最新2018年高考数学理试题分类汇编：排列组合与二项式定理

2017年高考数学理试题分类汇编：排列组合与二项式定理
1. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安
排方式共有（ ）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种 【答案】D
【解析】222
34236C C A = ,故选D 。

2. (2017年天津卷理) （14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的
四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 【答案】 1080
【解析】4134
54541080A C C A +=
3. ( 2017年新课标Ⅱ文) 11.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第
一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 (D)
A.110
B.15
C.3
10
D.25
4. (2017年新课标Ⅰ) 6．621
(1)(1)x x
+
+展开式中2x 的系数为 A ．15
B ．20
C ．30
D ．35
【答案】C 【解析】621(1)(1)x x +
+展开式中含2x 的项为22442
662
1130C x C x x x
⋅+⋅=，故2x 前系数为30，选C.. 5. (2017年江苏卷)23
已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个
取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,
,m n +的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉
(1,2,3,,)k m n =+．
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；
（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：
()()(1)
n
E X m n n <
+-．
【解析】（1）1122
2
C C C 22()(1)
m n n
m n n n mn P A m n m n ++-+==++-.
6. (2017年天津卷文) 3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取
2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A ）
45
（B ）
35
（C ）
25
（D ）
15
【答案】C
7. (2017年浙江卷) 13．已知多项式()1x +3()2x +2=54321
12345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________. 【答案】16，4
【解析】由二项式展开式可得通项公式为：32r r m m
C x C x ，分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=，令
0x =可得325124a =⨯=
8. (2017年浙江卷) 16．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求
服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法.（用数字作答） 【答案】660
9. (2017年新课标Ⅲ卷理) (x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．80
【答案】C
【解析】由()5
2x y - 展开式的通项公式：()
()
5152r
r
r
r T C x y -+=- 可得：
当3r = 时，()5
2x x y - 展开式中33x y 的系数为()3
3252140C ⨯⨯-=-
当2r = 时，()52y x y - 展开式中33x y 的系数为()2
2352180C ⨯⨯-= ， 则33x y 的系数为804040-= . 本题选择C 选项.
10. (2017年山东卷理)从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2
张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）
518 （B ）49 （C ）5
9
（D ）79 【答案】C
【解析】
12
5425
989
C C =⨯ ,选C. 11. (2017年天津卷理) 16.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的
概率分别为
111
,,234
.（Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 【答案】 (1)
1312 (2) 1148
【解析】（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.
1111
(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，
11111111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424
P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=
， 1111111111
(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=，
1111
(3)23424
P X ==⨯⨯=
. 所以，随机变量X 的分布列为
随机变量X 的数学期望()012342442412
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.
（Ⅱ）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==
11111111
42424448=⨯+⨯=
.
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为11
48
. 12.
13. (2017年山东卷理)（11）已知()13n
x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4
【解析】()1C 3C 3r
r r r r
r n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．
14. (2017年山东卷理)（18）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙中心理暗示，通过对比这两组志愿者
接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名B 1，B 2， B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示。

（I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 3的频率。

（II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX 。

【答案】（I ）
5
.
(II)X 的分布列为
X 的数学期望是2EX =.
【解析】解：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含3B 的事件为M ，则485105
().18
C P M C ==
(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.则
565101
(0),
42
C P X C ===
41645105
(1),
21
C C P X C ===
326451010
(2),
21C C P X C ===
23645105
(3),
21C C P X C ===
14645101
(4),
42
C C P
X C ===
因此X 的分布列为
X 的数学期望是
0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==
151******** 2.4221212142
⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= 15. (2017年山东卷文)（16）
某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游. （Ⅰ）若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率. 【答案】（Ⅰ）15；（Ⅱ）2
.9
【解析】
（Ⅰ）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121323111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A B A B A B A B A B A B A B {}{}{}121323,,,,,B B B B B B ，共15个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：
{}{}{}121323,,,,,A A A A A A ,共3个，学科*网则所求事件的概率为：31
155
P =
=. （Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,{,},,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B ，共9个，
包含1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共2个， 所以所求事件的概率为：29P =.。