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初三数学反比例函数的专项培优练习题含详细答案

一、反比例函数

1．如图，反比例函数y=的图象经过点A（﹣ 1，4），直线y=﹣ x+b（ b≠0）与双曲线y= 在第二、四象限分别相交于P， Q 两点，与x 轴、 y 轴分别相交于C， D 两点．

（1）求 k 的值；

（2）当 b=﹣ 2 时，求△ OCD 的面积；

（3）连接 OQ，是否存在实数 b，使得 S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出 b 的值；若不存在，请说

明理由．

【答案】（ 1）解：∵反比例函数y=的图象经过点A（﹣ 1，4），

∴k=﹣ 1 × 4=﹣4 ；

（2）解：当b=﹣ 2 时，直线解析式为y=﹣ x﹣2，

∵y=0 时，﹣ x﹣2=0，解得 x=﹣ 2，

∴C（﹣ 2， 0），

∵当 x=0 时， y=﹣ x﹣ 2=﹣ 2，

∴D（ 0，﹣ 2），

∴S△OCD=× 2× 2=2

（3）解：存在．

当y=0 时，﹣ x+b=0，解得 x=b，则 C（ b， 0），

∵S△ODQ=S△OCD，

∴点 Q 和点 C 到 OD 的距离相等，

而 Q 点在第四象限，

∴Q 的横坐标为﹣ b，

当x=﹣ b 时， y=﹣x+b=2b，则 Q（﹣ b， 2b），

∵点 Q 在反比例函数∴﹣ b?2b=﹣ 4，解得y=﹣b=﹣的图象上，

或 b= （舍去），

∴b 的值为﹣．

【解析】【分析】（ 1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=﹣ 4；（ 2）当 b=﹣ 2 时，直线解析式为y=﹣ x﹣ 2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C（﹣ 2， 0）， D（ 0，﹣ 2 ），然后根据三角形面积公式求解；（3）先表示出 C（ b ， 0 ），根据三角形面积公

式，由于 S△△

Q 的横坐标为（﹣ b，ODQ=S OCD ，所以点Q和点C到OD的距离相等，则

0），利用直线解析式可得到Q（﹣ b， 2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得

到﹣ b?2b=﹣ 4，然后解方程即可得到满足条件的 b 的值．

2．如图，一次函数y=x+4 的图象与反比例函数

（﹣ 1， a）， B（ b， 1）两点．

y= （ k 为常数，且k≠0）的图象交于 A

（1）求反比例函数的表达式；

（2）在 x 轴上找一点P，使 PA+PB的值最小，求满足条件的点P 的坐标；

（3）求△ PAB的面积．

【答案】（1）解：当 x=﹣ 1 时， a=x+4=3，

∴点 A 的坐标为（﹣1， 3）．

将点 A（﹣ 1， 3）代入 y=中，

3=，解得： k=﹣ 3，

∴反比例函数的表达式为y=﹣

（2）解：当 y=b+4=1 时， b=﹣ 3，

∴点 B 的坐标为（﹣ 3， 1）．

作点 B 关于 x 轴的对称点D，连接 AD，交 x 轴于点 P，此时 PA+PB的值最小，如图所示．

∵点 B 的坐标为（﹣ 3， 1），

∴点 D 的坐标为（﹣ 3，﹣ 1）．

设直线 AD 的函数表达式为y=mx+n，

将点 A（﹣ 1， 3）、 D（﹣ 3，﹣ 1）代入 y=mx+n 中，

，解得：，

∴直线 AD 的函数表达式为y=2x+5．

当 y=2x+5=0 时， x=﹣，

∴点 P 的坐标为（﹣，0）

（3）解： S△PAB △ABD△BDP

=S ﹣S= × 2×2﹣× 2×=

【解析】【分析】（ 1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点 A 的坐标，根据点 A 的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标

特征可求出点 B 的坐标，作点 B 关于 x 轴的对称点D，连接 AD，交 x 轴于点 P，此时PA+PB 的值最小，由点 B 的坐标可得出点 D 的坐标，根据点A、 D 的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB 的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；（ 3）根据三角形的面积公式结合S△△△

PAB=S ABD﹣S BDP ，即可得出结论．

3．一次函数y=ax+b（ a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于y 轴交于点C，与x 轴交于点D，点 D 的坐标为（﹣ 1 ， 0 ），点 A tan∠ CDO=2．过点 B 作 BH⊥ y 轴交 y 轴于 H，连接 AH．

A， B 两点，与的横坐标是 1 ，

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求△ ABH 面积．

【答案】（1）解：∵点 D 的坐标为（﹣ 1， 0）， tan∠ CDO=2，

∴C O=2，即 C（ 0， 2），

把 C（0， 2）， D（﹣ 1， 0）代入 y=ax+b 可得，

，解得，

∴一次函数解析式为y=2x+2，

∵点 A 的横坐标是1，

∴当 x=1 时， y=4，即 A（ 1，4），

把A（ 1， 4）代入反比例函数 y= ，可得 k=4，

∴反比例函数解析式为 y=

（2）解：解方程组，可得或，

∴B（﹣ 2，﹣ 2），

又∵ A（ 1， 4）， BH⊥y 轴，

∴△ ABH 面积 =× （2×4+2）=6．

【解析】【分析】（ 1）先由 tan∠ CDO=2 可求出 C 坐标，再把 D 点坐标代入直线解析式，

可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出 A 坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线

解析式；（ 2）△ ABH 面积可以 BH 为底，高 =y A-y B=4-(-2)=6.

4．如图，过原点O 的直线与双曲线交于上A（m，n）、B，过点A的直线交x 轴正半轴于点D，交 y 轴负半轴于点E，交双曲线于点P.