运筹学基础-目标规划(1)

设备负荷（台小时） 设备负荷（台小时） 单位产品利润 (元) 元
分析:设x1、x2分别是计划期内甲、乙产品的产量．则该问题的 9.2 x1 + 4 x 2 ≤ 3600 数学模型为 4 x + 5 x ≤ 2000 max y1 = 70 x1 + 120 x2 2 s.t. 1 max y2 = x1 3 x1 + 10 x 2 ≤ 3000 min y = x x1 , x 2 ≥ 0 3 2
min Z = f d +量的函数。 即达成函数是正、负偏变量的函数。
一般来说，可能提出的要求只能是以下三种情况之一，对应每 种要求，可分别构造的达成函数是：
构造达成函数的方法
x1 − x2 + d − − d + = 0
如希望产品Ⅰ 产量恰好等于产品Ⅱ的产量 ，即正、负偏变量 都要尽可能地小，这时函数是：
min d −
{ }
又如 2 x1 + 3 x 2 + d − − d + = 12 中力求利润指标不低于12元，达 成函数为：
min d −
{ }
设备B限制 x1 + 2 x 2 + d − − d + = 8 中必要时可以加班可表为：
min d −
{ }
设备A限制 2 x1 + 2 x 2 + d − − d + = 12 中既要求充分利用，又尽可 能不加班可表为：
min d + + d −
{
}
4. 目标的优先级与权系数
在一个多目标决策问题中，要找出使所有目标都达到最优的 解是很不容易的；在有些情况下，这样的解根本不存在(当这些目 标是互相矛盾时)。实际作法是：决策者将这些目标分出主次，或 根据这些目标的轻重缓急不同，区别对待。 在一个目标规划的模型中，如果两个不同目标重要程度相差悬殊， 为达到某一目标可牺牲其它一些目标，称这些目标是属于不同层次的 不同层次的 优先级。优先级层次的高低可分别通过优先因子P1，P2，…表示，并规 优先级 定Pk ＞＞Pk＋1，符号“＞＞”表示“远大于”，表示Pk与Pk＋1，不是 同一各级别的量，即Pk与Pk＋1有更大的优先权。 对属于同一层次优先级 同一层次优先级的不同目标，按其重要程度可分别乘上 同一层次优先级 不同的权数 权数。权系数是一个个具体数字，乘上的权系数越大，表明 权数 该目标越重要。
＋
当产品Ⅰ 产量多于产品Ⅱ ，有x1＞x2，即出现正偏差量d ，若将x1减去这个正偏差量d＋ ，就有 x1－x2－ d＋ ＝0 因正负偏差不可能同时出现，故合在有一起设为 x1－x2 ＋ d－ － d＋ ＝0
3．目标规划的目标函数－－达成函数
凡满足目标约束和绝对约束的解，应如何判别它的优劣 呢？ 从决策者的要求分析它总希望得到的结果与规定的目标 值之间的偏差愈小愈好，由此决策者可根据自己的要求构造 总偏差量为最小的目标函数，这种函数就是目标规划 一个使总偏差量为最小的目标函数 总偏差量为最小的目标函数 的目标函数称为达成函数 达成函数，记为 达成函数
目标规划与线性规划相比，有以下优点：
1.线性规则只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题 1.线性规则只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题 实际问题中，往往要考虑多个目标的决策问题，这些目标可能 互相矛盾，也可能没有统一的度量单位，很难比较。目标规划就能 够兼顾地处理多种目标的关系，求得更切合实际的解。 2.线性规划是在满足所有约束条件的可行解中求得最优解。 2.线性规划是在满足所有约束条件的可行解中求得最优解。 线性规划是在满足所有约束条件的可行解中求得最优解 而在实际问题中往往存在一些相互矛盾的约束条件，如何在这 些相互矛盾的约束条件下，找到一个满意解就是目标规划所要讨论 的问题。 3.线性规划问题中的约束条件是不分主次 线性规划问题中的约束条件是不分主次、 3.线性规划问题中的约束条件是不分主次、同等对待的 线性规划问题是一律要满足的“硬约束”。而在实际问题中， 多个目标和多个约束条件不一定是同等重要的，而是有轻重缓急和 主次之分的，如何根据实际情况确定模型和求解，使其更合实际是 目标规划的任务。
maxZ= 2x1 +3x2 则该问题的数学模型表示为 2x1+2x2 ≤12 x1 +2x2 ≤8 4x1 ≤16 4x2 ≤12 x1 ≥0, x2 ≥0
这是一个线性规划模型
但企业通常的经营目标会更实际、更多样！ 但企业通常的经营目标会更实际、更多样！
企业的新目标：
力求使利润指标不低于12元； 考虑到市场需求，Ⅰ,Ⅱ 两种产品的生产量需保持1:1的比例； C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制，设备A既要求充 分利用，又尽可能不加班。 等等 这些目标通过线性规划无法实现
此为系统约束
x1 =1 x2
或
x1 − x 2 = 0
在达到此目标值时允许发生正或负偏差，因此在这些约束 中加入正、负偏差变量，它们是软约束，在给定目标值和加入 系统约束转化为目标约束 目标约束。 正、负偏差变量之后，可以将系统约束 系统约束 目标约束
转化方法： 转化方法：
由于允许有偏差，当产品Ⅰ 产量小于产品Ⅱ ，有x1＜x2， 即出现负偏差量d－ ，若将x1加上这个负偏差量d－ ，就有 x1 － x2＋ d－ ＝0
2.绝对约束与目标约束 2.绝对约束与目标约束 绝对约束又称系统约束，是指必须严格满足的等式和不等 绝对约束 式约束，如线性规划问题的所有约束都是绝对约束，不满足这 些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。 以例2为例，如设备C和D严格禁止超时，故有：
4 x1 ≤ 16
4 x 2 ≤ 12
对那些不严格限定的约束，连同原线性规划建模时的目标 目标 函数转化为的约束，均可通过目标约束 目标约束来表达。 函数 目标约束 下面是如何形成目标约束 目标约束
分析：
对于这样的多目标问题，线性规划很难为其找到最优方 案．极有可能出现： 第一个方案使第一目标的结果优于第二方案，而对于第二 目标，第二方案优于第一方案．就是说很难找到一个方案使所 有目标同时达到最优，特别当约束条件中有矛盾方程时，线性 规划方法是无法解决的。 实践中，人们转而采取“不求最好，但求满意”的策略， 在线性规划的基础上建立一种新的数学规划方法——目标规 划．
［引例2 ［引例2］
某企业生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品都要分别在A、B、C、D 四各不同设备上加工。生产每件产品Ⅰ需占用各设备为2、1、4、0小时， 生产每件产品Ⅱ 需占用各设备为2、2、0、4小时，各设备用于生产这 两种产品的能力分别为12、8、16、12小时，又知生产一件产品Ⅰ获得2 元，生产一件产品Ⅱ 获得3元，问如何安排生产，使总的利润最大。
2 x1 + 3 x 2 + d − − d + = 12
这样就将目标函数 目标函数则转化为目标约束 目标函数 目标约束
(2) 将系统约束转化为目标约束 系统约束转化为目标约束 有时也可以根据需要将绝对约束转化为目标约束，这时只 须将该约束的右端项看作目标值，再引入正、负偏差变量即可。 如在例2中，考虑到市场需求，Ⅰ,Ⅱ 两种产品的生产量需 保持1:1的比例；
min d + + d −
{
}
如希望产品Ⅰ 产量低于产品Ⅱ的产量 ，即允许达不到目标值, 就是正偏差变量要尽可能地小,即不希望上式中的d＋＞0，这时达成 d 函数是：
min d +
{ }
如希望产品Ⅰ 产量不低于产品Ⅱ的产量 ，即要求超过目标值， 但不得低于目标值，即必须是负偏差变量尽可能地小，不希望上式 d 中的d－＞0，这时达成函数是：
二、目标规划的基本概念
1.目标值和正、负偏差变量 1.目标值和正 目标值和正、
目标规划通过引入目标值 正、负偏差变量 目标值和正 负偏差变量，可将目标函数 目标函数转化 目标值 目标函数 为目标约束 目标约束。 目标约束 所谓目标值 目标值是预先给定的某个目标的一个期望值。实现值 实现值（或决 目标值 实现值 策值）是当决策变量x1、x2、…、xn选定以后目标函数的对应值。显 然，实现值 目标值 实现值和目标值 实现值 目标值之间会有一定的差异，这种差异称为偏差变量 偏差变量 (事先无法确定的未知量)，用d＋和d－表示。 d d d＋——超出目标的差值，称正偏差变量； ——超出目标的差值，称正偏差变量； d－——未达到目标的差值，称负偏差变量； ——未达到目标的差值，称负偏差变量； 当实际值 实际值超出目标值 目标值时，有d－＝0， d＋＞0； 实际值 目标值 当实际值 实际值未达到目标值 目标值时，有d＋＝0， d－＞0 ； 实际值 目标值 当实际值 目标值 实际值同目标值 实际值 目标值恰好一致时， d＋＝ d－ ＝ 0 。 因为在一次决策中，实现值不可能既超过目标值，同时又未达到目标 值，所以有 d＋与d－两者中必有一个为零。故恒有d＋× d－ ＝ 0
［引例3 ［引例3］
某工厂在计划期内要生产甲、乙两种产品，现有的资源及两种产 品的技术消耗定额、单位利润如下表所示．试确定计划期内的生产计 划，使利润最大。 同时厂领导为适应市场需求，尽可能扩大甲产品的生产，减少乙 产品的生产，同时考虑这些问题，就形成多目标规划问题．
产品的资源、技术消耗定额、 表4-1 产品的资源、技术消耗定额、单位利润表 甲（每件） 每件） 钢材 木材 （kg） ） (m3) 9.2 4 3 70 乙（每件） 每件） 4 5 10 120 现有资源 3600 2000 3000
(1) 将目标函数转化为目标约束 目标函数转化为目标约束
在引入了目标值和正、负偏差变量后，可以将原目标函数加上 加上 负偏差变量 ，减去正偏差变量 ，并令其等于目标值，这样形成一个 减去正偏差变量 新的函数方程，把它作为一个新的约束条件，加入到原问题中去， 称这种新的约束条件为目标约束 目标约束。 目标约束 目标约束是一种将约束和目标结合在一起的表达式，是目标规 划所特有的，它把约束右端项看作要求的目标值 目标值。 目标值 比如：在实际计划工作中，利润指标往往是上级主管部门或工 厂计划部门预先规定并要求实现的数值。以例2为例，力求利润指标 不低于12元，这就是目标值。而工厂在安排了甲、乙两种产品的产 量（决策）后，可能实现的利润额与规定的利润指标12元之间会有 一定差距，这个差距就是偏差变量。