电磁场与电磁波习题及答案

1
麦克斯韦方程组的微分形式
是：.D H J t
∂∇⨯=+∂u v u u v u v ,B
E t ∂∇⨯=-∂u v u v ,0B ∇=u v g ,D ρ∇=u v g
2静电场的基本方程积分形式为：
C
E dl =⎰u v u u v g Ñ S D ds ρ
=⎰u v u u v
g Ñ
3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：
3.00n S n n n S
e e e e J ρ⎧⋅=⎪⋅=⎪⎨⨯=⎪⎪⨯=⎩D B E H r
r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是：
4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u
v u v
5电流连续性方程的微分形式为：
5.
J t ρ∂∇=-
∂r g
6电位满足的泊松方程为
2ρϕε∇=-
； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。

1
2ϕϕ= 1212n n εεεε∂∂=∂∂ 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理
论依据是: 唯一性定理。

8.电场强度E ϖ的单位是V/m ，电位移D ϖ
的单位是C/m2 。

9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ∇⨯=
ρ∇=g D ；
10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库
仑力作用外还将受到安培力作用
1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v
，并令
B A =∇⨯u v u v 的依据是（ 0B ∇=u v
g ）
2. “某处的电位0=ϕ，则该处的电场强度0=E ϖ
”
的说法是（错误的 ）。

3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln(
1
a
a
D C -=
πε ）。

4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。

5. N 个导体组成的系统的能量∑==N
i i
i q W 1
21φ，其中i
φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。

6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ）
7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。

8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。

8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。

10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。

三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值
三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为：
cos x m E e E t ω=r r
则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t
ωεεω∂==-∂r r r
其振幅值为：3
04510.dm r m m J E E ωεε-==⨯
传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ==
因此： 3112510.dm cm
J J -=⨯
四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。

试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。

（15分）
四、解：由高斯定理
D S u u v u u v g ÑS d q =⎰得24q
D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π==
空间的电场分布2
04D E e u u v u u v v
r
q r
επε==
导体球的电位
2
0044E l E r e r u
u v u u v v u u v g g g r
a
a
a
q
q U d d d r
a
πεπε∞∞∞====⎰⎰⎰
导体球的电容04q
C a U
πε=
=
五、两块无限大接地导体板分别置于x=0和x=a 处，其间在x=x0处有一面密度为σ2C/m 的均匀电荷分
布，如图所示。

求两导体板间的电场和电位。

（20分）
解：()2
102d 00;d x x x
ϕ=<<()22
02d 0
d x x a x
ϕ=<<
得：
()()11100;x C x D x x ϕ=+<< ()()222
0x C x D x x a ϕ=+<<
()()()()()()()()01221121020000,0;,
x x x x x x a x x x
x ϕϕϕϕσϕϕϕϕε=∂∂⎡⎤===-=-⎢⎥∂∂⎣⎦和满足得边界条件为
()010,x a C a
σε-=-
解得
10,D =020,x C a σε=-020x D σε=
()()
()01000,
a x x x x x a
σϕε-=所以≤≤
()()()02
00x a x x x x a a
σϕε-=≤≤ ()()()()
101100d 0d E e e u u v v v x x
x a x x x x x a
ϕσϕε-=-∇=-=-<<()()()20
2200d d E e e u u v v v x x
x x x x x a x a
ϕσϕε=-∇=-=<<
六、有一平行金属板电容器，极板面积为l ×b ，板间
距离为d ，用一块介质片（宽度为b 、厚度为d ，介电常数为ε）部分填充在两极板之间，如图所示。

设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。

六、解：平行板电容器的电容为：
()l x b bx
C d d
εε-=+所以电容器内的电场能量为：22
0001[()]
22e bU W CU l x x d εε==-+
由 e
i i
W F g ∂=
∂ϕ不变 可求得介质片受到的静电力为：02
00()2e
x U W b U F x
d
εε∂-=
=∂不变
1．旋度矢量的 恒等与零梯度矢量的 恒等与零。

2．在静电场中，导体表面的电荷密度σ与导体外的电
位函数ϕ满足 的关系式 。

3．极化介质体积内的束缚电荷密度与极化强度之间的关系式为 。

4．若密绕的线圈匝数为N ，则产生的磁通为单匝时的 倍，其自感为单匝的 倍。

5．如果将导波装置的两端短路，使电磁波在两端来回反
射以产生振荡的装置称为 。

6．电介质的极性分子在无外电场作用下，所有正、负电荷的作用中心不相重合，而形成电偶极子，但由于电偶极矩方向不规则，电偶极矩的矢量和为零。

在外电场作用下，极性分子的电矩发生________________，使电偶极矩的矢量和不再为零，而产生__________。

7．根据场的唯一性定理在静态场的边值问题中，只要满足给定的_______ 条件，则泊松方程或拉普拉斯方程的
解是__________。

8．谐振腔品质因素Q 定义为_______________。

9．在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随 改变的现象，称为色散效应。

10．在求解静电场的边值问题时，常常在所研究的区域之外，用一些假想的电荷代替场问题的边界，这种求解方法称为 法。

11．若电介质的分界面上没有自由电荷，则电场和电位
移应满足的边界条件分别为 ， 。

12．电磁波的恒定相位点推进的速度，称为 ，
而包络波上某一恒定相位点推进的速度称为 。

13在任何导波装置上传播的电磁波都可分为三种模式，它们分别是 波、 波和 波 判断题
1．应用分离变量法求解电、磁场问题时，要求整个场域内媒质必须是均匀、线性的。

（）
2．一个点电荷Q 放在球形高斯面中心处。

如果此电荷被移开原来的球心，但仍在球内，则通过这个球面的电通量将会改变。

（） 3．在线性磁介质中，由
I
L ψ
=
的关系可知，电感系数不
仅与导线的几何尺寸、材料特性有关，还与通过线圈的电流有关。

（ ）
4．电磁波垂直入射至两种媒质分界面时，反射系数ρ与透射系数τ之间的关系为1+ρ=τ。

（）
5．损耗媒质中的平面波，其电场强度和磁场强度在空间上互相垂直、时间上同相位。

（）
6.均匀平面波中的电场能量与磁场能量相等。

（） 7位移电流和传导电流都是电荷定向运动形成的。

（） 8．在时变电磁场中，只有传导电流与位移电流之和才是连续的。

（）
9．若有两个带电导体球的直径，与球间距离差不多，它们之间的静电力等于把每个球的电量集中于球心后所形
成的两个点电荷之间的静电力。

（）
第三套 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导
磁率为μ，则磁感应强度B ϖ
和磁场H ϖ满足的方程为： 。

2．设线性各向同性的均匀媒质中，02
=∇φ称为 方程。

3．时变电磁场中，数学表达式H E S ϖ
ϖϖ⨯=称为 。

4．在理想导体的表面， 的切向分量等于零。

5．矢量场)(r A ϖ
ϖ穿过闭合曲面S 的通量的表达式为：。

6．电磁波从一种媒质入射到理想 表面时，电磁波将发生全反射。

7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。

8．如果两个不等于零的矢量的 等于零，则此两个矢量必然相互垂直。

9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合 关系。

10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用 函数的旋度来表示。

11．已知麦克斯韦第二方程为t B E ∂∂-
=⨯∇ϖϖ，试说明其物理
意义，并写出方程的积分形式
11．答：意义：随时间变化的磁场可以产生电场。

其积分形式为：S d t B l d E C S
ϖϖ
ϖ
ϖ⋅∂∂-=⋅⎰⎰
12．试简述唯一性定理，并说明其意义。

12．答：在静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，这一定理称为唯一性定理。

它的意义：给出了定解的充要条件：既满足方程又满足边界条件的解是正确的。

13．什么是群速试写出群速与相速之间的关系式。

13．答：电磁波包络或能量的传播速度称为群速。

群速g v 与相速p v 的关系式为： ω
ωd dv v v v p p p g
-
=
1
14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义
14．答：位移电流：t D J d ∂∂=ϖϖ 位移电流产生磁效应代
表了变化的电场能够产生磁场，使麦克斯韦能够预言电磁场以波的形式传播，为现代通信打下理论基础。

三、计算题 （每小题10 分，共30分）
15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数y x e xz e
y B ˆˆ2+-=ϖ
是否是某区域的磁通量密度（2）如果是，求相应的电流分布。

解：（1）根据散度的表达式z
B y
B x
B B z y x ∂∂+
∂∂+∂∂=⋅∇ϖ将矢量函数B ϖ代入，显然有0=⋅∇B ϖ
故：该矢量函数为某
区域的磁通量密度。

（2）电流分布为：
()[]分）
（分）
（分）
（1ˆ2ˆ1
20
ˆˆˆ210
20
z x z y x e z y e
x xz
y z y x e
e e B
J ++-=-∂∂∂∂∂∂=⨯∇=μμϖϖ
16．矢量
z y x e ˆe ˆe
ˆA 32-+=ϖ
，
z y x e e e
B ˆˆ3ˆ5--=ϖ
，求（1）B A ϖϖ+（2）B A ϖϖ⋅ 解：1z y x e ˆe ˆe ˆB A 427--=+ϖ
ϖ 2103310=+-=⋅B
A ϖ
ϖ
17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为()
jkz y x e E e E e E --=004ˆ3ˆϖ
1.试写出其时间表达
式；2.说明电磁波的传播方向； 解：（1）该电场的时间表达式为：()()
t
j e E t z E ωϖϖRe ,=
()()()kz t E e E e
t z E y x --=ωcos 4ˆ3ˆ,00ϖ
由于相位因子为jkz
e
-，其等相位面在xoy 平面，传播
方向为z 轴方向。

18．均匀带电导体球，半径为a ，带电量为Q 。

试求球内任一点的电场球外任一点的电位移矢量 解：（1）导体内部没有电荷分布，电荷均匀分布在导
体表面，由高斯定理可知在球内处处有：0=⋅⎰S
S d D ϖ
ϖ
故球内任意一点的电位移矢量均为零，即 由于电荷均匀分布在a r =的导体球面上，故在a r >的球面上的电位移矢量的大小处处相等，方向为径向，
即r e
ˆD D 0=ϖ
，由高斯定理有Q S d D S
=⋅⎰ϖ
ϖ即
Q D r =024π整理可得：a r e ˆr
Q e ˆD D r
r >==204πϖ
19．设无限长直导线与矩形回路共面，（1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（画×）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。

解：建立如图坐标
通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面，即
为y e
ˆ方向。

在xoz 平面上离直导线距离为x 处的磁感应强度可由下式求出：⎰=⋅c
I l d B 0μϖϖ即：x I e ˆB y πμ20=ϖ 通过矩形回路中的磁通量
b d d
Ia dxdz x I S d B b
d d x /a /a z S
+=-=⋅=⎰
⎰⎰⎰+=-=ln 2202
2
0πμπμψϖϖ 20．解：（1）由于所求区域无源，电位函数满足拉普拉斯方程设：电位函数为()y ,x φ，满足方程：
()022222
=∂∂+∂∂=∇y
x y ,x φ
φφ（2）利用分离变量法：
()()()
y g x f y ,x =φ0
00222
2
22
2
2=+=+=+y x y x k k g k dy g d f k dx f d 根据边界条件
00===+∞
→==y a x x φ
φφ，()y ,x φ的通解可写为：
再由边界条件：
10
sin U x a n A n n y =⎪⎭⎫
⎝⎛=∑∞
==πφ
求得n A ()n πn U A n cos 120-=π
槽内的电位分布为
()()y
a n n e x a n n πn U y ,x π
ππ
φ-∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑
sin cos 12101．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ϖ和电场E ϖ
满足的方程为：。

2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介
电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位所满足的方为 。

3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。

4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等于零。

5．表达式
()S
d r A S
ϖ
ϖ
ϖ⋅⎰称为矢量场)(r A ϖϖ穿过闭合曲面S 的。

6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生 。

7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。

8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 。

9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 。

10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。

简述题 （每小题5分，共20分）
答：磁通连续性原理是指：磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零，或者是从闭合曲面S 穿出去的通量等于由S 外流入S 内的通量。

其数学表达式为：
0=⋅⎰S
S d B ϖ
ϖ
12．答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。

亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究。

13．答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电
a r E <=0ϖ
()y a
n n n e x a n A y x π
πφ-∞
=⎪⎭
⎫
⎝⎛=∑sin ,1
场。

方程的微分形式：t
B E ∂∂-=⨯∇ϖ
ϖ
14．答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所
描绘的轨迹称为极化。

极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。

15．矢量函数z x e yz e
yx A ˆˆ2
+-=ϖ， 试求（1）A ϖ⋅∇（2）A ϖ
⨯∇
解：1、分）
（分）（223y
xy z A y A x A A z y x +-=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ϖ 2 、 分）
（分）2ˆˆ3(0ˆˆˆ22
x e z e
yz
yx z y x e e
e
A z x z y x +=-∂∂∂∂∂∂
=
⨯∇ϖ
16．矢量z x e e A ˆ2ˆ2-=ϖ，y x e e B ˆˆ-=ϖ
，求
（1）B A ϖ
ϖ-（2）求出两矢量的夹角
解：1
()分）
（分）
2ˆ2ˆˆ3(ˆˆˆ2ˆ2z y x y x z x e e e
e e e e
B A -+=---=-ϖ
ϖ 2根据θcos AB B A =⋅ϖ
ϖ
()()2ˆˆˆ2ˆ2=-⋅-=⋅y x z x e e e e
B A ϖ
ϖ 2
12
222cos ==
θ 所以
ο60=θ
17．方程 给出一球族
解：（1）分）
（分）（22ˆ2ˆ2ˆ3ˆˆˆz e y e x e
z u
e y u e x u e
u z y x z y x
++=∂∂+∂∂+∂∂=∇（2）u u n ∇∇=
ˆ所5
2ˆˆ1644ˆ2ˆˆy x y x e e e e n +=
++=
18．放在坐标原点的点电荷在空间任一点r ϖ
（1）求出电力线方程；（2）画出电力线。

1()z e y e x e r q r r q e r q
E z y x r ˆˆˆ44ˆ43
03020++===
πεπεπεϖ
ϖ由力线方程得dz
z dy y dx x ==对上式积分得
y
C z x C y 21==式中，21,C C 为任意常数。

（2）电力线图18-2所示。

19．设点电荷位于金属直角劈上方，如图1所示，求
画出镜像电荷所在的位置直角劈任意一点),,(z y x 处的电位表达式 解：（1）镜像电荷所在的位置如图19-1所示。

（2）如图19-2所示任一点),,(z y x 处的电位为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=
4321011114r r r r q πεφ 其中，()()()()()()()()2
224222322222
22121212121z y x r z y x r z y x r z y x r +-++=
++++=+++-=
+-+-=
20．设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为：
)cos(0e t E E φω-=ϖ
ϖ)cos(0m t H H φω-=ϖϖ
写出电场强度和磁场强度的复数表达式
证明其坡印廷矢量的平均值为：
)cos(2
100m e av H E S φφ-⨯=ϖ
ϖϖ
解：1电场强度的复数表达式 e
j e
E E φ-=0ϖ
ϖ（电场强
度的复数表达式m
j e H H φ-=0
ϖ
ϖ
（2）据()
*
Re 2
1H E S av ϖϖϖ⨯=得
()
)
cos(2
1Re 2100)(00m e m e j av H E e H E S φφφφ-⨯=⨯=--ϖ
ϖϖϖϖ21．设沿z +方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波电场只有x 分量即
z j x e E e
E β-=0ˆϖ
求出反射波电场的表达式；求出区域1 媒质的波阻抗。

解：（1）设反射波电场z j r x r e E e
E βˆ=ϖ
区域1中的总电场为
)(ˆ0z j r z j x r e E e E e
E E ββ+=+-ϖ
ϖ 根据0=z 导体表面电场的切向分量等于零的边界条
件得0E E r -=
反射波电场的表达式为z j x r e E e
E β0ˆ-=ϖ
（2）媒质1的波阻抗0
0εμη= -2
图
图
q
-q
+q -
因而得
)(377120Ω==πη。