量子力学(第八章自旋)

特例 ： 中心力场中的电子，若忽略自旋轨道 ( H , L2 , Lz , S z ) 为守恒量完全集， 耦合，则可选 。在 (r表象中可 , Sz ) 有共同本征态记为 nlmms 写为
nlmms (r , S z ) nlm (r , , ) ms ( S z )
x y y x 0 y z z y 0
^ ^ ^ ^
^
^
^
^
(23)
z x x z 0
把式(18)和(23)联合起来，得
^
^
^
^
x y y x i z
^
^
^
^
^
y z z y i x
于 l 只能为零及正整数， f l 总是奇数。可以
通过与轨道磁矩有关的实验现象来检验轨道
角动量的量子化性质。例如对氢原子基
态 (n 1, l m 0) ，其 L 0, L 0 ，
即无轨道角动量与轨道磁矩，但著名的施
特恩-----盖拉赫实验表明，原子具有不同于
轨道磁矩的一个新的磁矩。
S S i S
ˆ 在任意空间方向上投影只能取 2这 由于S
ˆ ˆ ˆ 两个函数值，故 S x S y S z 这三个分量算符 的本征值都是 2 ，而分量平方算符的本征 2 值皆为 4 ，即有 2 1 2 2 2 S x S y S z , S z ms (ms ) (12) 2 4 ms 称为自旋磁量子数。由
且
2
S S S S
2 2
^2
^ 2 x
^ 2 y
^ 2 z
2
(13)
[ S , S z ] [ S , S y ] [ S , S x ] 0 (14)
的本征值是 S 2 S 2 S 2 S 2 3 2 故S x y z 4
若将任何角动量平方算符的本征值记为
第八章 自旋
本章所讲的主要内容
电子自旋态与自旋算符(8.1) 总角动量的本征态(8.2)
碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman 效应(8.3) 自旋单态与三重态，自旋纠缠态(8.4)
§8.1电子自旋态与自旋算符
1. 电子自旋存在的实验依据 大量的实验事实证明电子具有自 旋。我们已经知道，与电子轨道角动量 L 相应地存在一个轨道磁矩
所以归一化条件为 2 2 2 3 3 3 2 d r (r , Sz ) d r d r[ (r , 2) (r , 2) ] sz (2) 1
在很多情况下，波函数可以分离变量，即
(r , S z ) (r ) (Hale Waihona Puke BaiduS z )
0 b ˆ x c 0

(29)
量 s 的关系是
s 在空间任意方向上的投影为

e e s g s S S , g s c c
s
z
e e gs Sz B (B 玻尔磁子) 2 c 2 c
其中 g s e c 2 gl 称为自旋回转磁比率，它是 轨道回转磁比率的2倍。 （3）电子自旋是不能给以经典图象而认为是一个带 电小球绕自身轴的自转的，其困难在于当把自旋还 原为空间坐标描述的转动时，只能得到g s gl ，而 绝不会得出 g s 2 gl ； 要达到实验上所测量 值， 小球的转速要使球表面线速度超过光速，
L L g L l (l 1), l 0,1, 2,..., n 1
(2)
L g L m, m 0, 1, 2, 3,..., l ,
z
对同一l ，m 可取 fl 2l 1个值，即对同 一个 L ，它在空间可有 2l 1种取向，而由
2.自旋态的描述

为了对电子的状态作出完全描述，如前 所述，还必须考虑其自旋状态。确切的说， 要考虑电子自旋在某给定方向（例如z轴方 向）的两个可能取值（投影）的波辐，即 波函数中还应包括自旋投影这个变量（习 (r , S z ) Sz 惯上取为 ），记为 ，与连续变量 2 不同， r 只能取S z 两个分立值，因此， 使用二分量波函数是方便的
a (S z ) b
(3)
其中 ( S z ) 是描述自旋态的波函数，其一般形式 为 (4)
式中 a 与 b 分别代表电子 S z 2 的几 率，所以归一化条件表示为
2
2
a b a
2 2
*
a b 1 b
*
S 特例：在 S z 表象中，根据表象理论，z 的矩 阵表示应该是对角矩阵，本征值为对角元， 即

ˆ L g L L, Lz g L Lz ,
2 c 其中 g L 为电子的轨道回转磁比率。由于 轨道角动量的模量（大小）是量子化的 gL e
(1)
L2 l (l 1)2 , 且具有空间量子化 Lz m, 因此相应的轨道磁矩也具有模量 L 以及 空间的量子化，即
(r , 2) (r , S z ) (r , 2)
(1)
称为旋量波函数。其物理意义如下： 2 ( r , 2) ：是电子自旋向上（ S z 2 ）, 位置在 r 处的几率密度。 2 (r , 2) : 是电子自旋向下（ S z 2 ） 位置在 r 处的几率密度。 而 2 3 d r (r , 2) 表示电子自旋向上（ S z 2 ） 的几率。 2 3 d r (r , 2) 表示电子自旋向下（Sz 2） 的几率。
^
^
^
^
^
(24)
z x x z i y
即
^
^
^
^
^
i
概括了Pauli算符的全代 式(21)和(24)和
数性质。
特例: 在量子力学中凡与自旋有关的力学量常 ˆ ˆ ˆ 以 算符表示。 在任意方向n 的分量算符 n
0 1 (S z ) 2 1
(7)
与 构成电子自旋态空间的一组正交完备基，
任何一个自旋态式（4），均可用它们来展开， 表示为 a (8) ( S z ) a b
b 而计及空间坐标的波函数式（1），可以表示为 (r , S z ) (r , 2) (r , 2) (9)
0 2 Sz 0
设其本征值为 ms
s
1 0 2 2 0 1
1 ms 2
(5)
m ( sz ) 为其本征态，则
1 ms 2
1 1 (S z ) 2 0
(6)
1 0 有时将他们简记为 , 0 1
原子具有这一新磁矩也在其他实验里呈现。 特别是在原子光谱的精细结构研究中表现。 应用分辨率较高的光谱分析装置，可观测到 碱金属光谱的的精细结构，如Na原子光谱中 的主线系的每条谱线（例如3p—3s能级跃迁 的D线）是由两条靠的很近的谱线组成的, 在 其他原子光谱中也存在这种精细结构。它必 须在考虑原子中电子的这一新的磁矩才能予 以解释。
S—G实验如下图所示，由K源射出的处于S态
(基态)的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场照射
到底片上，结果发现射线束方向发生偏转，
分裂成两条分立的线，这说明氢原子有磁 矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而 发生偏转。
z
N
B B
S
（Stern----Gerlach实验）
由于这是处于基态的氢原子，轨道角动量为 零，基态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量 产生。故是一 种新的磁矩。此外，由于实验 上发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场 中只有两种取向，是空间量子化的，而且只 取两个值。假定原子具有磁矩 ，它在 z 方 向上的外磁场B 中的势能为
为
n n nx x ny y nz z
其中
是方向 n 的单位矢量。
n nx i n y j nz k x xi y j z k
(25) (26)
以上是Pauli算符满足的抽象代数关系。以 下我们选一个表象表示成矩阵形式。习惯上 ˆ ˆ ˆ 选 z 表象，即 z 对角化表象。 由于 z 只能 ˆ 取1，所以 z 矩阵可表示为
^ ^ ^
[ x , y ] 2i z ,[ y , z ] 2i x ,[ z , x ] 2i y (18)
^
或表示为
[ i , j ] 2i ijk k
^
^
^
(19)
也可表示成 ^
2i
^

^

(20)
ˆ ˆ ˆ 由式（11）可见， x y z 的本征值为 1 ，因 而 2 2 2 x y z 1 (单位算符）(21)
J j ( j 1)
2
2
(15)
j 称角动量量子数，则自旋角动量量子数 满足S 3 2 1 2 2 S s( s 1) , s (16) 4 2
为方便起见，引入Pauli算符
^

（无量纲），
则式（11）化为
^ ^ ^ ^
^ S 2
^
(17)
(10)
3. 自旋算符与Pauli矩阵
考虑到自旋具有角动量特征，假设自旋 S 的三个分量满足与轨道角动量相同的对易关 系，即 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ [ S x , S y ] i S z ,[ S y , S z ] i S x ,[ S z , S x ] i S y (11) ^ ^ ^ 或
ˆ 分别用 y 左乘和右乘(18)式中的第二式，并利 用式(21)，可得
z y z y 2i y x
^
^
^
^
^
^
y z y z 2i x y
^ ^ ^ ^
^
^
^
^
^
^
(22)
两式相加，得到 x y y x 0 ，类似 的 地可求其它两个式子，归纳起来，即 不同分量是彼此反对易的：
乌仑贝克（Uhlenbeck）和哥德斯密脱 （Goudsmit）为了解释这些现象，于1925年
左右提出了电子自旋的假设：
（1）每个电子都具有一个自旋角动量
s
，它
在空间任何方向上的投影只能取两个数值： （2）每个电子具有自旋磁矩 s 它与自旋角动
S z （若将空间任意方向取为z方向） 2
为外磁场 B 与原子磁矩 之间的夹角。
U B Bz cos
(3)
而原子因磁矩 的存在，在Z方向上受到的力 为 Bz U (4) Fz cos z z

实验表明，这时分裂出来的两条谱线分别对 应于 cos 1 和 cos 1 两个值。实验还进一 步表明，即使所使用的氢原子束不是纯基态， 混有激发态l 0) 的成分，则由轨道磁矩贡献 ( 而引起的射线束分裂也只能是奇数条 2l 1， 决不会有轨道磁矩导致偶数条的射束分裂偏转。
ˆ 令 x 矩阵表示为
1 0 ˆ z 0 1
a b ˆ x c d
(27)
(28)
a, b, c与（复数)待定。考虑到 z x x z d
得
^
^
^
^
a b a b c d c d