大学物理第五章题解_-_复件

第五章 相对论基础
5-1．设某事件在S 系中发生的地点为180km x =，10km y =，1km z =，发生时刻为
42.010s t -=⨯．S '系以0.8v c =沿公共x 、x '轴正向运动，两惯性系的原点在0t t '==时重合．求该事件在S '系中的时空坐标x '、y '、z '、t '各为多少？
解
由题意知1
0.6γ===
，所以 4
180082010()220(km)06
.c .x'x vt .γ--⨯⨯=-==
10km y'y == ，1km z'z == 42
42201008180()46710(s)06
vx ..c c t't .c .γ--⨯-⨯=-==-⨯
5-2．一个事件于0t =时刻发生在S 系原点，另一个事件于4s t =发生在S 系的51s x c =⨯、0y =、0z =处．若S '系沿公共x 、x '轴正向匀速运动，则以上两事件在S '系内同时发生，求S '系相对S 系的速率．
解 设两事件在S 系和S '系中的时空坐标分别为11()x ,t ，1
1()x ,t ''，22()x ,t ，22()x ,t ''．根据洛仑兹变换 2
121212
[()()]v
t t t t x x c γ''-=--- 由于2151s x x c -=⨯，214t t -=，2
10t t ''-=，则 22121()()
t t v c x x -=-2
45c c =08.c =
5-3．火箭平行于惯性系S 的x 轴飞行，从S 系观测火箭长度为其固有长度的一半，求火箭相对于S 系的速率．
解
根据动尺收缩公式l l =
012l l ==
所以0866v .c ==．
5-4．在海拔50km 处，由高能宇宙射线产生的π+
介子，以0.995c 的速率垂直飞向地面，已知其固有平均寿命8
2.610s τ-=⨯．问：（1）在地面惯性系中π+
介子的平均寿命是多少？它们平均在海拔多少米处衰变？（2）若不是由于相对论效应，它们平均只能飞越多少距离？
解 （1）以地面惯性系为S 系，与π+介子相对静止的惯性系为S '系． 在S 系中π+
介子的平均寿命为
8702610(s)r .ττ--==
=⨯
π+介子在其平均寿命时间内运动的距离为0995776(m)s .c .τ=⨯=，所以π+介子衰
变的平均海拔为
()500007761499224m h'h s ..=-=-=
（2）若不是相对论效应，π+
介子平均飞越的距离为
()809952610776m s .c ..-=⨯⨯=
5-5．惯性系S 和S '有公共的x 和x '轴，在S 系中有两个事件同时发生在x 轴上相距
31.010m ⨯的两处，在S '系中两事件相距32.010m ⨯．试问由S '系测得两事件的时间间隔
为多少？
解 设两事件在S 系和S '系中的时空坐标分别为11()x ,t ，11()x ,t ''，22()x ,t ，22()x ,t ''．根据洛仑兹变换
2
12121[()()]x x x x v t t γ''-=---
33320101010110..γ⨯=⨯⨯=⨯ 所以2γ=，2v c =．由洛仑兹变换，由S '系测得两事件的时间间隔为
2
121212
[()()]v
t t t t x x c γ''-=--- (
)36212101025810(s)2v x x ..c c γ-=--=-⨯⨯=-⨯
5-6．火箭以0.6c 的速率相对地球运动，火箭中的观察者测得火箭长度为60m ，从火箭尾部向火箭前端的靶发射一颗相对火箭以0.8c 的速率运动的高速子弹．求：（1）火箭中的观察者测得的子弹击中靶所用的时间；（2）地球上的观察者测得的子弹击中靶所用的时间．
解法一 以地球为S 系，以火箭为S '系，x 和x '轴沿火箭运动方向，发射子弹为事件1，
子弹击中靶为事件2．设两事件在S 系和S '系中的时空坐标分别为11()x ,t ，1
1()x ,t ''，22()x ,t ，2
2()x ,t ''．根据洛仑兹变换 212
1212[()()]v
t t t t x x c
γ''''-=-+- 由于2
160x x ''-=，06v .c =
， 1.25γ==；又可知火箭中的观察者测得的子弹
击中靶所用的时间
72
160
251008t t ..c
-''-==⨯ 可知地球上的观察者测得的子弹击中靶所用的时间
77
21206(251060) 1.254610(s).c t t ..c
---=⨯+
⨯⨯=⨯ 解法二 22080614
061481108x x x
u v .c .c .u c v .c .u .c c c
'++==='++⨯
在S 系中观测到子弹相对于火箭的速率
14
060346148
x .w u v c .c .c .=-=
-= 在S 系中观测到火箭的长度
6048(m)l l ===
所以地球上的观察者测得的子弹击中靶所用的时间
7484610(s)0346l t .w .c
-∆=
==⨯
5-7．从地球上观测一星系以速率0.3c 向某一方向退行，另一星系以同样速率向相反方向退行．求从某一星系观测另一星系的退行速率．
解 以地球为S 系，星系A 为S '系，x 和x '轴沿星系A 运动方向，则在相对论速度变换公式
2
1x x x u v
u vu c
-'=
- 中03v .c =、03x u .c =-，所以从星系A （S '系）观测星系B 的运动速率
2
0303055103(03)x
.c .c
u .c .c .c c --'==--⨯- 所以从某一星系观测另一星系的退行速率为055.c ．
5-8．设有两把互相平行的尺，在各自相对静止的惯性系中的长度均为0l ．它们以相同的速率v 相对某一惯性系运动，两尺均与运动方向平行，但彼此运动方向相反．求在与其中一尺固连的惯性系内测量另一尺的长度．
解 以某一惯性系为S 系，其中一尺为S '系，x 和x '轴沿S '系运动方向，则在相对论速度变换公式
2
1x x x u v
u vu c -'=
-
中x u v =-，所以在S '系内测量另一尺的运动速率为
2
22
2221x v v vc u v c c v
---'==++ 根据动尺收缩公式，在S '系内测量另一尺的长度为
22022c v l l l l c v
-===+
5-9．静止μ子的平均寿命为6
2.210s -⨯，实验室中测得运动μ子平均寿命为
66.610s -⨯．求：（1）μ子在实验室中的速率；（2）μ子的质量；（3）μ子的动能和动量各
为多少？（μ子静质量为e 207m ，31e 9.110kg m -=⨯为电子静质量．）
解（1）根据动钟变慢公式t τγ∆=∆⨯，由6
2.210s τ-∆=⨯和6
6.610s t -∆=⨯可知
3γ=
所以μ
子在实验室中的速率v =09428.c =．
（2）根据质速关系，μ子的质量为
e 621m m =
=
=
（3）μ子的动能和动量为
220k E mc m c =-
222e e e 621207414m c m c m c =-=
3182114149110(3010)33910(J)...-=⨯⨯⨯⨯=⨯212MeV =
e 6210943p mv m .c ==⨯
318196219110094331016010(kg m s)...--=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⋅
5-10．如果将100kg 铜的温度升高100K ，它的质量会增加多少？铜的比热容
390J (kg K)c '=⋅．
解 100k g
铜的温度升高100K 的过程中吸收的热量为 Q c'm t =∆63901001003910(J).=⨯⨯=⨯
质量的增加为 6
112282
39104310(kg)(3010)
E Q .m .c c .-∆⨯∆====⨯⨯
5-11．氘（2H ）和氚（3
H ）可发生聚变反应，生成氦（He ）和中子（n ）．若反应前氘和氚的静质量总和为503g ，反应后氦和中子的静质量总和为501g ，求该聚变反应中的质量亏损及释放出的能量．
解 质量亏损为 5035012(g)M ∆=-=
释放出的能量为 ()2E M c
∆=∆382
14210(310)1810
(J ).-=⨯⨯⨯=⨯
5-12．有一立方体，各棱的固有长度均为0l ，静质量为0m ．现沿其一棱的方向以速率v 运动，求静止观察者测得立方体的体积和密度．
解
静止观察者测得立方体沿运动方向的棱长为l l =长仍为0l ，所以静止观察者测得立方体的体积为
200V l l l =⋅=
静止观察者测得立方体的质量为m =
，所以立方体的密度为
03220(1)m m V l v c ρ===-
5-13．要求误差不超过5%，质量用0m 或m ，动能可以表示成20112m u 或2
212
mu 时的最大速率1u 或2u 大约是多少？
解
222k 001)E mc m c m c =-=-224101013
()28u m u m c c ≈+
表示成2
k 0112E m u '=，误差4
01k k 2k
01385%12
m u E E c E m u '-=≤'，即221115u c ≤，所以10258u .c ≤．
222200(1)(1k E mc m c mc m m mc =-=-=2
242211()28u mu mc c
≈+
表示成2k 212E mu '=，误差4
22k k 2k
218512
mu E E c %E mu '-=≤'，即2
22
15u c ≤，所以20447u .c ≤． （第五章题解结束）。