圆锥的侧面积和全面积

(2) h =3, r=4
则
5 l =_______ 6 则r=_______
(3)
= 10, h = 8
l
图 23.3.6
练习.一个圆锥形轴截面是一个等 边三角形,圆锥的底面半径是6,求圆 锥的高线长。
P
l h A O r B
练习.一个圆锥形轴截面是顶角 450的三角形, 母线长2,求圆锥的底 面积。
例7、如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一 只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬 到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行 的最短路线是多少？
h=12cm， r=5cm
A O
h
l
r
B
例3.蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱 组成的.如果想用毛毡搭建20个底面积为 35 m2,高为3.5 m外围高1.5 m的蒙古包,至 少需要多少m2的毛毡? (结果精确到1 m2). 解:如图是一个蒙古包的示意图 依题意,下部圆柱的底面积35m2,高为1.5m; 上部圆锥的高为3.5－1.5=2 m; h1 r 圆柱底面圆半径r= 35 (m) ≈3.34 (m) π 侧面积为: 2π×3.34×1.5≈31.45 (m2) 圆锥的母线长为 3.342+22 ≈3.85 (m) h2 侧面展开积扇形的弧长为: 2π×3.34 ≈20.98 (m) r 1 圆锥侧面为: 2 ×3.89×20.98 ≈40.81 (m2) 因此,搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡: 20× (31.45+40.81)≈1445(m2)
L 2r
h l r
= rl
A
O
B
全面积公式为：
S全 S侧 S底
= πr l ＋2πr
思考：
你会计算展开图中 的圆心角的度数吗？
na l 180
l h a r
180l n a
填空、根据下列条件求圆锥侧面积展开图的圆心角 （r、h、a分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）
l
答:至少需 235.5 平方米的材料.
r
例5、已知：在RtΔ ABC,
C 90 . AB 13cm, BC 5cm
0
求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。 分析：以AB为轴旋转一周所得到的几何体是 由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此 求全面积就是求两个圆锥的侧面积。
A
C B
知识回顾
一、圆的周长公式 二、圆的面积公式
C=2πr
2 S=πr
n nr 三、弧长的计算公式 l 2r 360 180 四、扇形面积计算公式 1 n 2 s r 或s lr 2 360
圆锥的再认识
1.圆锥是由一个底面和一个侧面围 成的,它的底面是一个圆，侧面是一 P 个曲面. 2.把圆锥底面圆周上的 L 任意一点与圆锥顶点的 h 连线叫做圆锥的母线 A B A 问题： r O A 圆锥的母线有几条？
P
l h A O r B
圆柱侧面展开图
圆柱的侧面展开图是一个矩 形,它的一边长是圆柱的高; 它的另一边长是圆柱的底面 圆周长
圆柱的侧面积=圆柱的高×底面圆周长 圆柱的全面积=侧面积+两个底面积
探究 .圆锥的侧面积和全面积
问题: 1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开， 得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有 什么关系？相等 2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与 母线 圆锥中的哪一条线段相等？
2 1
3.连结顶点与底面圆心 的线段叫做圆锥的高
如图中 l是圆锥的一条母线， 而h就是圆锥的高
P
h
O
l
B
4.圆锥的底面半径、 A 高线、母线长三者之间 间的关系: 2 2
r
l h r
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
填空: 根据下列条件求值（其中r、h、l 分别 是圆锥的底面半径、高线、母线长）
（1）
l= l
3 2，r=1 则 h=_______
解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’, ∠BAB’=n° 连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线 ∵ 圆锥底面半径为1, B’ A ∴ l 弧BB’=2π 6nπ 又∵ l 弧BB’= 180 6 6nπ ∴ 2π= 180 解得: n=60
∴ △ABB’是等边三角形 ∴ BB’=AB=6
答:蚂蚁爬行的最短路线为6.
B
1
C
将圆锥沿AB展开成扇形ABB’ A 解： 将圆锥沿AB展开成扇形AB ，， 则点CB 解： 将圆锥沿AB展开成扇形ABB ，解： 将圆锥沿AB展开成扇形ABB BAB展开成 则点C是BB 的中点，：过点B作BD AC，是是 解 将圆锥沿 则点C 解 将圆锥沿AB B 解： 的中点，解：：将圆锥沿AB展开成扇形ABB B ， 则点C AB展开成扇形AB展开成扇形AB 的中点， 垂足为D. 垂足为 D. 成扇形ABB ， 则点C是BB 将圆锥沿垂足为D.BD AC， ， 则点C是B， 则点C是 过点B作 垂足为D. 垂足为DDrr 垂足为 . . 垂足为D. r BAB 360 120 B r BAB 360 120 360 120 BA BAB 360 120 rlr BA l 360 120 B 120 l C B r 360BAB 360 120 l B BAD 60.在RtABC中， BAD 60, A BA BAD 60.在RtABC中， BAD 60, AB l l BAD 60, ABl 3. BAD 60.在RtABC BAD 60.在RtABC中， ， BD 3 60 ABC3 BAD 60 3. 60在BAD333.，.在RtABC中中，ABBAD60, A BAD BD ABC中在RtBAD 60, BAD3. 60 . Rt C中， BAD 60, AB 3 BD 3 2 32 BD 3 2 3 BD 3 3 3 2 BD 3 BD 2 3 答： 它爬行的最短路线是 3 3.3. 它爬行的最短路线是 2 答： 它爬行的最短路线 32 2 答： 它爬行的最短路线是 3. 答： 它爬行的最短路线是32 33. 3 3 答： 它爬行的最短路线是 3. 答： 它爬行的最短路线是 3. 2 2 线是 3. 2 2 2
例5、已知：在RtΔ ABC,
C 90 . AB 13cm, BC 5cm
0
求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。 A 解：过C点作 CD AB，垂足为D点
AC BC 5 12 60 所以 CD AB 13 13
60 120 底面周长为 2 13 13
例4.童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子,其 圆锥形帽身的母线长为15cm,底面半 径为5cm,生产这种帽身10000个,你 能帮玩具厂算一算至少需多少平方 米的材料吗(不计接缝用料和余料, π取3.14 )?
解:∵ l =15 cm,r=5 cm, 1 ∴S 圆锥侧 = ×2πrl 2 =π×15×5 ≈3.14×15×5 =235.5 (cm2) ∴ 235.5×10000=2355000 (cm2)
（1）a = 2，r = 1
(2) h=3, r=4
则

=________
则 =__________

h a
r
例1.一个圆锥形零件的高4cm， 底面半径3cm，求这个圆锥形零件 的侧面积和全面积。
P
l
h
A
O
r
B
例2、根据圆锥的下列条件， 求它的侧面积和全面积 （1）
（2）
P
r=12cm, l=20cm
S
A
O
B
圆锥及侧面展开图的相关概念
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周 长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面 积. 圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
P
h A O r
l
B
圆锥的侧面积和全面积
如图:设圆锥的母线长为a,底面 半径为r.则圆锥的侧面积 P 公式为：
S侧 1 2r l. 2
D
C
1 120 1 120 1020 5 所以S全面积 (cm)2 12 2 13 2 13 13 答：这个几何体的全面积为 1020 (cm)2 13
B
例6.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只 蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬 行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?