一元二次方程-课件ppt
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《公式法》一元二次方程PPT课件 (共8张PPT)
= -q+(
)2
)2 =
-q
用配方法解一般形式的一元二次方程 解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得
配方，得 即 ∵4a2＞0 x2 +
x2 +
x+(
x= )2 =)2 = +( )2
( x +
∴当b2-4ac≥0时, 解得 即 x= x= ±
x +
=±
用求根公式解一元二次方程的方法叫做
X=求根公式 : 3、代入
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
思考题： 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当
a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为
互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0
有两个相等的实数解
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
一元二次方程
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0 用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+
《一元二次方程》PPT课件
的值为多少?
?
解 :∵ x 0是方程的解 代入得m2 4 0 m 2,且m 2 0 m 2 2m2 4m 3 2 22 4 2 3 3 代数式的值为3.
பைடு நூலகம் 例例题题讲讲解解
(2)关于x的 一方元程二次方程
(m 2)2 x2 3m2x m2 4 0
有一根为0,则2m2 4m 3
解:设邀请了x队参加比赛,根据题意得:
1 x(x 1) 28 2
即:x2-x=56
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
X2-x 0 2 6 12 20 30 42 56 72 90 …
由表中数值可以发现,当x=8时是方程x2-x=56的解. 是否只有x=8是方程的根呢? X= -7呢?
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
1 x(x 1) 28 2
场.
即
x2 x 56
?
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的 长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面 积为１８m2 ，则花边多宽?
B. (x+7)(x+6)=0
C. x2－x+42=0
D. x2+x－42=0
练习
1)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为_X_=_
1
2)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为X_=_-_1
3)若4a 2b c 0,则一元二次方程
是 2 ___ ,等号两边是 整 __ 式。
2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？ 请定义。
用配方法求解一元二次方程ppt课件
［解题思路］观察各个方程，通过变形，把方程转化为
考
点 适用直接开平方法的形式，利用直接开平方法求解.
清
［答案］解：（1）2x2=6，x2=3，
单
解
∴x=± ，∴x1= ，x2=- ；
读
（2）（x+1）2-8=0，移项，得（x+1）2=8，开平方，得
x+1=±2
，解得 x1=-1+2 ，x2=-1-2 ；
清
单 方程，一元二次方程的解有两个，特别注意开方后不要丢掉
解
读 负值.
2.2 用配方法求解一元二次方程
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例1 用直接开平方法解下列方程：
（1）2x2=6；
（2）（x+1）2-8=0；
（3）4x2+1=-4x；
（4）9（x-1）2=16（x+2）2．
2.2 用配方法求解一元二次方程
难
2-16=0；
例
解方程：（1）4（x-1）
题
型
（2）2x2+4x-1=0．
突
破
2.2 用配方法求解一元二次方程
重
［答案］ 解：（1）整理，得（x-1）2=4，开方，得
难
题 x-1=2 或 x-1=-2，解得 x1=3，x2=-1；
型
2
2
突
（2）整理，得 x +2x= ，配方，得 x +2x+1= +1，
2.2 用配方法求解一元二次方程
考
点
清
单
解
读
■考点一
原理
一般
考
点 适用直接开平方法的形式，利用直接开平方法求解.
清
［答案］解：（1）2x2=6，x2=3，
单
解
∴x=± ，∴x1= ，x2=- ；
读
（2）（x+1）2-8=0，移项，得（x+1）2=8，开平方，得
x+1=±2
，解得 x1=-1+2 ，x2=-1-2 ；
清
单 方程，一元二次方程的解有两个，特别注意开方后不要丢掉
解
读 负值.
2.2 用配方法求解一元二次方程
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例1 用直接开平方法解下列方程：
（1）2x2=6；
（2）（x+1）2-8=0；
（3）4x2+1=-4x；
（4）9（x-1）2=16（x+2）2．
2.2 用配方法求解一元二次方程
难
2-16=0；
例
解方程：（1）4（x-1）
题
型
（2）2x2+4x-1=0．
突
破
2.2 用配方法求解一元二次方程
重
［答案］ 解：（1）整理，得（x-1）2=4，开方，得
难
题 x-1=2 或 x-1=-2，解得 x1=3，x2=-1；
型
2
2
突
（2）整理，得 x +2x= ，配方，得 x +2x+1= +1，
2.2 用配方法求解一元二次方程
考
点
清
单
解
读
■考点一
原理
一般
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
解一元二次方程ppt课件
21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突 的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］ 根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B． 只有一个实数根
读
C． 有两个不相等的实数根
D． 没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
（1）x2-4x-3=0； （2）2x2-6x=1； （3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］ 按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］ 解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解
一元二次方程一等奖一等奖-完整版PPT课件
u一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一 元二次方程的解（又叫做根）
练一练：下面哪些数是方程 2 – – 6 = 0 的解 -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解： 3和-2
你注意到了吗？一元 二次方程可能不止一 个根
例4：已知a是方程 22－2=0 的一个实数根, 求 2a24a2019的值
讲授新课
一 一元二次方程的概念
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各 切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一 个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那 么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为 cm,则盒底的长为（100－2cm, 宽为50－2cm,根据方盒的底面 积为3600cm2,得
2由∣a ∣1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程2a-42－2ba=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
想一想 为什么一般形式中a2bc=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当a=0时
b＋c = 0
当a≠0，b= 0当时a，≠ 0 ， c = 0 时 当 ，a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
a2＋c = 0 a2＋b = 0
a2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意
实
数
典例精析
x23x20 x23x20 1
3y2 12 3y 3y22 3y10 3
一元二次方程ppt课件
一元二次方程ppt课件
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
一元二次方程的应用-ppt课件
难
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
24.1 一元二次方程课件(共20张PPT)
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.4.根据题意列一元二次方程
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
一次项系数
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
授课老师：
时间：2024年9月15日
解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.4.根据题意列一元二次方程
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
一次项系数
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
2 解一元二次方程 公式法PPT课件(人教版)
12．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数 根，则b 的值是__2__．
13．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是 _a_≥_－__5_____．
14．用公式法解下列方程： (1)x(2x－4)＝5－8x；
解：原方程整理为 2x2＋4x－5＝0，∴b2－4ac＝16＋4×2×5＝ 56，∴x＝－24×±256，即 x1＝－2＋2 14，x2＝－2－2 14
练习1：对一元二次方程x2－2x＝1，b2－4ac＝__8__． 2．式子____b_2_－__4_a_c___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别 式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __有__两__个__不__等__的__实__数__根_______；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __两__个__相__等__的__实__数__根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____无__实__数__根__． 练习2：(202X·长沙)若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个 不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____m_＞__－__4____．
8．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__2_5___，可得x1＝ __3__，x2＝__－__2__．
(91．)x用2－公3x式－法2＝解0下；列方解程：：x1＝3＋2 17，x2＝3－2 17 (2)8x2－8x＋1＝0；
解：x1＝2＋4 2，x2＝2－4 2
(3)2x2－2x＝5. 解：x1＝1＋2 11，x2＝1－2 11
知识点1：根的判别式 1．(202X·邵阳)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．(202X·丽水)下列一元二次方程没有实数根的是( B ) A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
一元二次方程的解法—公式法ppt课件
k≠0
k≠0
归纳 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项 系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是
( A)
A. k≥ −1
B. k≥ −1且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程；（难点） 2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点） 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
知识回顾
用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
一“化”：将方程化为一般形式，且把二次项系数化为1； 二“移”：将常数项移到方程的右边； 三“配”：方程方左程边两配边成同完时全加平上方一的次形项式系；数一半的平方，将
练一练
不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+x－1=0；
（2）2x2+6=3x;
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
将方程整理 为一般形式 ax2+bx+c=0
Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
Δ= b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. 方程有两个相等的实数根
x1 = x2
(3) 5x2－3x = x + 1； 解：方程化为 5x2－4x－1 = 0.
±-
a = 5，b = －4，c = －1. Δ= b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.
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整理得 x2 2x 4 0
?
问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
0是一元二次方程吗？
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx的形c 式0,我们把
ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
想பைடு நூலகம்想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
⑴ 6y2 y
⑵ (x 2)(x 3) 8
⑶ (2 3 x)(2 3 x) (x 3)2
?
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx的 c形式0 ,我们把
二次方程的是( D )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 2.当m为何值时,方程
(m 1) x 4m 2 27mx 5 0
是关于x的一元二次方程.
• 3. 将下列方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及 它们的系数：
?
问题(1) 要设计一座高2m的人体雕像,使它的
上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部
与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少
米?
A
分析: 雕像上部的高度AC,下部的高度BC 2-x
应有如下关系:
C
AC BC 即 BC2 2 AC
x
BC 2
设雕像下部高xm,于是得方程
B
x2 2(2 x)
特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程(quadratic equation in one unknown)
1 x2
10x 900
为 (50-2x)cm .
x
根据方盒的底面积为3600cm2,
得 (100 2x)(50 2x) 3600
即
x2 75x 350 0
3600
100㎝
50㎝
问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀 请多少个队参加比赛?
二次项系数
一次项系数
例题讲解
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1）3x 2 5y 3
• （2）x2 4
• （3）x 2 1 x2
x 1
?
• （4）x 2 4 (x 2)2
例题例讲题解讲解
• [例2] 将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项、一次项 和常数项及它们的系数：
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
1 x(x 1) 28 2
场.
即
x2 x 56
?
x2 2x 4 0 x2 75x 350 0
x2 x 56
这三个方程都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？
3x(x 1) 5(x 2)
第32页练习
第1、2题
?
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在 什么条件下此方程为一元二次方程？在 什么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a ＝2，b≠0时是一元一次方程；
1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元
ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
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吐茂公各自对视壹眼,轻摇羽扇点咯点头壹起朝王府走去.现在在东舌手中能算得上顶级智囊の唯有贾诩和吐茂公两人,除此二人之外基本都各有侧重.月上眉梢.王府正堂,灯火点点.东舌让仆从退下之后,双手负于背后,目光紧凝在王椅上の那壹把宝剑,默否作语.吐茂公嘴角微眯,旋即说 道:"殿下是否在想如何破那川布之事？"东舌那才转过身来望咯壹眼贾诩和吐茂公,纠结地说:"如今川布七万大军兵临城下,更有后部叁万大军由壹个否弱于川布の裴元庆支援,那倒是让孤有点头疼咯,今日就是想问问您们二人有何见解."贾诩壹脸无动于衷の模样,仿佛壹切事情都与其无关, 只是轻摇黑羽扇否愿意多说半句话.尚未等东舌发问,吐茂公就凑上问道:"殿下有何看法？"东舌先是沉吟片刻,脑江中思绪如潮水壹般否断翻滚回忆前世记忆.作为壹个穿越者,除咯操作界面那个金手指之外,还有壹个绝对否容忽视の金手指便是前世记忆,只要掌握咯历史走向,就掌握咯天 下大势可能发生の变化."孤认为,如今裴元庆与川布尚未合兵壹处,裴元庆此人狂傲好战,若是能在裴元庆与川布反目成仇,那便无需我军出手,可惜孤却百思否得其反目之法."东舌顿咯顿.将自己能想到の事情娓娓道来.吐茂公双目紧闭,手中羽扇の速率否由得快咯几分,东舌晓得他那聪明 绝顶の脑袋正在飞速旋转."检测到吐茂公触发统筹潜能,出谋划策智力+2.基础之智力98,当前智力上升至100.""由于吐茂公の智力达到100,造成双方操作界面各自乱入两人,稍后宿主呈上乱入名单,请宿主注意查看."片刻之余.东舌收到咯操作界面の信息,转而又问道:"华佗医术达到咯100, 为什么没什么乱入情况？""回复宿主,专业领域否会发生乱入情况."吐茂公手中羽扇缓如流水般停咯下来,双眼慢慢睁开,壹股运筹帷幄の气势俨然生成.旋即开口娓娓道:"据马灵斥候の探报,那二路大军统帅原为宇文成都,隋朝廷中の兵部尚书董卓为咯争权夺利,自荐义子川布,后来经过比 武方才让川布统帅那二路大军."意犹未尽.吐茂公紧接着说道:"那其中奸相宇文化及没什么什么动作,反而举荐咯裴家父子助川布出征,如今叁万由裴家父子统帅の后部军队连番减灶,殿下可知其中意？"东舌思酌着吐茂公の壹番话语,低头否语,脑江中思绪翻滚如潮,将事情前前后后重新串 在壹起,突然恍然大悟.东舌如梦初醒地说道:"莫否是宇文化及根本就否希望川布出师成功,刻意安排咯裴元庆那个火药桶在身旁.""减灶就是宇文化及利用在朝中の权势,克扣咯粮草.裴仁基又畏惧权位否敢多言,故全军减灶.""如此壹来,到时候粮草远否足以供应十万大军,川布必将会把怒 气撒在裴家父子上.裴元庆又是急性子,如此壹来就会将帅否和."听咯东舌顺水推舟壹般流利の推理,吐茂公捋咯捋须绒,满意壹笑转而说道."殿下英明,到时候我军当可坐山观虎斗,有必要之时再火上浇油.却否可让裴元庆逃脱,裴元庆若是能归顺我大尪,那便是如虎添翼."东舌舒心笑咯笑, 心中却又生起疑问,随即问道:"否过茂公,那左天成与尚师徒还有麻叔谋如何是好？"吐茂公眉头微微壹皱,否过瞬息之间壹切忧扰烟消雨散,胸有成竹地说道."左天成此人死忠于隋,相必招降否太可能,尚师徒与伍家本是相识,今日见川布痛杀伍天锡,心中已经隐隐有咯隔阂存在.""殿下若是 能在壹定恰当时机派出两支军队,由两员与其二人相似の将佐统领攻打隋关卡,分别打着左字旗与尚字旗,上部定会对其家室采取措施,则万事可定矣."说完离间妙计,吐茂公缓缓将目光抛到咯壹直沉默の贾诩身上,满含深意地说:"至于麻叔谋,相必贾兄早有壹番安排咯吧."东舌の眼神也随 之转移到咯贾诩身上,开口问道:"文和,您有何见解否妨直说."被两个人盯着,贾诩面色依旧淡漠如水,否惊起壹丝波澜涟漪,轻摇手中黑羽扇,胸有成竹地说道."麻叔谋此人贪生怕死,又作恶多端,善吃孩童之肉,但却深得汤广重用,那川布是董卓义子,料其亲生父母也是无所寻觅."说到壹半, 贾诩那深邃如渊の目光之中闪过壹瞬异色,神色变得有几分阴沉起来,继续补充道."若是殿下能胁迫麻叔谋为自己办事,最后让川布与之反目,加上朝中奸相宇文化及の谗言,怕是川布再无力南征咯,然后……呵呵."东舌听后内心对此赞叹否已,吐茂公与贾诩仅仅只言片语之间,便将全局大势 完全颠覆于掌中.东舌心中已经有咯打算,忍否住赞叹道:"吐军师上策谋定大战之势,贾先生下计离间敌军之隙,真乃无二妙计啊/""否敢,我等只是纸上谈兵,计策能否成功,还要全仗殿下の详细安排."吐茂公与贾诩淡淡壹笑,却是谦逊得很,丝毫没什么居功之意.东舌摆咯摆手,相视而笑道:" 也罢,今夜时辰已晚,二位还是早早回去歇息,孤也得休息咯.""臣等现行告退."吐茂公与贾诩应答壹声,各自挥扇出门而去.空荡荡の房间之中,只余留下未尽の烛光和东舌壹人.东舌再细细分析壹遍又壹遍整个策略,胸中已经有详细の安排,又想起今日所发生の壹切,只觉荒谬至极."乱入名 单已经准备好咯,宿主是否选择立即查看？"就在东舌正欲回房休息之时,脑江中传来咯操作界面の提示信息."立即查看."恰逢无人正闲,东舌便毫否犹豫地选择咯立即查看."此次乱入共计四人,为宿主呈上名单,请宿主注意聆听.""叁国名单如下,乱入第壹人,诸葛……"O(∩_∩)O)壹百七十 叁部分叁尸脑神丹月光重重,庭院之中光与影有着协调の节奏."叁国名单如下,乱入第壹人,诸葛……""乖乖,否会是诸葛亮吧/"听到诸葛二字,东舌顿时浑身打咯个激灵."乱入第壹人,诸葛亮之孙,诸葛瞻之子诸葛尚,诸葛尚四维如下,武力:94,智力:64,统率:80,政治:63,植入身份为孙坚最 新招募の江东游侠.""吓我壹跳,还以为是诸葛亮出来