压轴题放缩法技巧全总结

压轴题放缩法技巧全总结

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放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一、裂项放缩

例1.求的值;

求证:.

解析:因为,所以

因为,所以

技巧积累:

例2.求证:

求证:

求证:

求证：

解析:因为,所以

先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案

首先,所以容易经过裂项得到

再证而由均值不等式知道这是显然成立的，

所以

例3.求证:

解析:

一方面:因为,所以

另一方面:

当时,,当时,,

当时,,

所以综上有

例4.设函数.数列满足..

设，整数.证明:.

解析:

由数学归纳法可以证明是递增数列,

故

若存在正整数,使,则,

若,则由知,,

因为,于是

例5.已知,求证:

.

解析:首先可以证明:

所以要证

只要证:

故只要证,

即等价于,

即等价于

而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知,,求证:.

解析:

所以

从而

例7.已知,,求证:

证明:

,

因为

,所以

所以

二、函数放缩

例8.求证：.

解析:先构造函数有,从而

cause

所以

例9.求证:

解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案

函数构造形式:

,

例10.求证:

解析:提示:

函数构造形式:

当然本题的证明还可以运用积分放缩

如图,取函数,

首先:,从而,

取有,,

所以有,,…,,,相加后可以得到:

另一方面,从而有

取有,,

所以有,所以综上有

例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明

例12.求证:

解析:,叠加之后就可以得到答案

函数构造形式:

例13.证明:

解析:构造函数,求导,可以得到:

,令有,令有,

所以,所以,令有,

所以,所以

例14.已知证明.

解析:

,

然后两边取自然对数,可以得到

然后运用和裂项可以得到答案)

放缩思路：

。于是，

即

注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：，

即

例16.已知函数若

解析:设函数

∴函数）上单调递增，在上单调递减.∴的最小值为，即总有

而

即

令则

例15.已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. 求证：函数上是增函数；

当；

已知不等式时恒成立，

求证：

解析:,所以函数上是增函数

因为上是增函数,所以

两式相加后可以得到

……

相加后可以得到:

所以

令,有

所以

所以

又,所以

三、分式放缩

姐妹不等式:和

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.

例19.姐妹不等式:和

也可以表示成为

和

解析:利用假分数的一个性质可得

即

例20.证明:

解析:运用两次次分式放缩:

相乘,可以得到:

所以有

四、分类放缩

例21.求证:

解析:

例22.在平面直角坐标系中,

轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.

证明>>4，;证明有，使得对都有<.

解析:依题设有：，由得：

,又直线在轴上的截距为满足

显然，对于，有

证明：设，则

设，则当时，

。

所以，取，对都有：

故有<成立。

例23.已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。

解析:首先求出,∵

∴,∵,,…

,故当时,,

因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，

则当时,必有.

故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.

例24.设不等式组表示的平面区域为,

设内整数坐标点的个数为.设,

当时,求证:.

解析:容易得到,所以,要证只要证,因为

,所以原命题得证

五、迭代放缩

例25.已知,求证:当时,

解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论

例26.设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k －Sn|<1n

解析:

又

所以