基于Timoshenko梁模型的车辆-轨道耦合系统垂向随机振动分析

szr ( x, t ) P ( x)exp(it )
(3)
g r ( x, ) Fd exp k1 x iFp exp ik2 x
式中

(7)
1
r
式中
r ( x, t ) r ( x, t ) z ( x , t ) EI GA r 2 2 x t x GAr ( x, t ) 0
( 2 ms kb )k p 2 ms k p kb
(5)

E 1
2 1
kt
2
mr GA ka 2
kB 4 1
mr 2 s EI
式中， ms 为轨枕质量， 为系统激励角频率。 设 g r ( x, ) 为轨道格林函数，表示当单位力作 用在位置 时， x 处的位移响应，其通过傅里叶变 换及留数法得到。结合式 (3) 、 (4) ，轨道格林函数 满足 4 I 2 m Imr 4 mr 2 s r 2 2 4 EI GA EI EI x EI GA x
k ——车辆系统刚度矩阵； Z ——位移矢量； F ——作用在车辆系统上的外力。
图1
车辆-轨道耦合系统模型
对式 (1) 采用分离变量法，求解车轮点及传递 导纳
αijW Z ijW Fj i, j 1, 2,3, 4
(2)
由双层弹簧阻尼系统支撑的无限长 Timoshenko 梁， 如图 1 所示，建立包含钢轨弹性的轨道系统动力学 模型，钢轨垂向位移为 zr ( x, t ) ，转动角为 r ( x, t ) ， mr 为单位长度钢轨质量， r 为单位长度钢轨的转 动惯量， E 为弹性模量， G 为切变模量， 为钢轨 密度， 为剪切系数， A 为钢轨横截面积， I 为轨 道截面矩， x 、 t 分别为轨道纵向位置及时间变量、 钢轨振动偏微分方程为 2 zr ( x, t ) 2 z ( x, t ) ( x , t ) GA r 2 GA r mr 2 x t x
月 2014 年 9 月
[6]
孙文静等：基于 Timoshenko 梁模型的车辆-轨道耦合系统垂向随机振动分析
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作用。模态叠加法 也是分析弹性轨道模型的常用 [3] 方法，翟婉明 选取足够长的轨道模型进行模态截 断， 采用新型显式积分法求解车辆-轨道耦合系统响 应。关于车辆轨道的随机振动分析研究尚少，LEI [7-9] 等 采用车辆-轨道动力有限元模型，利用 NEWMARK 积分法计算了随机激励下车辆-轨道系 统响应，首先将轨道不平顺功率谱反演后在时域内 求解，最后转换至频域得到响应功率谱，计算量较 大。采用模态叠加法建立弹性轨道模型，在选取轨 道长度和模态截断频率时，需要注意其边界条件限 制，否则可能出现误差。 以往，将轨道视为 Euler-Bernoulli 梁，忽略其 剪切变形与转动，该简化模型仅可描述至 500 Hz 左右的轨道垂向动力响应。 而基于 Timoshenko 梁的 轨道模型，包含转动与剪切变形，其频率有效范围 [10] 可延伸至 2 500 Hz 以上 。 本文， 将钢轨视为无限长连续支撑 Timoshenko 梁， 提出基于格林函数法对弹性轨道模型进行求解， 避免模态叠加法截断频率及轨道长度的限制，实现 全模态的运算，得到任意位置处轨道的频率响应特 性。运用随机振动理论，结合高速列车车辆模型， 引入轮轨接触线性化刚度，以真实轨道谱为输入， 在频域内对车辆 - 轨道耦合系统垂向随机振动特性 进行计算。分析比较传统刚性轨道，弹簧轨道与
上海 201804) (同济大学铁道与城市轨道交通研究院
摘要：将钢轨视为无限长 Timoshenko 梁，由两层弹簧阻尼系统连续支撑，在频域建立车辆-轨道垂向耦合动力学模型。提出 采用格林函数法求解钢轨运动偏微分方程，可在较宽频域内得到轨道动力响应避免模态截断频率限制，结合车辆方程求解点 导纳及传递导纳，运用虚拟激励法将真实轨道谱激励作为系统输入，求解车辆-轨道系统随机振动响应，并将该弹性轨道与 传统刚性轨道、简化弹簧轨道模型结果进行对比。研究结果表明，采用格林函数法求解无限长 Timoshenko 梁弹性轨道模型 可快速实现全频域计算，得到轨道系统频率响应特性。利用虚拟激励法及叠加法，可得到轮轨多点接触工况下的车辆与轨道 结构随机振动响应。 采用刚性轨道结构模型会导致过高估计车辆结构在高频的振动， 整个耦合系统振动响应均对速度较敏感。 考虑轨道弹性影响的弹性轨道模型更符合实际，采用格林函数法求解轨道模型较为快速精确。 关键词：车辆-轨道垂向耦合模型；Timoshenko 梁轨道；格林函数法；随机振动 中图分类号：U270
0
前言

当车辆在轨道上运行时，由于轮轨表面粗糙 度、轨道不连续性及车轮缺陷等不平顺导致车辆轨 道系统的垂向振动。随着高速列车速度不断提高， 轮轨激励频率增加，车辆与轨道两个系统相互耦合
* 国家“十二五”科技支撑计划资助项目(2011BAG10B01)。20130918 收到初稿，20140324 收到修改稿
第 50 卷第 18 期 2014 年 9 月
机
械
工
程
wenku.baidu.com学 报
Vol.50 Sep.
No.18 2014
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
DOI：10.3901/JME.2014.18.134
基于 Timoshenko 梁模型的 车辆-轨道耦合系统垂向随机振动分析*
孙文静 周劲松 宫 岛
Timoshenko 梁轨道模型的耦合系统动态响应， 并且 计算了不同车速下，车辆结构及轨道垂向振动能量 分布。
1
1.1
车辆-轨道耦合模型
车辆系统模型
本文采用国内某型高速列车车辆模型，考虑单 轨轨道， 因此采用半车车辆模型包含车体， 转向架， 一系、二系悬挂系统及车轮，如图 1 所示。该模型 考虑了车体浮沉 zc ，点头 c ，构架 1、2 的浮沉 zt1 、 zt 2 ， 点头 t1 、t 2 及 4 个车轮的垂向位移 zw1 、zw2 、
W 式中， Zij 表示当轮轨力 F j 作用在轮轨接触点 j 点
时，车轮在 i 点的响应；导纳 αij 即为单位力作用 在 j 点时，车轮在 i 点的响应。 1.2 连续支撑 Timoshenko 梁轨道模型 考虑钢轨垂向位移及转动自由度，将轨道视为
W
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机
械
工
程
学
报
第 50 卷第 18 期期
1
s ——轨道系统支撑刚度，其大小由轨道垫
及道床刚度决定并与频率有关。 轨枕视为刚性质量块，轨道支撑系统中阻尼采 [11] 用阻尼损失因子 ，以复刚度形式表示，k p 为轨道 垫刚度， kb 为道床刚度。轨道系统支撑刚度
s
[11]
( k 2 2 kc 2 ) 1 Fp ka 2 EI GA kc ka1
相互作用的动力学问题显得日益重要。但目前大多 [1-2] 数研究 仅考虑车辆、 轨道动力学或者在模型中仅 考虑简化的轮对、钢轨结构。 近年来，关于高速铁路动力学研究已有一些采 用耦合动力学的方法，而不再是传统的孤立系统动 [3] [4] 力学 。ANDERSSON 等 采用有限元车辆模型结 合轨道元件，在时域中研究车辆轨道特性对系统动 [5] 力学影响。DIETZ 等 则采用有限元轨道模型结合 车辆多体动力学模型方法分析车辆与柔性轨道相互
Abstract：Considering the rail as an infinite Timoshenko beam supported by two spring-damper layers, the vertical vehicle-track coupled dynamic model is established in frequency-domain. Green’s function method is applied to solve the partial differential equations of the rail. The dynamic response of rail can be calculated in wide frequency band without any limitations due to modal truncation. The point and transfer receptances of vehicle are obtained with its dynamic equations. Real track irregularities spectrum is used as input with pseudo-excitation method to get the random vibration response of both track and vehicle in coupled system. And the results of three different models – flexible track, rigid track and simplified spring track are compared. Results show the frequency response of this Timoshenko beam rail model can be gotten efficiently with Green’s function method. With pseudo-excitation method and superposition method, the response can be calculated on the condition of wheel-rail multi-points contact. Rigid track results in overestimating vibration for vehicle model in high frequency region. The system is sensitive about vehicle speed. The track model including the influence of its flexibility is more realistic. Green’s function method is fast and accurate for solving this problem. Key words：vertical vehicle-track coupled model；Timoshenko beam rail；Green’s function method；random vibration
zw3 、 zw4 ，共 10 自由度。 mc 、 mt 、 mw 分别为车 体、构架和车轮质量， ks1、cs1、ks 2、cs 2 分别为车辆
一系、二系悬挂系统刚度、阻尼系数， I c、I t 分别 为车体与构架点头转动惯量，车辆系统运动微分方 程为 + cZ + kZ = F (1) mZ m ——车辆系统质量矩阵； 式中 c ——车辆系统阻尼矩阵；
2 2
(4)
P ——轮轨力； ( x) ——Dirac 函数；
1 2 k1 (kc 2 kt 2 )2 4(k B 2 kc 2 kt 2 ) (kc 2 kt 2 ) 2 k2 1 2 (kc 2 kt 2 ) 2 4(k B 2 kc 2 kt 2 ) (kc 2 kt 2 ) 2 i ( k 2 kc 2 ) 1 Fd ka1 1 EI GA
Random Vibration Analysis on Vertical Vehicle-track Coupled System with Timoshenko Beam Model
SUN Wenjing ZHOU Jinsong GONG Dao
(Institute of Railway & Urban Mass Transit Research, Tongji University, Shanghai 201804)