力学课件 功和能1

例2: 如图,作用于一质点的力F 随质点
位置的变 化为： F 2 yi 4x2 j (N)
求其沿oab和ob所作功。
解: AF (oab) (Fxdx Fydy)
y (m) 1
O1
b
a 2 x (m)
oab
1
(2 ydx 4x2dy) 0 16dy 16 J
oab
AF (ob) (2 ydx 4x2dy) 利用 y x / 2
解题时应注意:
•外力、内力都可作功，都可改变系统动能.
•要分析受力情况, 各个力是否作功, 正功或负功
•要明确初、末态, 确定其动能
§3-2.动能定理
理学院 物理系 陈强
例: 如图, 求弹簧(劲度系数k)为原长, 无初速加上物体
m时, 弹簧的最大压缩量xm, 设A板质量不计.
解: 物体从x = 0到x =xm时,
A G
1 mv2 2
1 2
m
v02
v
A 0
(
源自文库
N
与 d r
垂直)
N
AG mgh
A fr
1 mv2 2
1 2
m
v02
mgh
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§3-2.动能定理
例3：已知：一轻弹簧，原长AB，劲度 系数为k，A端固定，物体靠在光滑的 圆柱体表面上，半径R，在变力 f (沿切 线方向)作用下，将m沿圆弧极缓慢地从
质点系的动能定理: A外 A内 Ek
任一过程中质点系动能的增量等于外力作功与 内力作功之和.
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作业：2.15（用功能关系求解）, 2.16, 2.17,
补充：一物体按规律x=At2在空气中作直线 运动，式中A(＞0)为常量，t为时间，若 空气对物体的阻力正比于物体的速度， 阻力系数为k，求物体由x=0运动到x=L的 过程中，阻力所作的功.
Ek
1 m 2
2
质点的动能定理: dA合 dEk 微分形式
A合 Ek 积分形式
即：某过程中质点动能的增量等于它所受合力 在该过程中作的功。
§3-2.动能定理
理学院 物理系 陈强
A合
1 2
m
2
1 2
m
2 0
• 只对惯性系适用, 在所有惯性系中形式相同
例1：同前例,用水平力极缓慢地将m拉高h, 求Af . m的动能不变
A1 mgxm 0
A
A2
xm 0
(kx)dx
1 2
kxm2
0
根据动能定理有:
mgxm
1 2
kxm2
0
即
xm
2 mg k
mO x
功
动能
b
b
Af (a b) a(L) dAf a(L) f dr
Ek
1 m 2
2
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dr b f
a
质点的动能定理: A合 Ek
某过程中质点动能的增量等于它所受合力在该 过程中作的功。
积分形式: A外 A内 Ek
(末态初态)
任一过程中质点系动能的增量等于外力作功与
内力作功之和.
§3-2.动能定理
质点系的动能定理: A外 A内 Ek
• 适用于惯性系;
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• 质点系内各质点有不同位移
先求各外力作功再求代数和A外;
• A内是所有成对内力作功之和, 一般不为零, 与参 考系的 选择无关： f12 dr1 f21 dr2 f12 (dr1 dr2 ) f21 (dr2 dr1 )
0
元功：dAf f cos ds
Af
0 fl cos d
0
mgl 0 sin d 0
l
T m
fh
mg
mgl(1 cos0 )
Af mgh
§3-1. 功、功率
三. 一对力作功的特点
如图, 一物 体在地面滑动,
fm
S
地面系：f 作负功 生热
m 静止系：有摩擦没位移, f 不作功
“摩擦生热”与参考系有关? 如 若图位移, 相为互作drA用、力d（rB 一对力）fA fB
力对空间的累积作用与物体运动量的变化
§3-1. 功、功率
§3-1. 功、功率
一.功的定义
1．恒力的功: (直线运动 )
Af ( A B) f S cos f S
f f1
f2
A
f3
S
B
x
2．变力的功
作元曲功线: d运A动f 的f质 d点r 受到( 变d力r 作 d用S.
怎么办? )
b
b
dr
ob
2
xdx
2 2x2dx 7.3 J
0
0
§3-1. 功、功率
理学院 物理系 陈强
例3:一质 点在坐标平面内作圆运动，所受外力中
某一力 f y 2i x R2 j (SI)， y
问：当该质点自原点o运m动到a 点过程中f所作的功是多少M?
a
o
x
R
A
解:
A
f dr
oa
oa ?f x3d-x8? f ydy
ma
G
r
ha
b hb
变力作功： 元功 dAf
f dr
f
dr
cos
f ds
fxdx fydy fzdz
b
Af (a b) a( L) dAf
b
(
a( L)
fxdx
fydy
f z dz )
L: 从a到b所经过 的路径
• 力作用对空间的积累 受空间性质的影响
§3-1. 功、功率
? 3-2
y2dx x R2 dy oa
x R2 y2 R2
A 2R R2 x R2 dx 0 R2 y2 dy
0
0
4 R3 3 7
§3-1. 功、功率
例4: 如图, 用水平力 f 极缓慢地将m拉高h, 求Af .
解: 极缓慢 切向合力抵消
f cos mg sin 0
b f
Af (a b) a(L) dAf a(L) f dr a
• 标量、过程量(与路径有关)、相对量(与参考系有关)
•沿运动轨迹积分 力作用对空间的积累
§3-1. 功、功率
多个力作用于一个质点怎么办?
• 合力的功等于各分力的功之和
b
A ( a( L)
Fi ) dr
b ( F a( L) i dr )
f mC
R
B
B拉至C。求：外力功？
A
解：法一
用功的定义做
f
A f dr f dr cos
N
'
mg
f弹
fds 0 fRd'
f f弹 mg cos' kR'mg cos'
A kR'mgcos'Rd' 1 kR2 2 mgRsin
0
2
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§3-2.动能定理
mB
mA rAB
fB rB
则这对力所作总元功为： dA fA drA fB drB
fA rA
O
即：
fB (drB drA ) fB d(rB rA ) dA fB drAB (与相对位移有关)
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Nm
v12
1
2
v2
光滑
v1
N′ M
N N
不垂直于v1 不N垂v直 12于, v即2
A合 AG AT Af 0 又：AT 0;
AG mgh mgh
Af AG AT mgh
0
l
T m
fh
mg
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§3-2.动能定理
例2： m沿弯曲轨道有摩擦地下滑，已知 m ,h,v0 ,v
求：下滑过程中摩擦阻力的功？
v0
fr
N
h
G
解：由动能定理
A N
A fr
3. 功率 平均功率： P A
t
瞬时功率：令 t 0,
P dA
f dr
f
v
dt dt
二. 功的计算
恒力的功：Af (a b)
b f dr
a
f
b dr
a
f ab
§3-1. 功、功率
例1 : 求重力作功.
解：
AG
G
r
mg ( ha
hb )
mgh
AG mgh
法2 用动能定理做
研究：m
f
N
由动能定理 A Ek
A A A A 0
N
f
f弹
G
'
mg
f弹
A 0, A 1 kR 2
N
f弹
2
AG mgRsin
A m gRsin 1 kR2 2
f
2
§3-2.动能定理
理学院 物理系 陈强
二. 质点系的动能定理
对m1,m2分别 用动能定理, 有:
第三章 功和能
§3-1. 功、功率 §3-2.动能定理 §3-3. 质点系的势能 §3-4. 功能原理, 机械能守恒定律
第三章 功和能
物体运动状态的变化是力持续作用的累积效应 •对空间的累积 功、能和相关定律、定理 •对时间的累积 动量/角动量和相关定律、定理 •其重要性和适用性超出经典物理的范畴！ 本章：
N
d
AN
AN
r12
0
0
A对 AN AN 0
10
§3-1. 功、功率
可见，一对力作功有如下特点：
1) 选参考系：如选取其中一个为参考系，drAB则就 是另一物体的位移
2) 无相对运动或相对运动方向与力的方向垂直，则 这对力所作的总功为零。
一对正压力／静摩擦力／刚体内力之功恒为零。
3) 注意区分一对力的功和单个力的功, 上述结论对
f1 f12 dr1 dEk1 f2 f21 dr2 dEk2
f1
f2
m1 f12 f21 m2
相加得: f1 dr1 f2 dr2 f12 dr1 f21 dr2 dEk1 dEk2
dA外 dA内 dEk 类推到N个质点仍成立，称为质点系的动能定理。
21
单个力可能不成立!
回到开始问题：
Sm
m静止系：f ' 摩擦生热
f'
摩擦生热与参考系无关！
§3-2.动能定理
理学院 物理系 陈强
§3-2.动能定理
一. 质点的动能及动能定理
物体由于运动具有能量，怎样描述？
dr m
F合
dA合
F合
dr
m dv
dt
dr
mv
dv
d
1 2
m
2
定义质点的动能为: