韩伯棠管理运筹学(第三版)_第八章_整数规划
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工作 工人 甲 乙 丙 丁 A 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17
解：引入0—1变量 xij，并令
xij =1(当指派第 i人去完成第j项工作时)或0(当不指 派第i人去完成第j项工作时)．这可以表示为一个0--1 整数规划问题：
资源 金属板（吨） 劳动力（人月） 机器设备（台月） 小号容器 2 2 1 中号容器 4 3 2 大号容器 8 4 3
22
§3 整数规划的应用
解：这是一个整数规划的问题。 设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大
号容器的生产数量。各种容器的固定费用只有在
生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种容器即 xi = 0 时）。 引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，
运筹学
第八章 整数规划
1
第六章 整数规划
§1 整数规划的图解法 §2 整数规划的计算机求解 §3 整数规划的应用
*§4 整数规划的分枝定界法
2
第六章 整数规划
整数规划是一类要求变量取整数值的数学规划， 可分成线性和非线性两类。 整数线性规划(Integer Linear Programming， 简记为ILP)问题研究的是要求变量取整数值时， 在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题， 是应用非常广泛的运筹学的一个重要分支。 应用实例：
5 6 27 20 17 27 15 10 21 25 0 14 14 0
17
18
练习、背包问题
背包可装入8单位重量，10单位体积物品。若 背包中每件物品至多只能装一个，怎样才能使背包 装的物品价值最高。 物品 名称 重量 体积 价值
1
2
书
摄像机
5
3
2
1
20
30
3
4 5
枕头
休闲食品 衣服
1
2 4
剪枝：把那些子问题的最优值与界值比较， 凡不优或不能更优的分枝全剪掉，直到每个 分枝都查清为止。
例：分支定界法的求解思路图 线性规划1 Z1=14.66 X1=2.44 X2=3.26 X1≤2 线性规划2 Z2=13.90 X1=2 X2=3.30
z=13,
z
=14.66
X1≥3 线性规划3 Z3=14.58 X1=3 X2=2.86 z=13, z =14.58 X2≥3
每件重量 (百千克) 4 40 140
每件利润 （百元） 2 3
甲种货物至多托运4件，问两Fra Baidu bibliotek货物各托运多 少件，可使获得利润最大。
5
§1 整数规划的图解法
货物
甲 乙 托运限制 每件体积 (立方米) 195 273 1365 每件重量 (百千克) 4 40 140 每件利润 （百元） 2 3
解：设x1 、 x2分别为甲、乙两种货物托运的件数，建 立模型。 目标函数： Max z = 2x1 +3x2 约束条件：s.t. 195 x1 + 273 x2 ≤1365 4 x1 + 40 x2 ≤140 x1 ≤4 x1，x2 ≥0, 为整数。 如果去掉最后一个约束，就是一个线性规划问题. 6
Max z = 3x1 + x2 + 3x3
s.t. -x1 + 2x2 + x3 ≤ 4 4x2 -3x3 ≤2 x1 -3x2 + 2x3 ≤3 x1, x2, x3 ≥ 0 , 为整数 用《管理运筹学》软件 求解得： x 1 = 5 x2 = 2 x3 = 2
用《管理运筹学》软件求 解得: z = 16.25 x1 = 4 x2 = 1.25 x3 = 1 12
以保证当 yi = 0 时，xi = 0 。
23
§3 整数规划的应用
资源 小号容器 2 金属板（吨） 2 劳动力（人月） 1 机器设备（台月） 中号容器 大号容器 4 8 3 4 2 3 供给量 500 300 1000
这样我们可建立如下的数学模型： Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500 2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大 xj ≥ 0 yj 为0--1变量，i = 1,2,3
§1 整数规划的图解法
对于整数规划，易知有以下性质：
性质1：任何求最大目标函数值的纯整数规 划或混合整数规划的最大目标函数值小于 或等于相应的线性规划的最大目标函数值； 任何求最小目标函数值的纯整数规划或混 合整数规划的最小目标函数值大于或等于 相应的线性规划的最小目标函数值。
8
§2 分支定界法以及计算机求解
例7．有四个工人，要分别指派他们完成四项 不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间 如下表所示，问应如何指派工作，才能使总 的消耗时间为最少。
工作 工人 甲 乙 丙 丁 A 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17
26
§3 整数规划的应用
§1 整数规划的图解法
x2
Max z = 2x1 +3x2
4 x1+40 x2 =140
3 2 1 1 2 3 4 x1
195x1+273x2=1365
利用图解法，得到线性规划的最优解为x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为14.66。 由图表可看出, 整数规划的最优解为x1=4, x2=2, 目标函数值为14。 7
100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10≤ 720
x1 + x2 + x3 ≤ 2 x4 + x5 ≥ 1 x6 + x7 ≥ 1 x8 + x9 + x10 ≥ 2 xj ≥ 0 且xj 为0--1变量，i = 1, 2, 3, … ,10
A1
A2
A3
A4 80
A5 70
A6 90
A7 80
A8
A9
A10
投资额 100 120 150
140 160 180
36 40 50 22 20 30 25 48 58 61 利润 Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的， 预测情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万 元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大? 13
一般形式：
max Z
Ci xi
i 1
n
n ai xi b i 1 xi 0, 整数
xi为i 物品携带数量 ai为i 物品单位重量
ci为i 物品重要性估价
b为最大负重
§3 整数规划的应用
二、固定成本问题 例6．高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属 容器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一 个容器所需的各种资源的数量如表所示。不考虑固定费 用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、 6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机 器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多少，都 要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万 元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获得 的利润为最大。
X2≤2 线性规划4 Z4=14.00 X1=4 X2=2
z=14, =14
线性规划5 无可行解
z
§2 整数规划的计算机求解
例2： 例3： Max z = 3x1 + x2 + 3x3 s.t. -x1 + 2x2 + x3 ≤ 4 4x2 -3x3 ≤2 x1 - 3x2 + 2x3 ≤3 x3 ≤1 x1, x2, x3 ≥ 0 x1，x3 为整数，x3 为0-1 变量
4
3 5
10
18 15
物品 名称 1 书 2 摄像机 3 枕头 4 休闲食品 5 衣服
重量 5 3 1 2 4
体积 2 1 4 3 5
价值 20 30 10 18 15
解：xi为是否带第 i 种物品 Max Z=20x1 + 30x2 +10x3+18x4 +15x5 5x1+3x2 +x3 +2x4 +4x5 8 2x1+x2 +4x3 +3x4 +5x5 10 xi为0, 1
例5、解决某市消防站的布点问题，该城市有6个区， 每个区都可以建消防站。市政府希望设置的消防站 最少，但必须满足在城市的任何地区发生火警时， 消防车要在15分钟内赶到现场。据实地测定，各区 之间消防车行驶的时间如下表所示，请帮助该市制 定一个最省的计划。 1 2 3 4 5 6 1 0 10 16 28 27 20 2 10 0 24 32 17 10 3 16 24 0 12 27 21 4 28 32 12 0 15 25 5 27 17 27 15 0 14 6 20 10 21 25 14 0
A1 利润 36
A2 40
A3 50
A4 80 22
A5 70 20
A6 90 30
A7 80 25
A8 48
A9 58
A10 61
投资额 100 120 150
140 160 180
解：设：0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用)或 0 (Ai 点没被选用)。 这样我们可建立如下的数学模型： Max z=36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t.
• 分枝定界法步骤： 求解与IP相应的LP问题，可能会出现下面 几种情况： 若所得的最优解的各变量恰好取整数，则这 个解也是原整数规划的最优解，计算结束。 若无可行解，则原整数规划问题也无可行解， 计算结束。
若有最优解，但其各分量不全是整数，则这 个解不是原整数规划的最优解，转下一步。
9
• 分枝定界法步骤（续）： 从不满足整数条件的基变量中任选 一个xl进 行分枝，它必须满足xl [xl ] 或xl [xl ] +1中的一个，把这两个约束条件加进原问题 中，形成两个互不相容的子问题（分枝）。 定界：把满足整数条件各分枝的最优目标函 数值作为上（下）界，用它来判断分枝是保 留还是剪枝。
设 xi =1,0; 1－i 区建消防站，0－i 区不建消 防站，i=1,…6 min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x1 + x2 ≥1, x3 + x4 ≥1, x3 + x4 + x5 ≥1 1 2 3 4 5 6 1 0 10 16 28 27 20 x4 + x5 + x6 ≥1, 2 10 0 24 32 17 10 x2 + x6 ≥1 3 16 24 0 12 27 21 xi = 0, 1; i=1,…6 4 28 32 12 0 15 25
24
§3 整数规划的应用
三、指派问题 有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分 别承担这些任务，但由于每人特长不同，完 成各项任务的效率等情况也不同。现假设必 须指派每个人去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给n个人，使得完成 n 项任务的 总的效率最高，这就是指派问题。
25
§3 整数规划的应用
§3 整数规划的应用
一、投资场所的选择 例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区 建立销售门市部，拟议中有10个位置 Aj (j=1,2,3,…,10)可供选 择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定: 在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。
● 项目投资问题 ● 选址问题 ● 工作分配问题 ● 背包问题
3
第六章 整数规划
根据变量的取值情况，整数线性规划又可以分 为纯整数规划（所有变量取整数），混合整数规 划（部分变量取整数），0-1整数规划（变量只 取0或1）等。
求整数解的线性规划问题，不是用四舍五入法 或去尾法对线性规划的非整数解加以处理就能解 决的。整数线性规划一些基本算法的设计是以相 应线性规划的最优解为出发点而发展出来的。
整数规划是数学规划中一个较弱的分支，目前 有成熟的方法解线性整数规划问题，而非线性整 数规划问题，还没有好的办法。
4
§1 整数规划的图解法
例1. 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物， 这两种货物每件的体积、重量、可获利润以及 托运所受限制如表所示。
货物
甲 乙 托运限制
每件体积 (立方米) 195 273 1365
解：引入0—1变量 xij，并令
xij =1(当指派第 i人去完成第j项工作时)或0(当不指 派第i人去完成第j项工作时)．这可以表示为一个0--1 整数规划问题：
资源 金属板（吨） 劳动力（人月） 机器设备（台月） 小号容器 2 2 1 中号容器 4 3 2 大号容器 8 4 3
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§3 整数规划的应用
解：这是一个整数规划的问题。 设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大
号容器的生产数量。各种容器的固定费用只有在
生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种容器即 xi = 0 时）。 引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，
运筹学
第八章 整数规划
1
第六章 整数规划
§1 整数规划的图解法 §2 整数规划的计算机求解 §3 整数规划的应用
*§4 整数规划的分枝定界法
2
第六章 整数规划
整数规划是一类要求变量取整数值的数学规划， 可分成线性和非线性两类。 整数线性规划(Integer Linear Programming， 简记为ILP)问题研究的是要求变量取整数值时， 在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题， 是应用非常广泛的运筹学的一个重要分支。 应用实例：
5 6 27 20 17 27 15 10 21 25 0 14 14 0
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18
练习、背包问题
背包可装入8单位重量，10单位体积物品。若 背包中每件物品至多只能装一个，怎样才能使背包 装的物品价值最高。 物品 名称 重量 体积 价值
1
2
书
摄像机
5
3
2
1
20
30
3
4 5
枕头
休闲食品 衣服
1
2 4
剪枝：把那些子问题的最优值与界值比较， 凡不优或不能更优的分枝全剪掉，直到每个 分枝都查清为止。
例：分支定界法的求解思路图 线性规划1 Z1=14.66 X1=2.44 X2=3.26 X1≤2 线性规划2 Z2=13.90 X1=2 X2=3.30
z=13,
z
=14.66
X1≥3 线性规划3 Z3=14.58 X1=3 X2=2.86 z=13, z =14.58 X2≥3
每件重量 (百千克) 4 40 140
每件利润 （百元） 2 3
甲种货物至多托运4件，问两Fra Baidu bibliotek货物各托运多 少件，可使获得利润最大。
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§1 整数规划的图解法
货物
甲 乙 托运限制 每件体积 (立方米) 195 273 1365 每件重量 (百千克) 4 40 140 每件利润 （百元） 2 3
解：设x1 、 x2分别为甲、乙两种货物托运的件数，建 立模型。 目标函数： Max z = 2x1 +3x2 约束条件：s.t. 195 x1 + 273 x2 ≤1365 4 x1 + 40 x2 ≤140 x1 ≤4 x1，x2 ≥0, 为整数。 如果去掉最后一个约束，就是一个线性规划问题. 6
Max z = 3x1 + x2 + 3x3
s.t. -x1 + 2x2 + x3 ≤ 4 4x2 -3x3 ≤2 x1 -3x2 + 2x3 ≤3 x1, x2, x3 ≥ 0 , 为整数 用《管理运筹学》软件 求解得： x 1 = 5 x2 = 2 x3 = 2
用《管理运筹学》软件求 解得: z = 16.25 x1 = 4 x2 = 1.25 x3 = 1 12
以保证当 yi = 0 时，xi = 0 。
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§3 整数规划的应用
资源 小号容器 2 金属板（吨） 2 劳动力（人月） 1 机器设备（台月） 中号容器 大号容器 4 8 3 4 2 3 供给量 500 300 1000
这样我们可建立如下的数学模型： Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500 2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大 xj ≥ 0 yj 为0--1变量，i = 1,2,3
§1 整数规划的图解法
对于整数规划，易知有以下性质：
性质1：任何求最大目标函数值的纯整数规 划或混合整数规划的最大目标函数值小于 或等于相应的线性规划的最大目标函数值； 任何求最小目标函数值的纯整数规划或混 合整数规划的最小目标函数值大于或等于 相应的线性规划的最小目标函数值。
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§2 分支定界法以及计算机求解
例7．有四个工人，要分别指派他们完成四项 不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间 如下表所示，问应如何指派工作，才能使总 的消耗时间为最少。
工作 工人 甲 乙 丙 丁 A 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17
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§3 整数规划的应用
§1 整数规划的图解法
x2
Max z = 2x1 +3x2
4 x1+40 x2 =140
3 2 1 1 2 3 4 x1
195x1+273x2=1365
利用图解法，得到线性规划的最优解为x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为14.66。 由图表可看出, 整数规划的最优解为x1=4, x2=2, 目标函数值为14。 7
100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10≤ 720
x1 + x2 + x3 ≤ 2 x4 + x5 ≥ 1 x6 + x7 ≥ 1 x8 + x9 + x10 ≥ 2 xj ≥ 0 且xj 为0--1变量，i = 1, 2, 3, … ,10
A1
A2
A3
A4 80
A5 70
A6 90
A7 80
A8
A9
A10
投资额 100 120 150
140 160 180
36 40 50 22 20 30 25 48 58 61 利润 Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的， 预测情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万 元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大? 13
一般形式：
max Z
Ci xi
i 1
n
n ai xi b i 1 xi 0, 整数
xi为i 物品携带数量 ai为i 物品单位重量
ci为i 物品重要性估价
b为最大负重
§3 整数规划的应用
二、固定成本问题 例6．高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属 容器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一 个容器所需的各种资源的数量如表所示。不考虑固定费 用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、 6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机 器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多少，都 要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万 元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获得 的利润为最大。
X2≤2 线性规划4 Z4=14.00 X1=4 X2=2
z=14, =14
线性规划5 无可行解
z
§2 整数规划的计算机求解
例2： 例3： Max z = 3x1 + x2 + 3x3 s.t. -x1 + 2x2 + x3 ≤ 4 4x2 -3x3 ≤2 x1 - 3x2 + 2x3 ≤3 x3 ≤1 x1, x2, x3 ≥ 0 x1，x3 为整数，x3 为0-1 变量
4
3 5
10
18 15
物品 名称 1 书 2 摄像机 3 枕头 4 休闲食品 5 衣服
重量 5 3 1 2 4
体积 2 1 4 3 5
价值 20 30 10 18 15
解：xi为是否带第 i 种物品 Max Z=20x1 + 30x2 +10x3+18x4 +15x5 5x1+3x2 +x3 +2x4 +4x5 8 2x1+x2 +4x3 +3x4 +5x5 10 xi为0, 1
例5、解决某市消防站的布点问题，该城市有6个区， 每个区都可以建消防站。市政府希望设置的消防站 最少，但必须满足在城市的任何地区发生火警时， 消防车要在15分钟内赶到现场。据实地测定，各区 之间消防车行驶的时间如下表所示，请帮助该市制 定一个最省的计划。 1 2 3 4 5 6 1 0 10 16 28 27 20 2 10 0 24 32 17 10 3 16 24 0 12 27 21 4 28 32 12 0 15 25 5 27 17 27 15 0 14 6 20 10 21 25 14 0
A1 利润 36
A2 40
A3 50
A4 80 22
A5 70 20
A6 90 30
A7 80 25
A8 48
A9 58
A10 61
投资额 100 120 150
140 160 180
解：设：0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用)或 0 (Ai 点没被选用)。 这样我们可建立如下的数学模型： Max z=36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t.
• 分枝定界法步骤： 求解与IP相应的LP问题，可能会出现下面 几种情况： 若所得的最优解的各变量恰好取整数，则这 个解也是原整数规划的最优解，计算结束。 若无可行解，则原整数规划问题也无可行解， 计算结束。
若有最优解，但其各分量不全是整数，则这 个解不是原整数规划的最优解，转下一步。
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• 分枝定界法步骤（续）： 从不满足整数条件的基变量中任选 一个xl进 行分枝，它必须满足xl [xl ] 或xl [xl ] +1中的一个，把这两个约束条件加进原问题 中，形成两个互不相容的子问题（分枝）。 定界：把满足整数条件各分枝的最优目标函 数值作为上（下）界，用它来判断分枝是保 留还是剪枝。
设 xi =1,0; 1－i 区建消防站，0－i 区不建消 防站，i=1,…6 min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x1 + x2 ≥1, x3 + x4 ≥1, x3 + x4 + x5 ≥1 1 2 3 4 5 6 1 0 10 16 28 27 20 x4 + x5 + x6 ≥1, 2 10 0 24 32 17 10 x2 + x6 ≥1 3 16 24 0 12 27 21 xi = 0, 1; i=1,…6 4 28 32 12 0 15 25
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§3 整数规划的应用
三、指派问题 有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分 别承担这些任务，但由于每人特长不同，完 成各项任务的效率等情况也不同。现假设必 须指派每个人去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给n个人，使得完成 n 项任务的 总的效率最高，这就是指派问题。
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§3 整数规划的应用
§3 整数规划的应用
一、投资场所的选择 例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区 建立销售门市部，拟议中有10个位置 Aj (j=1,2,3,…,10)可供选 择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定: 在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。
● 项目投资问题 ● 选址问题 ● 工作分配问题 ● 背包问题
3
第六章 整数规划
根据变量的取值情况，整数线性规划又可以分 为纯整数规划（所有变量取整数），混合整数规 划（部分变量取整数），0-1整数规划（变量只 取0或1）等。
求整数解的线性规划问题，不是用四舍五入法 或去尾法对线性规划的非整数解加以处理就能解 决的。整数线性规划一些基本算法的设计是以相 应线性规划的最优解为出发点而发展出来的。
整数规划是数学规划中一个较弱的分支，目前 有成熟的方法解线性整数规划问题，而非线性整 数规划问题，还没有好的办法。
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§1 整数规划的图解法
例1. 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物， 这两种货物每件的体积、重量、可获利润以及 托运所受限制如表所示。
货物
甲 乙 托运限制
每件体积 (立方米) 195 273 1365