2020年初中数学竞赛九年级集训《数和式综合问题专题》

《数与式综合问题》

1．已知点A、B在数轴上表示的数分别是a、b，A、B两点之间的距离为d （1）对照数轴填写下表．

a 2 ﹣2 ﹣4 ﹣3 3

b 1 0 3 ﹣2 ﹣1

a﹣b 1 ﹣2 ﹣7

A，B两点之间的

1 2 7

距离d

（2）观察上表，发现d与a﹣b之间的数量关系是，

（3）点A表示的数为x，式子|x+2|、表示A、B两点之间的距离，则点B表示的数是；

若|x+2|＝1，则x＝．

（4）适合式子|x+2|+|x﹣3|＝5的整数x的值是；

（5）式子|x+7|+|x﹣8|的最小值是多少？

2．（1）已知b﹣a＝，2a2+a＝，求的值．

（2）已知：f（x）＝x2+bx+c是g（x）＝x4+6x2+25的因式，也是q（x）＝3x4+4x2+28x+5的因式．求：f（1）的值．

3．（1）一个正整数如果能表示为若干个正整数平方的算术平均值，就称这个正整数为“好整数”，如4＝，2007＝，2008＝，4，2007，2008都是“好整数”，记“好整数”的集合为M，正整数的集合为N+，求证：M＝N+．（2）记a＝12+22+32+…+20122+20132，求证：a可以写成2012个不同的正整数的平方和．

4．已知：++＝1，求证：三个分式中有两个等于1，一个等于﹣1．

5．已知a，b，c都是有理数，也是有理数，求证：，，都是有理数．6．求证：+＝1．

7．已知m是实数，求|m|+|m﹣1|+|m﹣2|的最小值．

8．计算：

（1）1×（2﹣）﹣×+；

（2）24×（++…+）﹣（+++…

+）．

9．已知x 3﹣8有一个因式x ﹣2，我们可以用待定系数法对x 3﹣8进行因式分解： 设x 3﹣8＝（x ﹣2）（x 2+ax +b ），

∵（x ﹣2）（x 2+ax +b ）＝x 3+（a ﹣2）x 2+（b ﹣2a ）x ﹣2b ， ∴

，即a ＝2，b ＝4．

因此x 3﹣8＝（x ﹣2）（x 2+2x +4）．

已知x 3+27有一个因式x +3，请你仿照上例，用待定系数法，因式分解x 3+27．

10．求|x ﹣1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|+…+|x ﹣2009|的最小值．

11．计算：

（1）（12+22）÷（1×2）+（22+32）÷（2×3 ）+（32+42）÷（3×4）+…+（20132+20142）÷（2013×2014）

（2）1÷（1×2×3）+1÷（2×3×4）+1÷（3×4×5）+…+1÷（98×99×100）

12．已知n 个不同的数x 1，x 2，x 3，…，x n 是正整数1，2，…，n 的任意一个排列，试求|x 1

﹣1|+|x 2﹣2|+…+|x n ﹣n |的最小值．

13．因式分解：a2（b+c﹣2a）+b2（c+a﹣2b）+c2（a+b﹣2c）+2（a2﹣b2）（a﹣c）+2（b2﹣c2）（b﹣a）+2（c2﹣a2）（c﹣b）．

14．设2009x3＝2010y3＝2011z3（xyz＞0），且＝++，求++的值．

15．是否存在这样的实数a，b，使得对于每个正整数n≥2，

（1）a+b是有理数，而a n+b n是无理数；

（2）a+b是无理数，而a n+b n是有理数．

16．a，b，c为非零实数，a2+b2+c2＝1，，求a+b+c 的值．

17．（1）讨论关于x的方程|x+1|+|x+2|+|x+3|＝a的根的个数．

（2）设a

1，a

2

，…，a n为等差数列，且|a

1

|+|a

2

|+…+|a n|＝|a

1

+1|+|a

2

+1|+…+|a n+1|＝

|a

1﹣2|+|a

2

﹣2|+…+|a n﹣2|＝507，求项数n的最大值．

18．的整数部分是多少？

19．．

20．已知，求证：n为奇数时，．

参考答案

1．解：（1）当a＝﹣3，b＝﹣2时，a﹣b＝﹣1，d＝1；

当a＝3，b＝﹣1时，a﹣b＝4，d＝4；

故答案为：﹣1，1；4，4；

（2）由题可得，d与a﹣b之间的数量关系是d＝|a﹣b|，

故答案为：d＝|a﹣b|；

（3）∵式子|x+2|表示A、B两点之间的距离，而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，

∴点B表示的数是﹣2，

故答案为：﹣2；

（4）∵|x+2|+|x﹣3|＝5表示数轴上与表示﹣2的点和表示3的点的距离之和为5，∴﹣2≤x≤3，

∴整数x＝﹣2，﹣1，0，1，2，3，

故答案为：﹣2，﹣1，0，1，2，3；

（5）式子|x+7|+|x﹣8|的几何意义为数轴上表示数x的点与表示﹣7的点、表示3的点的距离之和，

∴当﹣7≤x≤8时，式子|x+7|+|x﹣8|的最小值是8﹣（﹣7）＝15．

2．解：（1），

①×2﹣②得，2b﹣2a2＝3a，

由题意得a≠0，

∴两边同乘以2a得，﹣a＝

（2）∵g（x），q（x）都能被f（x）整除，

∴它们的和、差、倍也能被f（x）整除，

为了消去四次项，设3g（x）﹣q（x）＝kf（x），（k为正整数），

即14x2﹣28x+70＝k（x2+bx+c），

14（x2﹣2x+5）＝k（x2+bx+c），