微观哈密顿系统的辛算法及其应用_沈阳
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－－－ 参考冯康、秦孟兆的书
无限维Hamilton系统的辛算法正处于发展阶段, 许多 问题有待解决。
a. 直接构造，生成函数法. b. 线方法，半离散. c. 应用较多。
Marsden等[1998]、Bridges等[1999] 分别从不同的角度提出了多辛方程及 多辛算法的概念。
多辛方程和多辛算法是 Hamilton系统和辛算法 的直接推广--无穷维系统
,
1 t n d1 ;
q2
q1
d2
H1( p, t) p
( p2 , 2 )
,
2 1 d2 ;
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H1( p, t) p
( p3 , 3 )
,
3 2 d3 ;
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H
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( p1 ,1 )
微观哈密顿系统的辛算法及其应用
刘学深 吉林大学原子与分子物理研究所
2012. 07
报告内容 ：
第一部分：经典哈密顿系统的辛算法 第二部分：辛算法在量子系统的应用 第三部分：强场原子分子动力学过程的理论研究 第四部分：Bose-Einstein凝聚理论研究
第一部分：经典哈密顿系统的辛算法
❖经典哈密顿系统
Multi-symplectic Hamiltonian systems:
Local conservation laws
Mzt Kzx z S (z), where M and K are skew-symmetric matrices. t(U ,V ) x (U ,V ) 0, (Multi-symplecticity) where (U ,V ) U T M TV , (U ,V ) U T K TV , and U (x,t),V (x,t) are solutions of the variational equation Mdzt Kdzx DzzS (z)dz.
保结构算法主要是指保几何结构的算法：
Hamilton系统的辛算法、 无源系统的保体积算法、
接触系统的接触算法。
广义的保结构算法：保原问题(精确解)的某些特 性， 如：
守恒律（能量守恒， 动量守恒， 平方守恒等） 几何特性（辛结构，多辛结构，接触结构等） 代数结构（系统特征值，李代数结构） 轨道稳定性
dpk H ( p, q),
dt
qk
dqk H ( p, q),k 1,2,...d. dt pk
冯康院士(1920—1993) : 80年代， 提出辛算法
辛结构: dp dq
数值格式应该尽可能地保持原系统的特征性质 和内在对称性（《冯康文集》第二卷第30页）
哈密顿力学的基本定理：
哈密顿系统的正则方程在 辛变换下形式不变，系统 的时间演化是辛变换的演 化。
指导思想: 离散方法尽可 能保持原问题的结构
特点: 长时间计算的准确 性和优异的数值稳定性
有限维Hamilton系统的辛算法
理论已基本成熟，包括：
a. 算法的构造理论: 生成函数法，组合方法，Runge-Kutta. b. 算法的理论分析: 后误差分析，形式能量，KAM定理. c. 算法的数值比较和具体运用。
p2
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H 2 q
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.
辛格式（二）
H ( p, q,t) H1( p,t) H2 (q,t) n-stage nth-order explicit symplectic scheme
目的: 得到好的数值稳定性和长时间计算精度
（量子系统）常用的辛格式：
辛格式（一）
H ( p, q) H1( p) H2 (q) 4-stage 4th-order explicit symplectic scheme
p1
pn
c1
H 2 q
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,
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源自文库
(( 1
4
1 6
1 3) f (Y1) 4 f (Y2 )),
q3
d4
H1 p
pn1
,
t n1 3 d4 ,
辛格式（四）
z J 1 H f (z) z p q T
z
Euler-centered scheme
z n1 z n
J
1
H z
( zn1 zn )
2
2-stage 4th-order implicit symplectic Runge-Kutta scheme
已有成果： 变分方法， 具体方程的多辛 结构和Preissman格式，多 辛结构的存在和给出，波方 程的Gauss-legendre 方法。 有限元方法的保结构性质； 波方程Preissman格式的后 误差分析，数值证明。 存在问题： 算法分析(稳定性、收敛性)， 构造，一般方程的显式格式， 广泛的数值例子。
qn1
dn
H1( p, t) p
( pn1 , n )
,
n n1 dn ,
辛格式（三）
H ( p, q, t) H1( p) H2 (q, t) 4-stage 4th-order explicit symplectic scheme
p1
pn
c1
H 2 q
qn ,tn
,
p2
无限维Hamilton系统的辛算法正处于发展阶段, 许多 问题有待解决。
a. 直接构造，生成函数法. b. 线方法，半离散. c. 应用较多。
Marsden等[1998]、Bridges等[1999] 分别从不同的角度提出了多辛方程及 多辛算法的概念。
多辛方程和多辛算法是 Hamilton系统和辛算法 的直接推广--无穷维系统
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H1( p, t) p
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H1( p, t) p
( p1 ,1 )
微观哈密顿系统的辛算法及其应用
刘学深 吉林大学原子与分子物理研究所
2012. 07
报告内容 ：
第一部分：经典哈密顿系统的辛算法 第二部分：辛算法在量子系统的应用 第三部分：强场原子分子动力学过程的理论研究 第四部分：Bose-Einstein凝聚理论研究
第一部分：经典哈密顿系统的辛算法
❖经典哈密顿系统
Multi-symplectic Hamiltonian systems:
Local conservation laws
Mzt Kzx z S (z), where M and K are skew-symmetric matrices. t(U ,V ) x (U ,V ) 0, (Multi-symplecticity) where (U ,V ) U T M TV , (U ,V ) U T K TV , and U (x,t),V (x,t) are solutions of the variational equation Mdzt Kdzx DzzS (z)dz.
保结构算法主要是指保几何结构的算法：
Hamilton系统的辛算法、 无源系统的保体积算法、
接触系统的接触算法。
广义的保结构算法：保原问题(精确解)的某些特 性， 如：
守恒律（能量守恒， 动量守恒， 平方守恒等） 几何特性（辛结构，多辛结构，接触结构等） 代数结构（系统特征值，李代数结构） 轨道稳定性
dpk H ( p, q),
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冯康院士(1920—1993) : 80年代， 提出辛算法
辛结构: dp dq
数值格式应该尽可能地保持原系统的特征性质 和内在对称性（《冯康文集》第二卷第30页）
哈密顿力学的基本定理：
哈密顿系统的正则方程在 辛变换下形式不变，系统 的时间演化是辛变换的演 化。
指导思想: 离散方法尽可 能保持原问题的结构
特点: 长时间计算的准确 性和优异的数值稳定性
有限维Hamilton系统的辛算法
理论已基本成熟，包括：
a. 算法的构造理论: 生成函数法，组合方法，Runge-Kutta. b. 算法的理论分析: 后误差分析，形式能量，KAM定理. c. 算法的数值比较和具体运用。
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辛格式（二）
H ( p, q,t) H1( p,t) H2 (q,t) n-stage nth-order explicit symplectic scheme
目的: 得到好的数值稳定性和长时间计算精度
（量子系统）常用的辛格式：
辛格式（一）
H ( p, q) H1( p) H2 (q) 4-stage 4th-order explicit symplectic scheme
p1
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源自文库
(( 1
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2-stage 4th-order implicit symplectic Runge-Kutta scheme
已有成果： 变分方法， 具体方程的多辛 结构和Preissman格式，多 辛结构的存在和给出，波方 程的Gauss-legendre 方法。 有限元方法的保结构性质； 波方程Preissman格式的后 误差分析，数值证明。 存在问题： 算法分析(稳定性、收敛性)， 构造，一般方程的显式格式， 广泛的数值例子。
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H1( p, t) p
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辛格式（三）
H ( p, q, t) H1( p) H2 (q, t) 4-stage 4th-order explicit symplectic scheme
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