解的存在唯一性定理和逐步逼近法
解的存在唯一性定理证明
存在唯一性定理 如(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足利普希茨条件，则方程(,),dyf x y dx=在区间0x x h -≤上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==，其中(,)min ,,max (,)xy R bh a M f x y M∈⎛⎫== ⎪⎝⎭逐步迫近法 微分方程(,)dyf x y dx=等价于积分方程00(,)xxy y f x y dx =+⎰取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,xn n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰ 可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程。
通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。
命题1 先证积分方程与微分方程等价：设()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx =定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初值条件00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程000(,),xx y y f x y dx x x x h =+≤≤+⎰定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。
反之亦然。
证 因()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx=的解，有 ()(,())d x f x x dxϕϕ= 两边从0x 到0x h +取定积分0000()()(,()),xx x x f x x dx x x x h ϕϕϕ-=≤≤+⎰代入初值条件00()x y ϕ=得0000()(,()),xx x y f x x dx x x x h ϕϕ=+≤≤+⎰即()y x ϕ=是积分方程0000(,),xx y y f x y dx x x x h =+≤≤+⎰定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。
反之，则有0000()(,()),xx x y f x x dx x x x h ϕϕ=+≤≤+⎰微分之()(,())d x f x x dxϕϕ= 且当0x x =时有00()x y ϕ=。
§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法
《常微分方程》（第三版）教案 汕尾职院数学与应用系 何永金§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法解的存在唯一性定理与逐次逼近法 第 1 页 共 13 页 1§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法一、教学目的：讨论Picard 逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理。
逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理。
二、教学要求：熟练掌握Picard 逼近法，逼近法，理解解的存在唯一性定理的条件、结论理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，会用Picard 逼近法求近似解。
三、教学重点：Picard 存在唯一性定理及其证明。
四、教学难点：解的存在唯一性定理的证明。
解的存在唯一性定理的证明。
五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
七、教学过程：3.1.1．解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程2dyy dx= 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x c y x c x ££ì=í-£î 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ££上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
第1节 解的局部存在唯一性定理
1 ( x ) y0 y0
x
x0 x
f [ x , 0 ( x )]dx f ( x , y0 )dx
x0
在I上连续，且 当 x I时，有
1 ( x ) y0
x0 f ( x, y0 ) dx x0
x
x
f ( x , y0 ) dx
x0 M dx
即
y0 M x x0 ( x ) y0 M x x0
这意味着： x I时， y ( x )必介于两直线： 当 L1 : y y0 M ( x x0 )
与
L2 :
y y0 M ( x x0 )
所夹的两个阴影区域中.
b b (1) 当 a 时，即 M 时 a M
b 当M 时 a y = (x)不可能从D的
上下边界越出D, 故
y0 b
y
(k
b ) a
当 x [ x0 a, x0 a]时， 曲线 y = (x)完全落
在 f (x, y ) 的定义域
y0
( x0 , y0 )
L2
y = (x)
y0 b
L1
x0 a
x0
D中. 故此时可取
考虑级数：
0 ( x ) [ k ( x ) k 1 ( x )]
k 1
( x I ) (5)
其部分和： n1 ( x ) 0 ( x ) [ 1 ( x ) 0 ( x )] S
[ n ( x ) n1 ( x )] n ( x) (x I)
b h min( a, ) M
4. 定理1的证明思路 (1) 解的存在性 (2) 解的唯一性 (分四步进行证明)
§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法
§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法一、教学目的：讨论Picard逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理。
二、教学要求：熟练掌握Picard逼近法，理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，会用Picard逼近法求近似解。
三、教学重点：Picard存在唯一性定理及其证明。
四、教学难点：解的存在唯一性定理的证明。
五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
七、教学过程：3.1.1．解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程dy=dx过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2=或更一般地，函数y x20 0() c<1x c y x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩ 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。
另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。
而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。
3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
§3.1 解的存在唯一性定理 与逐步逼近法
dy f ( x, y) 考虑微分方程初值问题： d x y ( x0 ) y0 (1 )
一、 解的存在唯一性定理
定理1 若方程(1)的右端函数 f (x,y) 在闭矩形域 R：| xx0| a, | yy0| b 上满足如下条件： (1) f (x,y)在R上连续; (2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件, 即存在常数L>0,使不等式 | f (x, y1) f (x, y2)| L| y1y2|, 对于所有(x,y1),(x,y2)R都成立. 则方程(1)在区间| xx0| h上存在唯一的连续解y= (x), 且满足初始条件 (x0)= y0,
ML
n!
( x x0 ) ,
n
则当 x 0 x x 0 h 时 ,由 Lipschitz 条件有
n1 ( x ) n ( x )
x
x
0
f ( , n ( )) f ( , n 1 ( )) d
n1 ( x ) n ( x )
对于积分方程 y y0
x
x
0
f ( t , y )d t , 若存在定义在区间
I [ , ]上的连续函数
y ( x ), 使得
( x ) y0
x
x
0
f ( t , ( t )) d t .
在区间 I 上恒成立 , 则称 y ( x )为该积分方程的解
0
x
x
0
| f ( t , y 0 ) | d t M | x x 0 | Mh b ,
设 n k 时命题 2成立 ,
解的存在唯一性定理与逐步逼近法
x0 x
y y0 f ( x, y )dx
x0
x
2 ( x) y0 f ( x, 1 ( x)) dx
x0 x
x
3 ( x ) y0
x
x0
f ( x, 2 ( x)) dx … n ( x) y0
y y0 f ( x, y )dx(3.5)
x0 x
定义于 x0 x x0+h 上的连续解,反之亦然.
命题2
命题2 对于所有的 n,函数 n(x) 在 x0xx0+h 上有定 义,连续且满足不等式 | n(x)y0 | b.
命题3
命题3 函数序列 {n(x)} 在 x0 x x0+h 上是一致收敛 的. 注： 1、函数列的一致收敛性 设函数列{fn}与函数f定义在同一数集D上，若对 给的正数ε，总存在某一正数N，使得当n≥N时， 对一切x∈D，都有： |fn(x)-f(x)|<ε,则称函数列{fn}在D上一致收敛。
b 其中 h min( a, ), M max | f ( x, y ) | ( x , y )R M
皮卡(Picard)逐步逼近法
思路(区间取为 x0 x x0+h )
(1)证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 的连续解; (2)取一连续函数 0(x) 进行迭代求解,构造函数序列: 0(x), 1(x), 2(x),… n(x)…;
2、函数项级数一致收敛的维尔斯特拉斯判别法： 设函数项级数∑un(x)定义在数集D上， ∑mn为收 敛的正项级数，若对一切x∈D，有：
| un(x) |≤ mn
解的存在唯一性定理
上连续,从而k1(x)在[x0 , x0 h]上连续且
k1(x) y0
x
x0 f ( ,k ( ))d
x x0
f (,k ( ))d
M x x0 Mh b
即当n k 1时成立,命题2成立
综上，命题2得证
二、存在唯一性定理
定理1
dy =f (x, y)
(1)
dx
D :| x x0 | a,| y y0 | b
如果f (x, y)在D上连续且关于y满足利普希茨条件，
则方程(1)存在唯一的连续解y (x),定义在|x x0| h
上，连续且满足初值条件
(x0 ) y0
这里h min(a, b ), M max | f (x, y) |
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x x0
(
x0 )nd
MLn (x (n 1)!
x0 )n1,
于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有
n (x) n1(x)
MLn1 n!
(x
x0 )n ,
x0 x x0 h,
(3.11)
从而当x0 x x0 h时,
n (x) n1(x)
于是{n (x)}一致收敛性与级数 (3.9)一致收敛性等价 .
对级数(3.9)的通项进行估计
x
1(x) 0(x) x0 f (,0( ))d M x x0
x
2(x) 1(x) x0 f (,1( )) f (,0 ( ))d
x
L x0 1( ) 0( )d
L
x x0
M (
[整理]一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法(1022).
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一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1 存在唯一性定理1）首先考虑导数已解出的一阶微分方程(3.1.1.1)这里是在矩形域(3.1.1.2)上的连续函数。
定义1 如果存在常数，使得不等式对于所有都成立，则函数称为在上关于满足利普希茨（Lipschitz）条件，称为利普希茨常数。
定理3.1 如果在上连续且关于满足利普希茨条件，则方程(3.1.1.1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件(3.1.1.3)这里，。
我们采用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明这个定理。
为简单起见，只就区间来讨论，对于的讨论完全一样。
现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。
首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解。
然后去证明积分方程的解的存在唯一性。
任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数，显然也是连续函数，如果,那末就是积分方程的解。
否则,我们又把代入积分方程右端的，得到，如果，那末就是积分方程的解。
否则我们继续这个步骤。
一般地作函数(3.1.1.4)这样就得到连续函数序列：，，…，，….如果，那末就是积分方程的解。
如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数，即存在，因而对(3.1.1.4)取极限时，就得到即，这就是说是积分方程的解。
这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。
由(3.1.1.4)确定的函数称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。
在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的。
下面我们分五个命题来证明定理1。
命题1设是方程(3.1.1.1)的定义于区间上，满足初始条件(3.1.1.3)的解，则是积分方程(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。
反之亦然。
证明因为是方程(3.1.1.1)的解，故有，两边从到取定积分得到把(3.1.1.3)代入上式，即有因此，是(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。
3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
3.2 解的延拓
引例 : 考察 Riccati 方程 dy dx 1 ) 在矩形域 D : 1 x 1 , 1 y 1 上验证其满足解的存在 定理条件 , 并求出初值解存在区间 [ x 0 h , x 0 h ].
?h? 2 ) 若 D : 2 x 2 , 2 y 2, 则相应的结论如何
( 1 ) 命题 1) 原初值问题的解必定等 y y0
1 ( x ) 2 ( x ) (x)
k 1
价于如下积分方程 ( 3 . 2 )的连续解 .
: ( x I [ x 0 , x 0 h ])
明
x
x
f ( x , y ) dx
0
( 2 ) 构照一列 Picard 逐步逼近函数序列如下
注:
(1) 该定理说明若 必然局部存在且唯一 效果在于保证解曲线
b ( x ) , 其中 h min a , , M M
max
f (x, y).
f ( x , y )满足定理条件 , 其中解存在区间
, 则其初值解
y (x)
[ x 0 h , x 0 h ]中的 h 的 D 内部而不出超出 .
解 : 1) 由于 f ( x , y ) x
2
x
2
y , y(0) 0 唯一性
2
2 y 在 D 上连续 , 且 f y 2 y 在 D 上连续 ,
故方程满足解的存在唯
一性条件 .
1 1 又 a 1 , b 1 , M 2 ,因此 h min ,1 . 故解存在区间 2 2 2 1 2) a 2 , b 2 , M 8 , 此时 h min , 2 .故解存在区间 8 4
常微分方程3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法
x0
则u(x)是定义于[x0, x0 h]上连续可微函数 ,
且u(x0 ) 0,0 g(x) u(x), u' (x) Lg (x), 于是
u' (x) Lu(x), (u' (x) Lu(x))eLx 0,
2024/6/13
常微分方程
0 g(x) u(x)
(u'(x) Lu(x))eLx 0,
证明: 设g(x) (x) (x) ,
则g(x)是定义于[x0, x0 h]上非负连续函数 ,
由(x) y0
x
x0 f (,( ))d (x) y0
x x0
f (, ( ))d
及f (x, y)的Lipschitz条件得
x
x
g(x) (x) (x) f (, ( ))d f (,( ))d
x
y0
x0
lim
n
f
(,n1( ))d
即
x
(x)
y0
f (,( ))d
x0
故(x)是积分方程 (3.5)定义于[x0, x0 h]上连续解.
2024/6/13
常微分方程
命题5 设 (x)是积分方程(3.5)定义于[x0, x0 h]上的 一个连续解,则(x) (x), x [x0, x0 h].
x0
x0
2024/6/13
x
( f (, ( )) f (,( )))d x0 常微分方程
x
g(x) ( f (, ( )) f (,( )))d x0
x
f (, ( )) f (,())d x0
x
x
L ( ) ( )d L g( )d
x0
x0
解的存在唯一性定理证明
解的存在唯一性定理利用逐次逼近法，来证明微分方程(,),dyf x y dx =的初值问题00(,)()dy f x y dx y y x ==⎧⎨⎩的解存在与唯一性定理。
一、【存在、唯一性定理叙述】 如果方程(,),dyf x y dx=的右端函数(,)f x y 在闭矩形区域0000:,R x a x x a y b y y b -≤≤+-≤≤+上满足如下条件：（1）、在R 上连续；（2）、在R 上关于变量y 满足利普希茨条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一点(),x y 和(),x y 有以下不等式：()|(,),|||f x y f x y N y y -≤-。
则初值问题00(,)()dyf x y dx y y x ==⎧⎨⎩在区间0000x h x x h -≤≤+上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==， 其中0(,)min ,,max (,)xy R bh a M f x y M∈⎛⎫== ⎪⎝⎭二、【证明】 逐步迫近法：微分方程(,)dyf x y dx=等价于积分方程00(,)x x y y f x y dx =+⎰。
取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,3, (x)n n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程。
通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。
命 题 1：先证积分方程与微分方程等价： 设()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx=定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初值条件00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程00(,),x x y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。
反之亦然。
证： 因()y x ϕ=是微分方程(,)dy f x y dx =的解，有'()()(,())d x x f x x dxϕϕϕ== 两边从0x 到x 取定积分，得：000000()()(,()),xx x x f x x dx x h x x h ϕϕϕ-=-≤≤+⎰代入初值条件00()x y ϕ=得：000000()(,()),xx x y f x x dx x h x x h ϕϕ=+-≤≤+⎰即()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。
§ 3.1 解的存在唯一性定理和逐步逼近法39页PPT
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都Fra bibliotek结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法
在，要去求解就毫无意义，以后我们将给出在相当一 般的条件下，上述Cauchy问题的是存在的.
(2) 若已知Cauchy问题的解是存在的，我们进一步要问
这样的解是否唯一的？因为如果解是不唯一的，由于 不知道要确定哪一个解，却要去近似地确定它，问题 也是不明确的。
下面讨论解的存在唯一性的条件，对于微分方程
分析：转化为函数项级数，讨论该函数项级数的收敛性！ 工具：利用M-判别法（Weierstass）判别收敛性。
目的：寻求收敛正项数项级数。
构造级数 它的部分和为：
() x [ () x () x ] , x xx h 0 k k 1 0 0
k 1
( x ) [ ( x ) ( x ) ] ( x ) 0 k k 1 n
x
x3 x7 3 63
3 7 1 1 1 5 x x 2 x x 3 6 3 2 0 7 9 5 9 5 3 5
3 ( x ) 就是所求的近似解。
5、皮卡（Picard）的逐步逼近法的主要思想 定义：通过适当的方法，一步一步的逼近所要求的问题 的解的方法称为逐步逼近法。
则方程（3.15）存在唯一解
y y(x ),
x x0 h （h为足够小的正数 ）
' y ( x ) y , y ' ( x ) y 满足初始条件 0 0 0 0
3.1.2 近似计算和误差估计 1、误差公式
存在唯一性定理不仅肯定了解的存在唯一性，并且在证
明中所采用的逐步逼近法在实用上也是求方程近似解的 一种方法。在估计式（3.14）中令 差估计式
(x ), Q (x ) 在区间 [, ] 上为连续时，定理1的条件就能 当P 满足。 •逐次逼近法：这个方法不仅可用来证明方程解的存在唯 一性定理，还可以广泛地用于分析中许多其它问题，将 各种应用中所使用的逐次逼近方法的本质加以抽象和概 括，便可得到各种形式的“不动点定理”。
常微分方程§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法
通过比较两个可能的解，证明它们必须相等。
举例说明
简单的一阶常微分方程
dy/dt = y，其解为 y = Ce^t（C为 常数）。
高阶常微分方程
d^2y/dt^2 = -g/m * dy/dt - k/m * y，描述了物体的自由落体运动，其解 为y(t) = A*cos(ωt + φ)（A、φ为常 数，ω=√(g/m)）。
02
常微分方程解的存在唯一性定理
定义与定理陈述
定义
常微分方程是数学中描述一个或多个变量的函数如何随时间变化 的方程。
定理陈述
对于给定的常微分方程，如果其初值条件是合理的，那么该方程 存在唯一的解。
证明方法概述
02
01
03
数学分析
使用极限理论来证明解的存在性和唯一性。
连续性
证明解在时间上的连续性，从而说明解的存在性。
03
逐步逼近法
方法原理
逐步逼近法是一种通过逐步近 似求解常微分方程的方法。其 基本原理是，通过逐步构造一 系列的近似解，使得这些近似 解逐渐逼近真实的解。
在每一步中，根据已知的近似 解和微分方程的信息，构造一 个新的近似解，使得新解与旧 解之间的差距逐渐减小。
通过这样的方式，逐步逼近法 能够逐渐逼近真实的解，最终 得到满足精度要求的近似解。
输出满足精度要求的近似解。
迭代；否则，继续迭代。
04
解的存在唯一性定理与逐步逼近法的应用
在实际问题中的应用
物理问题
常微分方程在物理学中有广泛的应用，如力学、电磁学等领域。通过解的存在唯一性定理和逐步逼近法，可以求解物 理问题中的微分方程，从而得到物理现象的数学模型。
经济问题
在经济学中，常微分方程可以用来描述经济系统的动态变化，如供需关系、市场竞争等。通过逐步逼近法，可以求解 这些微分方程，为经济决策提供依据。
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§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
二 、存在唯一性定理 定理1
dy f (x, y)........(.3.1.1) dx
R : x x0 a, y y0 b
如果 f(x,y) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件,
定理1的证明需要证明五个命题：
命题 1 求解微分方程的初值问题等价于
求解一个积分方程
命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列 命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛 命题 4 证明此收敛的极限函数为所求
初值问题的解
命题 5 证明唯一性
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
一阶方程的初值问题
•概念和定义利普希兹条件
定理1
命题1
•存在唯一性定理 定理1的证明命 命题 题32
命题4 命题5
附注
逐步逼近法的思想
定理2
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
•本节要求/Requirements/ ➢ 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论 ➢ 掌握逐步逼近方法的本思想
2. 利普希兹条件
函数 f (x, y) 称为在矩形域 :
R : x x0 a, y y0 b …………(3.1.5) 关在常数 L>0
使得不等式
f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y2 对所有 (x, y1), (x, y2 ) R 都成立。
x x0
f ( ,n1( ))d
x0 h x x0 h
(3.1.9)
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
x
2 (x) y0 x0 f ( ,1( ))d
x
n (x) y0 x0 f (,n1( ))d
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
dx
两边从x0 到 x 积分得到:
x
(x) (x0 ) x0 f (x,(x))dx x0 x x0 h
把(3.1.2)代入上式,即有:
x
(x) y0 x0 f (x,(x))dx x0 x x0 h
因此, y (x)是积分方程在 x0 x x0 h上的连续解.
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
y
y0+b y0
1 ( x)
y0-b
1 ( x)
o
x0-a x0-h x0 x0+h
x0+a
x
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
§ 3.1 解的存在唯一性定理和 逐步逼近法
/Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method/
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
内容提要/Constant Abstract/
则方程(3.1.1)存在唯一的连续解 y (x)
定义在区间 x x0 h , 且满足初始条件 (x0 ) y0
这里 h min(a, b ) M max f (x, y)
M
( x, yR)
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
一 、概念与定义/Concept and Definition/
1. 一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示
dy dx
f
(x, y).................(3.1.1)
上，且满足初始条件(3.1.2)的解。
同理，可证在 x0 h x x0 也成立。
命题1证毕.
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
现在取 0 (x) y0 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:
0 (x) y0
n (x) y0
反之，如果 y (x) 是 (3.1.6) 的连续解，则有：
x
(x) y0 x0 f (x,(x))dx
x0 x x0 h ………(3.1.8)
微分之，得到: d(x) f (x,(x))
dx
又把 x x0 代入(3.1.8)，得到: (x0 ) y0
因此，y (x)是方程(3.1.1)定义于 x0 x x0 h
(x0 ) y0.....................(3.1.2)
F(x, y, y ') 0...........................(3.1.3)
y(
x0
)
y0 ,
y
'(x0 )
y0
'.............(3.1.4)
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
定理1的证明
命题1
设
y (x)
是初值问题
dy
f (x, y)........(.3.1.1)
dx
(x0 ) y0.............(3.1.2)
的解的充要条件是 y (x) 是积分方程
x
y y0 x0 f (x, y)dx
x0 x x0 h ……(3.1.6)
的定义于 x0 x x0 h 上的连续解。
证明: •微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。
•积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
证明
因为 y (x) 是方程(3.1.1)的解，故有:
d(x) f (x,(x))