第五章线性参数最小二乘法

i1
2
3
4
5
6
t i /℃ l i /℃
10
20
25
30
40
45
2000.36 2000.72 2000.80 2001.07 2001.48 2001.60
第五章线性参数最小二乘法
解：铜棒在温度 t i 下的长度：
li y 0 (1 ti)(i 1 ,2 , ,6 )
令： y0 a ， y0 b
② 以主对角线为对称线，对称分布的各系
数彼此两两相等，如 a1a2与a2a1相等， a2at 与 ata2相等，…。
第五章线性参数最小二乘法
2 以矩阵形式表示
正规方程组可写为：
a11v1 a21v2 an1vn 0
a12v1
a22v2
an2vn
0
a1tv1 a2tv2 ant vn 0
在 40mm长度内选5个断面测得直径偏
差 d 如下表，试确定沿长度方向形状
误差的规律。
被测断面距端面距离
L i / mm
1 45
估计值： Xˆ
a
b
X ˆ a b 第五 章线性参数(最小A 二乘法 TA)1ATL
X ˆ
a b
1 0.9 09 3.9 65 74
y0a19.9m 9 7 m
b0.036504.0000/℃18
a 199.997
第五章线性参数最小二乘法
例：为研究 20mm轴的几何形状误差，
残差
a11 a12 a1t
A
a
21
a
n1
a 22 an2
a2t
a nt
误差方程的 系数矩阵
则误差方程可表示为：
v1 l1 a11
v2
l2
a21
vn ln an1
a12 a22
an2
a1t x1 a2t x2
antxn
即：
VLAX ˆ 第五章线性参数最小二乘法
v1
第五章线性参数最小二乘法
一、等精度测量线性参数最小二乘法处理的 正规方程
v1 l1 (a11x1 a12x2 a1t xt )
v2
l2
(a21x1
a22x2
a2t
xt
)
vn ln (an1x1 an2x2 antxt )
利用求极值的方法来满足最小二乘法原理
第五章线性参数最小二乘法
1. 对残余误差的平方和 v 2 求导，并令 其为零。
各测量结果出现于相应真值附近d1,,dn
区域内的概率分别为：
1
P1 1 2
e d 1 2
(
2
2 1
)
1
1
Pn n 2
e d n 2
(
2
2 n
)
n
第五章线性参数最小二乘法
由概率乘法定理可知，各测量数 据同时出现在相应区域的概率应为：
PP1P2Pn
P 12 1 n (2)ne (1 21 2 2 22 2 n 2n 2 )/2 d1 d2 dn
可知，要使P最大，应满足：
12 1222 22n2 n2最小
第五章线性参数最小二乘法
引入权的符号 p，即：
p 1 v 1 2p 2 v22 p n vn2 最小
等精度测量中：
v12v22 vn2最小
二、以矩阵方式表示：
l1
L
l
2
百度文库
l
n
x1
Xˆ
x
2
V
v1
v
2
x
t
v
n
测量结果 估计值 第五章线性参数最小二乘法
则等精度测量的线性参数最小二乘法 处理的正规方程为：
a1a1x1a1a2x2a1atxt a1l
a2a1x1a2a2x2
a2at xt
a2l
ata1x1ata2x2atatxt atl
第五章线性参数最小二乘法
正规方程有如下特点：
① 沿主对角线分布着平方项系数 a1a1 ， a2a2 ，…，atat 都为正数；
v 1
v2
v
n
v2
最小
v
n
V T V 最小
或：
(L A X ˆ)T(L A X ˆ) 最小
第五章线性参数最小二乘法
§5-2 正 规 方 程
线性参数的最小二乘法处理程序：
1. 根据具体问题列出误差方程式； 2. 按最小二乘法原理，利用极值的方法
将误差方 程转换为正规方程； 3. 求解正规方程，得到待求的估计量； 4. 精度估计
y
yi
vi
•4
2•
•3
•6
•5
yaxb
•1
xi
第五章线性参数最小二乘法
x
一、最小二乘法原理：测量结果的最可信赖
值是在残余误差平方和最小的条件下求出。 n v i 2 最小
i1
为 y设1,直y2接, 量,Y1y,nY，2而, 测,Y量n数的据估l计1,量l2,分别, ln
的残余误差应为：
组误 差 方 程
v1 l1 f1 ( x1 , x2 ,, xt )
v
2
l2
f2 ( x1 , x2 ,, xt )
vn
ln
f ( x , x ,, x ) 第五章线性参数最小二乘法
n
1
2
t
若数据 l1, l2,, ln的测量误差是无偏
的（无系统误差）、相互独立的，且服从正
态分布，并设其标准差为1,2,,n，则
则： li a b ti (i 1 ,2 , ,6 )
测量结果：
L
2000 第 五lll章162线性参数最小二乘2222法000000001100
. 36
. 72
. 80
. 07
. 48
2001 . 60
误差方程的系数矩阵：
1 10
1
20
1 25
A
1
30
1 40
即：
ATV 0
第五章线性参数最小二乘法
VLAX ˆ 所以正规方程又可表示为：
A T(LA X ˆ)0 即：
(ATA)X ˆ ATL 得正规方程的矩阵解为：
X ˆ (A TA )1A TL
第五章线性参数最小二乘法
例：在不同温度下，测定铜棒的长度如下
表，试估计0℃时的铜棒长度 y 0 和铜
的线膨胀系数 。
第五章线性参数最小二乘法
根据线性代数的知识，考察下列方程组：
y1 f1 ( x1 , x2 , , xt )
y2
f2 ( x1 , x2 , , xt )
y n f n ( x1 , x 2 , , x t )
nt ❖当
时：方程有无穷多解
❖当 nt 时：方程有唯一解
nt ❖当
时：超定方程 第五章线性参数最小二乘法
第五章 线 性 参 数 的 最小二乘法处理
西安工业大学光电学院
第五章线性参数最小二乘法
目录
一． 最小二乘法原理 二． 正规方程 三． 精度估计 四． 组合测量的最小二乘法处理
第五章线性参数最小二乘法
§5-1 最小二乘法原理
一种数据处理方法 用途：参数的最可信赖值估计
组合测量的数据处理 拟定经验公式 回归分析 分类：经典最小二乘法（代数法） 矩阵最小二乘法