七年级方程及方程组
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①变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；
②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；
如：方程 的一组解为 ，表明只有当 和 同时成立时，才能满足方程．
一般的，二元一次方程都有无数组解，但如果确定了一个未知数的值，那么另一个未知数的值也就随之确定了．
例题：
【例1】若 是关于x、y的二元一次方程，则 ______， ______．
【例2】已知方程 是关于x、y的二元一次方程，则 ______， ______．
⑤把这个方程组的解写成 的形式．
三、加减消元法
1、加减消元法的概念
当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法．
2、用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
时间
换表前
换表后
峰时（8︰00—21︰00）
谷时（21︰00—8︰00）
电价
每度元
每度元
每度元
小明家对换表后最初使用的95度电进行测算，经测算比换表前使用95度电节约了元，问小明家使用“峰时” 电和“谷时” 电分别是多少度
二元一次方程：
一、二元一次方程
含有两个未知数，并且两个未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
随堂练习：
1.如果 ，b是定值时，关于x的方程 总有一个解是1，求 ，b的值。
2.如果方程 有无穷多个解，求 ，b的值。
3.若关于x的方程 无解，试求m，n的值
4.据电力部门统计，每天8︰00至21︰00是用点高峰期，简称“峰时”，21︰00至次日8︰00是用电低谷期，简称“谷时”。为了缓解供电需求紧张的矛盾，我市电力部门拟逐步统一换装“峰谷分时”电表，对用电实行“峰谷分时电价”新政策，具体见下表：
等式性质2
分子、分母不能颠倒
解下列一元一次方程．
（1） ； （2） ；
（3） .（4）
（5） （6）
关于 方程 ．你会解这个方程吗
4、列方程解应用题的步骤：
（1）审——认真审题
（2）设——未知数
（3）表——用未知数表示有关的量。
（4）找——等量关系
（5）列——方程
（6）解——方程
（7）检——检验解是否符合题意
移 项
把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边
等式性质1
1．移项要变号；
2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边
合并同
类 项
把方程中的同类项分别合并，化成“ ”的形式（ ）
合并同类项法则
合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变
未知数的系数化成“1”
方程两边同除以未知数的系数 ，得
（8）答——做出答的结果。
在书写解题过程时，一般只需要设、列、解、答四个步骤即可。
练习：（1）已知 是关于 的方程 的解，求 的值；
（2）.某市为了鼓励节约用水，对自来水的收费标准作了如下规定：每月每户用水不超过10吨的部分，按0．45元/吨收费；超过10吨而不超过20吨的部分按0．80元/吨收费；超过20吨的部分按1．5元/吨收费．现已知李老师家某月缴水费14元，则李老师家这个月用水多少吨
变形步骤
具 体 方 法
变 形 根 据
注 意 事 项
去分母
方程两边都乘以各个分母的最小公倍数
等式性质2
1．不能漏乘不含分母的项；
2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
乘法分配律、去括号法则
1．分配律应满足分配到每一项
2．注意符号，特别是去掉括号
⑤把这个方程组的解写成 的形式．
1.用代入消元法解下列二元一次方程组：
（1） （2）
2.用加减消元法解下列二元一次方程组：
（1） （2）
练习：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
二元一次方程组的应用：
例：1.植物园门票价格如下表所示：
购票人数
1~50人
51~100人
100人以上
每人门票价
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做“消元”．使用“消元法”减少未知数的个数，使多元方程组最终转化为一元方程，再逐步解出未知数的值．
二、代入消元法
1、代入消元法的概念
将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法．
1.下列方程组中是二元一次方程组的是（）
A． B． C． D．
2.下列方程中，与方程 所组成的方程组的解是 的是（）
A． B． C． D．
3.若 是方程 的一个解，则 ．
解方程：
一、消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果能“消去”一个未知数，那么就能把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．
判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：
方程两边的代数式都是整式——分母中不能含有字母；
有两个未知数——“二元”；
含有未知数的项的最高次数为1——“一次”．
关于x、y的二元一次方程的一般形式： （ 且 ）．
二、二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组取值叫做二元一次方程的解．在写二元一次方程解的时候我们用大括号联立表示．
⑥ ，⑦ ，是一元一次方程的是 （ 只填序号）
（2）如果方程 是表示关于 的一元一次方程，那么 .
2、解一元一次方程的步骤：
等式的性质：
性质1：等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
性质2：等式两边都乘以或除以同一个数不等于0的数，所得结果仍是等式。
一般的，解一元一次方程的步骤是：去分母 、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 。
2、用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如 ），用另一个未知数（如 ）的代数式表示出来，即将方程写成 的形式；
②代入消元：将 代入另一个方程中，消去 ，得到一个关于 的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出 的值；
④回代：把求得的 的值代入 中求出 的值，从而得出方程组的解；
二元一次方程组中所有方程（一般为两个）的公共解叫做二元一次方程组的解．
注意：
（1）二元一次方程组的解一定要写成联立的形式，如方程组 的解是 ．
（2）二元一次方程组的解必须同时满足所有方程，即将解代入方程组的每一个方程时，等号两边的值都相等．例如：
因为 能同时满足方程 、 ，所以 是方程组 的解．
ຫໍສະໝຸດ Baidu随堂检测：
3.某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A
B
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1380
1200
（注：获利 = 售价 — 进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；
（2）当 时，从“数”看：方程组_______解；
（3）当 时，从“数”看：方程组有_______解；
（4）已知 是关于x、y的二元一次方程 的一组解，求 的值．
二元一次方程组：
一、二元一次方程组
由几个一次方程组成并且一共含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
特别地， 和 也是二元一次方程组．
二、二元一次方程组的解
【知识点梳理】
一元一次方程：
1、方程的有关概念：
（1）一元一次方程：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的整式方程，这样的方程叫做一元一次方程。
（2）方程的解——能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
（3）解方程——求方程的解的过程叫做解方程。
练习：（1）下列各式中：① ，② ，③ ， ④ ，⑤ ，
13元
11元
9元
某学校七年级（3），（4）两个班共104人五一节去植物园春游，其中（3）班人数较少，不到50人，（4）班人数较多，有50多人，经估算如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元。
（1）你能否算出两个班各有多少学生
（2）他们如何购票比较合算
2.甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米
【例3】若方程 是关于x、y的二元一次方程，则m的值为_______，n的值为_______．
【例4】要使方程组 有正整数解，则整数a的值是．
【例5】关于二元一次方程组 的解．（其中6个常数均不为零．）（每小题前一个空选填“唯一”、“无”或“无穷多组”）．
（1）当 时，从“数”看：方程组有_______解；
②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；
如：方程 的一组解为 ，表明只有当 和 同时成立时，才能满足方程．
一般的，二元一次方程都有无数组解，但如果确定了一个未知数的值，那么另一个未知数的值也就随之确定了．
例题：
【例1】若 是关于x、y的二元一次方程，则 ______， ______．
【例2】已知方程 是关于x、y的二元一次方程，则 ______， ______．
⑤把这个方程组的解写成 的形式．
三、加减消元法
1、加减消元法的概念
当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法．
2、用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
时间
换表前
换表后
峰时（8︰00—21︰00）
谷时（21︰00—8︰00）
电价
每度元
每度元
每度元
小明家对换表后最初使用的95度电进行测算，经测算比换表前使用95度电节约了元，问小明家使用“峰时” 电和“谷时” 电分别是多少度
二元一次方程：
一、二元一次方程
含有两个未知数，并且两个未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
随堂练习：
1.如果 ，b是定值时，关于x的方程 总有一个解是1，求 ，b的值。
2.如果方程 有无穷多个解，求 ，b的值。
3.若关于x的方程 无解，试求m，n的值
4.据电力部门统计，每天8︰00至21︰00是用点高峰期，简称“峰时”，21︰00至次日8︰00是用电低谷期，简称“谷时”。为了缓解供电需求紧张的矛盾，我市电力部门拟逐步统一换装“峰谷分时”电表，对用电实行“峰谷分时电价”新政策，具体见下表：
等式性质2
分子、分母不能颠倒
解下列一元一次方程．
（1） ； （2） ；
（3） .（4）
（5） （6）
关于 方程 ．你会解这个方程吗
4、列方程解应用题的步骤：
（1）审——认真审题
（2）设——未知数
（3）表——用未知数表示有关的量。
（4）找——等量关系
（5）列——方程
（6）解——方程
（7）检——检验解是否符合题意
移 项
把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边
等式性质1
1．移项要变号；
2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边
合并同
类 项
把方程中的同类项分别合并，化成“ ”的形式（ ）
合并同类项法则
合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变
未知数的系数化成“1”
方程两边同除以未知数的系数 ，得
（8）答——做出答的结果。
在书写解题过程时，一般只需要设、列、解、答四个步骤即可。
练习：（1）已知 是关于 的方程 的解，求 的值；
（2）.某市为了鼓励节约用水，对自来水的收费标准作了如下规定：每月每户用水不超过10吨的部分，按0．45元/吨收费；超过10吨而不超过20吨的部分按0．80元/吨收费；超过20吨的部分按1．5元/吨收费．现已知李老师家某月缴水费14元，则李老师家这个月用水多少吨
变形步骤
具 体 方 法
变 形 根 据
注 意 事 项
去分母
方程两边都乘以各个分母的最小公倍数
等式性质2
1．不能漏乘不含分母的项；
2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
乘法分配律、去括号法则
1．分配律应满足分配到每一项
2．注意符号，特别是去掉括号
⑤把这个方程组的解写成 的形式．
1.用代入消元法解下列二元一次方程组：
（1） （2）
2.用加减消元法解下列二元一次方程组：
（1） （2）
练习：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
二元一次方程组的应用：
例：1.植物园门票价格如下表所示：
购票人数
1~50人
51~100人
100人以上
每人门票价
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做“消元”．使用“消元法”减少未知数的个数，使多元方程组最终转化为一元方程，再逐步解出未知数的值．
二、代入消元法
1、代入消元法的概念
将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法．
1.下列方程组中是二元一次方程组的是（）
A． B． C． D．
2.下列方程中，与方程 所组成的方程组的解是 的是（）
A． B． C． D．
3.若 是方程 的一个解，则 ．
解方程：
一、消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果能“消去”一个未知数，那么就能把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．
判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：
方程两边的代数式都是整式——分母中不能含有字母；
有两个未知数——“二元”；
含有未知数的项的最高次数为1——“一次”．
关于x、y的二元一次方程的一般形式： （ 且 ）．
二、二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组取值叫做二元一次方程的解．在写二元一次方程解的时候我们用大括号联立表示．
⑥ ，⑦ ，是一元一次方程的是 （ 只填序号）
（2）如果方程 是表示关于 的一元一次方程，那么 .
2、解一元一次方程的步骤：
等式的性质：
性质1：等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
性质2：等式两边都乘以或除以同一个数不等于0的数，所得结果仍是等式。
一般的，解一元一次方程的步骤是：去分母 、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 。
2、用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如 ），用另一个未知数（如 ）的代数式表示出来，即将方程写成 的形式；
②代入消元：将 代入另一个方程中，消去 ，得到一个关于 的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出 的值；
④回代：把求得的 的值代入 中求出 的值，从而得出方程组的解；
二元一次方程组中所有方程（一般为两个）的公共解叫做二元一次方程组的解．
注意：
（1）二元一次方程组的解一定要写成联立的形式，如方程组 的解是 ．
（2）二元一次方程组的解必须同时满足所有方程，即将解代入方程组的每一个方程时，等号两边的值都相等．例如：
因为 能同时满足方程 、 ，所以 是方程组 的解．
ຫໍສະໝຸດ Baidu随堂检测：
3.某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A
B
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1380
1200
（注：获利 = 售价 — 进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；
（2）当 时，从“数”看：方程组_______解；
（3）当 时，从“数”看：方程组有_______解；
（4）已知 是关于x、y的二元一次方程 的一组解，求 的值．
二元一次方程组：
一、二元一次方程组
由几个一次方程组成并且一共含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
特别地， 和 也是二元一次方程组．
二、二元一次方程组的解
【知识点梳理】
一元一次方程：
1、方程的有关概念：
（1）一元一次方程：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的整式方程，这样的方程叫做一元一次方程。
（2）方程的解——能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
（3）解方程——求方程的解的过程叫做解方程。
练习：（1）下列各式中：① ，② ，③ ， ④ ，⑤ ，
13元
11元
9元
某学校七年级（3），（4）两个班共104人五一节去植物园春游，其中（3）班人数较少，不到50人，（4）班人数较多，有50多人，经估算如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元。
（1）你能否算出两个班各有多少学生
（2）他们如何购票比较合算
2.甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米
【例3】若方程 是关于x、y的二元一次方程，则m的值为_______，n的值为_______．
【例4】要使方程组 有正整数解，则整数a的值是．
【例5】关于二元一次方程组 的解．（其中6个常数均不为零．）（每小题前一个空选填“唯一”、“无”或“无穷多组”）．
（1）当 时，从“数”看：方程组有_______解；