090327 插值与拟合算法及实现
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2
分段三次埃尔米特插值
数学实验
10
分 段 多 项 式 插 值 5 章 3 1 .
分段三次埃尔米特插值： 分段三次埃尔米特插值： 线性插值在每一小段上 两点之间)，用到2个 在每一小段上(两点之间 线性插值在每一小段上 两点之间 ，用到 个条 所以确定了一个线性插值函数； 线性插值函数 件q(xi)=yi，所以确定了一个线性插值函数； 三次埃尔米特插值在每一小段上 用到4个 在每一小段上， 三次埃尔米特插值在每一小段上，用到 个条 所以确定一个3次多项式 件q(xi)=yi， q'(xi)=y'i,所以确定一个 次多项式 所以确定一个 插值函数。 插值函数。
.
2维插值函数griddata~
同一平面或曲面上的散点插值为规则网格。 同一平面或曲面上的散点插值为规则网格。 Examples 1： ：
rand('seed',0) x = rand(100,1)*4-2; y = rand(100,1)*4-2; z = x.*exp(-x.^2-y.^2); ti = -2:.25:2; [XI,YI] = meshgrid(ti,ti); ZI = griddata(x,y,z,XI,YI); mesh(XI,YI,ZI), hold plot3(x,y,z,'o'), hold off
三次样条插值的思路(spline)
数学实验
11
三 次 样 条 插 值
5 章 3 2 .
样条的概念出自工程设计和机械加工(飞机、 样条的概念出自工程设计和机械加工 飞机、 飞机 船舶外形曲线设计)中的绘图工具 曲线尺)， 中的绘图工具(曲线尺 船舶外形曲线设计 中的绘图工具 曲线尺 ，简 单说就是具有连续二阶导数的三次插值多项式 单说就是具有连续二阶导数的三次插值多项式 函数。 函数。 首先从段数n=2分析：我们知道在每一小段 分析： 首先从段数 分析 的三次多项式有4 数， 图， 的三次多项式有 数， 图， 有4*2=8 q(xi)=yi 有 程 2*2=4 程， q1'(xi)= q2'(xi) 程， 2*(2-1)=2 程， 程， 和q1''(xi)= q2''(xi) 的8-(4+2)=2 的 程 有 x2 x1 q2 ( 外 条 )
函数查表与地图绘制问题...
引例1-函数查表问题 函数查表问题： 数学实验 引例 函数查表问题： 已知标准正态分布函数 Φ(2.34)=0.99036 求~
5 章 2 1 节 引 例
03
Φ(2.35)=0.99061
函 数 查 表 与 地 图 绘 制
Φ(2.3456789)=？ ？
引例2-地图绘制问题： 引例 地图绘制问题： 地图绘制问题 国家或地区边界线的确定， 国家或地区边界线的确定，往往需要采集大量 边界点的坐标，但我们知道边界线是闭合曲线， 边界点的坐标，但我们知道边界线是闭合曲线， 而不是有限的边界点， 而不是有限的边界点，而取遍所有边界点又是 不现实的，我们有必要人为地增补 增补一些点 不现实的，我们有必要人为地增补一些点
.
N维插值函数interpN
我们以2维插值函数 维插值函数interp2说明： 说明： 说明 数学实验 我们以 维插值函数 Two-dimensional data interpolation ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method) 'nearest' Nearest neighbor interpolation 'linear' Bilinear interpolation (default) 'spline' Cubic spline interpolation 'cubic ' Bicubuc interpolation
x0
q1
一维插值函数interp1
12
interp1~ 数学实验 One-dimensional data interpolation yi = interp1(x,y,xi,method) 'nearest' Nearest neighbor interpolation 'linear' Linear interpolation (default) 一 'spline' Cubic spline interpolation 5 维 章 插 'cubic ' Piecewise cubic Hermite interpolation 值 4 题例~一天 小时内， 一天24小时内 题例 一天 小时内，环境温度随时间变化 函 1 数 x=0:2:24;y=[12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13]; xi=15.1;yi=interp1(x,y,xi,'spline')
.
地图绘制问题的实例~
数学实验
04
引入插值概念和改善插值方法的思路... 引入插值概念和改善插值方法的思路
函 数 查 表 与 地 图 绘 制 5 章 2 1 节 引 例 .
插值在图像处理中的应用...
插值（ 插值（Interpolation/resampling） ） 数学实验
05
插 值 的 图 像 处 理 应 用 5 章 2 1 节 引 例
13
高 维 插 值 函 数 5 章 4 2 .
2维插值函数interp2
我们借助动画形象展示2维插值的实现细节 维插值的实现细节~ 数学实验 我们借助动画形象展示 维插值的实现细节
14
高 维 插 值 函 数 5 章 4 2 .
2维插值函数interp2举例~
数学实验
15
高 维 插 值 函 数 5 章 4 2
关于插值与拟合的区别~
数学实验
02
引 入 与 导 言 5 章
面对工程实践和科学计算中的采集数据 面对工程实践和科学计算中的采集数据 (xi,yi)，我们总是试图去揭示 与y之间的关系， 之间的关系， ，我们总是试图去揭示x与 之间的关系 即用近似的y=f(x)来表示，那么我们通常可以 来表示， 即用近似的 来表示 采用两种方法： 采用两种方法：插值与拟合 插值与拟合的区别在于——插值试图去通 区别在于 插值与拟合的区别在于 插值试图去通 已知点了解未知点处的函数值 了解未知点处的函数值； 过已知点了解未知点处的函数值；而拟合则 在于在整体上用某种已知函数 已知函数去吻合数据点 在于在整体上用某种已知函数去吻合数据点 未知函数的性态 列所在未知函数的性态。关键区别在于插值 列所在未知函数的性态。关键区别在于插值 要求必须经过已知点列，拟合只求尽量靠近 必须经过已知点列 要求必须经过已知点列，拟合只求尽量靠近 不必经过！ 不必经过！ 拟合将在下一章介绍~ 拟合将在下一章介绍
.
插值在图像处理中的应用...
原始图像~放大成 的效果： 原始图像 放大成450%的效果： 的效果 数学实验 106*40原始图像 放大成 最接近原则插值（Nearest
Interpolation） Neighbor Interpolation）
06
插 值 的 图 像 处 理 应 用 5 章 2 1 节 引 例
双三次插值（Bicubic
interpolation） interpolation）
.
插值在图像处理中的应用...
数学实验 Surface recostruction from scattered points
07
cloud
插 值 的 图 像 处 理 应 用 5 章 2 1 节 引 例 .
分段线性和拉格朗日插值1
也是一种图像处理方法， 也是一种图像处理方法，它可以为数码图像 增加或减少象素的数目。 增加或减少象素的数目。某些数码相机运用 插值的方法创造出象素比传感器实际能产生 象素多的图像，或创造数码变焦产生的图像。 象素多的图像，或创造数码变焦产生的图像。 下面的例子是一幅106*40的图像放大成 的图像放大成450% 下面的例子是一幅 的图像放大成 的效果： 的效果：
L2(x) =
2
∑
k = 0
y k lk ( x )
分 段 多 项 式 插 值 5 章 3 1 .
= y 0 l 0 ( x ) + y 1 l1 ( x ) + y 2 l 2 ( x ) ( x x1 )( x x 2 ) L2(x) = y0 ( x 0 x1 )( x 0 x 2 ) ( x x0 )( x x 2 ) + y1 ( x1 x 0 )( x1 x 2 ) ( x x 0 )( x x1 ) + y ( x 2 x 0 )( x 2 x1 )
17
二维插值函数griddata，可以将位于 二维插值函数 ， 数学实验 MATLAB二维插值函数
高 维 插 值 函 数 5 章 4 2 .
2维插值函数griddata~
同一平面或曲面上的散点插值为规则网格。 同一平面或曲面上的散点插值为规则网格。 Examples 2： ：
x = rand(100,1)*16 - 8; y = rand(100,1)*16 - 8; r = sqrt(x.^2 + y.^2) + eps; z = sin(r)./r; xlin = linspace(min(x),max(x),33); ylin = linspace(min(y),max(y),33); [X,Y] = meshgrid(xlin,ylin); Z = griddata(x,y,z,X,Y,'cubic'); mesh(X,Y,Z) %interpolated axis tight; hold on plot3(x,y,z,'.','MarkerSize',15) %nonuniform
16
二维插值函数griddata，可以将位于 二维插值函数 ， 数学实验 MATLAB二维插值函数
高 维 插 值 函 数
'linear' 'cubic' 'nearest' 'v4'
Triangle-based linear interpolation Triangle-based cubic (default) Nearest neighbor MATLAB 4 griddata method
08
分段线性插值：用直线 线性 线性)连接数据点列上相 分段线性插值：用直线(线性 连接数据点列上相 数学实验 邻的两点。 邻的两点。 比如~在两点 在两点[x 上线性插值函数为~ 比如 在两点 i-1,xi]上线性插值函数为 上线性插值函数为
分 段 多 项 式 插 值 5 章 3 1 .
x xi x xi 1 q( x) = yi 1 + yi xi 1 xi xi xi 1 x ∈ [ xi 1 , xi ], i = 0,1, 2,..., n
二维插值举例 粗糙山顶曲面的平滑处理—2维插值 粗糙山顶曲面的平滑处理 维插值 [x,y,z]=peaks(10); figure(1);hold on; plot3(x,y,z,'r.'); view(-30,30); plot3(x,y,z,'r-'); plot3(x',y',z','r-'); [xi,yi]=meshgrid(-3:.2:3); zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic'); figure(2);hold on; plot3(xi,yi,zi,'b.'); view(-30,30); plot3(xi,yi,zi,'b-'); plot3(xi',yi',zi','b-');
第五章 插值方法
数学实验
01
引 入 与 导 言 5 章
内容： 内容：本讲由例题入手介绍插值的基本方法和 思想，然后介绍基于MATLAB的一维 高维 的一维/高维 思想，然后介绍基于 的一维 插值函数。 插值函数。 目的：学习插值的基本方法和思想， 目的：学习插值的基本方法和思想，掌握 Matlab插值的方法。 插值的方法。 插值的方法 要求： 要求：能够运用软件直接对原始数据进行一维 和二维插值处理。 和二维插值处理。 掌握分段线性和拉格朗日插值的基本思想 了解三次样条插值的提法和思路 掌握插值函数interp1、interpN、griddata 掌握插值函数 、 、
插值： 插值：用n
L
n
插值
n
( x ) =
∑
y
Hale Waihona Puke Baidu
k = 0
k
l
k
( x )
连接数据点列上相邻的n+1 连接数据点列上相邻的
点。 点。Pszjs71
分段线性和拉格朗日插值2
数学实验
09
比如~在三个点 比如 在三个点[x0,x1,x2]上lagrange插值函数 在三个点 上 插值函数 线性插值是拉格朗日插值最简单的情形 为~(线性插值是拉格朗日插值最简单的情形 线性插值是拉格朗日插值最简单的情形)
.
2维插值函数griddata~
同一平面或曲面上的散点插值为规则网格。 同一平面或曲面上的散点插值为规则网格。 ZI = griddata(x,y,z,XI,YI) [XI,YI,ZI] = griddata(x,y,z,xi,yi) [...] = griddata(...,method)
5 章 4 2
分段三次埃尔米特插值
数学实验
10
分 段 多 项 式 插 值 5 章 3 1 .
分段三次埃尔米特插值： 分段三次埃尔米特插值： 线性插值在每一小段上 两点之间)，用到2个 在每一小段上(两点之间 线性插值在每一小段上 两点之间 ，用到 个条 所以确定了一个线性插值函数； 线性插值函数 件q(xi)=yi，所以确定了一个线性插值函数； 三次埃尔米特插值在每一小段上 用到4个 在每一小段上， 三次埃尔米特插值在每一小段上，用到 个条 所以确定一个3次多项式 件q(xi)=yi， q'(xi)=y'i,所以确定一个 次多项式 所以确定一个 插值函数。 插值函数。
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2维插值函数griddata~
同一平面或曲面上的散点插值为规则网格。 同一平面或曲面上的散点插值为规则网格。 Examples 1： ：
rand('seed',0) x = rand(100,1)*4-2; y = rand(100,1)*4-2; z = x.*exp(-x.^2-y.^2); ti = -2:.25:2; [XI,YI] = meshgrid(ti,ti); ZI = griddata(x,y,z,XI,YI); mesh(XI,YI,ZI), hold plot3(x,y,z,'o'), hold off
三次样条插值的思路(spline)
数学实验
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三 次 样 条 插 值
5 章 3 2 .
样条的概念出自工程设计和机械加工(飞机、 样条的概念出自工程设计和机械加工 飞机、 飞机 船舶外形曲线设计)中的绘图工具 曲线尺)， 中的绘图工具(曲线尺 船舶外形曲线设计 中的绘图工具 曲线尺 ，简 单说就是具有连续二阶导数的三次插值多项式 单说就是具有连续二阶导数的三次插值多项式 函数。 函数。 首先从段数n=2分析：我们知道在每一小段 分析： 首先从段数 分析 的三次多项式有4 数， 图， 的三次多项式有 数， 图， 有4*2=8 q(xi)=yi 有 程 2*2=4 程， q1'(xi)= q2'(xi) 程， 2*(2-1)=2 程， 程， 和q1''(xi)= q2''(xi) 的8-(4+2)=2 的 程 有 x2 x1 q2 ( 外 条 )
函数查表与地图绘制问题...
引例1-函数查表问题 函数查表问题： 数学实验 引例 函数查表问题： 已知标准正态分布函数 Φ(2.34)=0.99036 求~
5 章 2 1 节 引 例
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Φ(2.35)=0.99061
函 数 查 表 与 地 图 绘 制
Φ(2.3456789)=？ ？
引例2-地图绘制问题： 引例 地图绘制问题： 地图绘制问题 国家或地区边界线的确定， 国家或地区边界线的确定，往往需要采集大量 边界点的坐标，但我们知道边界线是闭合曲线， 边界点的坐标，但我们知道边界线是闭合曲线， 而不是有限的边界点， 而不是有限的边界点，而取遍所有边界点又是 不现实的，我们有必要人为地增补 增补一些点 不现实的，我们有必要人为地增补一些点
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N维插值函数interpN
我们以2维插值函数 维插值函数interp2说明： 说明： 说明 数学实验 我们以 维插值函数 Two-dimensional data interpolation ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method) 'nearest' Nearest neighbor interpolation 'linear' Bilinear interpolation (default) 'spline' Cubic spline interpolation 'cubic ' Bicubuc interpolation
x0
q1
一维插值函数interp1
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interp1~ 数学实验 One-dimensional data interpolation yi = interp1(x,y,xi,method) 'nearest' Nearest neighbor interpolation 'linear' Linear interpolation (default) 一 'spline' Cubic spline interpolation 5 维 章 插 'cubic ' Piecewise cubic Hermite interpolation 值 4 题例~一天 小时内， 一天24小时内 题例 一天 小时内，环境温度随时间变化 函 1 数 x=0:2:24;y=[12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13]; xi=15.1;yi=interp1(x,y,xi,'spline')
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地图绘制问题的实例~
数学实验
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引入插值概念和改善插值方法的思路... 引入插值概念和改善插值方法的思路
函 数 查 表 与 地 图 绘 制 5 章 2 1 节 引 例 .
插值在图像处理中的应用...
插值（ 插值（Interpolation/resampling） ） 数学实验
05
插 值 的 图 像 处 理 应 用 5 章 2 1 节 引 例
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高 维 插 值 函 数 5 章 4 2 .
2维插值函数interp2
我们借助动画形象展示2维插值的实现细节 维插值的实现细节~ 数学实验 我们借助动画形象展示 维插值的实现细节
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高 维 插 值 函 数 5 章 4 2 .
2维插值函数interp2举例~
数学实验
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高 维 插 值 函 数 5 章 4 2
关于插值与拟合的区别~
数学实验
02
引 入 与 导 言 5 章
面对工程实践和科学计算中的采集数据 面对工程实践和科学计算中的采集数据 (xi,yi)，我们总是试图去揭示 与y之间的关系， 之间的关系， ，我们总是试图去揭示x与 之间的关系 即用近似的y=f(x)来表示，那么我们通常可以 来表示， 即用近似的 来表示 采用两种方法： 采用两种方法：插值与拟合 插值与拟合的区别在于——插值试图去通 区别在于 插值与拟合的区别在于 插值试图去通 已知点了解未知点处的函数值 了解未知点处的函数值； 过已知点了解未知点处的函数值；而拟合则 在于在整体上用某种已知函数 已知函数去吻合数据点 在于在整体上用某种已知函数去吻合数据点 未知函数的性态 列所在未知函数的性态。关键区别在于插值 列所在未知函数的性态。关键区别在于插值 要求必须经过已知点列，拟合只求尽量靠近 必须经过已知点列 要求必须经过已知点列，拟合只求尽量靠近 不必经过！ 不必经过！ 拟合将在下一章介绍~ 拟合将在下一章介绍
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插值在图像处理中的应用...
原始图像~放大成 的效果： 原始图像 放大成450%的效果： 的效果 数学实验 106*40原始图像 放大成 最接近原则插值（Nearest
Interpolation） Neighbor Interpolation）
06
插 值 的 图 像 处 理 应 用 5 章 2 1 节 引 例
双三次插值（Bicubic
interpolation） interpolation）
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插值在图像处理中的应用...
数学实验 Surface recostruction from scattered points
07
cloud
插 值 的 图 像 处 理 应 用 5 章 2 1 节 引 例 .
分段线性和拉格朗日插值1
也是一种图像处理方法， 也是一种图像处理方法，它可以为数码图像 增加或减少象素的数目。 增加或减少象素的数目。某些数码相机运用 插值的方法创造出象素比传感器实际能产生 象素多的图像，或创造数码变焦产生的图像。 象素多的图像，或创造数码变焦产生的图像。 下面的例子是一幅106*40的图像放大成 的图像放大成450% 下面的例子是一幅 的图像放大成 的效果： 的效果：
L2(x) =
2
∑
k = 0
y k lk ( x )
分 段 多 项 式 插 值 5 章 3 1 .
= y 0 l 0 ( x ) + y 1 l1 ( x ) + y 2 l 2 ( x ) ( x x1 )( x x 2 ) L2(x) = y0 ( x 0 x1 )( x 0 x 2 ) ( x x0 )( x x 2 ) + y1 ( x1 x 0 )( x1 x 2 ) ( x x 0 )( x x1 ) + y ( x 2 x 0 )( x 2 x1 )
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二维插值函数griddata，可以将位于 二维插值函数 ， 数学实验 MATLAB二维插值函数
高 维 插 值 函 数 5 章 4 2 .
2维插值函数griddata~
同一平面或曲面上的散点插值为规则网格。 同一平面或曲面上的散点插值为规则网格。 Examples 2： ：
x = rand(100,1)*16 - 8; y = rand(100,1)*16 - 8; r = sqrt(x.^2 + y.^2) + eps; z = sin(r)./r; xlin = linspace(min(x),max(x),33); ylin = linspace(min(y),max(y),33); [X,Y] = meshgrid(xlin,ylin); Z = griddata(x,y,z,X,Y,'cubic'); mesh(X,Y,Z) %interpolated axis tight; hold on plot3(x,y,z,'.','MarkerSize',15) %nonuniform
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二维插值函数griddata，可以将位于 二维插值函数 ， 数学实验 MATLAB二维插值函数
高 维 插 值 函 数
'linear' 'cubic' 'nearest' 'v4'
Triangle-based linear interpolation Triangle-based cubic (default) Nearest neighbor MATLAB 4 griddata method
08
分段线性插值：用直线 线性 线性)连接数据点列上相 分段线性插值：用直线(线性 连接数据点列上相 数学实验 邻的两点。 邻的两点。 比如~在两点 在两点[x 上线性插值函数为~ 比如 在两点 i-1,xi]上线性插值函数为 上线性插值函数为
分 段 多 项 式 插 值 5 章 3 1 .
x xi x xi 1 q( x) = yi 1 + yi xi 1 xi xi xi 1 x ∈ [ xi 1 , xi ], i = 0,1, 2,..., n
二维插值举例 粗糙山顶曲面的平滑处理—2维插值 粗糙山顶曲面的平滑处理 维插值 [x,y,z]=peaks(10); figure(1);hold on; plot3(x,y,z,'r.'); view(-30,30); plot3(x,y,z,'r-'); plot3(x',y',z','r-'); [xi,yi]=meshgrid(-3:.2:3); zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic'); figure(2);hold on; plot3(xi,yi,zi,'b.'); view(-30,30); plot3(xi,yi,zi,'b-'); plot3(xi',yi',zi','b-');
第五章 插值方法
数学实验
01
引 入 与 导 言 5 章
内容： 内容：本讲由例题入手介绍插值的基本方法和 思想，然后介绍基于MATLAB的一维 高维 的一维/高维 思想，然后介绍基于 的一维 插值函数。 插值函数。 目的：学习插值的基本方法和思想， 目的：学习插值的基本方法和思想，掌握 Matlab插值的方法。 插值的方法。 插值的方法 要求： 要求：能够运用软件直接对原始数据进行一维 和二维插值处理。 和二维插值处理。 掌握分段线性和拉格朗日插值的基本思想 了解三次样条插值的提法和思路 掌握插值函数interp1、interpN、griddata 掌握插值函数 、 、
插值： 插值：用n
L
n
插值
n
( x ) =
∑
y
Hale Waihona Puke Baidu
k = 0
k
l
k
( x )
连接数据点列上相邻的n+1 连接数据点列上相邻的
点。 点。Pszjs71
分段线性和拉格朗日插值2
数学实验
09
比如~在三个点 比如 在三个点[x0,x1,x2]上lagrange插值函数 在三个点 上 插值函数 线性插值是拉格朗日插值最简单的情形 为~(线性插值是拉格朗日插值最简单的情形 线性插值是拉格朗日插值最简单的情形)
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2维插值函数griddata~
同一平面或曲面上的散点插值为规则网格。 同一平面或曲面上的散点插值为规则网格。 ZI = griddata(x,y,z,XI,YI) [XI,YI,ZI] = griddata(x,y,z,xi,yi) [...] = griddata(...,method)
5 章 4 2