,,,（）作初等行变换，有123123,,,,,（）=10111301312411513510111301312401422101113013124011021002150104210001102故112324，2122，31235102(21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且11110001111A (I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A .【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）(0)A为矩阵A 的特征值，为对应的特征向量（2）对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量互相正交.（I ）因()2r A 知0A ，所以0是A 的特征值.又111000111A，110011A ，所以按定义1是A 的特征值，1(1,0,1)T是A 属于1的特征向量；1是A 的特征值，2(1,0,1)T是A 属于1的特征向量.设3123(,,)Tx x x 是A 属于特征值0的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此131323130,0,T T x x x x 解出3(0,1,0)T故矩阵A 的特征值为1,1,0；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T Tk k k ，其中123,,k k k 均是不为0的任意常数.(II)由12312(,,)(,,0)A ，有1112123110110001(,,0)(,,)000001000111101A . (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y 的概率分布分别为X 01P 1/32/3Y 10 1P1/31/31/3且22()1P XY .(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布；(II) 求ZXY 的概率分布；(III) 求X 与Y 的相关系数XY.【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）协方差cov ,X Y E XY E X E Y（2）相关系数c o v ,()()XYX Y D X D Y (I)设(,)X Y 的概率分布为YX-110 11p 12p 13p 1/3 121p 22p 23p 2/31/31/31/3根据已知条件221P XY，即0,01,11,11P X Y P X YP XY ，可知12211p pp ，从而11130p pp ，12212313p p p ，即(,)X Y 的概率分布为(II) Z XY 的所有可能取值为-1，0，1 .111,13P Z P X Y 111,13P Z P XY101113P ZP Z P ZZ XY 的概率分布为(3) 23EX，0EY ，0EXY ，故(,)0Cov X Y EXY EX EY ，从而0XY.(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y 与0y 所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ；(II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y .【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）X 、Y 是连续型随机变量，边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy ，()(,)Y f y f x y dx ；（2）在Y y 的条件下X 的条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y ；（3）设G 是平面上的有界区域，其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 具有概率密度Z -1 0 1 p1/31/31/3X Y -1 0 1 0 1/3 0 10 1/31/31,(,),(,)0,x y G f x y A 其他则称(,)X Y 在G 上服从均匀分布.(I)(,)X Y 的联合密度为1,(,),(,)0,(,).x y G f x y x y G 当01x 时，0()(,)1xX f x f x y dy dy x ；当12x时，20()(,)12x X f x f x y dydyx ；当0x或2x时，()0X f x .所以, 01,()2, 12,0,X x x f x x x其它.(II)|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y 当01y时，2()122y Y yf y dx y ；当0y 或1y时，()0Y f y .所以|1,2,01,22(|)0,X Y yxy yy f x y 其他.。
2011年考研数学三真题及答案解析
2011年考研數學（三）真題及答案詳解一．選擇題1.已知當错误！未找到引用源。
0x →時，函數()3sin sin3f x x x =-错误！未找到引用源。
與kcx 是等價無窮小，則（A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==-（C ） 错误！未找到引用源。
（D ）3,4k c ==-2．已知()f x 在0x =處可導，且()00f =，則()()2332limx x f x f x x→-=（A ）()'20f - （B ）()'0f -(C) ()'0f (D)0 3．設{}n u 是數列，則下列命題正確の是 （A ）若1nn u∞=∑收斂，則()2121n n n uu ∞-=+∑收斂（B ）若()2121n n n uu ∞-=+∑收斂，則1n n u ∞=∑收斂（C ）若1nn u∞=∑收斂，則()2121n n n uu ∞-=-∑收斂（D ）若()2121n n n uu ∞-=-∑收斂，則1n n u ∞=∑收斂4．設4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，則,,I J K の大小關係是（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I <<5．設A 為3階矩陣，將A の第二列加到第一列得矩陣B ，再交換B の第二行與第一行得單位矩陣.記1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,則A =（A ）12PP （B ）112P P -（C ）21P P （D ）121P P -6．設A 為43⨯矩陣，123,,ηηη是非齊次線性方程組Ax β=の3個線性無關の解，12,k k 為任意常數，則Ax β=の通解為 （A ）()231212k ηηηη++- （B ）()232212k ηηηη-+-（C ）()()231312212k k ηηηηηη++-+- （D ）()()232213312k k ηηηηηη-+-+- 7．設()()12,F x F x 為兩個分佈函數，其相應の概率密度()()12,f x f x 是連續函數，則必為概率密度の是（A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 8．設總體X 服從參數為λ()0λ>の泊松分佈，()12,,,2n X X X n ≥ 為來自總體の簡單隨機樣本，則對應の統計量111n i i T X n ==∑，121111n in i T X X n n-==+-∑ （A ）1212,ET ET DT DT >> （B ）1212,ET ET DT DT >< （C ）1212,ET ET DT DT <> （D ）1212,ET ET DT DT <<二、填空題9．設0()lim (13)xtt f x x t →=+，則()f x '=10．設函數(1)xy xz y=+，則(1,0)dz =11．曲線tan()4y x y e π++=在點(0,0)處の切線方程為12．曲線y =2x =及x 軸所圍成の平面圖形繞x 軸旋轉所成の旋轉體の體積為13．設二次型123(,,)T f x x x x Ax =の秩為1，A 中行元素之和為3，則f 在正交變換下x Qy =の標準為14．設二維隨機變數(,)X Y 服從22(,;,;0)N μμσσ，則2()E XY =三、解答題15．求極限0x →16.已知函數(,)f u v 具有連續の二階偏導數，(1,1)2f =是(,)f u v の極值，[](),(,)z f x y f x y =+。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1990年)设函数f(x)=xtanxesinx，则f(x)是( )A．偶函数．B．无界函数．C．周期函数．D．单调函数．正确答案：B解析：由于则f(x)无界．2．(2011年)已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则( )A．k=1，c=4．B．k=1，c=一4．C．k=3，c=4．D．k=3，c=一4．正确答案：C解析：则k=3，c=43．(2000年)设函数f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分条件是( )A．f(a)=0且f’(a)=0B．f(a)=0且f’(a)≠0C．f(a)＞0且f’(a)＞0D．f(a)＜0且f’(a)＜0正确答案：B解析：排除法．A选项显然不正确，f(x)=(x一a)2就是一个反例．事实上C 和D也是不正确的．因为f(x)在a点可导，则f(x)在a点连续，若f(a)＞0(或f(a)＜0)则存在a点某邻域在此邻域内f(x)＞0(或f(x)＜0)，因此在a点的此邻域内｜f(x)｜=f(x)(或｜f(x)｜=一f(x))．从而可知｜f(x)｜与f(x)在a点可导性相同，而f(x)在点可导，从而C和D都不正确，因此，应选B．4．(2007年)设某商品的需求函数为Q=160—2p，其中Q，p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( ) A．10C．30．D．40．正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由知p=40．故应选D．5．(1987年)下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由于收敛，所以．应选C．6．(2018年)设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01 f(x)dx=0，则( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：由泰勒公式得上式两端积分得7．(2006年)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( ) A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0．B．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0．C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0．D．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0．正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有若fx’(x0，y0)≠0，由①式知λ≠0，由原题设知φy’ (x0，y0)≠0，由②式可知fy’ (x0，y0)≠0，故应选8．(2016年)级数(k为常数)( )A．绝对收敛．B．条件收敛．C．发散．D．收敛性与k有关．正确答案：A解析：由于收敛，则原级数绝对收敛．填空题9．(2007年) =______．正确答案：应填0．解析：由于sinx+cosx为有界变量，则10．(1990年)设f(x)有连续的导数，f(0)=0且f’(0)=b，若函数在x=0处连续，则常数A=______．正确答案：应填a+b．解析：由于F(x)在x=0连续，则11．(2003年)已知曲线y=x3一3a2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=______．正确答案：应填4a6．解析：设曲线y=x3一3a2x+b在x=x0处与x轴相切，则3x02—3a2=0 且x03—3a2x0+b=0即x02=a2 且x0(x02—3a2)=一b从而可得b2=4a612．(2018年)设函数f(x)满足f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)，且f(0)=2，则f(1)=______．正确答案：应填2e．解析：由f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)知上式中令△x→0得f’(x)=2xf(x)解方程得f(x)=Cex2又f(0)=2，则C=2，f(x)=2ex2，f(1)=2e．13．(2010年)设可导函数y=y(x)由方程∫0x+ye－t2dt=∫0xxsint2dt确定，则=______.正确答案：应填一1．解析：由∫0x+ye－t2dt=x∫0xsintdt知，x=0时y=0，且e－(x+y)2(1+y’)=∫0xsintdt+xsinx将x=0和y=0代入上式得1+y’(0)=0y’(0)=－114．(2000年)设其中f，g均可微，则=______．正确答案：应填解析：15．(2014年)二次积分=______．正确答案：应填解析：积分中的第二项适合先对x后对y积分，但第一项适合先对y后对x 积分．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2011考研数学三真题及答案
2011年考研数学三真题一．选择题1.已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则（A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==-2．已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()()2332limx x f x f x x →-=（A ）()'20f - （B ）()'0f -(C) ()'0f (D)0 3．设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 （A ）若1nn u∞=∑收敛，则()2121n n n uu ∞-=+∑收敛（B ）若()2121n n n uu ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛（C ）若1nn u∞=∑收敛，则()2121n n n uu ∞-=-∑收敛（D ）若()2121n n n uu ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛4．设4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，则,,I J K 的大小关系是（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I <<5．设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵.记1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A =（A ）12PP （B ）112P P -（C ）21P P （D ）121P P -6．设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为 （A ）()231212k ηηηη++- （B ）()232212k ηηηη-+-（C ）()()231312212k k ηηηηηη++-+- （D ）()()232213312k k ηηηηηη-+-+- 7．设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是（A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 8．设总体X 服从参数为λ()0λ>的泊松分布，()12,,,2n X X X n ≥ 为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量111ni i T X n ==∑，121111n in i T X X n n -==+-∑ （A ）1212,ET ET DT DT >> （B ）1212,ET ET DT DT >< （C ）1212,ET ET DT DT <> （D ）1212,ET ET DT DT <<二、填空题9．设0()lim (13)xtt f x x t →=+，则()f x '=10．设函数(1)xy xz y=+，则(1,0)dz =11．曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为12．曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为13．设二次型123(,,)T f x x x x Ax =的秩为1，A 中行元素之和为3，则f 在正交变换下x Qy =的标准为14．设二维随机变量(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY =三、解答题15．求极限0x →16.已知函数(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，[](),(,)z f x y f x y =+。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 ( )(A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x →-= ( )(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0.(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(4) 设40ln sin I x dx π=⎰，4ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I <<(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = ( )(A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+- (D)23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( )(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x (8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( )(A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '= .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . (12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 .(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，x Q y =下的标准形为 .(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布(,μN三、解答题：15~23小题，共94分.证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)求极限0x →(16) (本题满分10分)已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，()(,,)z f x y f x y =+.求()21,1zx y∂∂∂(17) (本题满分10分)求不定积分(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足'()()+=⎰⎰⎰⎰ttD D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤tD x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.(20) (本题满分11分)设向量组()11,0,1Tα=，()20,1,1T α=，()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T,()21,2,3T β=,()33,4,β=Ta 线性表出.(I)求a 的值 ；(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. (21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A . (22)(本题满分11分)设随机变量与的概率分布分别为且22()1P X Y ==.(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. (23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则 ( )(A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 【答案】 (C)【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，sin x x 在本题中，03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2limkx x x x x xcx →--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx --→→-== 304lim 14,3k x c k cx -→==⇒==，故选择(C).(2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x→-= ( )(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. 【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点： 导数的定义 0000()()lim ()x f x x f x f x x→+-'=在本题中，()()()()()()232233320220limlimx x x f x f x x f x x f f x f xx→→---+=()()()()()()()33000lim 20200x f x f f x f f f f x x →⎡⎤--'''⎢⎥=-=-=-⎢⎥⎣⎦故应选(B)(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( )(A)若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】(A)【详解】本题涉及到的主要知识点： 级数的基本性质 若级数1nn u∞=∑收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变. 在本题中，由于级数2121()n n n uu ∞-=+∑是级数1n n u ∞=∑经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1nn u∞=∑收敛时，2121()n n n uu ∞-=+∑也收敛，故（A ）正确.(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << 【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点： 如果在区间[,]a b 上，()()f x g x ≤，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰()a b <在本题中，如图所示： 因为04x π<<，所以0sin cos 1cot <<<<x x x又因ln x 在(0,)+∞是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x << (0,)4x π∈4440ln sin ln cos ln cot x dx x dx x dx πππ⇒<<⎰⎰⎰即I K J <<.选（B ）.(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = ( )(A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.在本题中，由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110,001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即111,AP B A BP -==故由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即2,P B E =故122,B P P -==因此，1112121,A P P P P ---==故选(D)(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+-(D) 23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-【答案】(C)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果1ξ，2ξ是Ax b =的两个解，则12ξξ-是0Ax =的解； （2）如n 元线性方程组Ax b =有解，设12,,,t ηηη是相应齐次方程组0Ax =的基础解系，0ξ是Ax b =的某个已知解，则11220t t k k k ηηηξ++++是Ax b =的通解（或全部解），其中12,,,t k k k 为任意常数.在本题中，因为123,,ηηη是Ax β=的3个线性无关的解，那么21ηη-，31ηη-是0Ax =的2个线性无关的解.从而()2n r A -≥，即3()2()1r A r A -≥⇒≤ 显然()1r A ≥，因此()1r A =由()312n r A -=-=，知（A ）（B ）均不正确. 又232311222A A A ηηηηβ+=+=，故231()2ηη+是方程组Ax β=的解.所以应选（C ）.(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( )(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点： 连续型随机变量的概率密度()f x 的性质：()1f x dx +∞-∞=⎰在本题中，由于1()f x 与2()f x 均为连续函数，故它们的分布函数1()F x 与2()F x 也连续.根据概率密度的性质，应有()f x 非负，且()1f x dx +∞-∞=⎰.在四个选项中，只有（D ）选项满足[]1221()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞+⎰2112()()()()F x dF x F x dF x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x +∞+∞+∞-∞-∞-∞=-+⎰⎰1=故选（D ）.(8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( ) (A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）泊松分布()XP λ 数学期望EX λ=，方差DX λ=（2）()E cX cEX =，()E X Y EX EY +=+，2()D cX c DX =，()D X Y DX DY +=+（X 与Y 相互独立） 在本题中，由于12,,,n X X X 独立同分布，且0i i EX DX λ==>，1,2,,i n =，从而()()111111()()n ni i i i E T E X E X n E X n n nλ=====⋅⋅=∑∑，()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n in i i E T E X X E X E X n n n n 11(1)()()1=⋅-+-i n n E X E X n n ()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n 故()()12<E T E T又()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n，()12221111()(1)1(1)n i n i D T D X X n n n n n λλ-==+=⋅-⋅+--∑12()1D T n n n λλλ=+>=-，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '= .【答案】()313xex +【详解】本题涉及到的主要知识点： 重要极限公式 10lim(1)xx x e →+=在本题中，()()()31300lim 13lim 13x t xtt tt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅所以有()()313'=+xf x ex .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .【答案】()()12ln 2dx dy +- 【详解】用对数求导法.两边取对数得ln ln(1)x x z y y=+， 故11[ln(1)]z x x z x y y x y ∂=++∂+，21[ln(1)]z x x x z y y y x y∂=-++∂+ 令1x =，1y =，得(1,1)2ln 21z x ∂=+∂，(1,1)(2ln 21)zy ∂=-+∂， 从而()()(1,1)12ln 2dz dx dy =+-(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . 【答案】2y x =- 【详解】方程变形为arctan()4y x y e π++=，方程两边对x 求导得211yye y y e ''+=+，在点(0,0)处(0)2y '=-，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2y x =-.(12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 . 【答案】43π【详解】本题涉及到的主要知识点： 设有连续曲线()y f x =()a x b ≤≤，则曲线()y f x =与直线x a =，x b =及x绕x 轴旋转一周产生的旋转体的体积2(bx aV f π=⎰在本题中，()222223111141().33V y dx x dx x x ππππ==-=⋅-=⎰⎰(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 .【答案】213y【详解】本题涉及到的主要知识点： 任给二次型,1()nij ijijji i j f a x x aa ===∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形2221122n n f y y y λλλ=+++，其中12,,,n λλλ是f 的矩阵()ij A a =的特征值.在本题中，A 的各行元素之和为3，即1112131112132122232122233132333132333,13113,1313113113a a a a a a a a a a a a A a a a a a a ++=⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⇒=⇒=⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 所以3λ=是A 的一个特征值.再由二次型Tx Ax 的秩为10λ⇒=是A 的2重特征值. 因此，正交变换下标准形为：213y .(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN ，则()2E XY = .【答案】22()μμσ+【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果随机变量X 和Y 的相关系数0XY ρ=，则称X 与Y 不相关.（2）若随机变量X 与Y 的联合分布是二维正态分布，则X 与Y 独立的充要条件是X 与Y不相关.（3）如果随机变量X 与Y 相互独立，则有()E XY EXEY = 在本题中，由于(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN，说明X ，Y 独立同分布，故X与2Y 也独立.由期望的性质有22()E XY EX EY =⋅，又EX μ=，2222()EY DY EY σμ=+=+，所以222()()E XY μμσ=+三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)求极限x →【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，ln(1)x x +在本题中，0x →201lim x x x →-=000x x x →→→===01.2x x →→==-=-(16) (本题满分10分)已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，()(,,)z f x y f x y =+.求()21,1zx y∂∂∂【详解】本题涉及到的主要知识点：极值存在的必要条件 设(,)z f x y =在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则必有00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=. 在本题中，(,(,))z f x y f x y =+121(,(,))(,(,))(,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂ 2111221(,(,))(,(,))(,)(,)zf x y f x y f x y f x y f x y f x y x y∂''''''=++++∂∂ ()21222212[(,(,))(,(,))(,)](,(,)),f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ''''''''+++++⋅()1,12f =为(),f u v 的极值 ()()121,11,10f f ''∴==211212(1,1)2,2(2,2)(1,1)z f f f x y ∂'''''∴=+⋅∂∂(17) (本题满分10分)求不定积分【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）()x t ϕ=，1()[()]()()[()]f x dx f t t dt G t C G x C ϕϕϕ-'==+=+⎰⎰；（2）udv uv vdu =-⎰⎰； （3）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.在本题中，令t =,2x t =,2dx tdt =∴2arcsin ln 2t t tdt t +=⋅⎰()22arcsin ln t t dt =+⎰ 2222arcsin 22ln 2tt t t t t dt t=⋅-+⋅-⋅⎰222arcsin 2ln 4t t t t t=⋅+⋅+-22arcsin 2ln 4t t t t t C=⋅+⋅++x C =+，其中C 是任意常数.(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根. 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）零点定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使()0f ξ= （2）函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.在本题中，令4()4arctan 3f x x x π=-+-，'24()11f x x=-+当x >'()0f x <，()f x 单调递减；当x <时，'()0f x >，()f x 单调递增.4(4arctan((03f π=-+=.当x <()f x 单调递减,∴(,x ∈-∞,()0f x >；当x <<()f x 单调递增,∴(x ∈,()0f x >x ∴=()f x在(-∞上唯一的零点.又因为48033f ππ==-> 且()4lim lim 4arctan .3x x f x x x π→+∞→+∞⎛=-+-=-∞ ⎝∴由零点定理可知，)0x ∃∈+∞，使()00f x =,∴方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足'()()+=⎰⎰⎰⎰ttD D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤tD x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.【详解】本题涉及到的主要知识点： 一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解()()(())P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰. 在本题中，因为()()tt t xD f x y dxdy dx f x y dy -''+=+⎰⎰⎰⎰，令x y u +=，则()()()()t xtx f x y dy f u du f t f x -''+==-⎰⎰()(()())()()tttD f x y dxdy f t f x dx tf t f x dx '+=-=-⎰⎰⎰⎰201()()()()2ttD tf t f x dx f t dxdy t f t ∴-==⎰⎰⎰.两边对t 求导，得 2()()02'+=-f t f t t ,解齐次方程得212()(2)--⎰==-dt t C f t Ce t由(0)1f =，得4C =. 所以函数表达式为24()(01)(2)f x x x =≤≤-.(20) (本题满分11分)设向量组()11,0,1T α=，()20,1,1T α=，()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T,()21,2,3T β=,()33,4,β=Ta 线性表出.(I)求a 的值 ；(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. 【详解】本题涉及到的主要知识点： 向量组12,,,l b b b 能由向量组12,,,m a a a 线性表示的充分必要条件是 121212(,,,)(,,,,,,,)m m l r a a a r a a a b b b =(I)因为123101,,01310115ααα==≠，所以123,,ααα线性无关.那么123,,ααα不能由123,,βββ线性表示⇒123,,βββ线性相关，即123113113,,1240115013023a aa βββ===-=-，所以5a =(II)如果方程组112233(1,2,3)j x x x j αααβ++==都有解，即123,,βββ可由123,,ααα线性表示.对123123,,,,,αααβββ（）作初等行变换，有123123,,,,,αααβββ（）=101113013124115135⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭1002150104210001102⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭ 故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-(21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A .【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）(0)A αλαα=≠λ为矩阵A 的特征值，α为对应的特征向量（2）对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量互相正交. （I ）因()2r A =知0A =，所以0λ=是A 的特征值.又111000111A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，110011A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以按定义1λ=是A 的特征值，1(1,0,1)Tα=是A 属于1λ=的特征向量；1λ=-是A 的特征值，2(1,0,1)T α=-是A 属于1λ=-的特征向量.设3123(,,)Tx x x α=是A 属于特征值0λ=的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此131323130,0,T Tx x x x αααα⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩ 解出3(0,1,0)Tα= 故矩阵A 的特征值为1,1,0-；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T Tk k k -，其中123,,k k k 均是不为0的任意常数.(II)由12312(,,)(,,0)A ααααα=-，有1112123*********(,,0)(,,)000001000110110100A ααααα---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(22)(本题满分11分)且22()1P X Y ==.(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）协方差 ()()()()cov ,X Y E XY E X E Y =-⋅ （2）相关系数cov ,XY X Y ρ=(I)设(,)X Y 的概率分布为根据已知条件{}221P XY ==，即{}{}{}0,01,11,11P X Y P X Y P X Y ==+==-+===，可知1221231p p p ++=，从而110p p p ===，1p p p ===，即(,)X Y 的概率分布为(II) Z XY =的所有可能取值为-1，0，1 .{}{}111,13P Z P X Y =-===-={}{}111,13P Z P X Y ====={}{}{}101113P Z P Z P Z ==-=-=-=Z XY =的概率分布为(3) 23EX =，0EY =，0EXY =，故(,)0Cov X Y EXY EX EY =-⋅=，从而0XY ρ=.(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）X 、Y 是连续型随机变量，边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰，()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰；（2）在Y y =的条件下X 的条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y =； （3）设G 是平面上的有界区域，其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 具有概率密度1,(,),(,)0,x y G f x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他则称(,)X Y 在G 上服从均匀分布.(I)(,)X Y 的联合密度为1,(,),(,)0,(,).x y G f x y x y G ∈⎧=⎨∉⎩当01x ≤<时，0()(,)1x X f x f x y dy dy x +∞-∞===⎰⎰； 当12x ≤≤时，20()(,)12x X f x f x y dy dy x +∞--∞===-⎰⎰；当0x <或2x >时，()0X f x =.所以 , 01,()2, 12,0, X x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.(II)|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =当01y ≤<时，2()122yY yf y dx y -==-⎰；当0y <或1y ≥时，()0Y f y =.所以|1, 2,01,22(|)0, X Y y x y y y f x y ⎧<<-≤<⎪-=⎨⎪⎩其他.。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案详解
【详解一】 lim
x →0
1 + 2sin x − x − 1 1 + 2sin x − x − 1 = lim x →0 x ln(1 + x) x2
cos x − 1 + 2sin x cos x − 1 + 2sin x = lim x →0 x →0 2x 2 x 1 + 2sin x 1 cos x 1 )=− = lim(− sin x − 2 x →0 2 1 + 2sin x = lim
(B)
+ k2 (η 2 − η1 ) ; 2 η − η3 (D) 2 + k1 (η3 − η1 ) + k2 (η 2 − η1 ) . 2
η 2 − η3
η3 − η1，η 2 − η1 为 AX = 0 的基础解系.非齐次线性方程组解的线性组合若系数和为 1 是非
齐次线性方程组解，从而
η 2 + η3
2 2 2
.
【答案】 μ ( μ + σ )
2 2
【详解】 由题知 X 与 Y 的相关系数 ρ XY = 0 ， 即 X 与 Y 不相关.在二维正态分布条件下，X 与 Y 不相关与 X 与 Y 独立等价，所以 X 与 Y 独立，则有
EX = EY = μ , DX = DY = σ 2 EY 2 = DY + ( EY ) = μ 2 + σ 2
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【详解二】 lim
x →0
1 + 2sin x − x − 1 1 + 2sin x − ( x + 1) 2 = lim x →0 2 x ln(1 + x) x 1 + 2sin x − x − 1
2011考研数学三真题解析
2011考研数学真题解析----数学三一 选择题 (1) 答案：(C) 【解答】333333333(3)(3)()3sin sin33[0()][30()]30()40()3!3!3!3!x x x x f x x x x x x x x x x =-=-+--+=-⋅+=+故c=4，k=3 故选C(2) 答案：(B) 【解答】2333300()2()()(0)()(0)lim lim 2x x x f x f x f x f f x f x x x →→⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦f(x)在x=0处可导，故原式 故选B (3) 答案：(A) 【解答】收敛 则 和 都收敛，则 收敛，故选A (4) 答案：(B) 【解答】， 则，即I<K<J 故选B (5) 答案：(D)【解答】显然 ，因为 所以 故选(D) (6) 答案：(C) 【解答】为 的解 线性无关，故 线性无关 为 的解，故 的通解为 故选C(7) 答案：(D)【解答】故选D (8) 答案：(D)【解答】为简单随即样本 ， 且 相互独立'(0)f =-1n n u ∞=∑211n n u ∞-=∑21n n u ∞=∑2121()n n n u u ∞-=+∑(0,)4x π∈sin 1cot x conx x <<<40ln cot 0|J xdx π=>4400lnsin ln cos 0||xdx xdx ππ<<112121,P APE A P P --==122,P P -=121,A P P -=3121,ηηηη--0Ax =123,ηηη 3121,ηηηη--232ηη+Ax β=Ax β=23131221()()2k k ηηηηηη++-+-122212(()()()())()()1|f x F x f x F x dx F x F x +∞-∞+∞+==-∞⎰1,2,...n X X X 12...n EX EX EX λ===12...n DX DX DX ==1,2,...n X X X1122111212222222222111,,1111111,(1)()1(1)(1)1111(1)(1)(1)n n i i ni i ET EX ET EX EX ET ET n n n nDX n n DX nDX DX n DX DX DX DXn n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n λλλ-==== =+=+ =-+-=⋅= =-+=+=---+-+--=>---∑∑故选D二 填空题(9)答案： 【解答】133'33330()lim (13)lim[(13)],()3(13)xx x x x xt t t t f x x t x t xe f x e xe x e →→=+=+= =+=+(10)【解答】设 ，求 两边取对数得 两边求微分得22111[ln(1)][ln(1)],11xx x x x x yy dz dx dy x x z y y y y y y y y -=++⋅+-++ ++将x=1 , y=1代入得 (11)答案：y = -2x 【解答】两边对x 求导数得 把x=0 , y=0代入得 于是切线方程为y = -2x (12)答案：【解答】 (13)答案： 【解答】因为 所以A 有特征值1，又因为TA A =且r(A)=1 ，所以 故二次型的标准型为 '333()3(13)x x xf x e xe x e=+=+(1)xy xz y=+(1,1)|dz (1)xyx z y=+ln ln(1)x x z y y =+(1,1)(2ln21)()|dz dx dy =+-tan()4y x y e π++=2sec ()(1)4y dy dy x y e dx dx π+++=02,|x dydx==- 43π2222114()(1)3V f x dx x dx πππ==-=⎰⎰213y 1113111A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭230λλ==213T f X AX y ==(14)答案： 【解答】因为 ，所以 2222,()EX X DY EY μμσ= E =+=+又因为ρ=0 ，所以X ，Y 独立，于是 三 解答题 15.解：16.解：'''''1212''''''''11122211'''''22212(1,1)0,(1,1)0[,(,)][,(,)](,)[,(,)][,(,)](,)[,(,)](,)[,(,)](,)(,)[,(,x y zf f f x y f x y f x y f x y f x y xz f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y x yf x y f x y f x y f x y f x y f x ∂= = ,=+++⋅∂∂=+++⋅++⋅∂∂++++''122'''''(1,1)11212)](,)(2,2)(2,2)(1,1)|y f x y z f f f x y⋅∂=+∂∂17.解：222arcsin ln arcsin 2ln 22(arcsin 2ln )()22arcsin 4ln 2arcsin 24ln 41(1)2arcsin 224ln 4212arcsin 214ln 4x xx xdx dx x x d x xxttdt tdt t t dt t t t Ctd t t t t t t Ctx x x x x x C++==+=+=-+-+--=+++-+-=+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰18.证明令 则 时， 时， 时， 为极小值点， 为极大值点 极小值为 ， 极大值为 恰有两个实根， 22()μμσ+22(,)(,,,,0)X Y N μμσσ~22(,),(,)X N Y N μσμσ~ ~2220002220012sin 112sin (1)12sin 21)lim lim lim ln(1)[12sin (1)]12sin 2sin 11lim lim 222x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→+--+-++---==++++---=-=-4()4arctan 33f x x x π=-+-'24()1031f x x x=-= ⇒=±+(,3)x ∈-∞-'()0(3,3)f x x < ; ∈-'()0;(3,)f x x > ∈+∞'()0f x <3x =-3x =44(3)33033f ππ-=-++-=44863(3)330333f πππ-=-+-=>lim ()()x f x f x →+∞=-∞ ∴ 2222()EXY EXEY μμσ==+一个为，另一个在 内，故方程恰有2个根。
2011年全国考研数学三真题
2
k1( 2
1)
(B)
2
3
2
k1( 2
1)
(C)
3
22
k1( 2
1) k2 ( 3
1)
(D)
3
22
k1( 2
1) k2 ( 3
1)
(7) 设 F1(x) , F2 (x) 为两个分布函数，其相应的概率密度 f1(x) 与 f2(x) 是连续
函数，则必为概率密度的是 (
)
(A) Hale Waihona Puke 1(x) f2 (x)1 n
n i1
Xi
和 T2
1 n
1
n i
1 1
Xi
1 n
X
n
，有
(
)
(A) ET1 > ET2 , DT1 > DT2 (C) ET1 < ET2 , DT1 > DT2
(B) ET > ET , DT < DT
1
2
1
2
(D) ET < ET , DT < DT
1
2
1
2
二、填空题：9~14小题，每小题 4 分，共 24分，请将答案写在答题纸指 定位置上.
)
(A)若 un 收敛，则 (u2n 1 u2n ) 收敛
n1
n1
(B) 若 (u2n 1 u2n ) 收敛，则 un 收敛
n1
n1
(C) 若 un 收敛，则 (u2n 1 u2n ) 收敛
n1
n1
(D) 若 (u2n 1 u2n ) 收敛，则 un 收敛
n1
n1
(4) 设 I
4 ln sin xdx ， J
2011年考研数学三真题及答案
20XX年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。
下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)已知当x→0时，f x=3sinx−sin3x与cx k是等价无穷小，则(A)k=1,c=4 (B) k=1,c=−4(C)k=3,c=4 (D) k=3,c=−4【答案】C。
【解析】【方法一】lim x→03sinx−sin3xcx =lim x→03cosx−3cos3xck x(洛必达法则)=3lim x→0−sinx+3sin3xck(k−1)x k−2(洛必达法则)=1c (lim x→0−sinx2x+lim x→03sin3x2x) (k=3) =1−1+9=1由此得c=4。
【方法二】由泰勒公式知sinx=x−x33!+o(x3)sin3x=3x−3x33!+o(x3)则f x=3sinx−sin3x=3x−x 32−3x+3x33!+o(x3)=4x3+o x3~4x3 (x→0) 故k=3,c=4。
【方法三】lim x→03sinx−sin3xcx k=limx→03sinx−3x+3x−sin3xcx k=1climx→03sinx−xx k+limx→03x−sin3xx k=1climx→03∙(−16x3)x k+limx→016(3x)3x k=1−1+9(k=3)=82c=1故c=4综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则(2)已知f(x)在x=0处可导，且f0=0,则lim x→0x 2f x−2f(x3)x3=(A)−2f′(0) (B)−f′(0) (C) f′(0) (D)0【答案】B。
【解析】【方法一】加项减项凑x=0处导数定义lim x→0x2f x−2f(x3)x3=limx→0x2f x−x2f0−2f x3+2f(0)x3=limx→0f x−f0−2f x3−f(0)3=f′0−2f′0=−f′(0)【方法二】拆项用导数定义lim x→0x2f x−2f(x3)x3=limx→0f xx−2limx→0f x3x3由于f0=0，由导数定义知lim x→0f xx=f′0, limx→0f x3x3=f′(0)所以lim x→0x 2f x−2f(x3)x=f′0−2f′0=−f′(0)【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数f x=x,则lim x→0x2f x−2f(x3)x3=limx→0x3−2x3x3=−1而对于f x=x.f′0=1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于f(x)在x=0处可导，则f x=f0+f′0x+o x=f′0x+o(x)f x3=f′0x3+o(x3)lim x→0x2f x−2f(x3)3=limx→0x2[f′0x+o(x)]−2[f′0x3+o(x3)]x3=f′0−2f′0=−f′(0)综上所述，本题正确答案是B。
2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解【圣才出品】
2011 年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求。）
1．已知当 x→0 时，函数 f（x）＝3sinx－sin3x 与 cxk 是等价无穷小，则（ ）。
从而 k＝3，ck（k－1）（k－2）＝24；即 k＝3，c＝4。
2．设函数 f（x）在 x＝0 处可导，且 f（0）＝0，则 lim x2 f (x) 2 f (x3 ) （ ）。
x0
x3
A．－2f′（0）
B．－f′（0）
C．f′（0）
D．0
【答案】B
【考点】极限的计算
【
解
析
】
lim
x0
x2
f
(
x) 2 x3
f
(
x
) lim x x0
f (x) x
f (0)3 2 f (0) 2 f (x x3
)
2
f (x) f (0)
f (x3) f (0)
lim x0
x
2 lim x0
x3
f (0) 2 f (0) f (0)
故选 B 项。
3．设{un}是数列，则下列命题正确的是（ ）。
∞，＋∞）上积分为 1 的条件，故选 D。
8．设总体 X 服从参数为 λ（λ＞0）的泊松分布，X1，X2，…，Xn（n≥2）为来自该总
体的简单随机样本，则对于统计量
T1
1 n
n i 1
Xi
T2
1 n 1
n1 i 1
C．f1（x）F2（x）
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案速查：二、填空题（15）12-（16）()()()2112122,22,21,1zf f f x y∂'''''=+⋅∂∂ （17）x C +（18）略 （19）24(),01(2)f x x x =≤≤- （20）（I ） 5a =；（II ） 112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-（21）（I ） A 的特征值为-1，1，0，对应的特征向量为()1110k k α≠，()2220k k α≠，()3330k k α≠ （II ）001000100A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（22）（I ）(),X Y 的概率分布为（II ） Z XY =的概率分布为（III ） 0ρ=XY（23）（Ⅰ）, 01,()2, 12,0, X x x f x x x <<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它.；（Ⅱ）|1, 2,(,)22(|)()0, X Y Y y x y f x y y f x y f y ⎧<<-⎪-==⎨⎪⎩其它.一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则（ ）（A ）k=1, c =4 （B ） k=1,c =-4 （C ） k=3,c =4 （D ） k=3,c =-4【答案】 （C ）【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式【难易度】★★★【详解】解析：方法一：当0x →时，sin x x03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2limkx x x x x xcx →--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx-→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx --→→-== 304lim14,3k x c k cx -→==⇒==，故选择（C ）.方法二：当0x →时，33sin ()3!x x x o x =-+ )(4)](!3)3(3[)](!3[33sin sin 3)(333333x o x x o x x x o x x xx x f +=+--+-=-=故3,4==k c ，选（C ）.（2）已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x→-= （ ）（A ） -2()0f ' （B ） -()0f ' （C ） ()0f ' （D ） 0.【答案】（B ） 【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】解析：()()()()()()2333300200limlim 2x x x f x f x f x f f x f x x x →→⎡⎤---⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦()()()0200f f f '''=-=-.故应选（B ）（3）设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 （ ）（A ）若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 （B ）若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛（C ） 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 （D ）若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】（A ）【考点】级数的基本性质【难易度】★★ 【详解】解析：由于级数2121()n n n uu ∞-=+∑是级数1n n u ∞=∑经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1nn u∞=∑收敛时，2121()n n n uu ∞-=+∑也收敛，故（A ）正确.（4）设40ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是（ ）（A ） I J K << （B ） I K J << （C ） J I K << （D ） K J I <<【答案】（B ）【考点】定积分的基本性质【难易度】★★ 【详解】解析：如图所示，因为04x π<<0sin cos cot x x x <<<<，因此lnsin x <444ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx πππ<<⎰⎰⎰，故选（B ）（5）设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = （ ）（A ） 12P P （B ） 112P P - （C ） 21P P （D ）121-P P 【答案】（D ）【考点】矩阵的初等变换【难易度】★★ 【详解】解析：由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以111112121A BP P P P P ----===，故选（D ）（6）设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为（ ）（A ） 23121()2k ηηηη++-（B ）23121()2k ηηηη-+-（C ）23121231()()2k k ηηηηηη++-+- （D ）23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-【答案】（C ）【考点】线性方程组解的性质和解的结构；非齐次线性方程组的通解【难易度】★★★【详解】解析：1213,ηηηη--为0=Ax 的解，因为321,,ηηη线性无关，故1213,ηηηη--线性无关，232ηη+为β=Ax 的解，故β=Ax 的通解为)()(212213132ηηηηηη-+-++k k 所以应选（C ）.（7）设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 （ ）（A ）1()f x 2()f x （B ）22()f x 1()F x （C ）1()f x 2()F x （D ）1()f x 2()F x +2()f x 1()F x【答案】（D ）【考点】连续型随机变量概率密度【难易度】★★ 【详解】解析：[]1221()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞+⎰2112()()()()F x dF x F x dF x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x +∞+∞+∞-∞-∞-∞=-+⎰⎰1=故选（D ）.（8）设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 （ ）（A ）1ET >2ET ,1DT >2DT （B ）1ET >2ET ,1DT <2DT （C ）1ET <2ET ,1DT >2DT （D ）1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】（D ）【考点】随机变量函数的数学期望；随机变量的数学期望的性质【难易度】★★★【详解】解析：由于12,,,n X X X 是简单随机样本，0i i EX DX λ==>，1,2,,i n =，且12,,,n X X X 相互独立，从而()()111111()()n ni i i i E T E X E X n E X n n nλ=====⋅⋅=∑∑，()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n i n i i E T E X X E X E X n n n n 11(1)()()1=⋅-+-i n n E X E X n n ()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n 故()()12<E T E T又()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n，()12221111()(1)1(1)n i n i D T D X X n n n n n λλ-==+=⋅-⋅+--∑12()1D T n n n λλλ=+>=-，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） 设()()0lim 13x tt f x x t →=+，则()f x '= .【答案】()313xex +【考点】重要极限公式 【难易度】★★ 【详解】解析：()()()31300lim 13lim 13x t xtttt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅所以有()()313'=+xf x ex .（10） 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .【答案】()()12ln 2dx dy +- 【考点】多元复合函数的求导法【难易度】★★ 【详解】解析：两边取对数得ln ln(1)x xz y y=+， 由一阶微分形式不变性，两边求微分得dy y xy y x y x y x z dx y x y x y x y z dz dy yx yxdx y x y y x dy y x dx y y x yxd y x y x d y x dz z ])()1ln([])()1ln(1[)111()1)(1ln()]1[ln()()1ln(122222+-+-++++=+-+++-+=+++=将1x =，1y =，2)1,1(=z 代入得()()(1,1)12ln 2dz dx dy =+-（11） 曲线tan 4y x y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . 【答案】2y x =- 【考点】隐函数微分法 【难易度】★★ 【详解】解析：两边对x 求导得y e y y x y '='+++)1)(4(sec 2π，所以在点(0,0)处(0)2y '=-，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2y x =-.（12）曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 . 【答案】43π【难易度】★★ 【详解】 解析：()2222111V y dx x dx πππ==-=⋅⎰⎰（13） 设二次型()123,,Tf x x x x Ax =的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 .【答案】213y【考点】用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★【详解】解析：A 的各行元素之和为3，即1113111A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以13λ=是A 的一个特征值.又因为二次型Tx Ax 的秩1)(==A r 230λλ⇒==.因此，二次型的标准形为：213y .（14）设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN，则()2E XY = .【答案】22()μμσ+【考点】数学期望的性质；相关系数的性质【难易度】★★ 【详解】解析：因为(),~X Y ()22,;,;0μμσσN，所以2~(,)X N μσ，2~(,)Y N μσ,2222)(,σμμ+=+==EY DY EY EX又因为0=ρ，所以X ，Y 相互独立.由期望的性质有22()E XY EX EY =⋅22()μμσ=+。
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2011年考研数学（三）真题及答案详解
一．选择题
1.已知当错误!未找到引用源。
0x →时，函数()3sin sin3f x x x =-错误!未找到引用源。
与k
cx 是等价无穷小，则
（A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 错误!未找到引用源。
（D ）3,4k c ==-
2．已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()()
233
2lim
x x f x f x x
→-=
（A ）()'
20f
- （B ）()'0f -
(C) ()'
0f
(D)0
3．设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 （A ）若
1n
n u
∞
=∑收敛，则
()21
21
n n n u
u ∞
-=+∑收敛
（B ）若
()21
21n n n u
u ∞
-=+∑收敛，则1
n n u ∞
=∑收敛
（C ）若
1n
n u
∞
=∑收敛，则
()21
21
n n n u
u ∞
-=-∑收敛
（D ）若
()21
21
n n n u
u ∞
-=-∑收敛，则1
n n u ∞
=∑收敛
4．设44
40
ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx ππ
π
=
==⎰
⎰⎰，则,,I J K 的大小关系是
（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I <<
5．设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵.
记1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,则A =
（A ）12P P （B ）1
12P P - （C ）21P P （D ）121P
P - 6．设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为 （A ）
()23
1212k ηηηη++- （B ）
()23
2212
k ηηηη-+-
（C ）()()231312212k k ηηηηηη++-+- （D ）()()232213312
k k ηηηηηη-+-+-
7．设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是
（A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x
（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 8．设总体X 服从参数为λ
()0λ>的泊松分布，()12,,,2n X X X n ≥为来自总体的简单随机样本，
则对应的统计量111n i i T X n ==∑，12111
1n i
n i T X X n n
-==+-∑ （A ）1212,ET ET DT DT >> （B ）1212,ET ET DT DT >< （C ）1212,ET ET DT DT <> （D ）1212,ET ET DT DT <<
二、填空题
9．设0
()lim (13)x
t
t f x x t →=+，则()f x '=
10．设函数(1)x
y x
z y
=+，则(1,0)dz =
11．曲线tan()4
y x y e π
++=在点(0,0)处的切线方程为
12．曲线21y x =
-2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为
13．设二次型123(,,)T f x x x x Ax =的秩为1，A 中行元素之和为3，则f 在正交变换下x Qy =的标准为
14．设二维随机变量(,)X Y 服从2
2
(,;,;0)N μμσσ，则2
()E XY =
三、解答题
15．求极限0
12sin 1
x x x →+--
16.已知函数(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，
[](),(,)z f x y f x y =+。
求
2(1,1)
z
x y
∂∂∂
17．求
x dx x
18．证明44arctan 303
x x π
-+=恰有2实根.
19．'
'()(0)1()()t
t
D D f x f f
x y dxdy f x y dxdy =+=+⎰⎰⎰⎰在[0,1]有连续的导数，，且
{}(,)|0,0(01),()t D x y y t x t t f x =≤≤≤≤<≤求的表达式。
20．()()()1231,0,1,0,1,1,1,3,5T
T
T
ααα===不能由()()()1231,,1,1,2,3,1,3,5T
T
T
a βββ===线性表出。
①求a ；②将123,,βββ由123,ααα线性表出。
21．A 为三阶实矩阵，()2R A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
（1）求A 的特征值与特征向量（2）求A
22.
X 0 1 P 1/3 2/3
Y -1 0 1 P
1/3
1/3
1/3 ()221P X Y ==
求：（1）(),X Y 的分布；（2）Z XY =的分布；（3）XY ρ.
23. (),X Y 在G 上服从均匀分布，G 由0,2x y x y -=+=与0y =围成。
①求边缘密度()X f x ；②求|(|)X Y f x y。