管理统计学-第5章 方差分析

• LSD方法：由Fisher提出的最小显著差异方法，是对检验 两个总体均值是否相等的t检验方法的总体方差估计加以 修正(用MSE来代替)而得到的，可用于判断均值之间差异
LSD的操作步骤
（1）提出假设
– H0：i=j(第i个总体的均值等于第j个总体的均值) – H1：ij(第i个总体的均值不等于第j个总体的均值)
SA SE ST
fA fE fT
MSA MSE
F=MSA/MSE
例5.1的单因素方差分析表
方差来源 因素A（颜色） 随机干扰E 总和T
注：
离差平方和 SA=76.85 SE=39.08 ST=115.93
自由 度 fA=3 fE=16 fT=19
均方和
F值
检验结论 **
MSA=25.615 F=10.485 MSE=2.443
–若F≤F0.05(fA,fE) ，则无显著影响，记为/ –若F0.05(fA,fE) <F<F0.03(fA,fE) ，则影响较显著，记为* –若F>F0.03(fA,fE) ，则影响特别显著，记为**
接受域
拒绝域
f0.05
单因素方差分析表
方差来源 离差平方和 自由度 பைடு நூலகம்方和 F值 检验结论
因素A 随机干扰E 总和T
• 处理：事先设计好的实施在实验单位上的具体项目
– 在单因素实验中，实施在实验单位上的具体项目就是实验因素的 某一水平 – 在多因素实验中，实验因素的一个水平组合就是一个处理
基本概念（续）
• 两类误差
① 随机误差：在因素的同一水平(同一个总体)下，样本 的各观察值之间的差异，由抽样的随机性所造成 ② 系统误差：在因素的不同水平(不同总体)下，各观察 值之间的差异，由系统性因素造成
–
单因素方案分析的基本任务是检验如下假设
• H0：所有 i=0或μ1= μ2 =…=μs= μ • H1：不全相等（至少有两个不相等）
多个总体均值是否相同的检验
考察例5.1中颜色是否是影响该饮料销售量的主要因素
– 若饮料的销售量服从正态分布，不同颜色饮料销售量方差 相等 – 考察不同颜色对饮料销售量有无显著影响，即考察4个水平 对销售量的影响是否差异显著，即要检验假设： H0： a1= a2= a3= a4=0
fT nm 1, f A m 1, f E n m或者m(n 1)
n的含义不同，前者n表示样本总容量，后者表示观测次数
分析过程（续）
③ 将离差均方化，得均方和（为了具有可比性）
MSA=SA/fA MSE=SE/fE
④ 比较，计算F值：F=MSA/ MSE ⑤ 检验，所示看F统计量是否落在接受域还是拒绝域中
• 试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响
四色饮料在五家超市的销售情况 超市 1 2 3 4 5 无色 26.5 28.7 25.1 29.1 27.2 粉色 31.2 28.3 30.8 27.9 29.6 橘黄色 27.9 25.1 28.5 24.2 26.5 绿色 30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
A B C D E 76 76 62 65 67 78 67 70 68 71 65 70 69 68 72 72 64 73 71 69 71 67 71 61 74 72 83 69 69 79 83 72 73 65 76
用方差分析的方法检验5组不同班 主任的学生数学成绩是否有显著 差异
79 73 69 69 84
30.8
29.6
32.4
32.8
32.8
31.46
28.695
分析过程（待续）
① 将总体离差分解
– 总体销售量离差平方和ST有两个来源
• 一是由水平不同造成的不同水平下平均销售量差异SA • 一是由除了颜色之外的随机干扰造成的、同一水平下的销售量差异SE
– 其中，m表示因素A（颜色）的水平数m=4，n表示观测次数n=5
5.1.1 基本概念（待续）
• 因素：影响实验结果的条件，常用大写字母A、B、C、… 等表示
– 单因素实验：当研究中只考察一个因素 – 双因素（多因素）实验：同时研究两个或两个以上的因素
• 因素水平/水平：因素所处的某种特定状态或数量等级， 用代表该因素的字母加添足标表示，如A1、A2、…，B1、 B2、…
F=MSA/MSE=78.6/24.17=3.252 查F分布表(单侧)F0.05(4，35)=2.64，F>F0.05，p<0.05，拒绝原假设，故 在不同班主任的班级中数学成绩有显著不同
方差来源 离差平方和 自由度 4 35 39 均方和 F值 78.6 24.17 检验结论
⑥ 方差分析表
314.4 因素A 随机干扰E 846 1160.4 总和T F=3.252 *
• 不同的水平对结果有影响
– 组间方差中包含随机误差和系统误差 – 组间方差大于组内方差，二者比值就会大于1 – 当这个比值大到某种程度时，不同水平之间存在着显 著差异
例5.1 单因素四水平的试验
• 某饮料生产企业研制出一种新型饮料
– 饮料的颜色：橘黄色、粉色、绿色和无色透明 – 饮料的营养含量、味道、价格、包装相同 – 收集该饮料的销售情况的超级市场地理位置相似、经营规模相仿
行业(A)
零售业 57 55 46 45 54 旅游业 62 49 60 54 56 航空公司 51 49 48 55 47 家电制造业 70 68 63 69 60
6
7
53
47
55
解题过程
• 设四个行业被投诉次数的均值分别为，1，2，3， 4，则需要检验如下假设
– H0：1=2=3=4=5(四个行业的服务质量无显著差异) – H1： 1，2，3，4不全相等(有显著差异)
• 两类方差
① 组内方差：因素的同一水平(同一个总体)下样本数据 的方差，组内方差只包含随机误差 ② 组间方差：因素的不同水平(不同总体)下各样本之间 的方差，组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
实例说明
• 不同颜色(水平)对销售量(结果)没有影响
– 组间方差中只包含有随机误差，没有系统误差 – 组间方差与组内方差很接近，二者比值接近1
• 计算结果如下：
方差来源 离差平方和 自由度 均方和 3 19 22 281.7391 19.05263 F值 检验结论
845.2174 因素A 随机干扰E 362 1207.217 总和T
14.78741 *
5.2.2 多个总体均值的多重比较检验
• 多重比较：在因变量的三个或三个以上水平下均值之间进 行两两比较检验，检验均值间差异
5 方差分析
5.1 方差分析基本原理 5.2 单因素方差分析 5.3 单因素方差分析的SPSS应用 5.4 双因素方差分析
• 某饮料生产企业研制出一种新型饮料
– 饮料的颜色：橘黄色、粉色、绿色和无色透明 – 饮料的营养含量、味道、价格、包装相同 – 收集该饮料的销售情况的超级市场地理位置相似、经营规模相仿
解题过程
① 建立假设 ② 平方和 ③ 自由度 ④ 均方 ⑤ F检验
H0：1=2=3=4=5 ST=1160.4，SA=314.4 SE=ST-SA=1160.4-314.4=864 fA=k-1=5-1=4，fE=k(n-1)=35 MSA=SA/fA=314.4/4=78.6 MSE=SE/fE=846/35=24.17
5.1 方差分析基本原理
• 方差分析的实质：检验多个总体均值是否有显著 性差异（观测值变异原因的数量分析）
– 将k个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值总变 异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平 方和及自由度，进而获得不同变异来源总体方差估计 值 – 通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，检验各 样本所属总体平均数是否相等
• 试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响
四色饮料在五家超市的销售情况 超市 1 2 3 4 5 无色 26.5 28.7 25.1 29.1 27.2 粉色 31.2 28.3 30.8 27.9 29.6 橘黄色 27.9 25.1 28.5 24.2 26.5 绿色 30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
f(X)
f(X)
X
X μ1≠μ2≠μ3≠μ4
μ1 =μ2=μ3=μ4
同一正态总体
不同正态总体
5.2 单因素方差分析
5.2.1 多个总体均值是否相同的检验 5.2.2 多个总体均值的多重比较检验
5.2.1 多个总体均值是否相同的检验
例5.1中
– – – – μ表示总体X的均值， μi表示总体Ai的均值， 方案i的主效应 i=μi－μ反映水平Ai对销售量的影响 随机样本Xij，可以视为各个方案的总体均值μi与随机 误差之和： Xij= i + ij – 由于Xij是来自Ai的观察值，于是有 Xij= i +ij=i++ ij (i=1,2,…,4;j=1,2, …,5)
表5-2 单因素方差总体Xij构成表
Xij的构成
μi （各方案的总体均值）
μ 总体均值 i=(μi－μ) 主效应
εij服从N(0，2) 随机扰动
– Xij表达为总平均、方案的主效应i与随机项之和 – εij表示观测过程中各种随机影响引起的随机误差（εij相互独立， 服从N（0，2）分布 – 对应于μi的样本均值（统计量）是xi ，也就是说，xij -xi表示是 随机误差项 – 由i= μi-μ ，若各个方案的主效应都是0，则各个方案的均值相同
例题分析
– 设
• • • • 1为无色饮料 (A1)的平均销售量 2粉色饮料(A2)的平均销售量 3为橘黄色饮料(A3)的平均销售量 4为绿色饮料(A4)的平均销售量
– 用方差分析，分析饮料的颜色对销售量是否有影响， 检验假设 – – – – 颜色是要检验的因素或因子 A1、A2、A3、A4四种颜色就是因素的水平 每种颜色饮料的销售量就是观察值 A1、A2、A3、A4四种颜色可以看作是四个总体，从中 抽取的样本数据
注：*表示在0.05水平上显著
例5.3 服务质量分析
•为了对几个行业的服务质量进行评价
– 在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的样本 – 记录了一年中消费者对总共23家服务企业投诉的次数
•试分析这四个行业的服务质量是否有显著差异？(＝0.05)
消费者对四个行业的投诉次数 观察值 (j) 1 2 3 4 5
销售量（箱） 试验批号 1 2 3 4 5 各水平下平均 销售量Xi
A1（粉色）
因素 （颜色） 总平均销量 A2（无色） A3（绿色）
26.5
31.2 27.9
28.7
28.3 25.1
25.1
30.8 24.2
29.1
27.9 26.5
27.2
29.6 26.5
27.32
29.56 26.44
A4（桔色）
– F0.05(3,16)=3.24, F0.01(3,16)=5.29 – 由于F=10.458> F0.03(fA,fE) ，所以颜色对饮料销售量有特别显著影响
例5.2 数学成绩分析
40名学生随机分成5个班，每个班 的班主任负责不同科目
– – – – – A表示班主任教数学 B表示班主任教语文 C表示班主任教生物 D表示班主任教地理 E表示班主任教物理
• H0：1234 • H1：1，2，3，4不全相等
5.1.2 方差分析中的基本假定
（1）变异的可加性 （2）每个总体都应服从正态分布（分布的正态性） （3）各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的 （4）观察值是独立的 如果总体的均值相等，可期望样本的均值也会很接近： ① 样本的均值越接近，总体均值相等的证据也就越充分 ② 样本均值越不同，总体均值不同的证据就越充分
S T xij x
i 1 j 1 m n m n

x
2 m n i 1 j 1 m 2 n i 1 j 1
ij
xi xi x
i

2
xij x i
i 1 j 1

x
x

2
SE S A
② 将总体离差的自由度分解
实例分析
• 例5.1中 – 如果原假设成立，即H0：1234
• 四种颜色饮料销售的均值都相等，且没有系统误差 • 每个样本都来自均值为、方差为2的同一正态总体
– 如果备择假设成立，即H1：i(i=1，2，3，4)不全相等
• 则至少有一个总体的均值是不同的，且有系统误差 • 这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体