正定矩阵的性质
正定矩阵与性质

27
X Rn , X T AAT X ( AT X )T AT X
AT X
2
0,
故AT X
Q r( AT ) m n,
AT 的列向量组线性相关,存在n维列向量 X o,
使得AT X o ,于是
X T AAT X X T Ao 0,
故 AAT 不是正定矩阵。
28
3.若A为 n m矩阵,且r( A) r min(n,m),则 AT A 和 AAT 分别为m阶和n阶半正定矩阵但非正定矩阵.
17
例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.
6 2 2
A
2
5
0
.
2 0 7
解| A1 | 6 0,
6 2
| A2 | 2
30 4 26 0, 5
6 2 2
| A3 | 2 5 0 210 20 28 162 0. 2 07
故A正定.
18
实对称矩阵A正定的充分必要条件是
阵G,使得
GT An1G En1 .
令 则
G O
C1
O
1
,|
C1
||
G
|
0.
C1T
AC1
GT
O
O An1
1
T
G
ann
O
O
1
G
A T n1
T
GT G
ann
O
O 1
G
T An1G
TG
G T
ann
En1
TG
GT
ann
.
再令
15
C2
En1 O
GT
24 3 71
99 6
正定矩阵660题目汇总

正定矩阵660题目汇总摘要:一、正定矩阵的概念及性质1.正定矩阵的定义2.正定矩阵的性质二、正定矩阵的判定方法1.实对称矩阵的性质2.二次型对应的矩阵为正定矩阵的条件3.谱聚类算法中的正定矩阵应用三、正定矩阵在实际问题中的应用1.机器学习中的正定矩阵2.信号处理中的正定矩阵3.图像处理中的正定矩阵四、正定矩阵的求解方法1.求解正定矩阵的特征值和特征向量2.求解正定矩阵的平方根五、正定矩阵的扩展概念1.半正定矩阵2.负定矩阵3.行列式为正的矩阵六、正定矩阵与其他矩阵之间的关系1.单位矩阵与正定矩阵的关系2.正规矩阵与正定矩阵的关系正文:一、正定矩阵的概念及性质1.正定矩阵的定义:一个n阶实对称矩阵A满足对于任意非零向量x,都有x^T * A * x > 0,那么这个矩阵A被称为正定矩阵。
2.正定矩阵的性质:正定矩阵具有以下几个性质:(1) 对称性:正定矩阵是实对称矩阵,即满足A = A^T。
(2) 行列式大于0:正定矩阵的行列式始终大于0。
(3) 特征值大于0:正定矩阵的各个特征值都大于0。
(4) 二次型大于0:正定矩阵对应的二次型(即Ax^2)始终大于0。
二、正定矩阵的判定方法1.实对称矩阵的性质:一个实对称矩阵A是正定的,当且仅当它的所有特征值都大于0。
2.二次型对应的矩阵为正定矩阵的条件:一个n阶矩阵A对应的二次型为正定矩阵,当且仅当A的n个特征值都大于0。
3.谱聚类算法中的正定矩阵应用:在谱聚类算法中,通过计算相似度矩阵的特征值和特征向量,可以得到正定矩阵,从而实现聚类任务。
三、正定矩阵在实际问题中的应用1.机器学习中的正定矩阵:在机器学习中,正定矩阵常用于核函数的计算,如支持向量机(SVM)中的核矩阵。
2.信号处理中的正定矩阵:在信号处理中,正定矩阵可以用于滤波器的设计,如无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。
3.图像处理中的正定矩阵:在图像处理中,正定矩阵可以用于图像的降噪和增强,如基于正定矩阵的图像滤波方法。
正定矩阵和特征值的关系

正定矩阵和特征值的关系介绍正定矩阵是线性代数中的重要概念,特征值是矩阵的另一个重要属性。
本文将深入探讨正定矩阵和特征值之间的关系,以及它们在数学和应用中的重要性。
正定矩阵的定义一个n×n的实对称矩阵A被称为正定矩阵,如果对于任意非零实向量x,都有x^T·Ax > 0。
其中x^T表示向量x的转置,·表示点乘操作。
特征值和特征向量对于一个n×n的矩阵A,如果存在一个非零向量v和一个数λ,使得Av = λv,那么λ被称为矩阵A的特征值,v被称为对应于λ的特征向量。
正定矩阵的特征值正定矩阵的特征值具有以下性质: 1. 正定矩阵的特征值都是正数。
2. 正定矩阵的特征值非零。
3. 正定矩阵的特征向量是与特征值相对应的线性无关向量。
正定矩阵和特征值的关系正定矩阵和特征值之间存在紧密的关系。
具体来说,对于一个实对称矩阵A,以下三个条件等价: 1. A是正定矩阵。
2. A的所有特征值都是正数。
3. A的所有顺序主子矩阵的行列式都大于零。
这个结论被称为正定矩阵的三个等价定义。
正定矩阵的性质正定矩阵具有许多重要的性质,下面列举了其中一些: 1. 正定矩阵的特征值都是正数,这是判断正定矩阵的充分必要条件。
2. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
3. 正定矩阵的所有主子矩阵都是正定矩阵。
这些性质使得正定矩阵在数学推导和应用中具有广泛的应用价值。
正定矩阵的应用正定矩阵在实际应用中有很多重要的应用,下面介绍其中一些: 1. 在优化问题中,正定矩阵被广泛用于定义二次型和构造凸函数。
2. 在机器学习中,正定矩阵常用于定义核函数和构造协方差矩阵。
3. 在信号处理中,正定矩阵常用于描述信号的自相关性和互相关性。
4. 在最小二乘法中,正定矩阵用于求解线性方程组的最优解。
5. 在物理学中,正定矩阵用于描述系统的能量函数和稳定性。
这些应用仅仅是正定矩阵在科学和工程领域中的冰山一角,其重要性不言而喻。
正定矩阵的性质及判定方法

和学生们一起学习利用导函数求函数单调性的知识内容时ꎬ向学生们提出了一个问题:已知函数f(x)=lnx-axꎬ求函数f(x)的单调性.很快学生们便想到先求出这一函数的导函数ꎬfᶄ(x)=1/x-aꎬ随后学生直接去求当这一导函数大于0的解ꎬ以及小于0的解ꎬ进而得出最后的单调性.很显然学生在解的过程中忽略的a的值ꎬ想当然的认为a的值大于0.于是ꎬ学生们在教师的引导下分类讨论这一问题.分出了三种大的情况当a小于0时ꎬ当a等于0时ꎬ当a大于0时.这样分类讨论这一问题ꎬ对这一问题有了很好的思考ꎬ同时ꎬ对导函数的内容理解得更加深刻.数学课堂教学过程中ꎬ教师通过巧妙地渗入分类讨论思想ꎬ成功地开阔了学生的思维空间ꎬ帮助学生整理了自己的学习思路ꎬ注重让学生自己探索解题过程ꎬ有效地锻炼了学生的解题能力ꎬ发展了学生多方面才能.㊀㊀四㊁引导探究思考ꎬ提升学生学习效率枯燥抽象早已是数学学科的代名词ꎬ教师一味地灌输ꎬ学生一味地机械记忆ꎬ会使得整个课堂学习效果不佳ꎬ效率不高.由此ꎬ教师需要创新改变ꎬ注重更多地从学生的角度开展教学ꎬ多开发学生主体这一学习资源.数学课堂学习中ꎬ教师可以注重引导学生自主探究思考ꎬ为学生创造更多的探究学习平台ꎬ间接激起学生探究学习欲望ꎬ促使学生深入体验学习ꎬ进一步提升学生课堂学习效率.例如:在教学 圆与方程 时ꎬ教师在课堂教学伊始向学生们提出问题:点与圆有着怎样的位置关系?直线与圆又有着怎样的位置关系呢?学生在教师问题的催动下主动地进入到思考探究中.很快学生们想到点与圆有三种位置关系:在圆外㊁在圆上㊁在圆内.并主动思考利用圆的方程式该如何去解决这一问题.同样通过圆方程以及直线方程该怎样得出直线与圆的位置关系.学生们就这样主动地探究分析ꎬ无形中对这部分数学知识有了很好的体验和认识.数学课堂教学中ꎬ教师选择将数学知识以问题的形式抛给学生ꎬ成功地为学生们搭建了一个探究学习的平台ꎬ让学生主动探究㊁积极思考ꎬ有效地锻炼了学生的探究思维能力.总之ꎬ学生地位日益凸显ꎬ教师教学过程中更加注重学生的学习过程ꎬ以促进学生发展为教学目的ꎬ这样才能更好地实现高效率数学课堂学习.在今后的数学教学中ꎬ教师要善于让学生自主探究㊁积极体验学习ꎬ让学生更多地参与学习活动ꎬ演绎魅力数学课堂.㊀㊀参考文献:[1]焦凤龙.基于核心素养的高中数学课堂教学策略[J].学周刊ꎬ2019(25):40.[2]谭锴ꎬ方采文.研究性学习在高中数学课堂教学中的实践与思考[J].中学生数理化(学习研究)ꎬ2019(Z1):42.[责任编辑:李㊀璟]正定矩阵的性质及判定方法何守元(云南省丽江市丽江师范高等专科学校㊀674100)摘㊀要:本文在定义基础上集中讨论了正定矩阵的性质㊁特征ꎬ并给出了矩阵正定性的判定方法.关键词:正定ꎻ矩阵ꎻ性质ꎻ判定方法中图分类号:G632㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1008-0333(2020)24-0018-02收稿日期:2020-05-25作者简介:何守元(1964.11-)ꎬ男ꎬ云南省丽江人ꎬ硕士ꎬ副教授ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀先看正定矩阵的定义:若一个实二次型f(x1ꎬx2ꎬ ꎬxn)=XTAX正定ꎬ则称矩阵A为正定矩阵.显然ꎬ由定义可知:正定矩阵A必须满足两个条件:首先ꎬA必须是实对称矩阵.否则不存在正定矩阵的概念ꎻ其次ꎬ以A为矩阵的实二次型f(x1ꎬx2ꎬ ꎬxn)=XTAX必须是正定二次型ꎬ即A与同价单位方阵E合同.由此可得正定矩阵的一系列性质ꎬ它们是判定A为正定矩阵的依据:性质1㊀实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是A与同价单位方阵E合同.㊀㊀(因为A为正定矩阵的充要条件是实二次型f(x1ꎬx2ꎬ ꎬxn)=XTAX是正定二次型.)性质2㊀正定矩阵的行列式大于零.(或:正定矩阵必满秩㊁可逆.)它的等价命题是:行列式不大于零的实对称矩阵ꎬ不是正定矩阵.这只是判定正定矩阵的必要而不充分条件.例如:A=012101210æèççöø÷÷是实对称矩阵ꎬ且|A|=2>0ꎬA可逆81Copyright©博看网 . All Rights Reserved.(满秩)矩阵ꎬ但A经过合同变换化为dig(1ꎬ-1ꎬ-1)ꎬ其负惯性指数为2ꎬ故A不是正定矩阵.性质3㊀正定矩阵的逆也是正定矩阵.(因为A=PTEPꎬA-1=[(P-1)T]TE(P-1)TꎬA-1也与单位方阵E合同ꎬ必然正定.)性质4㊀实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是A的特征根全大于零.这是因为:任意实二次型都可用正交变换化为标准型ꎬ标准型的矩阵的主对角元为它的特征根ꎬ必须全为正数.性质5㊀实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是A的顺序主子式全大于零.(这在一般教材上均有证明)综合以上定义和性质ꎬ不难看出ꎬ正定矩阵具有下列显著特征:(1)实对称矩阵(这是前提)ꎻ(2)满秩㊁可逆㊁行列式非零(这三个特征是等价的)ꎻ(3)与同阶单位方阵合同ꎻ(4)特征根全为正实数ꎻ(5)与同阶对角形方阵dig(t1ꎬt2ꎬ ꎬtn)相似且合同(其中ti为它的特征根).(6)行列式等于t1t2 tn(即:全部特征根的积).根据上述讨论ꎬ可得出正定矩阵的判别方法:判法1㊀若A为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接计算它的顺序主子式ꎬ若全大于零ꎬ则A为正定矩阵.若不全大于零ꎬ则A非正定.例1㊀A=1-12-112224æèççöø÷÷ꎬ其二阶顺序主子式D2=1-1-11æèçöø÷=0ꎬ故它虽为实对称矩阵ꎬ但不是正定矩阵.这种方法对元素含有参数的矩阵正定性的讨论同样特别有效.例2㊀当t为何值时ꎬA=t1-11t-1-1-1tæèççöø÷÷为正定矩阵?㊀显然ꎬ其顺序主子式D1=t>0ꎬD2=t11tæèçöø÷=t2-1>0ꎬD3=|A|=(t+2)(t-1)2>0ꎬ由此可得:t>1时A为正定矩阵.判法2㊀若A为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接解特征方程f(t)=|tI-A|=0ꎬ计算出A的全部特征根.若特征根全大于零ꎬ则A为正定矩阵.若特征根不全为正数ꎬ则A非正定.例3㊀A=1-22-2-2424-2æèççöø÷÷为实对称矩阵ꎬf(t)=|tI-A|=(t-2)2(t+7)=0ꎬ得特征根为2㊁2㊁-7ꎬ有一个根不是正数ꎬ故A不是正定矩阵.判法3㊀若A为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可用合同变换法ꎬ将其化为对角形矩阵.若对角形矩阵为单位方阵E(或:主对角元全为正数)ꎬ则A为正定矩阵.否则ꎬ不是正定矩阵.如:上述例1中ꎬ对A施行合同变换:1-12-112224æèççöø÷÷ң100004046æèççöø÷÷ң100064040æèççöø÷÷ңA=10006000-166æèçççöø÷÷÷ңA=10001000-1æèççöø÷÷.得到的对角形矩阵不是单位方阵(或对角元出现负数)ꎬ故A不是正定矩阵.只有经合同变换后能变出单位方阵的实对称矩阵ꎬ才是正定矩阵.判法4㊀若A为具体矩阵(元素全知)ꎬ可直接计算A的行列式|A|ꎬ若|A|ɤ0ꎬ则A不正定.这是根据性质2的等价命题来判定的.如:上述例1中ꎬ|A|=-16<0ꎬ说明A不是正定矩阵.注意:这是必要而不充分条件.行列式等于零的实对称矩阵当然不是正定矩阵ꎬ行列式大于零的实对称矩阵也不一定是正定矩阵.对于抽象矩阵ꎬ可根据题目给出的具体条件ꎬ灵活应用正定矩阵的性质作出判断.如看n阶实对称矩阵的秩和正惯性指数是否都等于n?与它合同的矩阵是否为正定矩阵?由题中信息是否可推知其特征根全为正数?是否可推知其顺序主子式全大于零?等等.例4㊀若A是正定矩阵ꎬE是与A同价的单位方阵ꎬ则k为足够大的实数时ꎬ可以判定kE+A也是正定矩阵.事实上ꎬ若A的特征根为ti>0ꎬ则kE+A的特征根为ti+kꎬ从而当k足够大时ꎬ就可保证kE+A的特征根全为正数ꎬ使kE+A为正定矩阵.例5㊀若A=(aij)是正定矩阵ꎬbi(i=1ꎬ2ꎬ ꎬn)是任意n个非零实数ꎬ则B=(aijbibj)也是正定矩阵.事实上ꎬ若A正定ꎬ则其顺序主子式|Ak|>0ꎬ而B的顺序主子式|Bk|=b21 b2k|Ak|>0ꎬ从而B也是正定矩阵.综上所述ꎬ深刻理解正定矩阵的定义和性质ꎬ就能在实际应用中对矩阵的正定性判别做到游刃有余ꎬ灵活自如!㊀㊀参考文献:[1]何守元.高等代数[M].北京:现代教育出版社ꎬ2015:15.[2]刘振宇.高等代数的思想和方法[M].济南:山东大学出版社ꎬ2009.[3]扬子胥.高等代数精选题解[M].北京:高等教育出版社ꎬ2008.[责任编辑:李㊀璟]91Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
正定复矩阵的几个性质

正定矩阵的定义与性质[1]在线性代数里,正定矩阵(positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。
在线性代数中,正定矩阵的性质类似复数中的正实数。
与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式(复域中则对应埃尔米特正定双线性形式)。
正定矩阵(1)广义定义:设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有z T Mz> 0,其中z T表示z的转置,就称M为正定矩阵。
例如:B为n阶矩阵,E为单位矩阵,a为正实数。
在a充分大时,aE+B为正定矩阵。
(B必须为对称阵)(2)狭义定义:一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有z T Mz> 0。
其中z T表示z的转置。
对称正定矩阵设,若,对任意的,都有,则称A为对称正定矩阵。
Hermite正定矩阵设,若,对任意的,都有,则称A为Hermite正定矩阵正定矩阵有以下性质 [1]:(1)正定矩阵的行列式恒为正;(2)实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同;(3)若A是正定矩阵,则A的逆矩阵也是正定矩阵;(4)两个正定矩阵的和是正定矩阵;(5)正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
对于n阶实对称矩阵A,下列条件是等价的:(1)A是正定矩阵;(2)A的一切顺序主子式均为正;(3)A的一切主子式均为正;(4)A的特征值均为正;(5)存在实可逆矩阵C,使A=C′C;(6)存在秩为n的m×n实矩阵B,使A=B′B;(7)存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R,使A=R′R [3]。
(1)n 元实二次型正定它的正惯性指数为n;(2) 一个实对称矩阵A 正定A 与E 合同,即可逆矩阵C,使得;(3) 实二次型是正定的A的顺序主子式全大于零;(4) 一个实对称矩阵A 正定A 的特征值全大于零;(5) 一个实对称矩阵A 正定A 的顺序主子式全大于零;(6)A ,B 是实对称矩阵,则正定A,B均正定;(7)A 实对称矩阵,A 正定正定矩阵B,使得,(k 为任意正整数)。
正定矩阵的性质和判定方法及应用

内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号102093113指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念,也是一个主要研究对象,同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具.而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念.正定矩阵是一种特殊的矩阵,其等价定理在解题过程中可以灵活使用.且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质,尤其是这些性质广泛地应用于各个领域.本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件.在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质,主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性.本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理.本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法:定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法.且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定.最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用.关键词:二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics,but also a main research object,at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra。
At the same time,the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory。
The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly。
证明正定矩阵

证明正定矩阵正定矩阵是线性代数中的一个重要概念,它具有着许多重要的性质和应用。
在实际应用中,我们常常需要证明一个矩阵是否为正定矩阵,因此掌握正定矩阵的证明方法对于深入了解线性代数理论和应用非常重要。
下面将介绍正定矩阵的定义和性质,以及如何证明一个矩阵是正定矩阵。
一、正定矩阵的定义和性质定义:若矩阵$A$满足对于任意非零向量$\bold{x}$,都有$\bold{x}^T\bold{Ax}>0$,则称$A$为正定矩阵。
性质:1. 正定矩阵的特征值全是正实数。
2. 正定矩阵的行列式大于0。
3. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
4. 正定矩阵的各阶子矩阵也是正定矩阵。
二、证明矩阵为正定矩阵的方法1. 利用特征值根据正定矩阵的定义,对于任意非零向量$\bold{x}$,都有$\bold{x}^T\bold{Ax}>0$,即$\bold{x}^T\lambda\bold{x}>0$,其中$\lambda$为矩阵$A$的特征值。
因为$\bold{x}\neq\bold{0}$,所以$\lambda>0$。
因此,我们可以通过计算矩阵$A$的特征值来证明矩阵$A$是正定矩阵。
如果矩阵$A$的所有特征值都是正实数,则矩阵$A$是正定矩阵。
举个例子,假设有一个矩阵$A=\begin{bmatrix}2&1\\1&4\end{bmatrix}$,我们可以通过计算它的特征值来证明它是正定矩阵。
矩阵$A$的特征方程为$(2-\lambda)(4-\lambda)-1=0$,解得$\lambda_1=1$和$\lambda_2=5$,由于$\lambda_1>0$且$\lambda_2>0$,因此矩阵$A$是正定矩阵。
2. 利用正交矩阵正交矩阵是指满足$Q^TQ=I$的方阵$Q$,其中$I$为单位矩阵。
因为正交矩阵保持向量的长度不变,所以它可以用来证明矩阵$A$是正定矩阵。
二次型函数正定矩阵

二次型函数正定矩阵二次型函数是数学中的一个重要概念,它在很多领域都有广泛的应用,特别是在线性代数和数学分析中。
而正定矩阵则是与二次型函数密切相关的矩阵特性之一。
本文将介绍二次型函数正定矩阵的定义、性质及其在实际问题中的应用。
一、定义在了解二次型函数正定矩阵之前,我们需要先了解二次型函数和矩阵的概念。
二次型函数是指一个关于n个变量的二次齐次多项式,可以用矩阵的形式表示。
设x为n维列向量,A为n阶实对称矩阵,那么二次型函数可以表示为Q(x)=x^T * A * x,其中x^T表示x的转置。
而正定矩阵,简而言之,就是一个特殊的n阶实对称矩阵,它与二次型函数的性质紧密相关。
对于任意一个非零向量x,如果其对应的二次型函数Q(x)都大于0,那么我们称矩阵A为正定矩阵。
二、性质正定矩阵具有以下几个重要的性质:1. 正定矩阵的所有特征值都大于0。
2. 正定矩阵的对角元素都大于0。
3. 正定矩阵的所有主子式都大于0。
这些性质使得正定矩阵在实际问题中具有重要的应用价值。
例如,在优化问题中,正定矩阵可以用来判断一个极值点是极小值还是极大值。
在机器学习中,正定矩阵可以用来定义核函数,从而实现非线性的分类和回归任务。
三、应用正定矩阵在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景:1. 优化问题:正定矩阵可以用来判断一个极值点是极小值还是极大值。
2. 机器学习:正定矩阵可以用来定义核函数,从而实现非线性的分类和回归任务。
3. 数值计算:正定矩阵在数值计算中有广泛的应用,例如求解线性方程组、最小二乘问题等。
4. 物理学:正定矩阵在物理学中有重要的应用,例如描述能量、势能等。
5. 金融领域:正定矩阵在金融领域中常被用于风险管理和投资组合优化等问题。
总结本文介绍了二次型函数正定矩阵的定义、性质及其在实际问题中的应用。
正定矩阵在数学和应用领域中具有重要的地位,对于理解和解决实际问题具有重要意义。
希望通过本文的介绍,读者对二次型函数正定矩阵有进一步的了解和认识,为深入学习和应用相关知识奠定基础。
矩阵正定性

矩阵正定性矩阵正定性是矩阵理论中一个重要的概念,它涉及到多种不同的应用,包括机器学习、数值分析和优化算法等。
本文将尝试从定义及性质、证明、应用和实践(神经网络和解线性方程)四个方面,对矩阵正定性做一个全面的讨论。
一、定义及性质矩阵正定性是指一个实对称矩阵A的特征值全是正数,即$det(A)>0$。
它也可以称作为正定性,其最简单的定义是:矩阵A为正定矩阵,当且仅当$x^TAx>0, forall x in mathbb{R}^n$。
实对称矩阵A的正定性具有着重要的性质:(1)A的特征值全是正数;(2)A的对角性:$a_{ii}>0,forall i=1,2,...,n$;(3)A的非负对角性:$a_{ij} ge 0, forall ieq j$,即A的非对角元素均不小于0;(4)A的主对角线强度:$a_{ij}le a_{ii}a_{jj}, forall i eq j$;(5)A的半正定性:$x^TAx ge 0,forall xin R^n$,即A为半正定矩阵;(6)A的正定性:$x^TAx > 0,forall xin R^n$,即A为正定矩阵。
二、证明对于$A in mathbb{R}^{ntimes n}$,如果$Ax = 0$有非零解,则可以用定理证明$A$是非正定的:∵$x^TAx = 0$,$Ax = 0$,∴$A$不是正定的。
反之,如果$Ax = 0$没有非零解,则$A$为正定矩阵,所以可用拉格朗日定理证明:因为实对称矩阵$A$有特征分解$A=QLambda Q^T$,其中Q为特征向量矩阵,$Lambda$为特征值矩阵。
定理1表明,如果特征值全部严格大于零,则$A$为正定矩阵。
定理1:如果矩阵$A$为实对称矩阵,且其特征值$lambda_1,lambda_2,...,lambda_n$都是正数,则$A$为正定矩阵。
三、应用矩阵正定性有很多应用,其中最重要的是在机器学习中,矩阵正定性对数据建模有着重要的意义,可以用来估计机器学习模型的损失函数,分析数据的分布,发现其表现模式,并用来进行推断。
判断正定矩阵的方法

判断正定矩阵的方法正定矩阵,顾名思义,是指矩阵的性质满足“正定”的条件。
在线性代数中,正定矩阵是非常重要的概念。
正定矩阵是一种定义良好的矩阵,它的主要性质有:所有特征值为正数,行列式为正数,且所有主子矩阵的行列式都为正数。
在实际应用中,正定矩阵常常用在优化问题、最小二乘问题、信号处理、加密等领域。
在进行正定矩阵的判断时,我们通常有以下几种方法,分别从不同的角度出发进行判断。
方法一:主元素主子式判定法主元素主子式判定法(Leading Principal Minor Test)是最常用和最简单的方法之一。
正定矩阵要求每个n个阶层次的主子式大于0,即主子矩阵行列式大于0。
如果所有的主子式都大于0,则该矩阵为正定矩阵。
证明:假设矩阵A为n阶正定矩阵,根据特征值定理,A的所有特征值必须为正数。
因此,其所有的主元素主子矩阵行列式均为正数。
反之,如果所有的主元素主子式都大于0,则矩阵A的所有特征值均大于0,从而A为正定矩阵。
举例:设矩阵A = [1 2; 2 5],则一、二阶主子式分别为1,(1×5-2×2) = 1,因为所有的主子式均大于0,所以矩阵A是正定矩阵。
方法二:特征值判定法特征值判定法(Eigenvalue Test)是另一种常用的方法。
如果一个n阶的矩阵A有n个线性无关的特征向量,且这些特征值都为正数,则矩阵A为正定矩阵。
证明:根据特征值定理,如果A为n阶的对称矩阵,则A可以分解为A = VλV’,其中V是n阶正交矩阵,λ是n阶对角矩阵,对角线上的元素就是A的特征值。
如果A为正定矩阵,则λ的对角线上所有元素都为正数。
因为V为正交矩阵,所以V的所有列向量线性无关。
因此,矩阵A有n个线性无关的特征向量,其中每个特征值都大于0。
反之,如果A有n个线性无关的特征向量,且所有特征值都大于0,则A为正定矩阵。
方法三:Sylvester判定法Sylvester判定法(Sylvester Criterion)是一种基于奇异值分解的方法。
正定矩阵通俗解释

正定矩阵通俗解释
正定矩阵是矩阵理论中的一个重要概念,它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
简单来说,一个矩阵如果所有的特征值都大于零,则该矩阵就被称为正定矩阵。
正定矩阵具有许多优良的性质,使得它在实际问题中的应用十分广泛。
首先,正定矩阵可以用来表示二次型的正定性。
一个二次型的矩阵如果是正定的,就说明它在所有非零向量上都取正值。
这个结论对于很多实际问题都很有用,比如优化问题中的约束条件就可以通过正定矩阵来表示。
其次,正定矩阵还具有很好的可逆性。
正定矩阵的行列式大于零,因此它的逆矩阵也存在且是正定的。
这个性质在许多工程领域中都非常重要,比如说电子电路中的信号传输就需要保证信号的可逆性。
另外,正定矩阵还可以用来解线性方程组。
如果一个线性方程组的系数矩阵是正定的,那么就可以使用正定矩阵的
Cholesky分解来解方程组,这个方法比传统的高斯消元法更快更稳定。
最后,正定矩阵在优化问题中也有很重要的作用。
很多求解优化问题的算法,比如牛顿法、梯度下降法等,都需要使用到正定矩阵。
这是因为这些算法都需要求解类似于Hessian矩阵的
二阶导数矩阵,而正定矩阵正是Hessian矩阵的一种特殊情况。
总之,正定矩阵是矩阵理论中非常重要的一个概念,它在许多
领域中都具有广泛的应用。
了解正定矩阵的性质和应用,有助于我们更好地理解和应用矩阵理论,同时也有助于我们更好地解决实际问题。
正定矩阵的判断方法

正定矩阵的判断方法正定矩阵是线性代数中一个非常重要的概念,也是优化理论中的关键内容之一、在很多应用领域中,正定矩阵具有很强的数学性质和良好的性能,因此其判断方法具有重要的理论和实际意义。
本文将详细介绍正定矩阵的定义、判断方法及其性质。
一、定义在介绍正定矩阵的判断方法之前,我们先来回顾一下正定矩阵的定义。
设A是n×n的实对称矩阵,如果对于任意非零向量x,都有x^TAx>0,则称A为正定矩阵。
其中,x^T表示x的转置,x^TA表示x的转置与A的乘积。
二、特征值判定法特征值判定法是正定矩阵判定方法中最基本的一种方法,它基于矩阵的特征值和特征向量的性质。
根据特征值判定法,一个实对称矩阵A是正定矩阵的充要条件是A的所有特征值均大于0。
特征值判定法的推导过程如下:1.对于任意的非零向量x,设其特征值为λ,特征向量为v,则有Av=λv;2. 将x表示为特征向量v的线性组合,即x = Σa_iv_i,其中a_i为常数;3. 则有Ax = A(Σa_iv_i) = Σa_iAv_i = Σa_iλv_i =λΣa_iv_i;4. 根据正定矩阵的定义,有x^TAx = (Σa_iv_i)^TA(Σa_iv_i) = Σa_i^2λ > 0;5.因此,对于任意非零向量x,有x^TAx>0,即矩阵A是正定矩阵。
三、主子式判定法主子式判定法是利用矩阵的主子式来判断矩阵是否为正定矩阵。
设A 是n×n的实对称矩阵,如果A的所有主子式(即A的任意k阶顺序主子式的行列式)均大于0,则称A为正定矩阵。
主子式判定法的推导过程如下:1. 设A的对角线元素为a_ii,则A的2阶顺序主子式为D_2 =a_11a_22 - a_12a_21;2.对于任意非零向量x=[x_1,x_2]^T,有x^TAx=[x_1,x_2](a_11x_1+a_12x_2,a_21x_1+a_22x_2)^T=a_11x_1^2+2a_ 12x_1x_2+a_22x_2^2;3.要使得x^TAx>0,必须满足D_2=a_11a_22-a_12a_21>0;4.对于3阶顺序主子式D_3=a_11(a_22a_33-a_23a_32)-a_12(a_21a_33-a_23a_31)+a_13(a_21a_32-a_22a_31),同样有D_3>0;5.以此类推,对于任意k阶主子式D_k,都必须满足D_k>0;6.因此,对于任意n阶主子式D_n,都必须满足D_n>0,即矩阵A是正定矩阵。
正定矩阵的性质及应用

正定矩阵的性质及应用摘要: 正定矩阵是矩阵理论中的一类重要的矩阵,且在多个不同领域内均有重要的作用,本文回顾了正定矩阵的发展史、性质及应用。
矩阵理论的应用愈来愈广,它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用,如在数学分析中用黑塞矩阵来判断函数的极值等。
把矩阵理论应用到这些数学学科中时,使很多问题变得简单明了.关键字: 正定矩阵;主子式;顺序主子式;特征值.研究矩阵的正定性,在数学理论或应用中具有重要意义,是矩阵论中的热门课题之一.正定矩阵具有广泛的应用价值,是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类,其应用引起人们极大的研究兴趣.本文首先给出了正定矩阵的定义,然后研究了正定矩阵的一些等价条件和一些正定矩阵的若干性质,最后简单的列举了一些正定矩阵在数学其它方面的应用.一、正定矩阵的定义定义1.设),,,(21n x x x f 是一个实二次型,若对任意的一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f ,则称),,,(21n x x x f 是实正定二次型,它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵,简称正定矩阵.定义2.n 阶是对称矩阵A 称为正定矩阵.如果对于任意的n 维实非零列向量),,,(21n x x x f X =都有0>'A X X ,正定的是对称矩阵A 简称为正定矩阵.注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定型,不具备有定型的二次型及其矩阵为不定.二次型的有定型与其矩阵的有定型之间具有——对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性的判别.二.正定矩阵的一些性质1.正定矩阵的充分必要条(1)n 元实二次型),,,(21n x x x f 正定⇔它的惯性指数为n . 证:设二次型),,,(21n x x x f 经过非退化矩阵实线性替换成标准=),,,(21n x x x f 2222211n n y d y d y d +++ (1)由“非退化线性替换保持正定性不变”可知),,,(21n x x x f 正定当且仅当2222211n n y d y d y d +++ 是正定的??由二次型2222211n n y d y d y d +++ 正定当且仅当i d 0>.n i ,, 2,1=.因此二次型正惯性指数为n .(2)一个是对称矩阵A 正定⇔A 与E 合同.既∃可逆矩阵C ,使得C C A '=. 在证明此条件之前先给出一个定义及两个定理:定义:任意一个实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换可变成221221r p p z z z z ---+++称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.定理:任意一个实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换可变成规范形,且规范形是唯一的.以下就是上述从要条件的证明:证:正定二次型),,,(21n x x x f 的规范形为22221n y y y +++ (2)因此(2)式的矩阵为单位矩阵E .所以一个是对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. (3) 实二次型AX X x x ax x x f T j i n i nj ijn ==∑∑==1121),,,( 正定⇔A 的顺序主子式全大于零.证:必要性:设二次型j i n i nj ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,(是正定的.对于每个k ,n k ≤≤1,令j i k i kj ij k k x x a x x f ∑∑===111),,(我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数k c c ,,1 ,有0)0,0,,,(),,(1111>==∑∑== k j i k i kj ij k k c c f c c a c c f因此),,(1k k x x f 是正定的.由上面的推论,k f 的矩阵的行列式n k a a a a kkk k ,,101111=>,这就证明了矩阵A 的顺序主子式全大于零. 充分性:对n 作数学归纳法当1=n 时,21111)(x a x f =由条件011>a ,显然有)(1x f 是正定的.假设充分性的论断对于1-n 元二次型已经成立,现在来证n 元的情形.令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n n n a a ,1,1 α于是矩阵A 可以分块写成⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=nn a A A αα1既然A 的顺序主子式全大于零,当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳假定,1A 是正定矩阵,换句话说,有可逆的1-n 级矩阵G 使11-='n E G A G这里1-n E 代表1-n 级单位矩阵,令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001G C ,于是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'='-nn n nn a G G E G a A G AC C αααα1111100100再令⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=-10-12αG EC n 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-=''--1010111-n 2112ααααG E a G G E G E C AC C C n nn n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-=-ααG G a E nn n 001 令21C C C = , 则a G G a nn =''-αα,于是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡='a AC C 11 再取行列式 , a A C =2,由条件,0>A .因此0>a .显然有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a a a 111111111 这就是说,矩阵A 与单位矩阵合同,因之,A 是正定矩阵,或者说,二次型 ),,,(21n x x x f 是正定的.(4) 一个是对称矩阵A 正定⇔A 的主子式全大于零. 证:必要性:对A 的任一k 阶主子式为:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k k k i i i i i i i i i i ii i i i i i i k a a a a a a a a a A 2122212k 12111存在某个排列矩阵P ,使AP P '的k 阶顺序主子式为k A ,因为0>A ,所以02>='='P A P A P AP P由矩阵充要条件(3)知0>k A .充分性:由A 的主子式全大于零知: A 的顺序主子式全大于零.再由充要条件(3)知“充分性”成立.(5) 一个是对称矩阵A 正定⇔A 的特征值全大于零.证:必要性:由于对称矩阵A 是正定矩阵.因为∃一个正交矩阵T ,使AT T '成对角型的对角线上的元素均为正值.又由对角线的元素又为A 的所有特征值. 因此A 的特征值均为正数.充分性:当对称矩阵A 的特征根都为正数时,对角型矩阵AT T '对角线上的元素均为正数.因为AT T '为正定矩阵,又由于T 为正交阵.所以A 是正定阵.(6)A 、B 是是对称矩阵,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A C 00正定⇔A 、B 均正定.证:必要性:A 、B 因为是对称矩阵.所以C 是实对称矩阵.又因为C 是正定的由充分必要条件(4)知:A 、B 均为正定的充分性:因为A 、B 是正定. 所以∃正交矩阵P 、Q 使得AP P '、BQ Q '为对角阵.所以C 可经合同变换化为对角型,且对角线上的元素为A 、B 的特征值且都大于零.所以C 正定. 2.性质:设矩阵A 为n 阶实方阵,则下列命题等价. <1>A 是正定矩阵. <2>1-A 是正定矩阵.<3>A '是正定矩阵. <4>A A '+是正定矩阵.<5>对任意n 阶可逆矩阵P ,AP P '是正定矩阵.<6>A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.证:<1>⇒<2> 若A 是正定的,则存在实可逆矩阵C ,使C C A '=,因为)()(1111'='=----C C C C A又因为C 可逆,于是1-C也是是可逆矩阵所以1-A 也是正定矩阵.⇒<3> 因为A 是正定矩阵,于是存在可逆C 使C C A '=,则C C C C C C A '='''=''='))(()(所以A '是正定矩阵.⇒<4> 因为A 是正定矩阵,于是A A '=,则A A A 2='+.又因为∀nC X ∈都有0>'A X X ,所以02>'A X X ,即0)2(>'X A X所以A 2正定矩阵,因此A A '+就是正定矩阵.⇒<5> 因为A 是正定矩阵,所以∀nC X ∈使得 0>'A X X .令PY X =, 则有nC X ∈为任意的,则Y 为任意的.因此0>''APY P Y因此AP P '为正定矩阵.⇒<6> 设n n ij a A ⨯=)(是正定的,A 的任意k 级主子式对应的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k k k i i i i i i i i i i ii i i i i i i k a a a a a a a a a A 212221212111设A 与k A 的二次型分别为AY Y '和AX X ',对任意=0X 0),,(21≠'n i i i b b b 取),,,(210n c c c Y =≠0,其中=k c 12,(,,0k n b k i i i =⎧⎨⎩),其它 n k ,,21= 由A 正定知0>'A Y Y ,故0>'A X X 既AX X '是正定的.因此k A 正定,所以A 的各阶主子矩阵是正定矩阵. 还可以由上面的充分必要条件(4)知A 的各阶主子式都大于零可以推得A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.以上给出了正定矩阵的一些充分必要条件及性质,以下我们就来探讨一以下正定矩阵在一些方面的应用.三.正定矩阵的应用(1)从二次型理论的起源,既从化二次型曲线和二次型曲面为标准形的问题入手, 我们发现二次型理论对二次型理论对二次型曲线和二次型曲线的方程的化简有着重要的意义. 例1.利用直角坐标变换化简如下二次曲面的方程,032682223222=++--+++z y x xy z y x 其中)1,3,4(),,,(--='='B z y x X⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200021013A 解:作平移变换:),,(,321ααααα='-=Y X 则有03)(2)()(=+-'+-'-αααY B Y A Y即0322=+'-'+'+'-'-'αααααB Y B A AY A Y AY Y 令32+'-'=αααβB A又因为A A AY A Y =''=',αα,所以0)(2=+'--'βαY B A AY Y适当的选取,α使B A =α,由秩=A 秩A 3=,知:B A =α(线性方程组)有唯一解:211321===ααα,由B A ',,α可得29-=β,又由于A 是实可逆矩阵,所以存在正交矩阵T ,使得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='321λλλAT T 使得25-525523,21=+==λλλ,, 为A 的特征根作正交线性替换)(,321Z Z Z Z TZ Y '''='=,,,则 23222123322221125-52552Z Z Z Z Z Z AY Y '+'++'='+'+'='λλλ 即原方程可化简为02552552232221='-+'++'Z Z Z (2)用正定二次型的理论来判定多元函数极值存在的充分必要条件是很方便的.定义1.设n 元函数),,,()(21n x x x X f =在n n R x x x X ∈'=),,(,21 的某个领域内有一阶,二阶连续函数偏导数,记)(),()(21X f x fx f x f X f n∇∂∂∂∂∂∂=∇,,, 称为函数)(X f 在点)(21'=n x x x X ,,, 处的梯度,或记为)(x gradf .定义2. 设n 元函数)(x f 对各自变量具有二阶连续偏导数,则矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n x x x x x x x x x x xx x x x x x x f f f f f f f f f x H212221212111)( 称作是)(x f 在n P 点的黑塞矩阵.)(X H 是由)(x f 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶方阵是对称矩阵.定理1.(极值的必要条件) 设n 元函数)(x f 其中)(21n x x x X ,,, =的对各自变量具有一阶连续偏导数,n n R x x x X ∈=),,,(002010 是)(x f 的一个驻点,则)(x f 在)002010n x x x x ,,,( =取得极值的必要条件是0)()(r n210x x x fx f x f x adf g ='∂∂∂∂∂∂=,,, 定理 2.(极值的充分条件) 设函数)(x f 在点的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数,且0))()()(()(n02010=∂∂∂∂∂∂=∇x x f x x f x x f x f ,,, 则: (1)当)(0x H 为正定矩阵时,)(0x f 为)(x f 的极小值. (2) 当)(0x H 为负定矩阵时,)(0x f 为)(x f 的极大值. (3) 当)(0x H 为不定矩阵时,)(0x f 不是)(x f 的极值.例2.求函数321212221321212),,(x x x x x x x x x f ++++=的极值. 解:因为22,122,123331221211+=∂∂+=∂∂+=∂∂x x f x x x f x x x f又因为0,0,0321=∂∂=∂∂=∂∂x f x f x f 得驻点)1,144,24(,)1,0,0(10'--='=X X .)(x f 得各二阶偏导数为:2,0,2,2,12,623231222*********12=∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂∂=∂∂∂=∂∂x fx x f x f x x f x x f x x f 得矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122126)(1x X H在0X 点处,又得矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122120)(0X H , 而)(0X H 的顺序主子式 0152det ,0144212120det ,0det 321<-=<-===H H H故)(0X H 不定,0X 不是极值点,在点1X 处,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2020212212144)(1X H而)(1X H 的顺序主子式02802020212212144det 014421212144det ,0144det 321>==>==>=H H H ,故)(1X H 为正定矩阵. )1,144,24(1'--=X 为极小值点.极小值6913)1,144,24()(1-=--=f x f例3.正定矩阵与柯西不等式 我们学过柯西不等式的表达式为∑∑∑===≤ni i ni ini i i y x y x 022.同时,也可将其用内积的形式来表示为βαβα≤⋅.设矩阵()ij a A =是一个n 阶正定矩阵,对任意向量()321,,,x x x =α,()321,,,y y y =β,我们定义∑∑===⋅n i nj jiij yx a 00βα,从中我们可以看出这是n 维向量的内积.相反,我们可以得出,对于n维向量的任意一种内积,一定存在一个n 阶正定矩阵()ij a A =使得对任意向量α和β可以∑∑===⋅n i nj j i ij y x a 00βα来定义.因此,给定了一个n 阶正定矩阵,在n 维向量间就可以由这个矩阵定义一个内积,从而可以得到如下相应柯西不等式:∑∑∑∑====≤ni j i ijn i n j jiij ni ji ij y y ax x a yx a 000证明:不等式32212322213221232221132332213322112)(2y y y y y y y x x x x x x x y x y x y x y x y x y x y x --++--++≤----++对所有的321,,x x x 和321,,y y y 均成立.证:有题意可得βα⋅是由矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=210121012A 所定义的,则可以得到矩阵A 的顺序主子式 04210121012,032112,02>=---->=--> 因此矩阵A 是正定矩阵,所以该不等式是由正定矩阵A 所确定的内积产生的柯西不等式,既不等式成立.从该例题中也可将不等式推广为:∑∑∑∑∑∑=-=+=-=+=-=++--≤+-ni n i i i in i n i i i i n i n i i i i iii y y yxx x y x yx y x 1111211112111112)(2其中*N n ∈,),,2,1(,n i y x i i =是任意实数.四.结束语本文针对正定矩阵有了深刻的理解.本文探讨了矩阵的各类性质及在不等式、多元函数极值问题中的应用.作为在矩阵中占有特殊地位的正定矩阵,其应用的范围也更加广泛,但由于本人目前能力有限,待做深入研究.参考文献:1.王萼芳、石生明,高等代数[M].北京:高等代数出版社.2003.205-236.2.董可荣、包芳勋,矩阵思想的形成与发展[J].自然辩证法通讯。
正定矩阵的和是正定矩阵证明

一、正定矩阵的定义正定矩阵是指一个n×n的实对称矩阵A,对于任意非零向量x,都有x^T*A*x > 0,其中x^T表示x的转置。
正定矩阵A对于所有非零向量x,都满足x^T*A*x大于零,即x^T*A*x是一个正数。
正定矩阵的重要性在于它在数学和应用中有着广泛的应用,特别是在优化问题和线性代数中。
二、正定矩阵的和是正定矩阵的证明假设A和B是两个n×n的实对称正定矩阵,我们需要证明A+B也是一个正定矩阵。
1. 首先证明A+B是一个对称矩阵由于A和B都是对称矩阵,那么A+B的转置就是(A+B)^T = A^T + B^T = A + B,即A+B是一个对称矩阵。
2. 其次证明A+B是半正定矩阵对于任意非零向量x,我们有x^T*(A+B)*x = x^T*A*x + x^T*B*x。
由于A和B都是正定矩阵,所以x^T*A*x和x^T*B*x都大于零,因此x^T*(A+B)*x也大于零,即A+B是半正定矩阵。
3. 最后证明A+B是一个正定矩阵我们已经证明了A+B是一个对称矩阵且是半正定矩阵,现在我们需要证明A+B对于所有非零向量x都满足x^T*(A+B)*x大于零。
我们可以通过正定矩阵的定义来证明这一点。
对于任意非零向量x,我们有x^T*A*x > 0和x^T*B*x > 0,那么x^T*(A+B)*x = x^T*A*x +x^T*B*x大于零。
A+B也是一个正定矩阵。
我们证明了如果A和B都是对称正定矩阵,那么它们的和A+B也是一个正定矩阵。
这个结论上线性代数和优化问题中具有重要的意义,并且在实际应用中有着广泛的用途。
总结:正定矩阵的性质是线性代数中非常重要的内容,正定矩阵的和是正定矩阵的证明也为我们理解正定矩阵的性质提供了重要的理论基础。
在实际应用中,正定矩阵的性质和结论为我们解决实际问题提供了有效的工具和方法。
希望本文对您对正定矩阵有更深入的理解有所帮助。
正定矩阵及其性质在数学和应用中具有重要的意义,特别是在优化问题和线性代数中经常被应用。
正定矩阵证明题

正定矩阵证明题【实用版】目录1.矩阵的基本概念2.正定矩阵的定义3.正定矩阵的性质4.正定矩阵的证明方法5.结论正文1.矩阵的基本概念矩阵是数学中的一个重要概念,它可以看作是一个由数值排列成的矩形阵列。
矩阵通常用大写字母表示,例如 A、B 等。
矩阵的每一个元素都是一个实数或复数,它们按照横行和纵列的方式排列,这些横行和纵列被称为矩阵的行和列。
矩阵的行数和列数决定了矩阵的大小,通常用“m×n 矩阵”表示一个具有 m 行 n 列的矩阵。
2.正定矩阵的定义在矩阵理论中,正定矩阵是一个重要的概念。
一个 n 阶矩阵 A 如果满足对于任意的非零向量 x,都有 x"Ax>0 成立,那么这个矩阵就被称为正定矩阵。
其中,x"表示 x 的转置,x"Ax 就是 x 的平方与矩阵 A 的乘积。
3.正定矩阵的性质正定矩阵具有以下几个重要的性质:(1)正定矩阵的行列式值大于 0;(2)正定矩阵的每个元素都是正的;(3)正定矩阵的特征值都大于 0;(4)正定矩阵的特征向量是正的;(5)正定矩阵可以正交对角化。
4.正定矩阵的证明方法要证明一个矩阵是正定的,通常需要利用矩阵的性质和一些数学工具。
下面介绍两种常用的证明方法:(1)平方法:对于任意的非零向量 x,有 x"Ax>0,那么我们可以将不等式两边同时平方,得到 (x"Ax)>(x"Ax)·(x"Ax),即 x"Ax>x"Ax·x"Ax。
由于 x"Ax>0,那么 x"Ax>0,也就是说,x"Ax 是一个正的二次型。
而二次型的正定性是可以直接判断的,因此,如果 x"Ax>0,那么 A 就是正定的。
(2)谱范数法:设 A 是一个 n 阶矩阵,λ是 A 的一个特征值,那么对于任意的非零向量 x,有 x"Ax=λ·|x|,其中,|x|是 x 的二范数。
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法拟合出的曲线模 型 , 拟合效 果最 好 . 其次 , 用 等间 隔时 间 序列分析方法拟合出的模型 来预测 9 月 29 日 和 9 月 30 日 的震级 , 其误差分别为 3. 28% 和 2. 02 % , 而用记录值理论拟 合出的模型 , 误差仅为 0. 1% . 综上所述 , 记录值方法 分析效果更好 . 记录 值在很 多领 域有着广泛的应用 , 但 是目 前还没 有相 关的用 记录 值理 论 分析地震余震序列 的文 章 . 通过本 文对 于汶川 地震 余震 序 列的分析 , 以 后 可 以 把该 方 法 应 用 到 类 似的 地 震 余 震 分 析中 .
1 于是 ann - aT A n- 1 a =
存在某 个排 列 矩阵 P, 使 P T AP 的 k 阶 顺 序主 子 式为 i1 ik A . 因为 A > 0, 由 ( 1 )基 本性 质知 P T AP > 0 ,从 i1 ik
+ 1
=
i= 1
(
i
+ 1) . ( 下转 112 页 )
数学学习与研究 2011 3
1 ann A n- 1a
i1 ik > 0 . i1 ik 充分性由性质 2 即得 . 性质 3 n 阶 H er m ite矩阵 A 正定的充分必要条 件是存 在 n 阶非奇异下三角矩阵 L 使得 A = LL T. 证明 充分性明 显 . 必要性 . 若 A 是 n 阶正 定矩 阵 , 由 性质 2 知 A 的顺序主子式 全大于 零 , 由定理知 , A 有唯 一的 LDU 分解 : A = L 1D U1 , 其中 L 1 , U1 分别为单位下三角 矩阵和 单位 上三 角 矩 阵 , D = d iag ( d 1 , d 2, , dn ) 且 d i > 0 ( i = 1, T T T 2, , n ). 因为 AH = A, 则 A = L 1 DU 1 = UT 1 D L 1 = A . 由 LDU T T 分 解 的 唯 一 性 , 有 L 1 = U1 , 从 而 有 A = L 1 DL 1 . 令 L = 而由性质 1 有 A L 1 diag( d 1, d 2, , d n ), 则 L 是非 奇异 下三 角矩 阵 , 并 且 A = LLT . 性质 4 若 A, C 均为 n 阶 H er m ite 正定 矩阵 , 且 AC = CA, 则 AC 为 正定矩阵 . 证明 因 为 ( AC ) T = CT AT = CA = AC, 所 以 AC 是 H erm ite矩阵 . 又 因 为 A > 0, 由 性 质 1 知 , 存 在 n 阶 可 逆 H erm ite矩阵 B 使 A = B 2 , 于是 B - 1 (A C ) B = BCB = B T CB, 则 AC 与 BT CB 具有相同的特征值 , 由 C > 0 及 ( 1 ) 基本性 质知 B T CB > 0 , 故 BT CB 的特征值均为正数 , 从而 A C 的特 征值均 为正数 , 由性质 1 知 AC > . 2 二次型正定矩阵的性质及其应用 二次型 f = xT Ax 正 定即 x 0 , 恒 有 xT A x > 0. 有如 下 性质 : 性质 1 f = xTA x 的正惯性指数为 n. 例 1 设 A 是 m n, m < n 矩 阵 , 证 明 AA T 正 定 r (A ) = m. 分析 本 题在 顺 推的 时候 用 到 1 基本 性 质 2. AAT 正 定 r (A ) = m. AAT 正定 |AAT | > 0, r (AAT ) = m r (A ) , 又 r (A ) m, 故 r( A ) = m, r (A ) = m AA T 正定 . 在逆推时用到性质 1 . r (A ) = m, 任给 x 0, 则 A x 0, 故 xT AAT x = (A x ) T (Ax ) > 0 , AAT 是正定阵 . 性质 2 存 在可逆矩阵 P, 使得 P T AP = I. 例 2 设 A 是 n 阶正定 矩阵 , E 是 n 阶单 位矩 阵 , 证明 A + E 的行列式大于 1 . 分析 本题主要在中间转换的过程中用了性质 2, 而在 最后式子判断的时候运 用了性 质 3, 即 特征值 全部 为零 , 所 以 i + 1> 1. 对于 正 定 矩 阵 存 在 正 交 阵 P 使 P - 1 AP = P T AP = diag { 1 , 2, , n } , 其中 i > 0 ( i = 1, 2 , , n )是 A 的 特征 值 , 所以 A = P d iag{ 1, 2 , , n }P - 1 . |A + E | = |P d iag{ 1, 2, , n } P - 1 + E | = P [ d iag{ 1, 2 , , n } + E ]P - 1 1+ 1 2 + 1 = |P | |P - 1 |
图 2 分布拟合曲线
由以上参数可以看出 , 该曲线模型拟合效果较好 . 再用拟合出的曲线预测最后两天 的余震震级 , 并与 表 2 中的两个真实值对比 , 见表 4 .
(上接 110 页 ) 因为 i + 1> 1, i = 1, 2 , , n, 故 |A + E | > 1 . 性质 3 A 的 n 个特征值全为正数 . 例 3 已知 A 是满足 A 3 - 6A 2 + 11A - 6E = 0 的对称矩 阵 , 证明 A 是正定矩阵 . 分析 本题先 用因式 分解 找出矩 阵 A 的 特征 值 , 然后 通过 判定所 有的 特征值 全都 大于 零 , 即 用性 质 3 可判定 A 是正定矩阵 . A 3 - 6A 2 + 11A - 6E = ( A - E ) ( A - 2E ) ( A - 3E ) = 0 ,A 的特征值的取值范围是 1, 2, 3, 均大于零 , 故 A 正定 . 性质 4 A 的 n 个顺序主子式全大于零 . 2 2 例 4 已知二次型 f ( x 1, x2, x3 ) = x2 1 + 2x2 + ( 1- k ) x 3 + 2kx 1 x2 + 2x1 x3, 其中 k 为参 数 , 求 f 的矩 阵和 使 f 为正 定的 范围 . 分析 本题用 顺序主 子式 大于 零 , 则矩 阵为 正定 矩阵 1 k 1 的性质 . 二次型 f 的矩阵为 A = k 2 0 因二次 型 f 正 1 0 1- k 定 , 故其各阶顺序主子式均应大于 0, 即 |A 1 | = 1> 0, |A 2 | = 1 k 1 1 k = 2- k2 > 0 , |A 3 | = |A | = k 2 0 = 2 ( 1- k ) k 2 1 0 1- k 2- k2 ( 1 - k ) > 0, 由 2 - k2 > 0 , 解 得 - 2 < k < 2. 而 由 k ( k2 - k - 2 ) > 0 , 解得 k > 2, - 1 < k < 0. 故使 f 正 定的 k 取 值范围为 - 1< k < 0. 性质 5 A 可表为 A = BT B, 其中 B 是可逆矩阵 . 例 5 A 是正定矩阵, 试证存在正定矩阵 B, 使得 A = B 2. 分析 本题是性质 6 的 证明 过程 , 在 解题 过程 中运 用 性质 2, 5 灵活转换 , 巧妙的令 B, 并且 B 是正定矩阵 , 这样转 换后就得到了我们要的结果 . 设 1, 2 , , n 是 A 的 特征 值 , 因 A 是 正定 矩 阵 , 故 > 0, i = 1, 2, , n, 且 存 在 正 交 矩 阵 P 使 P - 1 AP = i diag {
n n
In - 1 0
1 - An- 1 a
1
, 则 PT AP =
.
|A | n = > 0, 由归 纳法 假设 |A n - 1 | n- 1 A n- 1 0 A n - 1 > 0, 则 > 0. H 0 a nn - a A n--11 a 由 ( 1 )基本性 质和 可知 A > 0 , 这 说明 阶数 为 n 时结 论也成立 . 性质 2 n 阶 H e r m ite矩阵 A 正定 的充分必 要条件 是 A 的所有主子式全大于零 . 证明 必要性 . 对 A 的任一 k 阶主子式 : ai 1 i1 a i1 i2 a i1 ik i1 ik a i2 ik , A = ai 2 i1 a i2 i2 i1 ik ai k i1 a ik i2 a ik ik
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专题研究
ZHUANTI YAN JIU
表 3 单样本柯尔莫格洛夫 N m ean Exponen tial param eter A b solu te Positive M ost Extrem e D if feren ces N egat ive K ol m ogorov-Sm irnov Z A sym p . sig . (2 -tailed) - 0. 381 0. 684 0. 782 R2 误差
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专题研究
ZHUA术学院 438000) 摘要 本文总结了正定矩阵以及二次型正定 矩阵的比 较全面的性质 , 并得到了一个推广性质 . 关键词 二 次型; 正定 矩阵; H er m ite 正定 矩阵; 顺序 主 子式 H er m ite正定矩阵的性质 1 正定矩阵的性质 ( 1 )基本性质 设 A 是 n 阶 H er m ite正 定矩阵 , 其特征值 为 1, 2, , , 则 n ( 1 )A - 1是正定矩阵 ; ( 2 )如果 Q 是任一 n m 列满秩矩阵 , 则 QTAQ > 0 ; ( 3 ) |A | > 0; ( 4 ) tr (A ) > i ( i = 1, 2, , n). ( 2 )判定性质 性质 1 n 阶 H e r m ite矩阵 A 正定 的充分必 要条件 是 A 1 k 的顺序主子式均为正数 , 即 k = A 大于 0 , k = 1, 1 k 2 , , n. 证明 必要性 . 首先证明 H er m ite正定矩阵 A 的顺序主 A 11 A 12 子矩阵也是正定矩 阵 , 记 A = , 其 中 A 11 是 A 的 k AH12 A 22 y 阶顺序主子矩阵 , 对任意 x = C n, y C k 且 y 0, 则 0< 0 xTA x = yTA 11 y, 故 A 11是 k 阶 H er m ite正定矩阵 . 因为 A 的顺序主子矩阵都是正定矩 阵由性质 1 知 A 的 顺序主子式均为正数 . 充分性 . 对矩阵的阶数作归纳法 , 阶数 为 1 时结 论显然 成立 . 今设阶数为 n - 1 时结论成立 , 对 n 阶 H er m ite矩阵 A, An - 1 a 记 A= , 其中 A n - 1 为 A 的 n - 1 阶 顺 序主 子矩 aT ann 阵. 因 为 A n - 1 非 奇 异, 令 P = An - 1 0 0