计算机数学基础—复习题

数理逻辑练习

一、证明下面推理

1） 前提：p →(q →(s ∧r)),┐s ∧p

结论：q ⌝

2） 前提：∀x(F(x)∨G(x))，┐∃x(G(x)∧R(x))，∀xR(x)

结论：∃x(F(x))

3) 前提：∀x(F(x)→(G(a)∧H(x)))，∃x F(x)

结论：∃x (F(x)∧H(x))

二、在谓词逻辑中，构造下面推理的证明:

1、每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。

2、任何人，如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车。每一个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑自行车。并非每个人都喜欢骑自行车。因此，有的人不爱步行。（个体域为人类集合）

3) 如果2是偶数，则3是奇数。或者2是偶数或者2整除3，结果2整除3，所以3不是奇数。

4) 如果A 努力工作，那么B 或C 感到愉快；如果B 愉快，那么A 不努力工作；如果D 愉快那么C 不愉快。所以，如果A 努力工作，则D 不愉快。

三、求下列命题公式的主析取范式和主合取范式，并求其成真赋值。

1） P →(Q →R )

2） r q p →∨)(

3） )()(q p q p ⌝→∨⌝∨⌝

4） (⌝P ∨⌝Q )→(P ↔⌝Q )

四、求下列各公式的前束范式

1） )),()((y x yQ x P x ∀→⌝∃

2） )())(),((z zR y yQ y x xP ∃→∃∧∃

五、构造下列命题公式的真值表，并据此说明哪些是其成真赋值，哪些是其成假赋值？

1） P ∧(Q ∨R )。

2） ⌝(P ∨Q )↔(⌝P ∧⌝Q )。

六、分别用真值表法和公式法判断下列命题公式的类型：

(1)(P ∨Q )→(P ∧Q )。

(3)(⌝P ∨Q )∧⌝(Q ∨⌝R )∧⌝(R ∨⌝P ∨⌝Q )。

(5)(Q →P )∧(⌝P ∧Q )。

集合论练习

1.给定自然数集N的子集：A＝{1，3，7，8}，B＝{i|i2＜30 }，C＝{i|i可以被3整除且0≤i≤20}。求下列集合：

(1)A∪B

(2)B∩C。

(3)B－(A∪C)。

(4)B⊕C

2、已知A∪B＝A∪C，A∩B＝A∩C，请用集合恒等式证明B＝C。

3.求由数字1、2、3、4、5、6组成的四位数(每个数字都不允许重复出现)中，数字2在5前面的四位数共有多少个？

4. 求1到2500之间能被2，3，5和7中任何一个数整除的整数个数。

5、今有111人购买A,B,C三种股票，已知只买了一种股票的共75人，买了A股和B股的共有20人，买了B股和C股的共有9人，买了A股和C股的共17人，只买A股的共31人，只买B股的共23人。试求：（10分）

1）三种股票都买的有几人？

2）买A股、B股和C股的各几人？

关系练习

1.设A＝{1，2}，构造集合P(A)×A。

2.设R＝{<0，2>，<1，1>，<1，2>，<2，0>}，求D R、R R、R{1}、R[{1}]、R∅、R{∅}、R[∅]和R[{∅}]。

3.证明R[A∪B]＝R[A]∪R[B]。

4.设X＝{1，2，3，4}，R是X上的二元关系，R＝{<1，2>，<2，2>，<2，1>，<3，3>，<3，1>，<4，3>，<4，1> }

(1)画出R的关系图。

(2)写出R的关系矩阵。

(3)说明R是否是自反、反自反、对称、传递的。

5.令A={1,2,3};B={a,b},求R1={<1,a>,<1,b>,<2,b>,<3,a>}的关系矩阵。

6.令A={1,2,3};求R2={<1,1>,<1,3>,<2,1>,<3,2>}的关系图。

7.令F={<1,2>,<2,3>,<3,1>,<1,3>}，G={<2,1>,<2,2>,<2,3>,<1,4>}求F*G, G*F, F *F

8.设集合A={a, b, c ,d}上的二元关系R={, , , ,}

1） 试分析指出R 所具有的性质（即是否具有自反性，反自反性，对称性，反对称性，

传递性这五种性质）

2） 求R 0，R 2，r(R)，s(R)，t(R)的集合表达式。

9.设A =⎨1,2,3,4,5⎬，A 上的等价关系R 定义为：

R =⎨<1,2>,<2,1>,<3,4>,<4,3>⎬∪I A

画出关系图，找出所有等价类。

10.求出下列各偏序集的盖住关系COV A ，画出哈斯图，找出A 的子集B 1、B 2和B 3的极大元、极小元、最大元、最小元。

⑴

A =⎨a ,b ,c ,d ,e ⎬，

≼=⎨,,,,⎬∪I A

B 1=⎨b ,c ,d ⎬，B 2=⎨a ,b ,c ,d ⎬，B 3=⎨b ,c ,d ,e ⎬

⑶ A =P (⎨a ,b ,c ⎬)，≼=⎨∣ x ∈P (A )∧y ∈P (A )∧x ⊆y ⎬

B 1=⎨∅,⎨a ⎬,⎨b ⎬⎬，B 2=⎨⎨a ⎬,⎨c ⎬⎬，B 3=⎨⎨a , c ⎬,⎨a ,b ,c ⎬⎬

线性代数练习

1. 若0221

501

31=---x ，求x 。

2．设齐次线性方程组12312312

3000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 只有零解， 则λ满足条件？

3.计算行列式x a

b c d a x b c d a

b x

c

d a b c x d

++++ 4. 计算行列式214

1312

1123

250

62-