微观哈密顿系统的辛算法及其应用_沈阳
Hamilton系统数值计算的新方法
Hamilton系统数值计算的新方法
廖新浩;刘林
【期刊名称】《天文学进展》
【年(卷),期】1996(014)001
【摘要】系统地介绍了近年来对Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统数值计算新建立的辛算法和线性对称多步法，并对它们在动力天文中的应用作了一简要回顾。
【总页数】9页(P3-11)
【作者】廖新浩;刘林
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】P13
【相关文献】
1.常微分方程数值计算的新方法一偏差分方法的理论与分析 [J], 孟波
2.Hamilton系统非线性问题的一种新方法 [J], 李广成;王东晓;陈雷明
3.一种常微分方程数值计算的新方法 [J], 孟波;孟纯青
4.一种构造可积Hamilton系统的新方法 [J], 高普云
5.基于Gauss全局径向基函数的近岸浅水变形波高数值计算新方法 [J], 李怡;吴林键;舒丹;陈嘉玉
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哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析
哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析一切真实的,耗散可忽略不计的物理过程都可以用哈密顿系统进行描述.哈密顿系统有两个最重要的性质,一个是辛结构,另一个就是能量守恒.正确计算哈密顿系统非常重要.近年来,能够保持哈密顿系统辛结构或能量的保结构方法已经得到了很大的发展.本文讨论哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析,主要研究成果如下：I.近几年,人们构造了等离子物理中洛伦兹力系统的保结构格式,比如保体积格式和保辛格式.然而这些格式都不能保持系统能量.我们把洛伦兹力系统写为一个非典则的哈密顿系统,然后利用Boole离散线积分方法进行求解,得到洛伦兹力系统的一个新的格式.该方法可以保持系统哈密顿能量达到机器精度.II.我们研究如何利用二,三和四阶AVF方法求解哈密顿偏微分方程.对非线性薛定谔方程,空间用Fourier拟谱方法半离散,时间用三个AVF方法进行离散,得到该方程三个不同精度的AVF格式.我们用数值实验验证了这三个格式的精度和保能量守恒特性.III.基于根树和B-级数理论,我们给出了5阶树的带入规则的具体公式.利用新得到的带入规则,我们把二阶AVF方法提高到高阶精度,给出了一个新的AVF方法.我们证明了,新方法具有6阶精度,并且可以保持哈密顿系统能量.我们利用六阶AVF方法求解非线性哈密顿系统,并测试了其精度和能量守恒特性.IV.在哈密顿偏微分方程保结构算法框架下,我们研究了基于系统弱形式的空间离散方法.首先,空间用有限元法或谱元法对偏微分方程进行半离散,把得到的常微分方程组写成一个哈密顿系统.然后,我们用一个保结构方法对这个常微分哈密顿系统进行求解,得到一个全离散保结构格式.我们用这个方法对一维非线性薛定谔(NLS)方程进行求解,其中空间用Legendre谱元法,时间用AVF方法,得到一个新的保能量方法.同样对一维NLS方程,我们在空间用Galerkin有限元方法,时间用Crank-Nicolson格式离散,则得到一个同时保能量和质量的格式.对二维NLS方程,空间用Galerkin谱元法,时间用Crank-Nicolson格式离散,得到一个同时保能量和质量的格式.而对Klein-Gordon-Schrodinger方程空间用Galerkin方法,时间用辛Stomer-Verlet方法离散,得到一个显式辛格式.对自旋为1的Bose-Einstein凝聚态(BEC)中耦合Gross-Pitaevskii(GP)方程,空间用Galerkin方法,时间用隐中点辛格式离散,则得到一个新的同时保系统辛结构,质量和磁场强度的格式.对自旋轨道耦合的BEC中耦合GP方程离散,空间用Galerkin方法,时间用Crank-Nicolson格式,得到的新格式可以同时保能量和质量.我们做了数值实验验证理论结果.。
henon-heiles哈密顿方程辛算法迭代格式
henon-heiles哈密顿方程辛算法迭代格式Henon-Heiles系统是一个描述三体问题的经典力学模型，由Michel Henon和Carl Heiles在1964年提出。
它是最简单的非线性动力学系统之一，可以用来研究系统的混沌行为。
该系统的哈密顿方程可以用辛算法进行数值求解。
下面将介绍Henon-Heiles哈密顿方程的辛算法迭代格式。
Henon-Heiles系统的哈密顿方程可以写成以下形式：\[ \begin{align*}\dot{q}_1 &= \frac{\partial H}{\partial p_1} = p_1 \\\dot{p}_1 &= -\frac{\partial H}{\partial q_1} = q_1 +2q_1q_2 \\\dot{q}_2 &= \frac{\partial H}{\partial p_2} = p_2 \\\dot{p}_2 &= -\frac{\partial H}{\partial q_2} = q_2 + q_1^2- q_2^2\end{align*} \]其中，\(q_1,q_2\)是位置变量，\(p_1,p_2\)是动量变量，\(H\)是系统的哈密顿函数。
我们需要使用辛算法对这个系统进行数值求解。
辛算法是一种保持辛结构的显式数值算法。
它可以保证系统的总能量在数值计算中保持不变，从而避免了能量的数值耗散和数值爆炸问题。
辛算法的基本思想是将时间离散化成小步长，通过迭代的方式更新位置和动量变量。
下面介绍Henon-Heiles系统的辛算法迭代格式。
1.初始化初始条件：给定初始位置\(q_1^{(0)},q_2^{(0)}\)和初始动量\(p_1^{(0)},p_2^{(0)}\)，以及步长\(h\)和迭代次数\(N\)。
2.迭代更新位置变量和动量变量：\[ \begin{align*}q_1^{(n+1)} &= q_1^{(n)} + h \cdot p_1^{(n)} \\q_2^{(n+1)} &= q_2^{(n)} + h \cdot p_2^{(n)} \\p_1^{(n+1)} &= p_1^{(n)} - h \cdot (q_1^{(n)} +2q_1^{(n)}q_2^{(n)}) \\p_2^{(n+1)} &= p_2^{(n)} - h \cdot (q_2^{(n)} + q_1^{(n)^2}- q_2^{(n)^2}) \\\end{align*}\]3.重复步骤2，直到进行了\(N\)次迭代。
《2024年Lotka-Volterra系统的辛几何算法》范文
《Lotka-Volterra系统的辛几何算法》篇一一、引言Lotka-Volterra系统，又称为捕食者-猎物模型，是一种广泛用于描述生物种群动态关系的数学模型。
在生物学、生态学以及物理等多个领域有着广泛应用。
而辛几何算法是一种适用于大规模系统求解的数值方法，其特点在于能够保持系统的辛结构，从而在长时间模拟中保持较高的精度。
本文将探讨Lotka-Volterra系统的辛几何算法应用及其特点。
二、Lotka-Volterra系统Lotka-Volterra系统是一个描述两个物种（捕食者和猎物）之间相互作用的数学模型。
该模型通常以一组非线性微分方程的形式表示，可以用于研究物种间的竞争、共生等关系。
这个系统是动态的，并且在特定条件下可以表现出周期性、混沌等复杂行为。
三、辛几何算法概述辛几何算法是一种基于辛几何结构的数值算法。
它能够有效地解决大规模非线性系统的求解问题，并保持系统的辛结构，从而在长时间模拟中保持较高的精度。
这种算法特别适用于描述物理系统中的哈密顿动力学和辛几何结构。
四、Lotka-Volterra系统的辛几何算法应用针对Lotka-Volterra系统，我们可以采用辛几何算法进行求解。
首先，将Lotka-Volterra系统的微分方程转化为哈密顿形式，然后利用辛几何算法进行求解。
通过这种方法，我们可以在长时间模拟中保持高精度，并观察到系统动态行为的变化。
在应用辛几何算法求解Lotka-Volterra系统时，需要注意以下几点：1. 模型的建立：将Lotka-Volterra系统的微分方程转化为哈密顿形式是关键步骤。
这需要我们对系统有深入的理解，并选择合适的变量和参数。
2. 算法的选择：根据问题的特点和需求，选择合适的辛几何算法进行求解。
这包括选择适当的迭代方法和步长等参数。
3. 模拟的精度和效率：在求解过程中，要平衡模拟的精度和效率。
既要保证足够的精度以观察到系统的动态行为，又要避免过度计算导致的效率损失。
卫星轨道计算的辛几何算法应用
卫星轨道计算的辛几何算法应用
徐明毅
【期刊名称】《中国新技术新产品》
【年(卷),期】2009(000)024
【摘要】本文将哈密顿力学的辛几何算法应用于地球卫星轨道的轨道计算,并同传统的数值积分法进行了详细比较,计算结果证实了辛几何算法能够保持系统能量守恒,能够避免传统数值算法所引入的人为耗散性.
【总页数】3页(P17-19)
【作者】徐明毅
【作者单位】武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室,湖北,武汉,430072【正文语种】中文
【相关文献】
1.基于延拓法的卫星初轨算法--应用于单个观测物体确定低轨卫星初始轨道
2.辛几何算法在计算非磁化等离子体中波传播轨迹时的应用
3.EM算法在卫星轨道计算中的应用
4.辛几何理论和辛差分格式算法在目标散射场计算中的应用
5.星载GPS数据及高精度轨道模型在极轨卫星轨道计算中的应用
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哈密顿摄动分解体系的四阶力梯度辛算法
哈密顿摄动分解体系的四阶力梯度辛算法描述哈密顿系统的混沌运动需要依赖于可靠的数值方法和混沌识别方法。
本文主要工作在于数值方法的开发与利用。
我们在Chin等提出的四阶力梯度辛算法基础上构造了两类显式四阶力梯度辛算法；进一步将这些力梯度辛算法推广应用到由Wisdom和Holman对太阳系N 体问题所给出的哈密顿函数摄动分解情形；最后利用推广形式力梯度辛算法研究行星磁气圈内的带电粒子的混沌运动。
分别简述如下。
首先,对于分解为二次动能T和势能V两部分的哈密顿系统,在势能V对应的Lie算子中加入力梯度算子通过对称组合我们构造了一组显式四阶力梯度辛算法,其中包括Chin等提出的力梯度辛算法。
这些算法能够推广用来求解Jacobi 坐标下所分解成的Kepler部分H0和摄动部分H1的N体引力哈密顿系统。
数值结果表明,在T+V型哈密顿分解下,每个梯度算法的精度大大优越于Forest-Ruth的非力梯度四阶辛方法；但是对于H0+H1型分解情形,就平经度和相对位置精度而言每个梯度算法与Forest-Ruth的四阶辛方法几乎等效。
同时,无论是在T+V型分解还是在H0+H1型分解中,这些梯度算法在数值性能上没有明显差异。
应当着重指出的是后种分解与前种分解相比每个梯度算法能大大提高数值精度。
由于这种推广具有快速和高精度的优点,所以值得推荐用来模拟N体问题的各种轨道运动。
其次,利用新提出的四阶力梯度辛算法并结合H0+H1型摄动分解情形我们数值研究了行星磁气圈内的带电粒子的混沌运动。
该物理模型可以简化为一个摄动二体哈密顿问题。
带电粒子在赤道平面上的几种相图形状取决于电荷质量比和z方向角动量这两个动力学参数,当然离开赤道平面的运动除这两个动力学参数外还受能量的影响。
发现当增大能量或电荷质量比的绝对值时混沌强度增加,但对于较大的角动量,混沌变弱。
对于带电粒子随动力学参数的变化而引起的动力学跃迁所得到的数值结果也给出了定性解释。
Hamilton体系的辛算法
可以看 出 Ｈ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｅ内积 （ Ｚ ， 由两部分组成 ， 实部 是 Ｒ
中欧式 内积， 虚部可 以看成是 Ｒ 中两 个 向量 ｘ ＝ （ ｘ ， ｘ ： ， …… Ｘ § ， ∈ ： ， …， 与 ｙ ＝ （ ｙ ， Ｙ ｚ ， …， Ｙ ｎ ， 。 ， ： ， …， 的一 种新 的“ 内积 ” ， 我 们称这种 内积为辛内积｝ ｌ １ ． 定义 １ 设 ｗ 是实数域 Ｒ上的一个 ２ ｎ维相空间， 对 ｗ 中的任意两个 向量 ， Ｂ依一定法则对应着一个实数， 这个数
二
ｍ ｉ ｔ ｅ 内 积（ Ｚ ， Ｗ ） ＝ ∑ｚ ｋ Ｗ — ｋ ＝ ∑（ ｘ ｋ ＋ ｉ （ ｙ 一 ｉ Ｔ １ ｋ ） ： ∑（ Ｘ ｋ ｙ ｋ ＋ ｋ ） 一 ｉ
ｋ＝１ ｋ＝ｌ ｋ＝１
（ ｘ ｒｙ 高ｊ ．
ｋ＝ｌ
动 方 程 写 为 粤 ｍ 一 ： ０ ， 它 被 称 为 经 典 力 学 的 变 分 形 式 ａ ｑ
Ｖ０ １ ． ２ ９Ｎｏ ． ６
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ３
Ｈ ａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ 体 系的辛算法
王颜 超 ， 邓 亚 莉
（ 内蒙古 大学 ， 内蒙古
摘
比Ｎ－
呼和 浩特
０ １ ０ ０ ２ １ ）
要 ：本文介 绍 了辛空间的基本理论， 通过构造辛算法得到 Ｈａ ｍｉ ｌ ｔ ｏ ｎ方程 的数值解 ， 并与分 离变量 法得到的解进行 了
关键词 ：Ｈａ ｍｉ ｌ ｔ ｏ ｎ 体 系； 辛算法； 辛空间 中图分类号 ： ０ ２ ４ １ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ２ ６ ０ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — ０ ０ ０ ６ — ０ ３
辛数学及其工程应用
辛数学及其工程应用
辛数学是一门研究辛结构与辛几何的数学学科，主要研究辛结构及其变换、黎
曼几何、调和分析等。
辛结构具有较好的保持性质，在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
辛数学在工程学中的应用主要包括以下几个方面：
1. 力学系统的模型构建：辛数学提供了优良的模型构建工具，特别是针对力学
系统，可以比较方便地将其建模成为辛结构。
2. 计算流体力学：辛数学在计算流体力学中具有很高的应用价值，能有效地处
理非线性流体方程的数值解问题。
3. 消声器设计：辛数学的结构保持性质可以用于优化消声器设计，提升消声器
的性能。
4. 机器人学：辛数学在机器人学的姿态控制、轨迹规划等方面应用广泛，可以
提高机器人的运动性能和精度。
5. 量子力学：辛数学也在量子力学中有应用，可以用于量子系统的模拟和求解。
总之，辛数学作为一门重要的数学学科，在工程学中具有广泛的应用和推广前景。
哈密顿原理的应用
哈密顿原理的应用什么是哈密顿原理？哈密顿原理是经典力学中的一种基本原理，用于描述自然界中物体在运动过程中所遵循的原理。
哈密顿原理可以简单地表述为：物体在运动过程中，其真实路径是使作用量（或称为作用积分）取得极值的路径。
哈密顿原理的数学表述从数学角度上看，哈密顿原理可以通过积分方程来表述。
假设一个运动系统的Lagrange函数为L(q, \dot{q}, t)，其中 q 为广义坐标，\dot{q} 为广义速度，t 为时间。
那么，根据哈密顿原理，系统的状态将会沿着满足以下方程的路径运动：\delta \int L(q, \dot{q}, t) dt = 0这个方程是一个变分问题，通过对方程求驻点来得到系统的真实路径。
其中，\delta 表示变分（即微小变化）。
哈密顿原理的应用哈密顿原理在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
下面列举几个典型的应用：1.经典力学：哈密顿原理是经典力学中最基本的原理之一。
它可以用来推导出Lagrange方程和Hamilton方程，从而描述物体在运动过程中所遵循的规律。
通过哈密顿原理，我们可以得到物体在势能场中的运动方程，并进一步研究力的作用和能量的变化规律。
2.量子力学：哈密顿原理在量子力学中也有重要的应用。
量子力学中的体系可以使用波函数描述，而波函数的演化过程可以通过哈密顿算符来描述。
哈密顿原理可以用来推导量子力学中的薛定谔方程，从而描述量子体系的演化规律。
3.优化问题：哈密顿原理的变分问题求解方法可以应用于优化问题中。
通过建立适当的Lagrange函数，并使用哈密顿原理进行求解，我们可以得到优化问题的最优解。
这在工程学、经济学等应用中都有重要的作用。
4.控制理论：哈密顿原理在控制理论中有着广泛的应用。
控制理论研究的是如何通过给定系统的模型和特定的控制策略来使系统达到预期的状态。
哈密顿原理可以提供一种优雅的数学框架，用于描述控制系统的演化过程，并求解最优控制问题。
总结哈密顿原理是一种基本的物理原理，在经典力学、量子力学、优化问题和控制理论等领域得到了广泛的应用。
哈密顿力学的应用
哈密顿力学的应用哈密顿力学是经典力学中的重要分支，它以数学方式描述了物体力学性质的演化规律。
哈密顿力学的应用领域广泛，涉及天体力学、量子力学、统计力学等多个领域。
本文将从三个方面介绍哈密顿力学在物理学中的应用。
一、天体力学中的哈密顿力学天体力学研究天体运动和动力学过程，是天文学中的关键分支。
哈密顿力学在天体力学中的应用尤为重要。
它通过引入广义坐标和广义动量，可以将物体的运动状态用哈密顿函数来描述。
通过求解哈密顿量的哈密顿方程，可以得到天体的轨道和动力学性质。
这种方法在研究天体运动中起到了重要的作用。
例如，通过求解三体问题的哈密顿方程，可以预测行星的运动轨迹和周期。
此外，哈密顿力学还可以研究恒星运动、星际物质分布等问题。
通过应用哈密顿力学理论，天体物理学家们能够更好地了解宇宙的运行机制和演化历史。
二、量子力学中的哈密顿力学量子力学是描述微观领域物理现象的理论。
哈密顿力学在量子力学中的应用则是为了描述量子系统的动力学过程。
它通过引入量子力学中的波函数和算符，将物体的运动状态用哈密顿算符来描述。
通过求解哈密顿方程，可以得到量子系统的能级。
这种方法为研究原子、分子、固体等微观领域的物理现象提供了重要的手段。
在量子力学中，哈密顿力学的应用尤为广泛。
例如，通过量子哈密顿力学可以解释原子和分子的能量结构、电子的跃迁行为等。
不仅如此，哈密顿力学还可以用来研究量子力学中的量子涨落、量子相干等现象。
这些研究对于实验物理学和量子信息领域有着重要的意义。
三、统计力学中的哈密顿力学统计力学是描述大系统的物理性质的理论。
它研究宏观物体的统计行为，从而揭示微观粒子的动力学模型。
哈密顿力学在统计力学中的应用主要是通过玻尔兹曼方程或Fokker-Planck方程来描述粒子数密度的演化。
通过求解这些方程，可以得到宏观系统的分布函数和演化规律。
统计力学中的哈密顿力学应用广泛。
例如，在热力学中，哈密顿力学可以用来推导理想气体的状态方程和热力学定律。
Hamilton力学的辛算法 ppt课件
可分、线性Hamilton体系的中点Euler公式
• H q,p Tp Vq
—— “可分、线性Hamilton体系”
H q,p 1 pT
2
qT T
0
0
V
q p
1 2
pT
Tp
1 2
qT
Vq
C
T
0
0 V
B J1C
B
J1C
0 1n
1n T
0
0
0 V
0 T
V
0
ppt课件
21
Euler中点法
0
用以下 gll x构造的差分格式都是辛格式
l,l 0,0 1,1 2, 2
3, 3
4, 4
gll x 1
1
1 x 2
1 x 2
1 x x2 2 12
1 x x2 2 12
1 x x2 x3 2 10 120
1 x x2 x3 2 10 120
1 x 3x2 x3 x4 2 28 84 1680
石钟慈：“国际上最早系统地研究并建立辛几何算法的。”
ppt课件
5
数学地位
线 线对 多张张 流 性 性偶 重量量 形 空 泛空 线空分 理 间 函间 性间析 论泛 函现代微分几来自 规范场理论 微分拓扑 辛几何
......
ppt课件
6
外微分 辛几何
• 辛几何的基础是外微分形式。 • 外微分形式是如下概念推广到高维的产物：
实对称矩阵的本征值均为实数 实对称矩阵的不同本征值的本征向量必正交
若Hamilton矩阵的本征值为，则
也是它的本征值
Hamilton矩阵的非辛共轭本征值的本征向量必 辛正交
哈密顿原理的应用方面
哈密顿原理的应用方面哈密顿原理是经典力学中一种重要的动力学原理，它可以用来描述一般的广义力学体系，如质点系、弹性体系、连续介质力学等。
除了力学，哈密顿原理还在电动力学、光学和量子力学等领域有广泛的应用。
以下是哈密顿原理在不同领域中的应用方面：1.力学：在经典力学中，哈密顿原理可以用来推导出运动方程。
通过将系统的拉格朗日函数表示为广义坐标和广义速度的函数，然后应用哈密顿原理，可以得到系统的哈密顿函数，并且根据哈密顿函数可以得到运动方程。
这种方法比拉格朗日方程更加简便和直观，特别适合于处理含有约束的力学系统。
2.泛函分析：泛函是函数的函数，即函数空间中的点，而泛函分析是研究泛函空间和其上定义的连续线性泛函的理论。
哈密顿原理是泛函极值问题的基础。
通过对泛函的变分，即对其自变量做微小变化，然后应用哈密顿原理，可以得到泛函的最小值条件，从而得到泛函的极值问题。
3.统计力学：在统计力学中，哈密顿原理用于推导统计物理量的期望值。
通过将系统的哈密顿函数写为广义坐标和广义动量的函数，然后应用带有拉格朗日乘子的哈密顿原理，可以得到统计物理量的平均值和涨落，从而用统计的方法描述宏观的热力学性质。
4.电动力学：在电动力学中，哈密顿原理可以用来描述电磁场的运动。
通过将电磁场的拉格朗日函数写为电场和磁场的函数，然后应用哈密顿原理，可以得到电场和磁场的运动方程，并且得到电磁场的能量和动量。
5.光学：在光学中，哈密顿原理用于求解光的传播问题。
通过将光的传播路径表示为波前面的波动函数的形式，然后应用哈密顿原理，可以得到光传播路径的最小作用量以及光的折射和反射定律。
6.量子力学：在量子力学中，哈密顿原理可以用来推导量子力学体系的运动方程，即薛定谔方程。
通过将粒子的哈密顿函数写为广义坐标和广义动量的函数，并将广义坐标和广义动量换成算符形式，然后应用哈密顿原理，可以得到系统的薛定谔方程。
总结起来，哈密顿原理是一种十分重要的动力学原理，在力学、泛函分析、统计力学、电动力学、光学和量子力学等领域都有广泛的应用。
微观哈密顿系统的辛算法及其应用_沈阳
3 2 d3 ;
H1 ( p, t ) q n 1 qn 1 d n , p ( p n1 , n )
n n 1 cn ,
n n 1 d n ,
辛格式（三）
H ( p, q, t ) H1 ( p ) H 2 ( q , t ) 4-stage 4th-order explicit symplectic scheme H 2 p1 p c1 , q q n ,t n
保结构算法主要是指保几何结构的算法：
Hamilton系统的辛算法、 无源系统的保体积算法、 接触系统的接触算法。
广义的保结构算法：保原问题(精确解)的某些特 性， 如：
守恒律（能量守恒， 动量守恒， 平方守恒等） 几何特性（辛结构，多辛结构，接触结构等） 代数结构（系统特征值，李代数结构） 轨道稳定性
T
J
1
H z ( z n1 z n )
2
2-stage 4th-order implicit symplectic Runge-Kutta scheme 2 1 1 1 n Y1 z ( f (Y1 ) ( 3) f (Y2 )), 4 4 6 1 1 1 n Y2 z (( 3) f (Y1 ) f (Y2 )), 4 6 4 z n 1 z n
n
H1 q1 q n d1 , p p1
1 t n d1 ,
H 2 p2 p1 c2 , q q1 ,1 H 2 p3 p2 c3 , q q2 ,2 H 2 p n 1 p3 c4 , q q3 ,3 H1 q2 q1 d 2 , p p2
卫星轨道计算的辛几何算法应用
卫星轨道计算的辛几何算法应用随着卫星技术的不断发展，卫星轨道计算成为了卫星运行控制的重要组成部分。
而在卫星轨道计算中，辛几何算法作为一种高效的数值方法，被广泛应用于卫星轨道计算中。
一、辛几何算法的基本原理辛几何算法是一种基于哈密顿力学的数值方法，其基本原理是通过保持哈密顿系统的相空间体积不变，来保持系统的能量守恒。
在辛几何算法中，系统的演化过程是通过一系列的正则变换来完成的，这些正则变换可以被看作是相空间的旋转和拉伸操作，因此辛几何算法也被称为相空间旋转算法。
在卫星轨道计算中，辛几何算法可以应用于任意维度的哈密顿系统，其基本步骤如下：1. 定义哈密顿系统的动力学方程；2. 将动力学方程转换为哈密顿方程；3. 将哈密顿方程离散化，得到离散的哈密顿系统；4. 通过一系列的正则变换，将离散的哈密顿系统演化到下一个时间步。
二、辛几何算法在卫星轨道计算中的应用在卫星轨道计算中，辛几何算法可以应用于卫星的轨道预报、轨道校正和姿态控制等方面。
1. 卫星轨道预报卫星轨道预报是指通过已知的初始轨道参数和卫星动力学方程，计算未来一段时间内卫星的轨道信息。
在卫星轨道预报中，辛几何算法可以通过对卫星的运动轨迹进行离散化，得到离散的哈密顿系统，并通过一系列的正则变换，将卫星的轨道信息演化到下一个时间步。
由于辛几何算法具有能量守恒和相空间体积不变的特性，因此可以保证轨道预报的精度和稳定性。
2. 卫星轨道校正卫星轨道校正是指通过改变卫星的姿态和推进器的喷射，使卫星的轨道参数达到目标值。
在卫星轨道校正中，辛几何算法可以通过对卫星的姿态和推进器喷射进行离散化，得到离散的哈密顿系统，并通过一系列的正则变换，将卫星的姿态和推进器喷射演化到下一个时间步。
由于辛几何算法具有相空间体积不变的特性，因此可以保证卫星的姿态和推进器喷射的精度和稳定性。
3. 卫星姿态控制卫星姿态控制是指通过改变卫星的姿态，使卫星的朝向和角速度达到目标值。
在卫星姿态控制中，辛几何算法可以通过对卫星的姿态进行离散化，得到离散的哈密顿系统，并通过一系列的正则变换，将卫星的姿态演化到下一个时间步。
哈密顿原理的应用方面
哈密顿原理的应用方面1. 简介哈密顿原理是一种用于描述物理系统的基本原理，它是由物理学家威廉·哈密顿在19世纪提出的。
哈密顿原理描述了物理系统的演化过程，并给出了系统的运动方程。
除了在物理学中的应用外，哈密顿原理在其他领域也有非常重要的应用。
本文将介绍哈密顿原理在不同领域的应用方面。
2. 力学中的应用在经典力学中，哈密顿原理被广泛应用于描述物理系统的运动。
通过应用哈密顿原理，可以推导出系统的运动方程，进而解析系统的运动轨迹。
力学中的哈密顿原理提供了一种更为简洁和直观的描述物理系统运动的方法。
应用哈密顿原理，我们可以得到以下结论：- 系统的运动遵循最小作用量原理，即作用量的变分为零； - 粒子的运动方程可以通过极小化动作积分得到； - 哈密顿原理可用于推导广义动量和广义力的表达式；3. 量子力学中的应用在量子力学中，哈密顿原理被应用于描述量子力学系统的演化过程。
哈密顿原理在量子力学中的应用通常被称为路径积分法。
通过路径积分法，我们可以计算出量子体系在给定时间间隔内从一个状态过渡到另一个状态的概率幅。
应用哈密顿原理在量子力学中，我们可以得到以下结论： - 量子体系的演化可以用路径积分来描述； - 路径积分给出了从一个状态到另一个状态的概率幅； - 路径积分法可以用于计算量子系统的物理量期望值；4. 光学中的应用在光学中，哈密顿原理被应用于描述光线的传播和折射。
通过应用哈密顿原理，可以推导出光学系统的折射定律和成像原理。
这些定律和原理对于解释光学现象和设计光学器件非常有用。
应用哈密顿原理在光学中，我们可以得到以下结论： - 光的传播遵循最小时间原理，即光线的传播路径是使时间变化量最小的路径； - 光的折射可以通过最小作用量原理来解释； - 光的成像可以通过光线传播的哈密顿原理来解释；5. 量子场论中的应用在量子场论中，哈密顿原理也被广泛应用。
通过应用哈密顿原理，可以推导出量子场的运动方程和量子态的演化方程。
应用辛算法计算强激光场中的一维模型氢原子
应用辛算法计算强激光场中的一维模型氢原子
刘晓艳;刘学深;杨玉军;丁培柱
【期刊名称】《原子核物理评论》
【年(卷),期】2002(0)z1
【摘要】采用辛算法计算并讨论了氢原子在不同峰值强度或不同脉宽下的谐波谱【总页数】4页(P134-137)
【关键词】激光与原子相互作用;谐波谱;束缚态几率
【作者】刘晓艳;刘学深;杨玉军;丁培柱
【作者单位】吉林大学原子与分子物理研究所
【正文语种】中文
【中图分类】O562
【相关文献】
1.辛格式在强激光场一维模型问题计算中的应用 [J], 刘学深;刘晓艳;杨玉军;丁培柱;朱颀人
2.强激光场中模型氢原子高次谐波的特性研究 [J], 李会山;张耀文
3.强激光场中模型氢原子的势函数对产生高次谐波强度的影响 [J], 李会山;李鹏程;周效信
4.强激光场中模型氢原子和真实氢原子的高次谐波与电离特性研究 [J], 赵松峰;周效信;金成
5.强激光场中模型氢原子和真实氢原子产生高次谐波的比较 [J], 李会山;李鹏程;周效信
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时间相关外场中量子系统时间演化的辛格式
时间相关外场中量子系统时间演化的辛格式
石爱民;吴承埙;周忠源;丁培柱
【期刊名称】《计算物理》
【年(卷),期】1998(0)2
【摘要】对显含时间的可分线性哈密顿系统构造了２阶模方守恒－辛格式和显式辛格式，并计算了１维有限宽无限深势阱中的电子与模拟激光场的相互作用，结果与理论分析一致。
为数值研究时间相关外场中的量子系统，特别是强激光与原子相互作用提供了合理和有效的方法。
【总页数】6页(P27-32)
【关键词】显含时间哈密顿系统;模方守恒-辛格式;显式辛格式
【作者】石爱民;吴承埙;周忠源;丁培柱
【作者单位】大连铁道学院;吉林大学
【正文语种】中文
【中图分类】O562
【相关文献】
1.外场作用下自旋1／2系统的时间演化 [J], 王玉玺;关桂兰
2.二能级原子系统中的快速绝热演化与时间反演 [J], 刘焕焕;徐永刚;张静;王江;张梦桥;姚杰;李永放
3.有限温度下电容和电感耦合电路中量子涨落的时间演化 [J], 梁麦林;袁兵
4.时间相关外场中量子系统的辛算法 [J], 刘晓艳;刘学深;丁培柱
5.依赖强度与时间耦合场-原子系统中场熵演化 [J], 刘王云;潘聪逸;杨志勇;段存丽因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
应用哈密顿公式研究傍轴透镜光学
应用哈密顿公式研究傍轴透镜光学
刘铁安
【期刊名称】《沈阳大学学报》
【年(卷),期】1995(000)004
【摘要】本文论述了用L定义光学的哈密顿H,并给出了哈密顿公式的基本方程式.利用哈密顿方程式,我们在旋转对称的光学系统里追迹光线.我们还将利用哈密顿公式得出折射面和透镜的简单结果.通过研究二个有代表性的例题说明这个方法是可行的.
【总页数】6页(P1-6)
【作者】刘铁安
【作者单位】沈阳大学基础部
【正文语种】中文
【中图分类】O435
【相关文献】
1.应用于冷光学组件的透镜支撑技术研究 [J], 刘祥意;张景旭;乔兵;范磊;王文攀;王富国
2.六西格玛在光学透镜加工流程质量改进中的应用研究\r——以天津津航技术物理研究所为例 [J], 马欣
3.应用哈密顿公式研究傍轴透镜光学系统 [J], 刘铁安
4.六西格玛在光学透镜加工流程质量改进中的应用研究——以天津津航技术物理研
究所为例 [J], 马欣;
5.Fraunhofer全息图无透镜再现中的傍轴几何光学理论 [J], 杨虎;贾祥富
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p2
c3
H 2 q
q2
,
p n 1
p3
c4
H 2 q
q3
,
q1
qn
d1
H1 p
p1
,
q2
q1
d2
H1 p
p2
,
q3
q2
d3
H1 p
p3
,q n 1q3 Nhomakorabead4
H1 p
pn1
.
辛格式（二）
H ( p, q,t) H1( p,t) H2 (q,t) n-stage nth-order explicit symplectic scheme
Multi-symplectic Hamiltonian systems:
Local conservation laws
Mzt Kzx z S (z), where M and K are skew-symmetric matrices. t(U ,V ) x (U ,V ) 0, (Multi-symplecticity) where (U ,V ) U T M TV , (U ,V ) U T K TV , and U (x,t),V (x,t) are solutions of the variational equation Mdzt Kdzx DzzS (z)dz.
已有成果： 变分方法， 具体方程的多辛 结构和Preissman格式，多 辛结构的存在和给出，波方 程的Gauss-legendre 方法。 有限元方法的保结构性质； 波方程Preissman格式的后 误差分析，数值证明。 存在问题： 算法分析(稳定性、收敛性)， 构造，一般方程的显式格式， 广泛的数值例子。
指导思想: 离散方法尽可 能保持原问题的结构
特点: 长时间计算的准确 性和优异的数值稳定性
有限维Hamilton系统的辛算法
理论已基本成熟，包括：
a. 算法的构造理论: 生成函数法，组合方法，Runge-Kutta. b. 算法的理论分析: 后误差分析，形式能量，KAM定理. c. 算法的数值比较和具体运用。
保结构算法主要是指保几何结构的算法：
Hamilton系统的辛算法、 无源系统的保体积算法、
接触系统的接触算法。
广义的保结构算法：保原问题(精确解)的某些特 性， 如：
守恒律（能量守恒， 动量守恒， 平方守恒等） 几何特性（辛结构，多辛结构，接触结构等） 代数结构（系统特征值，李代数结构） 轨道稳定性
目的: 得到好的数值稳定性和长时间计算精度
（量子系统）常用的辛格式：
辛格式（一）
H ( p, q) H1( p) H2 (q) 4-stage 4th-order explicit symplectic scheme
p1
pn
c1
H 2 q
qn
,
p2
p1
c2
H 2 q
q1
,
p3
p1
pn
c1
H
2 (q, q
t
)
(
qn
,t n
)
,
1 t n c1 ,
p2
p1
c2
H2 (q, t) q
(q1 ,1 )
,
2 1 c2 ,
p3
p2
c3
H2 (q, t) q
(q2 ,2 )
,
3 2 c3 ,
q1
qn
d1
H1( p, t) p
( p1 ,1 )
微观哈密顿系统的辛算法及其应用
刘学深 吉林大学原子与分子物理研究所
2012. 07
报告内容 ：
第一部分：经典哈密顿系统的辛算法 第二部分：辛算法在量子系统的应用 第三部分：强场原子分子动力学过程的理论研究 第四部分：Bose-Einstein凝聚理论研究
第一部分：经典哈密顿系统的辛算法
❖经典哈密顿系统
z n1
zn
(f
2
(Y1)
f
(Y2 )),
Y1
zn
(1
4
f
(Y1
)
(
1 4
1 6
3) f (Y2 )),
Y2
zn
(( 1
4
1 6
1 3) f (Y1) 4 f (Y2 )),
qn1
dn
H1( p, t) p
( pn1 , n )
,
n n1 dn ,
辛格式（三）
H ( p, q, t) H1( p) H2 (q, t) 4-stage 4th-order explicit symplectic scheme
p1
pn
c1
H 2 q
qn ,tn
,
p2
p1
c2
H 2 q
q1 ,1
,
p3
p2
c3
H 2 q
q2 ,2
,
p n1
p3
c4
H 2 q
q3 ,3
,
q1
qn
d1
H1 p
p1
,
1 t n d1,
q2
q1
d2
H1 p
p2
,
2 1 d2
q3
q2
d3
H1 p
p3
,
3 2 d3,
q n1
q3
d4
H1 p
pn1
,
t n1 3 d4 ,
辛格式（四）
z J 1 H f (z) z p q T
z
Euler-centered scheme
z n1 z n
J
1
H z
( zn1 zn )
2
2-stage 4th-order implicit symplectic Runge-Kutta scheme
,
1 t n d1 ;
q2
q1
d2
H1( p, t) p
( p2 , 2 )
,
2 1 d2 ;
q3
q2
d3
H1( p, t) p
( p3 , 3 )
,
3 2 d3 ;
p n 1
pn1
ck
H
2 (q, q
t
)
(qn1 ,n1 )
,
n n1 cn ,
q n 1
－－－ 参考冯康、秦孟兆的书
无限维Hamilton系统的辛算法正处于发展阶段, 许多 问题有待解决。
a. 直接构造，生成函数法. b. 线方法，半离散. c. 应用较多。
Marsden等[1998]、Bridges等[1999] 分别从不同的角度提出了多辛方程及 多辛算法的概念。
多辛方程和多辛算法是 Hamilton系统和辛算法 的直接推广--无穷维系统
dpk H ( p, q),
dt
qk
dqk H ( p, q),k 1,2,...d. dt pk
冯康院士(1920—1993) : 80年代， 提出辛算法
辛结构: dp dq
数值格式应该尽可能地保持原系统的特征性质 和内在对称性（《冯康文集》第二卷第30页）
哈密顿力学的基本定理：
哈密顿系统的正则方程在 辛变换下形式不变，系统 的时间演化是辛变换的演 化。