高考数学圆复习PPT课件
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2016年高考数学总复习第七章第3讲圆的方程课件理
考点3 圆的综合应用 例3：(2014年重庆)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆 x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数 a的值为________．
答案：0或6
【互动探究】 3．(2013年重庆)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2： (x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( A )
解：(1)方法一：从数的角度，选用标准式． 设圆心 P(x0，y0)，则由|PA |＝|PB|，得 (x0－5)2＋(y0－2)2＝(x0－3)2＋(y0－2)2.
【规律方法】(1)确定一个圆的方程，需要三个独立条 件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题 设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.因 此利用待定系数法求圆的方程时，不论是设哪一种圆的方程都 要列出系数的三个独立方程. (2)研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思 想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量.总之，要 数形结合，拓宽解题思路.与弦长有关的问题经常需要用到点到 直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等.
3．若直线 y＝x＋b 平分圆 x2＋y2－8x＋2y＋8＝0 的周长，
则 b＝( D )
A．3
B．5
C．－3
D．－5
4．以点(2，－1)为圆心，且与直线 x＋y＝6 相切的圆的方
程是____________________．
考点 1 求圆的方程 例 1：(1)求经过点 A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线 2x－y－3＝ 0 上的圆的方程．
1．圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( A )
2025高考数学一轮复习-第39讲-圆的方程【课件】
解得
(3－a)2＋(－2－b)2＝r2，
ab＝ ＝21， ，
故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
r＝ 10，
25＋4＋5D＋2E＋F＝0，
方法三：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则9＋4＋3D－2E＋F＝0，
解得DE＝＝－－24，，所以所求圆的方程为
M
为线段
ED
的中
点得
x＝x1＋2 3， y＝y1＋2 0，
解得
x1＝2x－3， y1＝2y.
又点 D 在圆 C：(x－2)2＋(y－4)2＝10 上，所以(2x－3－2)2＋(2y－4)2＝
10，化简得x－522＋(y－2)2＝52，故点 M 的轨迹方程为x－522＋(y－2)2＝52.
【答案】(x－2)2＋(y－4)2＝10 x－522＋(y－2)2＝52
a－b 4＝－12， 2a－b－3＝0，
解得ab＝ ＝21， ， 所以 C(2，1)，所以 r＝|CA|＝ (5－2)2＋(2－1)2＝ 10，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
方法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则2(5a－－ab)－2＋3(＝2－0，b)2＝r2，
举题说法 圆的方程
1 (1) 经过点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的 圆的标准方程是________________________．
【解析】 方法一：(几何法)由题意知kAB＝2，AB的中点为(4，0).设圆心为C(a，b). 因为圆过 A(5，2)，B(3，－2)两点，所以圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上，则
2．圆心为C(－8，3)，且经过点M(－5，－1)的圆的方程是( A )
2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系pptx课件北师大版
第九章
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆、圆与圆的位置 1.直线与圆的位置关系 直观想象
关系.
2.圆的切线与弦长问题 数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一
3.圆与圆的位置关系
些简单的数学问题与实际问题.
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方
典例突破
例1.(1)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的
是(
)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2021北京人大附中模拟)已知圆C过点(-1,0)和(1,0),且与直线y=x-1只有
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆、圆与圆的位置 1.直线与圆的位置关系 直观想象
关系.
2.圆的切线与弦长问题 数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一
3.圆与圆的位置关系
些简单的数学问题与实际问题.
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方
典例突破
例1.(1)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的
是(
)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2021北京人大附中模拟)已知圆C过点(-1,0)和(1,0),且与直线y=x-1只有
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
高考数学专题复习--直线与圆(多角度)课件
2.（2022·高考全国卷甲）设点 <m></m> 在直线 <m></m> 上，点 <m></m> 和 <m></m> 均在 <m></m> 上,则 <m></m> 的方程为______________________.
解析：方法一：设 的方程为 ,则 解得 所以 的方程为 .
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√
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解析：因为直线 始终平分圆 的面积，所以直线 始终过圆的圆心 ，又圆 与直线 相切，则圆的半径 ,所以圆 的方程为 .故选D.
返回导航
求圆的方程的2种方法
几何法
通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程
代数法
用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程
A. B. C. D.
解析：选A.通解（常规求解法）：设圆 的圆心坐标为 ，连接 ， （图略）.因为 ， ， ，所以 ,所以平行四边形 为菱形，所以 且 .
√
返回导航
可得 解得 或 （舍去），则圆心 的坐标为 .因为圆 的半径为 ，所以圆 的方程为 .故选A.优解（特值验证法）：由题意可知，平行四边形 为菱形，则 ，即圆 的半径为 ，排除B，D；将点 代入选项A，C，显然选项A符合.故选A.
A. B. C. D.
解析：根据题意直线 与 轴的交点为 .因为圆与直线 相切，所以半径为圆心到切线的距离，即 ,则圆的方程为 ,故选A.
√
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（2）已知直线 与圆 相切，且直线 始终平分圆 的面积，则圆 的方程为( )
A. B. C. D.
解析：方法一：设 的方程为 ,则 解得 所以 的方程为 .
返回导航
√
返回导航
解析：因为直线 始终平分圆 的面积，所以直线 始终过圆的圆心 ，又圆 与直线 相切，则圆的半径 ,所以圆 的方程为 .故选D.
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求圆的方程的2种方法
几何法
通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程
代数法
用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程
A. B. C. D.
解析：选A.通解（常规求解法）：设圆 的圆心坐标为 ，连接 ， （图略）.因为 ， ， ，所以 ,所以平行四边形 为菱形，所以 且 .
√
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可得 解得 或 （舍去），则圆心 的坐标为 .因为圆 的半径为 ，所以圆 的方程为 .故选A.优解（特值验证法）：由题意可知，平行四边形 为菱形，则 ，即圆 的半径为 ，排除B，D；将点 代入选项A，C，显然选项A符合.故选A.
A. B. C. D.
解析：根据题意直线 与 轴的交点为 .因为圆与直线 相切，所以半径为圆心到切线的距离，即 ,则圆的方程为 ,故选A.
√
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（2）已知直线 与圆 相切，且直线 始终平分圆 的面积，则圆 的方程为( )
A. B. C. D.
2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【课件】
A．a<－2
B．－23<a<0
C．－2<a<0
D．－2<a<23
【解析】 由方程表示圆的条件得 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0， 即 3a2＋4a－4<0，∴－2<a<23.故选 D.
6．已知实数 x，y 满足(x－2)2＋y2＝4，则 3x2＋4y2 的最大值为___4_8____．
3．过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程是( C ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
【解析】 解法一：∵圆心在直线 x＋y－2＝0 上，
设圆心(a,2－a)，圆方程为(x－a)2＋(y－2＋a)2＝r2，代入点 A(1，－1)，B(－1,1)得
【解析】 由(x－2)2＋y2＝4，得 y2＝4x－x2≥0，得 0≤x≤4.所以 3x2＋4y2＝3x2＋4(4x －x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64,0≤x≤4，所以当 x＝4 时，3x2＋4y2 取得最大值 48.
易错点睛：(1)忽视表示圆的充要条件 D2＋E2－4F>0 致误． (2)忽视圆的方程中变量的取值范围致误．
x－y－1＝0.联立 Nhomakorabeax－y－1＝0， 2x－7y＋8＝0，
解得
x＝3， y＝2.
∴r＝ 6－32＋0－22＝ 13.
∴圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
解法二(待定系数法)：设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意得61－ －aa22＋ ＋05－ －bb22＝ ＝rr22， ， 2a－7b＋8＝0，
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
, 到直线： − − = 的距离 =
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
高考数学一轮总复习课件：圆与圆的位置关系
【解析】 设圆心到直线l：mx＋y＋3m－ 3 ＝0的距离为d，
则弦长|AB|＝2
12－d2 ＝2
3
，得d＝3，即
|3m－ 3| m2＋1
＝3，解得m＝
－ 33，则直线l：x－ 3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝co|sA3B0°| ＝4.
(3)【多选题】已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交
因为kMN＝65－ －31＝34，所以两圆的公切线的斜率是－43. 设切线方程为y＝－43x＋b，则有43×143＋23＋－1b＝ 11. 解得b＝133±5 311. 容易验证，当b＝133＋5 311时，直线与后一圆相交，舍去． 故所求公切线方程y＝－43x＋133－5 311， 即4x＋3y＋5 11－13＝0.
状元笔记
在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB两端点的坐标分别 为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若OA⊥OB(O为原点)，则可转化为x1x2＋y1y2＝0，再结 合根与系数的关系，代入方程简化运算过程，这在解决垂直关 系问题中是常用的．
(2)若弦AB的中点为(x0，y0)，圆的方程为x2＋y2＝r2， xx1222＋ ＋yy1222＝ ＝rr22， ，∴k＝yx22－ －yx11＝－xy22＋ ＋xy11＝－xy00.
2＋P→C·(C→B＋C→A)＋C→B·C→A＝|P→C|2－1＝(x－1)2＋(x＋1)2－1＝2x2
＋1，所以P→A·P→B的最小值为1，故选D.
授人以渔
题型一 圆与圆的位置关系
例1 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋ m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的 长．
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《圆的方程》课件ppt
设动点P的坐标为(x，y)， 因为 M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝ 2|PM|， 所以 x－22＋y2＝ 2· x－12＋y2，
整理得x2＋y2＝2， 所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q 的轨迹方程.
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B
＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋
F>0.( √ )
教材改编题
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，
F＝0，
则16＋4D＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0，
解得D＝－4， E＝－2，
满足 D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
F＝0，
则1＋1－D＋E＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
方法二 设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角 形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0) 为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴 的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径 r＝ a－02＋－2a＋3－02
高考数学一轮复习第八章解析几何2圆的方程课件新人教A版2
考点2
解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律:
(1)借助几何性质求最值
-
①形如 u=- 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)
的斜率的最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离
|-|
2 +2
= √2,
即 2(a2+b2)=(ab)2≥4ab,所以 ab≥4,当且仅当 a=b 时取等号.
≥2√2,所以|AB|的最小值为 2√2,
√2
a=b=2,切线 l 的方程为 + =1,即 x+y-2=0.
2
2
又|AB|=√2 + 2 =
此时 a=b,即
-21考点1
(x-1)2+(y-1)2=13
.
解析 以AB为直径的圆的方程为(x+1)(x-3)+(y-4)(y+2)=0,整理得
(x-1)2+(y-1)2=13.
-8知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.若圆C与圆x2+y2+2x=0关于直线x+y-1=0对称,则圆心C的坐标
x2+y2-2x-4y+4=0
为 (1,2)
;圆C的一般方程是
.
解析 已知圆 x2+y2+2x=0 的圆心坐标是(-1,0),半径是 1.
设圆 C 的圆心为(a,b),则有
= 1,
+1
-1
+
高考数学复习考点知识讲解课件44 直线与圆 圆与圆的位置关系
— 12 —
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5．(教材P98T3改编)已知直线l：y＝k(x－2)被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长的范 围是(0， 10)，则k的取值范围是____－__13_，__12__∪__12_，__3______．
[解析] 圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，直线l过定点(2,0)，且点(2,0)在圆C
— 6—
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2．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝ 2 r2－d2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程 代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝ 1＋k2· xM＋xN2－4xM·xN. 3．两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
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(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
核心考点突破
02
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考点一 直线与圆的位置关系的判断——自主练透
对点训练
1．(2022·广东茂名一模)过三点A(0,0)，B(0,2)，C(2,0)的圆M与直线l：kx－y＋2－2k
2025高考数学一轮复习-2.1.2-圆的一般方程【课件】
[跟进训练] 2．已知圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线 x＋y－1＝0 上，且圆心在第二象限，半径长为 2，求圆的一般方程． [解] 圆心 C－D2 ，－E2， ∵圆心在直线 x＋y－1＝0 上， ∴－D2 －E2－1＝0， 即 D＋E＝－2.①
又∵半径长 r＝ D2＋2E2－12＝ 2， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得DE＝＝－2，4 或ED＝＝2－. 4， 又∵圆心在第二象限，∴－D2 ＜0，即 D＞0. 则DE＝＝－2，4. 故圆的一般方程为 x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
＋Ey0＋F>0．
()
[解析] (1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的． (3)错误．当 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即－2<a<23时才表示圆． (4) 正 确 ． 因 为 点 M(x0 ， y0) 在 圆 外 ， 所 以 x0＋D2 2 ＋ y0＋E2 2 >D2＋E42－4F，即 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0. [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
方程
条件
图形
D2＋E2－4F＜0
不表示任何图形
x2＋y2＋ Dx＋Ey＋
F＝0
D2＋E2－4F＝0 D2＋E2－4F＞0
表示一个点－D2 ，－E2
表
示
以
－D2 ，－E2
为
圆
心
，
以
1 2
D2＋E2－4F为半径的圆
么？
方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的条件是什
[提示] A＝C≠0，B＝0 且 D2＋E2－4F＞0.
(2)圆心坐标和半径． [解] (2)将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x ＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝ 1－5m.
圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系+课件-2025届高三数学一轮基础专项复习
代数法
联立直线与圆的方程，消元后得到关于 （或 ）的一元二次方程，利用 判断.
点与圆的位置关系法
若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法.
5.[人A选必一P86例4变式,2022全国乙卷（理）]过四点，，， 中的三点的一个圆的方程为_ ____________________________________________________________________________________________.
或或或
【解析】 若圆过,,三点,设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .若圆过,,三点,通解 设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .
第八章平面解析几何
2025年高考数学专项复习
第三节 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
目录
圆的方程
壹
直线与圆的位置关系
贰
圆与圆的位置关系
叁
与圆有关的最值问题
肆
圆的方程
壹
教材知识萃取
1.圆的定义与方程
教材知识萃取
规律总结（1）若没有给出 ，则圆的半径为 .（2）在圆的一般方程中：当 时，方程 表示一个点 ;当 时，方程 没有意义，不表示任何图形.（3）以 ， 为直径端点的圆的方程为 .
注意 在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
联立直线与圆的方程，消元后得到关于 （或 ）的一元二次方程，利用 判断.
点与圆的位置关系法
若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法.
5.[人A选必一P86例4变式,2022全国乙卷（理）]过四点，，， 中的三点的一个圆的方程为_ ____________________________________________________________________________________________.
或或或
【解析】 若圆过,,三点,设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .若圆过,,三点,通解 设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .
第八章平面解析几何
2025年高考数学专项复习
第三节 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
目录
圆的方程
壹
直线与圆的位置关系
贰
圆与圆的位置关系
叁
与圆有关的最值问题
肆
圆的方程
壹
教材知识萃取
1.圆的定义与方程
教材知识萃取
规律总结（1）若没有给出 ，则圆的半径为 .（2）在圆的一般方程中：当 时，方程 表示一个点 ;当 时，方程 没有意义，不表示任何图形.（3）以 ， 为直径端点的圆的方程为 .
注意 在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
第四讲+直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(3)由(x2＋y2－2x－6y＋1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两 圆的公共弦所在直线的方程为 4x＋3y－22＝0.
故两圆的公共弦的长为
2
32－|4＋34×2＋3－3222|2＝254.
【题后反思】 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间 的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方 程作差消去 x2，y2 项得到.
解析：由 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 得(x－1)2＋(y－1)2＝1， 因为直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，
所以|1＋m1－＋2m－2 m|<1，即 1＋m2＞1，
所以 m≠0，即 m∈(－∞，0)∪(0，＋∞). 答案：D
【题后反思】判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系判断. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可 判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于 动直线问题.
解：由题意得圆心 C(1，2)，半径 r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4， ∴点 P 在圆 C 上. 又 kPC＝2－2＋12－ －12＝－1，
∴切线的斜率 k＝－k1PC＝1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝x－( 2＋1)， 即 x－y＋1－2 2＝0.
如图 D72，设 P(0，－2)，PA，PB 分别切圆 C 于 A，B 两点， PC＝ 22＋22＝2 2，θ＝∠APB，α＝π－θ.
图 D72
在 Rt△PAC 中，sin 2θ＝PrC＝ 410， 所以 cos 2θ＝ 1－sin22θ＝ 46. 所以 sinθ＝2sin 2θcos 2θ＝2× 410× 46＝ 415，sin α＝sin (π－θ) ＝ 415.故选 B. 答案：B
高考数学一轮专项复习ppt课件-阿波罗尼斯圆与蒙日圆(北师大版)
√A.椭圆C的蒙日圆的方程为x2＋y2＝3b2 →→ B.对直线l上任意一点P，PA·PB >0 C.记点A到直线l的距离为d，则d－|AF2|的最小值为 433b
√D.若矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2
对于A，过点Q(a，b)可作椭圆的两条互相垂直的切线x＝a，y＝b， ∴点Q(a，b)在蒙日圆上， ∴蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2， 由 e＝ac＝ 1－ba22＝ 22得 a2＝2b2，
例2 (1)(2023·抚松模拟)蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该
定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心 的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：a＋x2 2＋ya2＝1(a>0)的蒙日 圆的方程为x2＋y2＝4，则a等于
√A.1
B.2
C.3
D.4
∵椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上， 找两个特殊点分别为(0， a)，( 2＋a，0)， 则两条切线分别是 x＝ 2＋a，y＝ a， 这两条切线互相垂直，且两条直线的交点为 P( 2＋a， a)， 而 P 在蒙日圆上，∴( 2＋a)2＋( a)2＝4，解得 a＝1.
性质 3 kOA·kPA＝－ba22，kOB·kPB＝－ba22(垂径定理的推广). 性质4 PO平分椭圆的切点弦AB. 性 质 5 延 长 PA ， PB 交 蒙 日 圆 O 于 两 点 C ， D ， 则 CD∥AB. 性质 6 S△AOB 的最大值为a2b，S△AOB 的最小值为aa2＋2b2b2. 性质 7 S△APB 的最大值为a2＋a4 b2，S△APB 的最小值为a2＋b4 b2.
由A知，a2＝2b2，则c2＝a2－b2＝b2，即c＝b， ∴F1 到直线 l 的距离 d′＝|－bca－2＋a2b－2 b2|＝|－b2－32bb2－b2|＝433b， ∴(d－|AF2|)min＝433b－2a，C 错误； 对于D，当矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切时，蒙日圆为矩形 MNGH的外接圆，
√D.若矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2
对于A，过点Q(a，b)可作椭圆的两条互相垂直的切线x＝a，y＝b， ∴点Q(a，b)在蒙日圆上， ∴蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2， 由 e＝ac＝ 1－ba22＝ 22得 a2＝2b2，
例2 (1)(2023·抚松模拟)蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该
定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心 的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：a＋x2 2＋ya2＝1(a>0)的蒙日 圆的方程为x2＋y2＝4，则a等于
√A.1
B.2
C.3
D.4
∵椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上， 找两个特殊点分别为(0， a)，( 2＋a，0)， 则两条切线分别是 x＝ 2＋a，y＝ a， 这两条切线互相垂直，且两条直线的交点为 P( 2＋a， a)， 而 P 在蒙日圆上，∴( 2＋a)2＋( a)2＝4，解得 a＝1.
性质 3 kOA·kPA＝－ba22，kOB·kPB＝－ba22(垂径定理的推广). 性质4 PO平分椭圆的切点弦AB. 性 质 5 延 长 PA ， PB 交 蒙 日 圆 O 于 两 点 C ， D ， 则 CD∥AB. 性质 6 S△AOB 的最大值为a2b，S△AOB 的最小值为aa2＋2b2b2. 性质 7 S△APB 的最大值为a2＋a4 b2，S△APB 的最小值为a2＋b4 b2.
由A知，a2＝2b2，则c2＝a2－b2＝b2，即c＝b， ∴F1 到直线 l 的距离 d′＝|－bca－2＋a2b－2 b2|＝|－b2－32bb2－b2|＝433b， ∴(d－|AF2|)min＝433b－2a，C 错误； 对于D，当矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切时，蒙日圆为矩形 MNGH的外接圆，
高考数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2ppt版本
5.若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准 方程为__x_2＋__(_y_－__1_)_2＝__1__. 解析 由题意知圆C的圆心为(0，1)，半径为1， 所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
解析答案
谢谢
2019/11/13
答案
(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定： 点M(m，n)在 圆C上 ⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点M(m，n)在 圆C外 ⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点M(m，n)在 圆C内 ⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2. 思考 确定点与圆的位置关系的关键是什么？
自主学习
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2
答案
思考 方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆吗？ 答 不一定.当m＝0时表示点(a，b)，当m≠0时，表示圆.
答案
知识点二 点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与 圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较： 若|CM|＝r，则点M在 圆上； 若|CM|>r，则点M在 圆外； 若|CM|<r，则点M在 圆内.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围 是( A ) A.－1＜a＜1 B.0＜a＜1 C.a＜－1或a＞1 D.－1＜a＜0 解析 直接利用点与圆的位置关系来判断. ∵点(1，1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4. 解得－1＜a＜1.
解析答案
题型二 点与圆的位置关系的判断 例2 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的 取值范围. 解 由题意，得点A在圆C上或圆C的外部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2， ∴2a＋5≥0， ∴a 的取值范围是－52，0∪(0，＋∞). 解 由已知，得 C(3，0)，r＝|A2B|＝2，
解析答案
谢谢
2019/11/13
答案
(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定： 点M(m，n)在 圆C上 ⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点M(m，n)在 圆C外 ⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点M(m，n)在 圆C内 ⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2. 思考 确定点与圆的位置关系的关键是什么？
自主学习
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2
答案
思考 方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆吗？ 答 不一定.当m＝0时表示点(a，b)，当m≠0时，表示圆.
答案
知识点二 点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与 圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较： 若|CM|＝r，则点M在 圆上； 若|CM|>r，则点M在 圆外； 若|CM|<r，则点M在 圆内.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围 是( A ) A.－1＜a＜1 B.0＜a＜1 C.a＜－1或a＞1 D.－1＜a＜0 解析 直接利用点与圆的位置关系来判断. ∵点(1，1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4. 解得－1＜a＜1.
解析答案
题型二 点与圆的位置关系的判断 例2 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的 取值范围. 解 由题意，得点A在圆C上或圆C的外部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2， ∴2a＋5≥0， ∴a 的取值范围是－52，0∪(0，＋∞). 解 由已知，得 C(3，0)，r＝|A2B|＝2，
高考数学一轮复习规划8.3圆的方程课件
＝x 上，则圆 C 的方程为
()
A. (x－1)2＋(y－1)2＝2
B. (x－1)2＋(y＋1)2＝2
C. (x＋1)2＋(y－1)2＝4
D. (x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解：圆心在 y＝x 上，设圆心为(a，a)，因为圆 C 与直线 y＝－x 及 x＋y－4＝0 都相
切，所以圆心到两直线 y＝－x 及 x＋y－4＝0 的距离相等，
核心考点
第八章 平面解析几何
若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2 关于直线 y＝kx＋3 对称，则 k 的值是
A. 2
B. －2
C. 1
() D. －1
解：由题意知直线 y＝kx＋3 过圆心(1，1)，即 1＝k＋3，解得 k＝－2. 故选 B.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第八章 平面解析几何
()
(4)若点 M(x0，y0)不在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 内，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F≥0.
()
(5)已知圆的方程为 x2＋y2－2y＝0，过点 A(1，2)作该圆的切线，只有一条. ( )
解：(1)√； (2)×； (3)×； (4)√； (5)×.
考试要求
必备知识
自主评价
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 因为点 A(4，1)，B(2，1)在圆上，故（ （42－ －aa） ）22＋ ＋（ （11－ －bb） ）22＝ ＝rr22， ， 又因为ba－ －12＝－1，解得 a＝3，b＝0，r＝ 2， 故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2. 故填(x－3)2＋y2＝2.
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第4课时 圆
要点·疑点·考点 课前热身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误解分析
要点·疑点·考点
1．定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(或轨迹)是圆.
2．标准方程 设圆心C(a,b)，半径为r，则标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 当圆心在原点时，圆的方程为x2+y2=r2.
3.一般方程 当D2+E2-4F＞0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般 方程.
【解题回顾】求圆的方程有两类方法：(1)几何法， 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系， 进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用“待 定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：
①根据题意选择方程的形式，标准形式或一般形式；
②利用条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般式
方程.
2.已知圆同时满足： (1)截y轴所得弦长为2； (2)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1； (3)圆心到直线x-2y=0的距离为55，求圆的方程.
若本题改为满足(1)(2)所有圆中，求圆心到x-2y=0的距 离最小的圆的方程，又如何求解?
3. 已知实数x,y满足x2+y2+2x-2√3y=0，求x+y的最小值.
【解题回顾】本题也可用分析法求证，即要证原不等 式成立，即证(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2).
5.在△ABC中，已知
，P是内切
圆上一点，求PA2+PB2+PC2的最大值与最小值.
【解题回顾】①对于圆上的动点，常常利用圆的参
数方程，设其坐标为(a+rcosθ，b+rsinθ)；在求某
【解题回顾】(1)本题可以理解成在约束条件下，求 目标函数z=x+y的最值.因此可以按线性规划思想求 解.先作出可行域是一个圆，再平行移动直线x+y=0, 相切时的两切线中的较小截距即为所求. (2)通过数形结合，本题也可求如x2+y２、 y 形式的
x4
最值. 返回
延伸·拓展
4. 已知 x2+y2=z2，x,y,z,a,b∈R+. 求证：
4．二元二次方程表示圆的充要条件 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程
A=C≠0 B=0
D2+E2-4AF＞0
5．圆的参数方程 设圆心C(a,b)，半径为r,则参数方程为
x y
a b
rcosθ rsinθ
( θ为参数)
返回
课前热身
1.过圆x2+y2=4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点
(A) - 1 t 1 7
(C) - 1 t 1 7
(B) - 1 t 1 2
(D) 1 t 2
5. k∈R，直线(k+1)x-ky-1=0被圆(x-1)2+(y-1)2=4截得的
弦长是( C )
(A)8
(B)2
(C)4
(D)值与k有关
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能力·思维·方法
1. 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线xy=0截下的弦长为2√7的圆的方程.
3. 若 过 点 (4 ， 2) 总 可 以 作 两 条 直 线 与 圆 (x-3m)2+(y4m)2=5(m+4)相切，则m的范围是( D )
(A)m 19
12
(C)m
0或m
9 5
(B) - 4 m 19
(D)
-
4
m
12 0或m
9 5
4.方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(t∈R)表示圆 方程，则t的取值范围是( C )
一变量的最值时，常构造一个目标函数加以解决， 如 本 题 中 ， PA2+PB2+PC2=80-8sinθ,θ=∠EOP∈[0, ， 2π].
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为A、B，则△ABP的外接圆方程是( D )
(A)(x-4)2+(y-2)2=1
(B)x2+(y-2)2=4
(C)(x+2)2+(y+1)2=1
(D)(x-2)2+(y-1)2=5
2.若点A、B分别在圆x2+y2=a，x2+y2=b(a≠b)上，则
OA·OB(O为原点)的取值范围是____________
要点·疑点·考点 课前热身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误解分析
要点·疑点·考点
1．定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(或轨迹)是圆.
2．标准方程 设圆心C(a,b)，半径为r，则标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 当圆心在原点时，圆的方程为x2+y2=r2.
3.一般方程 当D2+E2-4F＞0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般 方程.
【解题回顾】求圆的方程有两类方法：(1)几何法， 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系， 进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用“待 定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：
①根据题意选择方程的形式，标准形式或一般形式；
②利用条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般式
方程.
2.已知圆同时满足： (1)截y轴所得弦长为2； (2)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1； (3)圆心到直线x-2y=0的距离为55，求圆的方程.
若本题改为满足(1)(2)所有圆中，求圆心到x-2y=0的距 离最小的圆的方程，又如何求解?
3. 已知实数x,y满足x2+y2+2x-2√3y=0，求x+y的最小值.
【解题回顾】本题也可用分析法求证，即要证原不等 式成立，即证(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2).
5.在△ABC中，已知
，P是内切
圆上一点，求PA2+PB2+PC2的最大值与最小值.
【解题回顾】①对于圆上的动点，常常利用圆的参
数方程，设其坐标为(a+rcosθ，b+rsinθ)；在求某
【解题回顾】(1)本题可以理解成在约束条件下，求 目标函数z=x+y的最值.因此可以按线性规划思想求 解.先作出可行域是一个圆，再平行移动直线x+y=0, 相切时的两切线中的较小截距即为所求. (2)通过数形结合，本题也可求如x2+y２、 y 形式的
x4
最值. 返回
延伸·拓展
4. 已知 x2+y2=z2，x,y,z,a,b∈R+. 求证：
4．二元二次方程表示圆的充要条件 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程
A=C≠0 B=0
D2+E2-4AF＞0
5．圆的参数方程 设圆心C(a,b)，半径为r,则参数方程为
x y
a b
rcosθ rsinθ
( θ为参数)
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课前热身
1.过圆x2+y2=4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点
(A) - 1 t 1 7
(C) - 1 t 1 7
(B) - 1 t 1 2
(D) 1 t 2
5. k∈R，直线(k+1)x-ky-1=0被圆(x-1)2+(y-1)2=4截得的
弦长是( C )
(A)8
(B)2
(C)4
(D)值与k有关
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能力·思维·方法
1. 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线xy=0截下的弦长为2√7的圆的方程.
3. 若 过 点 (4 ， 2) 总 可 以 作 两 条 直 线 与 圆 (x-3m)2+(y4m)2=5(m+4)相切，则m的范围是( D )
(A)m 19
12
(C)m
0或m
9 5
(B) - 4 m 19
(D)
-
4
m
12 0或m
9 5
4.方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(t∈R)表示圆 方程，则t的取值范围是( C )
一变量的最值时，常构造一个目标函数加以解决， 如 本 题 中 ， PA2+PB2+PC2=80-8sinθ,θ=∠EOP∈[0, ， 2π].
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为A、B，则△ABP的外接圆方程是( D )
(A)(x-4)2+(y-2)2=1
(B)x2+(y-2)2=4
(C)(x+2)2+(y+1)2=1
(D)(x-2)2+(y-1)2=5
2.若点A、B分别在圆x2+y2=a，x2+y2=b(a≠b)上，则
OA·OB(O为原点)的取值范围是____________