圆中的角的认识
角的概念解析
角的概念解析角是几何学中一个重要的概念，它是由两条射线共同确定的一个图形。
角常用来讨论线段之间的相对位置和旋转方向，并被广泛应用于各个领域的数学问题中。
本文将对角的概念、性质和角度单位进行详细解析。
一、概念解析角是由两条射线共同确定的一个图形，这两条射线称为角的边，相交的点称为角的顶点。
角可表示为∠ABC或∠CBA，其中A、B、C分别代表角的顶点和边。
根据角的大小，可以将其分为三类：锐角、直角和钝角。
- 锐角：角的大小小于90°；- 直角：角的大小等于90°；- 钝角：角的大小大于90°。
二、角的性质1. 角的度量角的度量是用角度来表示的，角度是角相对于一个圆的弧上所对应的弧度数。
一个完整的圆共有360°，每个角度可以等分为60分，每一分再等分为60秒。
2. 角的对立角在平面几何中，角的对立角是指与其顶点和边分别在同一直线上的两个角。
对立角互为补角，即其角度数之和为180°。
例如，∠ABC与∠CBD为对立角，则∠ABC + ∠CBD = 180°。
3. 角的互补角和余补角互补角是指角度数之和为90°的两个角，而余补角是指角度数之和为180°的两个角。
例如，∠ABC与∠CBD为互补角，则∠ABC +∠CBD = 90°；若∠ABC与∠CBD为余补角，则∠ABC + ∠CBD = 180°。
4. 角的平分线角的平分线是指将角分为两个相等的角的射线。
角的平分线通过角的顶点，并将角划分为两个度数相等的角，即∠ABC = ∠CBD。
5. 角的内部、外部与共线角角的内部是指位于角边所在直线两侧的点构成的集合；角的外部是指不在角内部的点构成的集合；共线角是指由一个点和两条相交的射线所确定的两个角，这两个角的顶点和边分别在同一直线上。
三、角度单位角度单位有两种常用的表示方法：度（°）和弧度。
度是在几何学中最常用的角度单位，将一个完整的圆等分为360等份。
角的认识认识角的基本概念和表示方法
角的认识认识角的基本概念和表示方法角的认识：认识角的基本概念和表示方法角是几何学中一个重要的概念，在学习几何学时我们经常会遇到和使用角的概念和表示方法。
在本文中，我们将深入探讨角的基本概念，介绍角的表示方法，并探讨角度的重要性及其应用。
一、角的基本概念角是由两条射线（也称为边）共享一个起点而形成的形状。
我们通常将起点称为角的顶点，两条射线则为角的边。
角的大小可以通过来自角的两条边的夹角来衡量。
根据角度的大小，角可以分为不同的类型。
当角的大小为90度时，我们将其称为直角。
小于90度的角称为锐角，而大于90度并且小于180度的角则称为钝角。
此外，角还可以被视为零度或360度的整数倍，我们将其称为相应的零角或圆角。
二、角的表示方法在几何学中，我们一般用特定的符号和记法来表示角。
以下是角的主要表示方法：1. 度数表示法：角的大小可以用度数表示，一个完整的圆可以分为360度。
例如，一个直角为90度，一个锐角为60度，一个钝角为120度。
2. 弧度表示法：角的大小也可以用弧度表示。
弧度是一个计量单位，用于衡量角的大小。
一个完整的圆对应的弧度为2π（或360度）。
常见角度的弧度表示如下：直角为π/2，锐角为π/3，钝角为2π/3。
3. 三角函数：三角函数是一种常用的角表示方法。
常见的三角函数包括正弦、余弦和正切。
我们可以通过这些函数计算角的数值。
三、角度在几何学中的重要性及应用角是几何学中的基本概念，它在理解和解决各种几何问题时起着重要的作用。
以下是角的一些重要应用：1. 平面几何：角的概念与平面几何密切相关。
通过了解角的性质，我们可以解决各种涉及线段、射线和平面的几何问题。
2. 三角学：角的概念是三角学的基础。
三角函数的定义和计算都涉及角的概念，例如正弦定理和余弦定理。
3. 物理学：角的概念在物理学中也具有重要意义。
例如，在力学中，我们常常使用角度来描述物体的旋转状态。
4. 工程学：角的概念在工程学中广泛应用。
人教版二年级数学上册第3单元 角的认识及画法
画角要记住：先画 顶点再画边。
别忘了让我 来帮助你呀！
三、巩固认识，深化理解
教材P39 做一做
1.你周围物体的表面是什么图形？这些图形中有角吗？ 2.按照例2的方法，自己画出一个角。
三、巩固认识，深化理解
3. 指一指哪里有角。 教材P43 练习八 第1题
三、巩固认识，深化理解
4. 下面的图形哪些是角，哪些不是角？ 教材P43 练习八 第2题
（ 2 ）条线段 （ 1 ）个角
七、巩固练习
3. 数一数，填一填。 选自《创优作业100分》
（ 3 ）条线段 （ 2 ）个角
（ 6 ）个角
七、巩固练习
4.填空。 （1）一个角有（ 1 ）个顶点，（ 2 ）条边。 （2）写出下面角的各部分名称。
边 顶点
边
顶点
边
边
七、巩固练习
(3)三角形有( 3 )个顶点，( 3 )条边。 (4)正方形有( 4 )个顶点，( 4 )个角， ( 4 )条边。 (5)从( 1 )个点起，用(直尺)向不同的方向画( 2 ) 条直线，就画成一个( 角 )。 (6)角的大小与角的两条边叉开的大小（有）关系， 两边叉开的越大，角就( 大 )。
二、观察实践，探索新知
用下面的圆形纸片折角。
角有大小 这两个角，哪个角大一些？
二、观察实践，探索新知
我发现角的两边张开 得越大，角就越大。
二、观察实践，探索新知
用纸片可以折出怎样大小的角呢？并比一比。
我折的角比你折的小。
二、观察实践，探索新知
先画一个点，再以这个点为顶点，借助尺子向 不同的方向画两条笔直的线，就画出一个角。
七、巩固练习
5. 打开折扇，看看角有什么变化。 教材P43 练习八 第4题
角的初步认识讲课
角的初步认识讲课角是我们学习数学的重要概念之一，它在几何学中有着重要的作用。
通过对角的初步认识，我们可以更好地理解和应用它在实际问题中的用途。
本文将介绍角的定义、性质以及常见的角度单位，并结合具体例子来帮助读者更好地理解。
一、角的定义与分类角可以被定义为由两条射线共享一个公共起点所形成的图形。
这个共享的起点称为角的顶点，两条射线则称为角的边。
根据角的大小和形状，我们可以将角分为以下三类：1. 锐角：角度小于90度，尖锐的形状。
2. 直角：角度为90度，形状为一个正方形的内角。
3. 钝角：角度大于90度，形状较为钝圆。
通过对不同种类角的认识，我们可以更好地理解和应用它们在几何学中的特性。
二、角的性质1. 角的度量单位：角的大小可以用度（°）来度量。
一圆周角等于360度，而直角等于90度。
我们可以通过使用度数来测量和记录角的大小。
2. 角的对立角：对于任何角，它的对立角是通过顶点将整个平面分成两个互补的角。
对立角的和总是等于180度。
3. 角的相等性：如果两个角的度数相等，则它们是相等角。
相等角具有相同的大小，无论它们的形状和位置如何。
4. 角的补角和余角：两个角的和等于90度时，这两个角互为补角。
而两个角的和等于180度时，这两个角互为余角。
通过对角的性质的理解，我们可以更加灵活地运用它们来解决实际问题。
三、角度单位的转换在实际问题中，不仅仅使用度数来度量角的大小，还有其他常见的角度单位，如弧度。
1. 弧度：弧度是角度的另一种度量单位。
一圆周角等于2π弧度，而直角等于π/2弧度。
弧度与度之间的转换关系为：180度= π弧度。
2. 角度与弧度的转换：如果要将角度转换为弧度，可以使用以下公式：角度 = 弧度* (180/π)。
反之，如果要将弧度转换为角度，可以使用以下公式：弧度 = 角度* (π/180)。
通过角度单位的转换，我们可以在不同的数学问题中更加方便地进行计算。
综上所述，角的初步认识对于学习几何学和解决实际问题都至关重要。
圆中角
圆中角解读课标角是几何图形中最重要的元素，是证明角平分线、两直线平行位置关系、判断三角形全等、三角形相似的重要条件，而圆的特点，又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件，是解题中最活跃的元素．圆中角主要有圆心角、圆周角；特别地直径所对的圆周角是90°．在理解圆中交时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系；在运用圆中角时，要关注弧的中介作用，弧把圆心角、圆周角联系起来． 熟悉以下图形、基本结论：问题解决例1 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 所对弧的度数为120°，∠ABC 、∠ACB 的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F 。
以下四个结论：①cos ∠BFE=21②BC=BD ；③EF=FD ；○4BF=2DF.其中结论一定正确的序号是______．(2006年重庆市中考题)试一试 先求出∠A 、∠BFC 的值，并作出与角平分线相关的辅助线，这是解本例的基础.例2 如图，矩形ABCG(AB<BC)与矩形CDEF全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使么APE 为直角的点P 的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3(2006年陕西省中考题)试一试 作出以AE 为直径的圆，将P 点的个数判断转化为圆与BD 交点个数的判定．例3 如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB=AC ，AD 交BC 于点E ，AE=2，ED=4．求AB 长．(常州市中考题) 试一试 图中有许多相等的角，进而可得到多对相似三角形，这是解本例的出发点．例4 已知BC 是⊙O 直径，D 是BC 上一动点(不与点B 、O 、C 重合)，过D 点作直线AH 上BC 交⊙O 于A 、H 两点，F 是⊙O上一点(不与点B 、C 重合)，且⋂⋂=AF AB ，直线BF 交直线AH 于点E.(1)如图a 当点D 在线段BO 上时，试判断AE 与BE 的大小关系，并证明你的结论；(2)当点D 在线段OC 上，且OD>DC 时，其他条件不变． ○1请你在图b 中画出符合要求的图形，并参照图a 标记字母；②判断(1)中的结论是否还成立，并说明理由．(2006年辽宁省中考题) 试一试对于(1)由角的关系，可导出AE与BE的大小关系，从不同角度作出辅助线，可得到多种证法；对于(2)，依题意画出图形是关键．例5 如图，在平面直角坐标系中，以点M(0，3)为圆心，以32长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连结AM并延长交⊙M于P点，连结PC交x轴于E．(1)求出CP所在直线的解析式；(2)连结AC，求△ACP的面积．(2006年芜湖市中考题)试一试连PB，则∠ABP=90°，又DC为OM直径，DC⊥AB，则AO=BO．数学冲浪知识技能广场1．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻．当他带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择______种射门方式．(2006年山西省中考题)2．如图，在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则BC=______cm，BD=______cm．3．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=4，则⊙O的半径为______．(2006年安徽省中考题) 4．如图，在平面直角坐标系中，P是经过O(0，0)，A(0，2)，B(2，0)的圆上一个动点(P 与O、B不重合)，则∠OPB=______．(江西省中考题) 5．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°(2006年重庆市中考题)6．如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA=PB+PC；②③PA·PE=PB·PC．其中，正确结论的个数为（）(天津市中考题) A．3个B．2个C．1个D．0个7．如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 是CA 延长线上一点，若∠BOC=120°,则∠BAD 等于 （ ）A ．30°B ．60°C ．75°D ．90° 8．如图，AB 是⊙O 的直径，诸角p 、q 、r 、s 之间的关系：①p=2q ；②q=r ；③p+s=180°．其中，正确的是 （ ）A ．只有①和②B ．只有①和③C ．只有②和③D ．①、②和③9．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，OD ⊥BC 于点E ，交⋂BC 于点D ． (1)请写出三个不同类型的正确结论；(2)连结CD ，设∠CDB=α，∠ABC=β，试找出α与β之间的一种关系式，并给予证明．(2006年江西省中考题)10．如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB+AC=12，AD ⊥BC 于D ，且AD=3，设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x.(1)求Y 与x 的函数关系式； (2)当AB 的长等于多少时，⊙O 的面积最大?并求出⊙O 的最大面积．(2006年兰州市中考题)思想方法天地11．如图，AB 为圆的直径，若AB=AC=5，BD=4，则BEAE =______.12．如图，⊙C 通过原点，并与坐标轴分别交于A ，D 两点．已知∠OBA=30°，点D 的坐标为(0，2)，则点A 、C 的坐标分别为A(___，___)；C(___，___)．(第18届江苏省竞赛题)13．如图，在四边形ABCD 中，AB=AC=AD ．若∠BAC=25°，∠CAD=75°，则∠BDC=______，∠DBC=______.(2006年第21届江苏省竞赛题)14．已知△ABC 中，AB=AC=38，高AD=8，则△ABC 外接圆的半径为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．12(2006年太原市竞赛题)15．已知在半径为2的⊙O 中，圆内接△ABC 的边AB=32，则∠C 的度数为 （ ）A ．60°B ．30°C ．60°或120°D ．30°或150°(2006年广东省竞赛题) 16．如图，MN 是⊙O 的直径，若∠E=25°，∠PMQ=35°，则∠MQP=（ ） A ．30° B ．35° C ．40° D ．50° 17．如图，已知四边形ABCD 外接⊙O 的半径为5，对角线AC 与BD 的交点为E ，且AB2=AE·AC ，BD=8，求△ABD 的面积．(全国初中数学联赛题)18．如图，四边形ABCD 为正方形，⊙O 过正方形的顶点A 和对角线的交点P ，分别交AB 、AD 于点F 、E ． (1)求证：DE=AF ； (2)若⊙O 的半径为22，AB=12 ，求EDAE 的值．(2006年第21届江苏省竞赛题)应用探究乐园19．图1是钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC 内接于⊙G ，AB 是⊙G 的直径，AB=6，AC=3．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中，然后点A 在射线Ox 上由点O 开始向右滑动，点B 在射线Oy 上也随之向点O 滑动(图2)，当点B 滑动至与点O 时运动结束．(1)试说明在运动过程中，原点O 始终在⊙G 上；(2)设点C 的坐标为(z ，y)，试探究y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)在整个运动过程中，点C 运动的路程是多少?。
【最新北师大版初一上册数学】第13讲：角的认识及多边形和圆的初步认识-学案
七年级上册数学 第五章 基本平面图形第二讲 角的认识及多边形和圆的初步认识考点一：角的定义【例题】1、从点O 出发有五条射线，可以组成的角的个数是（ ）A ． 4个 B.5个 C. 7个 D. 10个2、下列说法中，正确的个数有（ ）①两条射线组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边可以画的一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线；⑤因为平角的两边也成一条直线，所以一条直线可以看作一个平角。
A.2个B.3个C.4个D.5个3、如图所示，射线OP 表示的方向是 ．【练习】1、如图，对图中各射线表示的方向下列判断错误的是（ ）．A ．OA 表示北偏东15°B ．OB 表示北偏西50°C ．OC 表示南偏东45°D ．OD 表示西南方向2、如图，甲从A 点出发向北偏东70°方向走到点B ，乙从点A 出发向南偏西15°方向走到点C ，则∠BAC 的度数是 （ ）A ． 85°B ．160°C ．125°D ．105°3、下列语句正确的说法是（ ）A ．两条直线相交，组成的图形是角B ．从同一点引出的两条射线组成的图形也是角A 70° 15° ︶︵C．两条有公共端点的线段组成的图形叫角D．两条射线组成的图形叫角4、下列说法正确的是（）A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线C．平角的两条边在同一条直线上 D．周角的终边与始边重合，所以周角的度数是0°5、下列说法中不正确的是（）A．由两条射线所组成的圆形叫做角B．∠AOB的顶点是点OC．∠AOB和∠BOA表示同一个角D．角可以看做一条射线绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形考点二：角的表示【例题】1、如图所示四个图形中，能用∠α、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）2、如图，∠AOB=90°，以O为顶点的锐角共有个3、已知：如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，求图中共有多少个角？如果引出99条射线，则有多少个角？【练习】1、如图, 一艘客轮沿东北方向OC行驶，在海上O处发现灯塔A在北偏西30°方向上, 灯塔B在南偏东60°方向上．（1）在图中画出射线OA 、OB 、OC ；（2）求∠AOC 与∠BOC 的度数，你发现了什么？2、如图，以B 为顶点的角有几个？把它们表示出来，以D 为顶点的角有几个？把它们表示出来。
角与圆的关系
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2, 当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边
对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC
的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角 形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
已知：如图直线ABP和CDP是自点P 引的⊙O的两条割线 求证：PA·PB=都 对弧BD ∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C 又∵∠P=∠P ∴△ADP∽△CBP （如果一个三角 形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等，那么这两个三角形相 似。）
∴AP:CP=DP:BP 即AP·BP=CP·DP
角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC
的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形
图3
的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的
外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-
的度数的和的一半。
相交弦定理：圆的相交 弦被交点分成的两线段 的积相等
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角
∠BAC同对弧BC，求证：
∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：
如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，
即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
图1
解：∴OA=OC
圆形认识圆的基本知识
圆形认识圆的基本知识圆是几何中常见的一种形状，它具有独特的性质和特点。
本文将介绍圆的基本知识，包括定义、性质、公式和应用等方面。
一、圆的定义圆是平面上所有到一个点的距离都相等的点的集合。
这个点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
用数学符号表示，圆心为O，半径为r，圆可以记作C(O, r)。
二、圆的性质1. 圆的直径：圆中任意两点之间经过圆心的线段称为直径，它的长度等于圆的半径的两倍。
2. 圆的弦：圆上任意两点之间的线段称为弦。
3. 圆心角：以圆心为顶点的角称为圆心角，它的度数等于所对弧的度数。
4. 弧长：圆上的一段弧所对的圆心角的度数等于这段弧的长度与圆的半径的比值。
5. 弧度制：弧度制是一种角度的单位，用弧长与半径的比值来表示角度。
6. 弦切角性质：圆上的弦所对的弧所对的切角相等。
7. 切线性质：切线与半径所在直线垂直。
三、圆的公式1. 圆的面积公式：圆的面积等于π（圆周率）乘以半径的平方，即S = πr²。
2. 圆的周长公式：圆的周长等于2π乘以半径，即C = 2πr。
四、圆的应用1. 圆是很多几何图形的基础，许多几何问题都可以通过圆来解决。
2. 圆的性质在日常生活中得到广泛应用，例如建筑、交通、制造等领域。
3. 圆的公式在计算和科学研究中具有重要作用，例如在计算机图形学、物理学等领域中都需要用到圆的相关公式。
总结：本文介绍了圆的基本知识，包括定义、性质、公式和应用等方面。
圆作为几何中常见的一种形状，具有独特的性质和特点，应用广泛，对于我们的生活和学习都有一定的影响。
通过学习和认识圆，我们能够更好地理解几何学的知识，提高数学素养，并应用到实际问题中。
九年级数学圆周角知识点
九年级数学圆周角知识点数学是一门需要持续积累和掌握的学科，而在九年级的数学学习中，圆周角是一个重要的知识点。
圆周角的概念和性质不仅在几何学中有广泛应用，而且在日常生活中也能见到它的身影。
本文将带您深入了解九年级数学中关于圆周角的知识点，并通过实际例子展示它的应用。
首先，让我们从圆的性质开始。
一个圆可以由圆心、半径和圆周角来描述。
圆心是指圆的中心点，而半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
而圆周角则是以圆心为顶点的角，起始边是半径，终止边是圆上两点之间的弧。
圆周角的度数范围是从0度到360度。
了解了圆和圆周角的基本性质后，我们来看一下圆周角的分类。
圆周角可以分为锐角、直角、钝角和周角四种。
当圆周角的度数小于90度时，称为锐角；当圆周角的度数恰好为90度时，称为直角；当圆周角的度数大于90度但小于180度时，称为钝角；当圆周角的度数恰好为360度时，称为周角。
进一步了解圆周角的分类之后，我们来看一下圆周角之间的关系。
在一个圆上，如果两个圆周角的顶点、起始边和终止边都相等，那么这两个圆周角就是相等的。
同样，在一个圆上，如果两个圆周角的顶点、起始边相等，那么这两个圆周角互补。
此外，如果两个圆周角的终止边互补，那么这两个圆周角也互补。
这些关系可以帮助我们在解题过程中灵活应用圆周角的性质，更好地理解题意。
除了掌握基本概念和性质之外，了解圆周角的实际应用也是九年级数学学习的重要部分。
圆周角的概念和性质在日常生活中有很多实际应用，比如在钟表中，每个小时的刻度之间的角度就是一个圆周角。
另外，在设计中，圆周角的概念也经常被运用。
例如，在设计一座桥梁的时候，工程师需要考虑桥梁的弯曲度，这就需要运用圆周角的相关知识。
在解题过程中，我们还可以通过利用圆周角的性质来推导出其他的性质。
比如，我们知道直角的度数是90度，而直角又是圆周角的一种，那么我们可以得出结论：圆周角的度数是直角度数的4倍。
这样的推导和推理能力不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，而且也能帮助我们在解决实际问题时做到灵活运用。
圆周角和圆心角的概念
圆周角和圆心角的概念
嘿，朋友们！今天咱来聊聊圆周角和圆心角，这俩可是数学世界里挺有意思的角色呢！
你看啊，圆周角就像是个调皮的小孩，总是围着圆到处跑，在圆上的不同位置出现。
它的顶点在圆上，两边分别和圆相交。
哎呀，这小家伙可机灵着呢，角度大小会随着它在圆上的位置变化而变化。
那圆心角呢，就像是圆这个大家庭的老大，顶点就在圆心那稳稳地待着，两边也都是圆的半径。
它可威风啦，角度大小是固定不变的哟！
咱可以打个比方，圆就像是一个大舞台，圆周角就是在舞台上跑来跑去表演的演员，而圆心角就是坐在舞台中央的主角，一直稳稳当当的。
圆周角和圆心角之间还有着一些有趣的关系呢！比如说，同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
这就好像是圆周角这个小调皮总是要比圆心角这个老大“矮半截”似的。
想象一下，你在操场上画一个大大的圆，然后在圆上找几个点，连接起来形成圆周角和圆心角，是不是感觉特别有意思？你可以自己动手量一量它们的角度，亲自验证一下它们之间的关系。
而且啊，圆周角和圆心角在我们的生活中也有不少应用呢！比如建筑设计中，那些圆形的屋顶、拱门，说不定就用到了它们的知识。
还有那些漂亮的圆形图案、装饰品，不也是和它们有关嘛！
咱学习圆周角和圆心角可不能只是死记硬背那些定义和定理呀，得像玩游戏一样去感受它们，去发现它们的奇妙之处。
这样学起来才带劲呢，不是吗？
你说，圆周角和圆心角是不是很有趣呀？它们就像数学世界里的一对好伙伴，互相陪伴，又各有特点。
我们要好好去了解它们，掌握它们的规律，这样才能在数学的海洋里畅游呀！所以呀，可别小瞧了这俩家伙哦！。
华师大版数学九年级下第7讲 圆心角,圆周角定理
OABCCA EFDO B第7讲 圆心角，圆周角定理知识要点梳理：一、圆心角的定义：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(∠AOB 是弧AB 所对的圆心角)二、圆心角定理及推论：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． （3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、圆周角的定义：如图所示，∠ACB 的顶点在圆周上，像这样的角叫做圆周角(∠ACB 是弧AB 所对的圆周角)． 四、圆周角的定理及推论：(1)定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半． (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 五、圆的内接四边形对角互补，对角互补的四边形是圆的内接四边形 经典例题：例1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °， ∠ABD= °例2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2∠BAC例3、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。
求证：∠D=∠BODC BA例4.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，求BD 的长．例5.如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作AC DE ⊥,交AC 于点E ．连接OD 、OE （1）求证：DE ⊥OD ；（2）若AB=3DE ，且48=∆ABC S ,求OE 的长。
经典练习：一．选择题1．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）．A ．140°B ．110°C ．120°D ．130°OBA C2143OB ACD(1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2C ．∠4<∠1<∠3<∠2D ．∠4<∠1<∠3=∠23．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（ ）．A ．3B ．3C ．5-123 D ．54．如图，C 、D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA=CD ，且∠ACD=40°，则∠CAB=（ ） A ．10° B ．20° C ．30° D ．40°5．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．75°6．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P 是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（）A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.28．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．2 B．8 C ． D．29．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°二．填空题1．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．2．如图4，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于．4．如图5，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•O BAE DOBC21EDOB C(4) (5) (6)5．如图6，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．OBA CD6．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD= °．7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 都在⊙O 上，∠ABC=50°，则∠BDC 的大小是 ．8．如图，一块直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，点D 对应的刻度是58°，则∠ACD 的度数为 ．9．如图，点O 为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D 在BA 的延长线上，AD=AC ，则∠D= ．10．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 在格点上，则∠AED 的正切值为 ．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= ． 三．解答题1.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？O BA CP30°B ANOMP OBA C y xM2．如图，已知AB=AC ，∠APC=60°（1）求证：△ABC 是等边三角形． （2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．3．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．4．已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED=EC ． （1）求证：AB=AC ； （2）若AB=4，BC=2，求CD 的长．能力拓展1.如图所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（ ） A.2 B.1 C.2 D.222．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD （1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．6．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．（1）求证：△ABD为等腰三角形．（2）求证：AC•AF=DF•FE．7．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．课后巩固：1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°AODBC2.如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=__________度。
角的认识与计算
角的认识与计算角是几何学中的重要概念，它是由两条射线共同起点形成的图形。
在我们的日常生活中，角无处不在，它们存在于我们的眼睛中，存在于自然界的各个角落中。
而对于我们来说，了解角的认识和计算是非常重要的。
首先，我们来探讨一下角的认识。
角可以分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。
锐角是指小于90度的角，直角是指恰好是90度的角，钝角是指大于90度小于180度的角，而平角则是指恰好是180度的角。
这些角的特点不同，反映了不同的几何关系和物理现象。
在日常生活中，我们可以通过观察和测量来认识角。
例如，我们可以通过两根木棍的交叉点来形成一个角，并用量角器来测量它的大小。
通过这样的实践，我们可以更好地理解角的概念，并将其应用于实际问题中。
接下来，让我们来讨论一下角的计算。
在几何学中，有许多方法可以计算角的大小。
最常见的方法是使用三角函数。
三角函数是一个数学函数，它与角的关系密切相关。
其中，最常用的三角函数是正弦、余弦和正切函数。
正弦函数（sin）是指一个角的对边与斜边的比值，余弦函数（cos）是指一个角的邻边与斜边的比值，而正切函数（tan）是指一个角的对边与邻边的比值。
通过使用这些函数，我们可以计算出给定角的大小。
除了三角函数，还有其他方法可以计算角的大小。
例如，我们可以使用角度的度数来计算角的大小。
度数是指一个角所占据的圆的弧度比例。
一个完整的圆有360度，因此我们可以通过度数来表示一个角的大小。
通过将角度转换为弧度，我们可以进行更精确的计算。
此外，我们还可以使用直角三角形来计算角的大小。
在直角三角形中，一个角是90度，而其他两个角的大小可以通过三角函数来计算。
通过使用直角三角形的特性，我们可以计算出一个角的大小，并将其应用于其他几何问题中。
角的认识与计算是几何学中的重要内容。
通过了解角的不同类型和特点，我们可以更好地理解几何关系和物理现象。
通过使用三角函数、度数和直角三角形等方法，我们可以计算出给定角的大小。
弧、弦、圆心角、圆周角—知识讲解
弧、弦、圆心角、圆周角一知识讲解(提高)责编：常春芳【学习目标】1・了解圆心角、圆周角的槪念；2.理解圆周角泄理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组疑：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.【要点梳理】知识点一、弧、弦、圆心角的关系1•圆心角定义如图所示，ZAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.2.定理；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.3推论：在同圆或等圆中，如果两条孤相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.(2)注意泄理中不能忽视"同圆或等圆”这一前提.知识点二、圆周角1.圆周角定义：像图中ZAEB、ZADB、ZACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上：②角的两边都和圆相交.（2）圆周角左理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4. 圆内接四边形：（1） 泄义：圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.（2） 性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）.5. 弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何疑之间是相互关联的，即它们中间只要有一组疑 相等，（例如圆心角相等），那么其它各组量也分别相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的呱也分别 相等）.*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】 证法一：如图①，••• AB=CD, ••• AB = CD.:.AB-BD = CD-BD,即 AD = BC.:.AD=BC ・证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、0D,V AB=CD, :. ZAOB = ZCOD ・••• ZAOB 一 ZDOB = ZCOD- ZDOB, 即ZAOD= ZBOC, ••• AD=BC ・【点评】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而 图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理.本题主要是考査弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD = BC,只需证AD = BC 或iiEZAOD=ZBOC 即可.举一反三：【变式】如图所示，已知AB 是00的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM 丄AB, DN 丄AB.求证：AC = BD ・类型一、圆心角.弧.弦之间的关系及应用【答案与解析】【答案】证法一：如上图所示，连OC 、0D,贝lj OC=OD,••• OA=OB> 且OM =-O\. ON = -OB 9 2 2••• OM=ON,而 CM 丄AB, DN 丄AB,••• RtACOM^RtADON,••• ZCOM=ZDON ・.・.AC = BD.证法二：如下图，连AC 、BD. OC 、OD ・ ••• M 是AO 的中点，且CM 丄AB,••• AC=OC,同理BD=OD,又0C=OD ・••• AC = BD,••• AC = BD ・类型二、圆周角定理及应用（2隔南京二模）如图，g OB 是。
圆中的角
圆中的角的知识点及应用
一、知识点
1、圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
2、弧、弦圆心角定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余两组量也相等。
3、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角。
4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
5、圆周角定理的推论（一）：同弧或等弧所对的圆周角相等。
6、圆周角定理的推论（二）：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
7、圆内接四边形的对角互补。
二、练习巩固
1、如图1所示，点A ，B ，C ，D 在同一圆上，四边形ABCD 的 对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些角是相等的角？ 哪些角互补？
2、如图2所示，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，已知 ∠BOC=700，AD ∥OC ，求证：D C C B 。
3、如图3，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，求证：△ADE ∽△CBE.
4、如图4，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠ABC=90°,AD=3，CD=2， 则⊙O 的直径的长是 。
5、.如图，点B ，A ，C ，D 在⊙O 上，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC=
C
D 图1
B 图2 图3 ·
O
A B D C E 图5。
认识角的概念和分类学习测量角度的方法
认识角的概念和分类学习测量角度的方法角是几何学中重要的概念之一，它被广泛应用于数学、物理和工程等领域。
本文将介绍角的概念及其分类，并详细探讨学习测量角度的方法。
一、角的概念角是由两条射线共享一个公共端点所形成的图形。
公共端点称为顶点，两条射线称为边。
角可以通过它们的顶点来命名，通常使用大写字母表示，例如∠ABC。
根据角的大小，可以将其分为三种不同的类型：锐角、直角和钝角。
锐角指小于90度的角，直角是90度的角，而钝角则大于90度但小于180度的角。
除了这三个主要的角度类型外，还有其他特殊类型的角，如周角（度数为360度）、零角（度数为0度）以及备选角。
二、角的分类根据角的特征和性质，角可以进一步进行分类：1. 对锐角的分类：根据锐角所在的象限，可以将其分为5种不同类型。
第一象限角是指顶点在坐标系第一象限内，第二象限角是指顶点在坐标系第二象限内，以此类推，第五象限角则是指顶点在坐标系第五象限内。
2. 对直角的分类：直角可以分为两个互补角，即一个角度为90度，而另一个是180度减去这个角度的补角。
两个互补角的和为180度。
3. 对钝角的分类：钝角可以分为两个补角，即一个角度大于90度，而另一个是180度减去这个角度的补角。
两个补角的和为180度。
4. 对周角的分类：周角表示一圈，其度数为360度。
周角可以等分为多个相等的角，每个角的度数则为360度除以等分的个数。
三、测量角度的方法测量角度是几何学中的基本技能之一，以下列举一些常用的测量角度的方法：1. 使用量角器：量角器是测量角度的主要工具之一。
它通常由可旋转的半圆形弧线和标度组成。
将量角器的顶点对准所需测量角的顶点，然后读取弧线上标度对应的度数，即可得到角的大小。
2. 使用直尺和刻度尺：直尺和刻度尺是另一种测量角度的方法。
将直尺和刻度尺的一条边与角的一条边对齐，再延长直尺和刻度尺的另一条边，取交点，即可得到角的度数。
3. 使用分度圆：分度圆是一个圆形的盘状工具，其边缘被刻上360个等分的度数。
角的认识与分类
角的认识与分类角是几何学中常见的概念，它是由两条射线共同分割出的一个区域，我们可以通过角的大小和位置来进行分类和认识。
本文将介绍角的概念、角的大小以及常见的角的分类方法。
一、角的概念角是由两条射线共同分割出的一个区域，其中一条射线称为角的边，另一条射线称为角的顶点。
可以将角表示为∠ABC，其中A为角的顶点，B、C为角的边。
二、角的大小角的大小通常用度来表示，符号为°。
一个完整的圆周有360°，因此角的大小也不会超过360°。
根据角的大小，我们可以将角分为以下几种类型：1. 零角（0°）：两条射线重合，没有分割出任何区域。
2. 锐角（小于90°）：角的两个边在射线的同侧，形成一个尖角。
3. 直角（90°）：角的两个边与射线形成一个直角，相互垂直。
4. 钝角（大于90°小于180°）：角的两个边在射线的异侧，形成一个开口向外的角。
5. 平角（180°）：角的两个边与射线形成一条直线，相互平行。
三、角的分类方法除了按照角的大小分类外，角还可以按照其他特征进行分类。
1. 锐角、直角和钝角是根据角的大小分类的，它们是角的基本分类。
2. 锐角可以进一步分为锐钝角和锐直角。
3. 钝角可以进一步分为钝直角和钝钝角。
4. 正角：小于180°的角，且是锐角或直角。
5. 负角：大于180°小于360°的角。
除了以上基本的角的分类方法外，角还可以根据角的位置进行分类，如内角、外角、相邻角、对顶角等。
这些分类方法可以帮助我们更好地理解角的相关性质和应用。
四、结语通过学习角的概念和分类，我们可以更好地认识和理解角的性质。
角在几何学中有着广泛的应用，可以用于解决各种实际问题。
在实际应用中，我们可以通过角的大小和位置关系进行判断和推理，进一步拓展了几何学的应用范围。
总结起来，角是由两条射线所夹的区域，可以通过大小和位置进行分类。
数学角的认识
数学角的认识
数学中的角是指由两条射线或线段所夹成的部分。
角可以用度数、弧度或梯度来度量。
度数是最常用的角度单位，以符号°表示。
一个完整的圆周有360°，每个角度可以用一个数字来表示，如30°、90°等。
除了度数，角还可以用弧度来度量。
弧度是指半径长度相等的圆弧所对应的角。
一个完整的圆周的弧度为2π。
数学中，弧度常用符号rad 表示。
弧度与度数之间的转换公式是：弧度= (度数* π) / 180。
弧度的优势是可以更方便地进行三角函数的运算。
另外，还有一种角度单位是梯度。
梯度是以直角为基准的角度单位，一个直角为100梯度。
一个完整的圆周的梯度为400。
梯度通常用符号grad表示。
角还可以分为几个不同的类型。
锐角是小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°但小于180°的角，而平角是等于180°的角。
此外，两个角的和等于一个直角被称为互补角，两个角的和等于一个平角被称为补角。
角在数学和几何中扮演着重要的角色。
它们被广泛应用于三角函数、
三角比例、图形的测量和建模等领域。
了解和理解角度的概念对于解决各种数学问题和实际应用是至关重要的。
圆中关于角的定理
圆中关于角的定理好吧，今天我们来聊聊一个有趣又重要的数学概念——圆中关于角的定理。
听起来是不是有点拗口？别担心，咱们慢慢来，边聊边学，绝对不会让你打瞌睡。
圆这个东西，大家都不陌生，像个大披萨，有圆心、半径、直径，各种各样的线条在里面穿来穿去，就像一场舞会，大家都在跳舞。
然后，关于角的定理，其实就是在说，圆里面的角和它的弦、弦所对的圆周之间的那些有趣关系。
哎，听起来像是要上数学课了，但其实这就是一个大大的秘密，听了你就会觉得，哇，原来数学可以这么有意思。
想象一下，有一天你在草地上画一个大圆，旁边还有你的好朋友们，大家一起围着这个圆圈子。
你们都在讨论，哎，这个角看起来咋样？如果这个角是个圆心角，那它就特别特别重要，恰如你在聚会上唱的那首歌，吸引所有人的目光。
圆心角的特点就是它的顶点在圆心，边就是从圆心指向圆周的两条线。
嘿，这个角的大小跟圆周上的那条弦有直接的关系，弦越长，角度就越大。
说白了，弦就是这场舞会的主角，越长的舞步，舞动的姿势就越优雅。
再说说弦所对的圆周角，听起来是不是有点高大上？其实就是指从圆周上看，连着这条弦的两个点形成的角。
这个角可有意思了！它的大小总是和那条弦相对应，但却总是比圆心角小一半，像极了那种永远跟不上主流的影子。
就像你在朋友的聚会中，哪怕你跳得再好，那个风头正劲的人总会让你觉得有点小失落，但你也知道，自己才是真正的“老炮”。
说到底，圆周角的秘密就是，它和弦的长度紧紧相连，弦越长，圆周角的范围也就越大，但永远不会超过圆心角的一半。
啧啧，听起来真是太妙了。
还有一个超级好玩的现象，那就是同弦所对的圆周角。
想象一下，在这个圆里面，有两条弦是一样长的，这就好比是你和朋友两人穿着相同的T恤，走在大街上，吸引了所有路人的目光。
这两条弦所对的圆周角是完全相等的，真的是没得说，简直就是天注定的好搭档。
这就像两个好朋友，无论走到哪里，永远都是形影不离，谁也离不开谁。
你只要记住这个定理，就能轻松搞定很多圆周上的角的题目，真是简直太赞了。
《角的分类》 讲义
《角的分类》讲义一、角的定义在数学中，角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形。
这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。
角通常用符号“∠”来表示，如∠AOB ，其中 O 为顶点，OA 和 OB 为边。
角的大小与边的长短无关，而是取决于两条边张开的程度。
张开得越大，角就越大；张开得越小，角就越小。
二、角的度量单位为了准确度量角的大小，我们使用度作为角的度量单位。
将圆平均分成 360 等份，每一份所对的角的大小就是 1 度，记作 1°。
除了度，还有分和秒这两个较小的角的度量单位。
1 度＝ 60 分，1 分＝ 60 秒。
我们可以使用量角器来测量角的度数。
量角器是半圆形的，半圆所在的直径就是量角器的零刻度线，在量角器上标有内圈刻度和外圈刻度。
测量角时，要把量角器的中心与角的顶点重合，零刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。
三、角的分类1、锐角锐角是指大于 0°而小于 90°的角。
比如 30°、45°、60°的角都是锐角。
锐角的两条边张开的程度较小，角的形状比较尖锐。
2、直角直角是指等于 90°的角。
我们生活中有很多直角的例子，比如长方形的四个角都是直角。
可以使用三角尺上的直角来判断一个角是否为直角，如果一个角与三角尺上的直角完全重合，那么这个角就是直角。
3、钝角钝角是指大于90°而小于180°的角。
例如120°、150°的角都是钝角。
钝角的两条边张开的程度比直角大，但小于平角。
4、平角平角等于 180°。
当一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角就是平角。
平角的两条边在同一条直线上，但并不是一条直线。
5、周角周角等于 360°。
一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角就是周角。
周角的两条边完全重合。
6.认识图形-认识角(教案)-2023-2024学年二年级下册数学北师大版
授课内容
授课时数
授课班级
授课人数
授课地点
授课时间
教材分析
本节课的内容是“认识角”，属于2023-2024学年二年级下册数学北师大版。课程主要让学生通过观察、操作和实际体验来认识角的概念，了解角的基本特征，并能够辨认不同类型的角。本节课旨在培养学生的观察能力、动手能力和逻辑思维能力，为后续学习角的性质和计算打下基础。
学情分析
首先，在认知特点方面，二年级学生正处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们擅长通过直观的图像和实物来理解和掌握新知识。因此，在教学过程中，教师需要充分利用实物、图片和模型等教学资源，帮助学生建立起对角的概念和特征的直观认识。
其次，在行为习惯方面，二年级学生通常具有较好的学习兴趣和好奇心，他们愿意尝试新事物，并且喜欢通过动手操作来探索世界。因此，教师可以设计一些有趣的实践活动，如折纸、剪纸等，让学生在动手操作中感受角的特点和魅力。
2.教学活动：为了促进学生的参与和互动，本节课设计了以下教学活动：
（1）角色扮演：学生分组，每组扮演一个角的角色，通过动作和语言展示角的特征，如锐角、直角和钝角。
（2）实验：学生通过折纸、剪纸等动手操作，制作出不同类型的角，观察和比较它们的特征。
（3）游戏：设计一个角的认识和分类的游戏，学生通过游戏中的互动和竞争，加深对角的认识和理解。
强调角的重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
（四）巩固练习（预计用时：5分钟）
随堂练习：
随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对角知识的掌握情况。
鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决角问题。
错题订正：
针对学生在随堂练习中出现的角错误，进行及时订正和讲解。
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B：30
C：20
D：15
练4-2.如图，A、B、C、D为⊙O上的点，DC = AB，
则AD与BC的大小关系为_______．
附加题：
1.如图所示,BC为 ⊙ O的直径,弦AD⊥BC于E,∠C = 60 .求证:△ABD为等边三角形.
2.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB = 30 ，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF 与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE + FH的最大值为_________．
练2-1.(1)如图，已知∠AOC = 150 ，则∠ABC = （ ）
A：105
B：120
C：135
D：150
(2)已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOB = 60 ，则∠ACB = ________．
练2-2.(1)圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2: 3: 7，则∠D的度数为________．
(2)如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥OC，∠OAB = 25 ，则∠B = _________．
(3)如图所示，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠C = 40 ，则∠ABD = _______．
练1-2.(1)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OCB = 60 ，则∠BAC = _________．
圆中的角
【知识点一】圆—圆周角定理及推论
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角如图， AOB是圆心角
弧度：把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是 ， 的圆心角对着 的弧，即圆心角的度数等于弧度数.
圆周角的概念：顶点在圆上并且两边都与圆相交的角如图， BAC是圆周角.圆周角定义的两个特征：①顶点在圆上②两边都与圆相交
练习：如图， APB是圆周角的是（）
圆周角定理：
圆周角定理：同弧所对的圆周角的度数等于圆心角的度数的一半.
几何语言： AOB是弧AB所对的圆心角， ACB是弧AB所对的圆周角
APB=
练习：求出下列图形的 1
圆周角定理的证明：
①圆心O在 BAC的一条边上（证明提示：外角定理）
②圆心O在 BAC的内部（证明提示：外角定理）
（2）如图，△ABC中，AB = AC，以AB为直径的半圆交BC、AC于D、E，已知DE为40 ，则∠A =_________．
例2.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠B = 60 ，则∠ADC = ________．
(2)圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3: 4: 6，则∠D的度数为______．
③圆心O在 BAC的外部（证明提示：外角定理）
圆周角定理的推论：
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等
如图①， 1= 3, 2= 4
逆命题：在同圆或等圆中，相同圆周角所对的弧相等
如图②在⊙O中，若 BAC= DFE，则有
推论2:半圆(或直径)所对的圆周是直角， 90 圆周角所对的弦是直径，
如图③在⊙O中，若AB为直径，则 ACB= 90 .巧记：直径对直角，直角对直径.
(2)已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOC = 120 ，则∠ABC = ________．
例3.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）.
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长.
练3-1.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧AD上（不与A、D点重合）．若⊙O的半径为1，则 的值为（ ）
如图，由圆的旋转对称性，若两个圆心角相等，则这两个角所对的两段
弧相等，两条弦也相等.
过点0分别作AB、CD的垂线段，则称这两条垂线段的长度为弦AB、CD
对应的弦心距. 易知弦心距也相等.
事实上，同圆或等圆中，这五者：
①圆心角相等 ②弧相等 ③弦相等 ④圆周角相等 ⑤弦心距相等 知一得四
思考：想一想，圆的内接四边形若是梯形，则一定是等腰梯形么？为相交于点E，若∠ACD = 50 ，则∠DAB = _______．
(4)如图，⊙A经过坐标系的原点，与x轴交于点B(8,0)，与y轴交于点C(0,6)，则⊙A的半径为_________．
练1-1.(1)如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B = 60 ，则∠ACO = _________．
例4.（1）如图，在⊙O中， ，∠A = 40 ，则∠B的度数为___________．
(2)已知六边形ABCDEF是⊙O的内接六边形，且AB = BC = CD，DE = EF = FA．
求证：∠BAF = ∠CDE = 120 ．
练4-1.如图，在⊙O中， ，∠AOB = 40 ，则∠ADC的度数是（ ）
A：2
B：4
C：6
D：8
练3-2.如图，等边三角形ABC内接于半径为4的⊙O，则三角形ABC的边长为（ ）
A：
B：4
C：
D：6
【知识点二】弧弦角距的关系
数学来源于生活
想一想，茶杯的盖子为什么要做成圆的呢？
分析：由圆的旋转对称性，旋转盖子任意角度后还和原来一样.
思考：进一步，在同圆中，两个相等的圆心角所对的两段弧、弦有什么关系？
练习：如图，已知AC为⊙O的直径， BAC= 50 ，则 D=.
分析：连接BC
注意：构造直径所对的圆周角得直角.
例1.（1）如图，A、B均为⊙O上一点，若∠AOB = 80 ，则∠ACB = （ ）
A：80
B：70
C：60
D：40
（2）如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B = 22 ，则∠A = ________．