计算机数学基础—复习题

数理逻辑练习一、证明下面推理1） 前提：p →(q →(s ∧r)),┐s ∧p结论：q ⌝2） 前提：∀x(F(x)∨G(x))，┐∃x(G(x)∧R(x))，∀xR(x)结论：∃x(F(x))3) 前提：∀x(F(x)→(G(a)∧H(x)))，∃x F(x)结论：∃x (F(x)∧H(x))二、在谓词逻辑中，构造下面推理的证明:1、每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。

2、任何人，如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车。

每一个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑自行车。

并非每个人都喜欢骑自行车。

因此，有的人不爱步行。

（个体域为人类集合）3) 如果2是偶数，则3是奇数。

或者2是偶数或者2整除3，结果2整除3，所以3不是奇数。

4) 如果A 努力工作，那么B 或C 感到愉快；如果B 愉快，那么A 不努力工作；如果D 愉快那么C 不愉快。

所以，如果A 努力工作，则D 不愉快。

三、求下列命题公式的主析取范式和主合取范式，并求其成真赋值。

1） P →(Q →R )2） r q p →∨)(3） )()(q p q p ⌝→∨⌝∨⌝4） (⌝P ∨⌝Q )→(P ↔⌝Q )四、求下列各公式的前束范式1） )),()((y x yQ x P x ∀→⌝∃2） )())(),((z zR y yQ y x xP ∃→∃∧∃五、构造下列命题公式的真值表，并据此说明哪些是其成真赋值，哪些是其成假赋值？1） P ∧(Q ∨R )。

2） ⌝(P ∨Q )↔(⌝P ∧⌝Q )。

六、分别用真值表法和公式法判断下列命题公式的类型：(1)(P ∨Q )→(P ∧Q )。

(3)(⌝P ∨Q )∧⌝(Q ∨⌝R )∧⌝(R ∨⌝P ∨⌝Q )。

(5)(Q →P )∧(⌝P ∧Q )。

集合论练习1.给定自然数集N的子集：A＝{1，3，7，8}，B＝{i|i2＜30 }，C＝{i|i可以被3整除且0≤i≤20}。

求下列集合：(1)A∪B(2)B∩C。

(3)B－(A∪C)。

(4)B⊕C2、已知A∪B＝A∪C，A∩B＝A∩C，请用集合恒等式证明B＝C。

3.求由数字1、2、3、4、5、6组成的四位数(每个数字都不允许重复出现)中，数字2在5前面的四位数共有多少个？4. 求1到2500之间能被2，3，5和7中任何一个数整除的整数个数。

5、今有111人购买A,B,C三种股票，已知只买了一种股票的共75人，买了A股和B股的共有20人，买了B股和C股的共有9人，买了A股和C股的共17人，只买A股的共31人，只买B股的共23人。

试求：（10分）1）三种股票都买的有几人？2）买A股、B股和C股的各几人？关系练习1.设A＝{1，2}，构造集合P(A)×A。

2.设R＝{<0，2>，<1，1>，<1，2>，<2，0>}，求D R、R R、R{1}、R[{1}]、R∅、R{∅}、R[∅]和R[{∅}]。

3.证明R[A∪B]＝R[A]∪R[B]。

4.设X＝{1，2，3，4}，R是X上的二元关系，R＝{<1，2>，<2，2>，<2，1>，<3，3>，<3，1>，<4，3>，<4，1> }(1)画出R的关系图。

(2)写出R的关系矩阵。

(3)说明R是否是自反、反自反、对称、传递的。

5.令A={1,2,3};B={a,b},求R1={<1,a>,<1,b>,<2,b>,<3,a>}的关系矩阵。

6.令A={1,2,3};求R2={<1,1>,<1,3>,<2,1>,<3,2>}的关系图。

7.令F={<1,2>,<2,3>,<3,1>,<1,3>}，G={<2,1>,<2,2>,<2,3>,<1,4>}求F*G, G*F, F *F8.设集合A={a, b, c ,d}上的二元关系R={<a, a>, <a, b>, <b, a>, <c, d>,<d, a>}1） 试分析指出R 所具有的性质（即是否具有自反性，反自反性，对称性，反对称性，传递性这五种性质）2） 求R 0，R 2，r(R)，s(R)，t(R)的集合表达式。

9.设A =⎨1,2,3,4,5⎬，A 上的等价关系R 定义为：R =⎨<1,2>,<2,1>,<3,4>,<4,3>⎬∪I A画出关系图，找出所有等价类。

10.求出下列各偏序集<A ,≼>的盖住关系COV A ，画出哈斯图，找出A 的子集B 1、B 2和B 3的极大元、极小元、最大元、最小元。

⑴A =⎨a ,b ,c ,d ,e ⎬，≼=⎨<a ,b >,<a ,c >,<a ,d ><a ,e >,<b ,e >,<c ,e ><d ,e >⎬∪I AB 1=⎨b ,c ,d ⎬，B 2=⎨a ,b ,c ,d ⎬，B 3=⎨b ,c ,d ,e ⎬⑶ A =P (⎨a ,b ,c ⎬)，≼=⎨<x ,y >∣ x ∈P (A )∧y ∈P (A )∧x ⊆y ⎬B 1=⎨∅,⎨a ⎬,⎨b ⎬⎬，B 2=⎨⎨a ⎬,⎨c ⎬⎬，B 3=⎨⎨a , c ⎬,⎨a ,b ,c ⎬⎬线性代数练习1. 若022150131=---x ，求x 。

2．设齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 只有零解， 则λ满足条件？3.计算行列式x ab c d a x b c d ab xcd a b c x d++++ 4. 计算行列式2141312112325062-5. 设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求（1）AB T ；（2）|4A |.6.7. 求下列非齐次方程组的通解13412341234124221223335x x x x x x x x x x x x x x ⎧-+=⎪-++=⎪⎨-++=⎪⎪-+=⎩8.设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110212101,且矩阵A,X 满足AX=A+X,求矩阵X9. 10. 设111121-111,B 13-11-11214A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求(A-B)(A+B)11.编写矩阵乘法函数 void multi_matrix(int a[M][S],int b[S][N],int c[M][N]);并用主函数调用，验证12.求矩阵的秩 .343122321的逆矩阵求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A n 110011,001A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设求，用数学归纳法证明。

1712010143423,132171310201AB -⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=10030116030242201211).2;2311161222213288).1B A13.求逆矩阵14.当λ满足什么条件时， 下面的向量组线性相关：111(,,)22αλ=--，211(,,)22αλ=--，311(,,)22αλ=--.15. 已知向量131αλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，240αλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，310αλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则当λ满足什么条件时，1α，2α，3α 线性相关。

16. 已知向量组1(1,2,3,4)α=，2(2,3,4,5)α=，3(3,4,5,6)α=，4(4,5,6,7)α=，则该向量组的秩是？17. 向量组1(0,4,2)αλ=-，2(2,3,1)αλ=-，3(1,2,3)αλ=-线性相关， 则实数λ应满足什么条件？18. 设向量1101α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2010α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3001α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则向量110β-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦可表示为1α，2α，3α的线性组合是？图论练习1.判断下列各非负整数列哪些是可图化的？哪些是可简单图化的？(1)(1，1，1，2，3)。

(2)(2，2，2，2，2)。

(3)(3，3，3，3)。

(4)(1，2，3，4，5)。

(5)(1，3，3，3)。

.,4712).2,300020001).111--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A A A A 求求2.有向图D 如图10-51所示：(1)求D 的邻接矩阵A 。

(2)D 中v 1到v 4长度为4的路有多少？(3)D 中v 1到自身长度为3的回路有多少？(4)D 中长度为4的路数为多少？其中有几条回路？(5)D 中长度小于等于4的路有多少？其中有多少条回路？(6)D 是哪类连通图？3. 如下图所示的赋权图表示某七个城市721,,,v v v 及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。

4. 如下图所示的赋权图表示某六个城市a,b,c,d,e,f 及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。

(1)e5. 在二叉树中1） 求带权为2，3，5，7，8的最优二叉树T 。

2） 求T 对应的二元前缀码。

6. 用Huffman 算法求带权为1，2，3，5，7，9最优二叉树，并计算其权值。

7. 一棵无向树T 有8个顶点，4度、3度、2度的分枝点各1个，其余顶点均为树叶，则T中有几片树叶？8. 一棵树的3个4度点，4个2度点，其它的都是1度，那么这棵树的边数是多少？。