3.4.2-3.4.3《圆锥曲线的共同特征及直线与圆锥曲线的交点》课件(北师大版选修2-1)
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2圆锥曲线的共同特征3.4.3直线与圆锥曲线的交点课件北师大版选修2_1
3．中心在原点的双曲线，若它的实半轴长为 2， 一条准线的方程为 x＝－12，则该双曲线的离心率 e＝________.
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
解析： 由于双曲线的中心在坐标原点， ∴x＝－ac2＝－12，即ac2＝12. 又实半轴长为 2，所以上式变为2ca＝12， ∴ac＝4，即 e＝4. 答案： 4
练课后演练提升
1．椭圆、双曲线的离心率的范围分别是什么？ 拋物线的离心率是多少？
[提示] 椭圆的离心率的范围为(0,1)，双曲线离 心率的范围为(1，＋∞)，拋物线的离心率为1.
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方后演练提升
2．拋物线的离心率其实就是曲线上的点到焦点的 距离与到准线的距离之比，那么，对于椭圆与双 曲线而言，它们的离心率是否也是曲线上的点到 焦点的距离与到准线的距离之比呢？请用具体的 椭圆与双曲线验证一下．
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
2．直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系
为( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析： 因为直线过定点(1,1)，而(1,1)点在椭圆内 部，故直线与椭圆必相交． 答案： A
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
2．直线与圆锥曲线的交点 (1)曲线 C1：f(x，y)＝0 和 C2：g(x，y)＝0 的任意
fx，y＝0 一个交点的坐标，都满足方程组__g__x_，__y_＝__0___， 反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这 两条曲线某一个交点的坐标．
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.4.2 圆锥曲线的共同特征 3.4.3 直线与圆锥曲线的交点学
2017-2018学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2 圆锥曲线的共同特征3.4.3 直线与圆锥曲线的交点学案北师大版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2 圆锥曲线的共同特征3.4.3 直线与圆锥曲线的交点学案北师大版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
4.2 圆锥曲线的共同特征3。
4.3 直线与圆锥曲线的交点1．掌握圆锥曲线的共同特征．（重点)2．了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．（重点）3．掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法．（难点)[基础·初探]教材整理1 圆锥曲线的共同特征阅读教材P87“抽象概括”与“练习"之间的部分，完成下列问题。
圆锥曲线共同特征e的值或范围椭圆圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e0＜e＜1抛物线e＝1双曲线e＞11．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1)椭圆上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比可以是2.( )（2)曲线上的点M(x，y）到定点(5，0）的距离和它到定直线l：x＝错误!的比是常数错误!，则曲线是双曲线．（）（3）直线y＝x与抛物线y2＝x的交点是（0，0）与(1,1）．（）【解析】根据圆锥曲线的共同特征知(1)中的比不可能大于1。
(2）正确．(3）由错误!解得（0,0），（1,1）,故交点为(0,0），（1，1)．【答案】(1)×（2）√（3）√2．如果双曲线错误!－错误!＝1上一点P到右焦点的距离等于3,那么点P到右准线的距离是________．【解析】由题知a＝4，b＝3，c＝5，∴e＝错误!。
新北师大选修2-1高中数学 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点
§4曲线与方程4．2 & 4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点[对应学生用书P63]圆锥曲线上点M (x ，y )到定点F (c,0)的距离和它到定直线x ＝a 2c 的距离比是常数e .问题1：若F (4,0)，l ：x ＝254，e ＝45，则点M 的轨迹方程是什么？轨迹呢？ 提示：x 225＋y 29＝1，椭圆．问题2：若F (5,0)，l ：x ＝165，e ＝54，则点M 的轨迹方程是什么？轨迹呢？提示：x 216－y 29＝1，双曲线．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e . 当0<e <1时，圆锥曲线是椭圆； 当e >1时，圆锥曲线是双曲线； 当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线．问题1：若直线与椭圆有一个公共点，则直线与椭圆相切．正确吗？ 提示：正确．问题2：若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线一定相切吗？ 提示：不一定．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个交点． 问题3：过(2,0)点能作几条直线和双曲线x 24－y 23＝1仅有一个交点？提示：3条．曲线的交点设曲线C 1：f (x ，y )＝0，C 2：g (x ，y )＝0，曲线C 1和C 2的任意一个交点的坐标都满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0.反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线的某一交点的坐标．1．椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离与到定直线的距离的比值是常数e .2．直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方程是解决直线与曲线相交问题的基本方法．[对应学生用书P63][例1] 曲线上的点M (x ，y )到定点F (5,0)的距离和它到直线l ：x ＝165的距离之比是常数54，(1)求此曲线方程；(2)在曲线求一点P 使|PF |＝5. [思路点拨] (1)可由|MF |与d (d 为M 到l ：x ＝165的距离)比为54，列出M (x ，y )满足的关系，进而求出曲线的方程．(2)由|PF |＝5，可得P 到l 的距离为4，从而可求得P 的坐标．[精解详析] (1)设d 是点M 到定直线l 的距离，根据题意，曲线上的点M 满足|MF |d ＝54，由此得(x －5)2＋y 2⎪⎪⎪⎪165－x ＝54，即(x －5)2＋y 2＝54⎪⎪⎪⎪165－x ， 两边平方整理得x 216－y 29＝1.(2)设P (x ，y )到l 的距离为d ，由|PF |＝5，得d ＝4. 即⎪⎪⎪⎪165－x ＝4，解得x ＝365或x ＝－45. 由于|x |≥4，故x ＝－45不合题意，舍去．由x ＝365得y ＝±6514.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫365，±6145. [一点通]圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线的距离和它到焦点的距离有密不可分的联系，这种关系要通过圆锥曲线的共同特征建立，这种关系的应用可以实现点到点的距离向点到直线的距离的转化，从而使运算得以简化．1.抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．y 1，y 2，y 3成等差数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列 解析：由抛物线定义：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |，∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3. 答案：A2．已知点A (1,2)在椭圆x 216＋y 212＝1内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋2|PF |最小．解：∵a 2＝16，b 2＝12，∴c 2＝4，c ＝2. ∴F 为椭圆的右焦点，并且离心率为24＝12.设P 到右准线l 的距离为d ，则|PF |＝12d ，d ＝2|PF |.∴|PA |＋2|PF |＝|PA |＋D.当P 点的纵坐标(横坐标大于零)与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋d 最小，如图．把y ＝2代入x 216＋y 212＝1，得x ＝463(负值舍去)，即P⎝⎛⎭⎫463，2为所求的点.[例2] 若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 5＋y m ＝1总有公共点，求m 的取值范围．[思路点拨] 几何法：由于直线过定点(0,1)，而直线与椭圆总有公共点，所以(0,1)必在椭圆内部或边界上，结合椭圆的位置关系可求m 的范围．代数法：联立直线与椭圆方程组成方程组，根据方程组有解来求m 的范围．[精解详析] 法一：由于椭圆的焦点在x 轴上，知 0<m <5.又∵直线与椭圆总有公共点，∴直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上， ∴025＋12m ≤1，即m ≥1， 故m 的取值范围是m ∈[1,5)．法二：由椭圆方程及椭圆焦点在x 轴上知0<m <5.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m＝1得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0， 又直线与椭圆有公共点，∴上述方程的Δ≥0对一切k 都成立， 即(10k )2－4(m ＋5k 2)×5(1－m )≥0， 亦即5k 2≥1－m 对一切k 都成立，∴1－m ≤0，即m ≥1，故m 的取值范围是m ∈[1,5)． [一点通]解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，有两种方法，代数法是一般方法，思路易得，但运算量较大，利用几何法求解思路灵活，方法简捷，故在解题时选择适当的方法可达到事半功倍的效果．3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1 解析：由题意，得4m 2＋n2 >2，所以m 2＋n 2<4，则－2<m <2，－2<n <2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．故选A.答案：A4．求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 解：①若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0.显然与抛物线只有一个公共点，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．②若直线的斜率存在，设方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0，当k ＝0时，解得y ＝1， 即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点． 当k ≠0时，由Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，得k ＝12.即直线y ＝12x ＋1与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.[例3] 过点P (－1,1)的直线与椭圆x 4＋y 2＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.[思路点拨] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把A ，B 两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线AB 的斜率，从而可求直线AB 的方程，再联立方程求得A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式求|AB |.[精解详析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在椭圆上得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.① 显然x 1≠x 2，故由①得 k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2). 因为点P 是AB 的中点，所以有 x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2.②把②代入①得k AB ＝12，故AB 的直线方程是y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0. ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋[k (x 1－x 2)]2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋14·243＝303. [一点通]1．在解决直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题时，“点差法”是常用的方法，但是利用该法不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须判断满足条件的直线是否存在，即把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0.2．直线y ＝kx ＋b 与曲线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，弦长公式为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)．5．已知双曲线焦距为4，焦点在x 轴上，且过点P (2,3)． (1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线l 经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m 被双曲线截得的弦长． 解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)，由已知可得左、右焦点F 1，F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)， 则|PF 1|－|PF 2|＝2＝2a ，所以a ＝1， 又c ＝2，所以b ＝3， 所以双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的方程为y ＝x －2， 联立双曲线及直线方程消去y 得2x 2＋4x －7＝0，设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72，由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝6.6．已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．解：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.直线与圆锥曲线的位置关系的常见类型及解法如下：(1)直线与圆锥曲线的位置关系问题可联立方程消元构造一元方程，利用判别式来解决，并应注意讨论，不要漏项，也可利用图形直观判断．(2)涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2·|y 1－y 2|，弦过焦点时，也可用定义来解决．(3)解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用韦达定理及中点坐标公式求解．二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．[对应课时跟踪训练(二十一)]1．过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：点(2,4)位于抛物线y 2＝8x 上，故过(2,4)且与抛物线只有一个交点的直线有两条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切．答案：B2．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1有两个公共点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－54，54 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫54，－54C.⎝⎛⎭⎫－∞，－54∪⎝⎛⎭⎫54，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－54∪⎝⎛⎭⎫－54，54 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y 24＝1得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)>0， 即k >54或k <－54时，直线与椭圆有两个公共点．故选C. 答案：C3．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线L 与双曲线只有一个公共点，则共有L ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解析：因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．答案：B4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝⎛⎭⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2， 所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. 答案：B5．已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB的中点，则直线AB 的斜率为________．解析：法一：显然直线AB 存在斜率， 设AB 斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB 方程为y －1＝k (x －2)，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)＋1，x 2－y 23＝1， 得(3－k 2)x 2＋(4k 2－2k )x －4k 2＋4k －4＝0， ∴x 1＋x 2＝2k －4k 23－k 2＝4，∴k ＝6.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4， y 1＋y 2＝2，且x 21－y 213＝1，x 22－y 223＝1.两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3.显然x 1－x 2≠0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝3(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝6，即k AB ＝6. 答案：66．已知点M 到定点F (1,0)的距离与M 到定直线l ：x ＝3的距离的比为33，则动点M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，则(x －1)2＋y 2|x －3|＝33，∴3(x －1)2＋3y 2＝(x －3)2. ∴2x 2＋3y 2＝6. ∴所求方程为x 23＋y 22＝1.答案：x 23＋y 22＝17．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，点A (8,8)，求线段AB 的中点到准线的距离．解：设AB 的中点是P ，到准线的距离是|PQ |，由题意知点F (2,0)，直线AB 的方程是：y ＝43(x －2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝43(x －2)，消去x 得y 2＝8⎝⎛⎭⎫34y ＋2⇒y 2－6y －16＝0⇒y 1＝8，y 2＝－2. ∴|AB |＝1＋(34)2|y 1－y 2|＝252，由抛物线的定义知：|PQ |＝12|AB |＝254.8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点，k 为何值时OA ―→⊥OB ―→？此时|AB |的值是多少．解：(1)设P (x ，y )，由椭圆的定义知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b ＝22－(3)2＝1. 故曲线C 的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋4x 2＝4. 消去y ，并整理，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA ―→⊥OB ―→，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1 ＝－4k 2－1k 2＋4＝0，所以k ＝±12. 当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217. 所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝54×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫±4172＋4×1217＝46517.。
北师大版选修2-1高中数学3.4.2-3.4.3《圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交》ppt课件
(2)当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交 点.
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4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
3.直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离. 相交:直线与抛物线交于两个不同的点,或直线与抛物线的对称轴平行. 相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线不平行于抛物线的对 称轴. 相离:直线与抛物线没有公共点. (2)判别方法:把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方程组, 于是: ①方程组有一组解⇔直线与抛物线相交或相切(1 个公共点); ②方程组有两组解⇔直线与抛物线相交(2 个公共点); ③方程组无解⇔直线与抛物线相离.
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4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点
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S 随堂练习 UITANG LIANXI
2.直线与圆锥曲线的交点
在直角坐标系 xOy 中,给定两条曲线 C1,C2,它们由如下方程确定: C1:f(x,y)=0,C2:g(x,y)=0, 求曲线 C1 和 C2 的交点,即要求出这些交点的坐标. 设 M(x0,y0)是曲线 C1 和 C2 的一个交点;因为点 M 在曲线 C1 上,所以它 的坐标满足方程 f(x,y)=0,因为点 M 在曲线 C2 上,所以它的坐标也满足方程 g(x,y)=0.从而,曲线 C1 和 C2 的任意一个交点的坐标都满足方程组
思考 2 直线与二次曲线交点个数的问题如何解决?
圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件ppt
坐标．
1．椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离 与到定直线的距离的比值是常数e.
2．直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方 程是解决直线与曲线相交问题的基本方法．
[例 1] 曲线上的点 M(x，y)到定点 F(5,0)的距离和它 到直线 l：x＝156的距离之比是常数54，(1)求此曲线方程；(2) 在曲线求一点 P 使|PF|＝5.
∴x12＋4y12＝16，x22＋4y22＝16. 两式相减，得(x12－x22)＋4(y21－y22)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴xy11－ －yx22＝－4yx11＋＋yx22＝－12，即 kAB＝－12. ∴所求直线方程为 y－1＝－12(x－2)， 即 x＋2y－4＝0.
∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d.
当 P 点的纵坐标(横坐标大于零)与 A 点的
纵坐标相同时，|PA|＋d 最小，如图． 把 y＝2 代入1x62 ＋1y22 ＝1，
得
x＝4 3
6(负值舍之)，即
4
P
3
6，2为所求的点.
[例2]
若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆
x2 5
＋
y2 m
＝1
总有公共点，求m的取值范围．
[思路点拨] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，把 A，B 两点的坐标代 入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线 AB 的斜 率，从而可求直线 AB 的方程，再联立方程求得 A、B 的坐标，根 据两点间的距离公式求|AB|.
[精解详析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 A，B 两点在椭
(教师用书)高中数学 3.4.(2+3)圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点课件 北师大版选修2-1
●教学流程
演示结束
课 标 解 读
1.掌握圆锥曲线的共同特征．(重点) 2.了解直线与圆锥曲线的三种位置 关系．(重点) 3.掌握求解直线与圆锥曲线有关问 题的方法．(难点)
圆锥曲线的共同特征
【问题导思】 1．在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个
2 2 x － c ＋ y 式子：a2－cx＝a x－c2＋y2，将其变形为： ＝ a2 －x c
2 3 即k＝± 3 时，方程(*)有两个相同的实
数解，即直线与双曲线有两重合的公共点；
2 4－3k ＜0， ③ 2 1 － k ≠0，
2 3 2 3 即k＜－ 或k＞ 时，方程(*)无实 3 3
数解，即直线与双曲线无公共点． 2 3 2 3 综上所述，当－ 3 ＜k＜－1或－1＜k＜1或1＜k＜ 3 时，直线与双曲线有两个公共点； 2 3 当k＝± 1或k＝± 时，直线与双曲线有且只有一个公共 3 点； 2 3 2 3 当k＜－ 3 或k＞ 3 时，直线与双曲线没有公共点．
(2)当1－k2≠0，即k≠± 1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
2 4－3k ＞0， ① 2 1 － k ≠0，
2 3 2 3 即－ ＜k＜ ，且k≠± 1时，方程 3 3
(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点；
4－3k2＝0， ② 2 1 － k ≠0，
4.2 圆锥曲线的共同特征 4．3 直线与圆锥曲 (1)通过实例了解圆锥曲线的共同特征． (2)了解直线与圆锥曲线的三种位置关系． (3)会求直线与圆锥曲线的交点坐标．
2．过程与方法 在研究直线与圆锥曲线的关系的过程中，进一步体会解 析几何的基本思想． 3．情感、态度与价值观 通过圆锥曲线共同特征的探究，体会从特殊到一般的认 知规律．
3.4.2-3.4.3《圆锥曲线的共同特征及直线与圆锥曲线的交点》课件(北师大版选修2-1)
(C)②③
(D)①③
【解析】
二、填空题（每题5分，共10分）
x 2 y 2 上任一点到其左焦点F 的距离与到定直线 4.已知椭圆 + =1 1 25 16 x=- 25 的距离之比为其离心率,F2为其右焦点,若椭圆上一点P 3 满足P到直线x=- 25 的距离为10，M满足OM= 1 (OP+OF1)，则 2 3
直线l与双曲线C:
(1)无公共点； (2)有一个公共点； (3)有两个不同的公共点. 【解析】由 y=kx+1 3x2-y2=3消去y整理得 (3-k2)x2-2kx-4=0
①
当3-k2≠0时，Δ=（-2k）2+16(3-k2)=12(4-k2)
7.(2010·郑州高二检测)已知双曲线的中心在原点，右顶点
m 点的直线斜率为 2 ，则 的值为(
(A) 2
2
2 (B) 2 3 3
n
) (D)
3 2
(C)1
【解题提示】设出A、B坐标，代入方程作差即可.
【解析】
3.下列四条直线： ①l1:y=2；②l2:y=x+ 1 ；③l3:y=2x-1；④l4:y=x+1.与抛物线 y2=2x相交的是( (A)③ (B)④ )
因为点M到直线AP的距离为1，
1.(5分)北京奥运会主体育场“鸟巢”的简化钢结构俯视图如
图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，从外层椭圆
顶点A、B向内层椭圆引切线AC、BD.设内层椭圆方程为
2 2 x 2 y 2 (a>b>0)，外层椭圆方程为 x + y =1 + 2 =1 2 (ma) 2 (mb) 2 a b 9 (a>b>0,m>1),AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为 16
2018年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.4.2 圆锥曲线的共同特征课件5 北师大版选修2-1
由此得
(x 2)2 y2 1
8 x
2
即有2 (x 2)2 y2 x 8
两边平方，并化简得 x2 y2 1 16 12
此曲线为椭圆
由此可见：椭圆也是到定点的距离与 到定直线的距离之比为常数的曲线，这样 就与抛物线有了共同的特征。
思考:双曲线有这样的特征吗？
问题3：曲线上的点M(x,y)到定点 F的(距5,离0)的的比距是离常和数它到54 ，定求直曲线线L:方X程=15。6
4.2圆锥曲线的共同特征
一、 创设情境，引入新课
请同学们回忆以下知识： 1.求曲线方程的一般步骤; 2.椭圆、抛物线、双曲线的定义及标准方程； 3.椭圆、抛物线、双曲线的离心率的取值范围.
思考：
圆锥曲线的方程有什么共同特征吗？ 圆锥曲线的方程都是二元二次方程。
是否还存在其它共同特征呢？
二、 合作交流，探究新知
过 F ）的距离的比等于常数 e的点的轨迹，
当 0 e 1 时，它是椭圆； 当 e 1 时，它是抛物线；
y
L
M
d
当 e 1 时，它是双曲线.
oF
标准方程
x2 y2 1 a2 b2 (a b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a b 0)
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
五、作业
必做题：
1.P87练习:2
x2
2.已知椭圆 25
y2
16
1上一点P到右准线距离为10,求点P到左
焦点的距离.
已知点 A(2,
3)
，设点F为椭圆
x2
16
y2
12
1 的右焦点，
点M为椭圆上动点，求 |MA|+2|MF|的最小值，并求此
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4曲线与方程3.4.2圆锥
又∵|PF1|+|PF2|=2a,∴e(d1+d2)=2a,
即������������×18=2a,∴c=���9���2=5.
∴b2=a2-c2=45-25=20.
∴椭圆方程为������2
45
+
2������02=1.
反思椭圆的统一定义可以将椭圆上一点到焦点的距离与到相应
准线的距离进行相互转化,解题时要灵活把握这一转化.
题型一 题型二
解:如图所示,P 到 l1 的距离为 d1,P 到 l2 的距离为 d2,由椭圆的统
一定义知|PF1|=ed1,|PF2|=ed2.
又∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴e2������12+e2������22=(2c)2.∴������������22(62+122)=4c2. ∴a2=36+4144=45.
+
������
∶
������-
������2 ������
=3∶2,解得 e=
5.
答案:D
12345
3.已知椭圆
������2 5
+
���4���2=1的中心为A,右准线为l,那么以A为顶.y2=-20x
B.y2=20x
C.y2=-10x
D.y2=10x
解析:椭圆的右准线方程为x=5,从而 ������ =5,由题意知,抛物线开口向
则动点到直线x=8的距离为|x-8|, 到点 A 的距离为 (������-2)2 + ������2.
由已知条件,得|x-8|=2 (������-2)2 + ������2 ,
∴|������������|
北师大版高中数学选修2-1课件：3.4.3 直线与圆锥曲线的交点
教学建议
④若讨论一线段与圆锥曲线或一直线与圆锥曲线的一部分(如双曲线的一支)的公共点 的个数，则应注意根的范围限制； ⑤解直线与圆锥曲线相交的题时，注意应用根与系数的关系及“设而不求”的技 巧． (2)利用数形结合和等价转化的思想，可以将某些最大值、最小值问题转化为求圆锥 曲线的切线的斜率问题． (3)圆锥曲线中的求最值及范围问题的方法同求函数的最值及值域的方法类似，常见 的解法有两种：代数法和几何法． (4)遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．若知道中点，则利 用“点差法”可得出过中点弦的直线的斜率．比较两种方法，用“点差法”的计算 量较少，此法解决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式加以检验.
解：焦点不同, 离心率不同, 双曲线有渐近线而抛物线没有等.
预习探究
知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系有 相离 、 相切 、 相 .
交 2.直线与圆锥曲线的公共点个数有以下三种:
(1)相离时,直线与圆锥曲线 没有 公共点;
(2)相切时,直线与圆锥曲线有 1 个公共点;
三维目标
3．情感、态度与价值观 在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动 实现共同探究、教学相长的教学活动情境．结合教学内容，培养学生科学的 探索精神、科学的审美观和世界观，激励学生不怕困难，敢于创新的精神．
重点难点
[重点] 直线与圆锥曲线的交点及相关弦长问题．
[难点] 综合应用圆锥曲线与直线的关系，含参的根与系数的关系．
A(x1,y1),B(x2,y2),那么弦长公式为|AB|= 斜率不存在时,|AB|= |y1-y2| .
(用x1,x2表示).当弦所在直线的
[探究] 弦长公式如果用y1,y2表示,则表达式是什么?
2018年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2圆锥曲线的共同特征课件7北师大版选修
思考交流
例2：点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直
5 16 线l: x 的距离的比是常数 ， 5 4
（1）求曲线方程。
（2）指出与例1的相同处和不同处。 （3）仿照例1的结论，尝试猜想本例的结论， 并证明。
小组展示 提示:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直
c a 线 l : x 的距离的比是常数 (c>a>0),求P的轨迹. a c
探究新知
猜想：椭圆也是平面内到一个定点的距离与 到一条定直线l（F不在l上）的距离之比为常 数的点所形成的曲线。
探究新知
思考：椭圆标准方程的推导过程：
a cx a ( x c ) y
2 2
2
将其变形为:
你能解释这个式子的几何意义吗？
探究新知 结论：平面内到一个定点的距离与到一条定直线l（F 不在l上）的距离之比为(0,1)内的常数的点所形成的 曲线为椭圆。
温故知新
圆锥曲线？ 圆锥曲线方程共同特征？
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2 2
二元二次方程
y 2 px( p 0)
2
温故知新
回顾：抛物线的定义：
平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l（F不
在l上）的距离之比等于1的动点P的轨迹是抛物线。 思考：当这个比值是一个不等于1的正数时，动点 P的轨迹又是什么曲线呢？
析:
2
( x c )2 y 2 a2 x c
c a
2 2
x y 2 1(a 0, b 0) 上式化为: 2 a b
思考交流 结论：平面内到一个定点的距离与到一条定直线l（F 不在l上）的距离之比为(1,+∞)内的常数的点所形成 的曲线为双曲线。
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(1)若直线AP的斜率为k，且|k|∈［ 3 ,3］，求实数m的取值
范围；
3
(2)当m= 2 +1时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方 程.
【解析】(1)由条件得直线AP的方程y=k(x-1),即kx-y-k=0，
2
)
（A） 2
（B) 3
(C) 5
(D) 10
【解析】
3.(5分)(2010·嘉兴高二检测)已知两点M(-3,0)，N(3,0)， 若直线上存在点P，使得|PM|+|PN|=10，则称该直线为“A型
直线”.给出下列直线：①x=6;②y=-5;③y=x;④y=2x+1，其
中是“A型直线”的是_________. 【解析】由题意知P点的轨迹为椭圆，其中c=3,a=5,∴b=4.故
2
(C)②③
(D)①③
【解析】
二、填空题（每题5分，共10分）
x 2 y 2 上任一点到其左焦点F 的距离与到定直线 4.已知椭圆 + =1 1 25 16 x=- 25 的距离之比为其离心率,F2为其右焦点,若椭圆上一点P 3 满足P到直线x=- 25 的距离为10，M满足OM= 1 (OP+OF1)，则 3 2
m 点的直线斜率为 2 ，则 的值为(
2 (B) 2 3 3
n
) (D)
3 2
(A) 2
2
(C)1
【解题提示】设出A、B坐标，代入方程作差即可.
【解析】
3.下列四条直线： ①l1:y=2；②l2:y=x+ 1 ；③l3:y=2x-1；④l4:y=x+1.与抛物线 y2=2x相交的是( (A)③ (B)④ )
直线l与双曲线C:
(1)无公共点； (2)有一个公共点； (3)有两个不同的公共点. 【解析】由 y=kx+1 3x2-y2=3消去y整理得 (3-k2)x2-2kx-4=0
①
当3-k2≠0时，Δ=（-2k）2+16(3-k2)=12(4-k2)
7.(2010·郑州高二检测)已知双曲线的中心在原点，右顶点
一、选择题（每题5分，共15分） 1.(2010·嘉兴高二检测)若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点，
x 2 y2 + 的交点个数为( =1 9 4
则过点P(m,n)的直线与椭圆
(A)至少1个 (B)2个
)
(C)1个
(D)0个
【解析】
2.椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1交于A、B两点，过AB中点M与原
(1)求证：
=e;
d
(2)试判断以右焦点弦AB为直径的圆与直线l的位置关系，并说
明理由.
【解析】
【解析】
x 2 y 2 .若直线上存在点P，则说明直线与椭圆有公 方程为 + =1 25 16
共点，显然①、②均不适合，因为椭圆上的点(x,y)中 |x|≤5,|y|≤4. 而直线y=x,y=2x+1与椭圆均有二个交点.
答gt;0)，点F为其右焦点，离心 4.(15分)已知椭圆 2 + 2 =1 a b 2 c ,点A在椭圆上，d为点A到定直线l:x= a 的距离. 率e= c a AF
因为点M到直线AP的距离为1，
1.(5分)北京奥运会主体育场“鸟巢”的简化钢结构俯视图如
图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，从外层椭圆
顶点A、B向内层椭圆引切线AC、BD.设内层椭圆方程为
2 2 x 2 y 2 (a>b>0)，外层椭圆方程为 x + y =1 + 2 =1 2 (ma) 2 (mb) 2 a b 9 (a>b>0,m>1),AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为 16
(
)
(A)
7 4
(B) 2
2
(C)
6 4
(D)
3 4
【解题提示】利用椭圆的定义列出m满足的方程，进而求a、
c的关系,得出e.
【解析】
x 2 y2 2.(5分)（2009·浙江高考）过双曲线 2 2 =1 (a＞0,b＞0) a b
的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为B，C.若AB= 1 BC，则双曲线的离心率是(
|OM|=__________.
【解析】如图，椭圆中e= 3 ,
3 ∴ PF1 = ，|PF1|=6，
10
5
5
再由椭圆定义易求得|PF2|=4. 又M为PF1的中点，OM为△PF1F2的中位线， 则|OM|=2. 答案：2
【解析】
答案：
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.已知直线l:y=kx+1，双曲线C:x2y2 =1，当实数k为何值时， 3