管理统计学-第5章 方差分析
统计学：5方差分析
统计学
ST管AT理IST者ICS层次水平的不同是否会导致评分的显著差异？ (第三版)
一家管理咨询公司为 高、中、初级管 理者提供人力资 源讲座。听完讲 座后随机抽取不 同层次管理者大 满意度评分，取 0.05 的 显 著 性 水 平，检验管理者 层次水平的不同 是否会导致评分 的显著差异？
高级 7 7 8 7 9
统计学
STATISTICS (第三版)
第 5 章 方差分析
5.1 方差分析的基本原理 5.2 单因素方差分析 5.3 双因素方差分析
7-1
2008年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
学习目标
方差分析的基本思想和原理 单因素方差分析 多重比较 双因素方差分析的方法
7-2
2008年8月
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
1. 正态性(normality)。每个总体都应服从正态分布， 即对于因子的每一个水平，其观测值是来自正态 分布总体的简单随机样本
2. 方差齐性(homogeneity variance)。各个总体的方 差必须相同，对于分类变量的k个水平，有 12=22=…=k2
3. 独立性(independence)。每个样本数据是来自因 子各水平的独立样本(该假定不满足对结果影响较 大)
7-5
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
如果原假设成立，即H0 ：m1=m2=……=mk
自变量对因变量没有显著影响
每个样本都来自均值为m、方差为 2的同一正态总体
中级 8 9 8 10 9 10 8
初级 5 6 5 7 4 8
(整理)统计学教案习题05方差分析
第五章 方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容 1．方差分析基本思想（1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。
（2） 多组均数比较的检验假设与F 值的意义。
（3） 方差分析的应用条件。
2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。
（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。
（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。
二、教学内容精要(一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想方差分析（analysis of variance ，ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。
通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。
2．分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=21)(x xn ki ii -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。
第5章方差分析
5.1.4 方差分析中的基本假定
（基本前提：独立、同分布、同方差）
一、因素中的k个水平相当于r个正态总体。 每个水平下的n个观察数据（试验结果）相当 于从正态总体中抽取的容量为n的随机样本。 （同分布） 二、r个正态总体的方差是相同。 即：σ12=σ22…….=σr2=σ2 （同方差） 三、从不同的正态总体中抽取的各个随机样 本是相互独立的。（独立）
SSE
j1 i1
r
nj
xijxj
（续前）
方差分析的优点之二：增加了稳定性 由于方差分析将所有的样本资料结合在一起， 故而增加了分析结论的稳定性。 例如：30个样本，每一个样本中包括10个观 察单位（n=10)。如果采用t检验法，则在两 两检验中，一次只能研究2个样本和20个观察 单位，而在方差分析中，则可以把30个样本 和300个样本观察单位同时放在一起、结合进 行研究。 所以，方差分析是一种实用、有效的分析方 法。
r
2
j1 i r
xij xj 2 x
j1 i1 2 r
nj
ij
xj
x
2
j
x
j1 i1
r
nj
x j x
2
j1 i1
nj
xij xj xj x SSE SSA
nj
j1 i1
2、随机误差项离差平方和（SSE)的计算 SSE反映的是水平内部或组内观察值的离散状 况。它实质上反映了除所考察因素以外的其 他随机因素的影响，反映样本数据( x i j ) 与水平均值 ( x j )之间的差异，故而称之 为随机误差项离差平方和或组内误差。计算 公式如下：
5章 方差分析
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件（P63）
1、各个样本是相互独立的随机样本； 2、各个样本来自正态总体； 3、各个处理组的总体方差方差相等， 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换，以达到方差齐或 正态的要求；
H0:三种卡环抗拉强度的总体均数相等；各区组 卡环抗拉强度的总体均数相等
H1:三种卡环抗拉强度的总体均数不全相等；各 区组卡环抗拉强度的总体均数不全相等
0.05
2、计算F值
方差分析表
──────────────────────────
变异来源 SS
V
MS
F
──────────────────────────
2、如果方差分析无差别，分析结束。
多样本均数之间的多重比较
两两比较，又称基于方差分析的后续 检验（post hoc test）。
LSD-t检验和SNK检验
多个样本均数的比较一般分为两种情况:
①证实性实验研究:在设计阶段就根据研究目的或专业 知识决定某些均数间的两两比较，例如多个处理组与 对照组的比较，处理后不同时间与处理前的比较等。
MS组内 2
1 nA
1 nB
a 指样本均数排序后，比较的两组间包含的组数。
例5-3，SNK多重比较：
处理组
甲组
乙组
丙组
丁组
xi
ni
组次
0.2913 8 1
1.0200 8 2
2.1488 8 3
2.2650 8 4
S xA xB
MS组内 2
统计学第5章 方差分析
变差源 组间 组内 总计
4、结论。 F值=11.43>3.32，p-值=0.0002<0.05，因此检 验的结论是采伐对林木数量有显著影响。
中央财经大学统计学院 31
5.2.4 方差分析中的多重比较
在方差分析中，当零假设被拒绝时我们可以确定 至少有两个总体的均值有显著差异。但要进一步 检验哪些均值之间有显著差异还需要采用多重比 较的方法进行分析。这在方差分析中称为事后检 验(Post Hoc test)。 多重比较是对各个总体均值进行的两两比较。方 法很多，如Fisher最小显著差异（Least Significant Difference，LSD）方法、Tukey的诚 实显著差异（HSD）方法或Bonferroni的方法等。 这里我们只介绍最小显著差异方法。
中央财经大学统计学院
12
（1）正态性的检验
各组数据的直方图 峰度系数、偏度系数 Q-Q图， K-S检验*
中央财经大学统计学院
13
（2）等方差性的检验
经验方法：计算各组数据的标准差，如果最大值 与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。 最大值和最小值的比例等于1.83<2 Levene检验 *
第5章 方差分析
Analysis of Variance (ANOVA)
5.1 方差分析简介 5.2 单因素方差分析 5.3 双因素方差分析
中央财经大学统计学院
学习目标
掌握方差分析中的基本概念； 掌握方差分析的基本思想和原理； 掌握单因素方差分析的方法及应用； 初步了解多重比较方法的应用； 了解双因素方差分析的方法及应用。
湖南大学-应用统计学 第五章 方差分析
各yij间总的差异大小可用总偏差平方和 rm
ST
( yij y )2
i1 j 1
表示，其自由度为fT=n1；
仅由随机误差引起的数据间的差异可以用
rm组内偏差平方和来自Se ( yij
2
yi. )
表示，
i1 j 1
也称为误差偏差平方和，其自由度为 fe=nr ；
如今要对因子平方和 SA 与误差平方和 Se 之间进
行比较，用其均方和 MSA= SA /fA ， MSe= Se /fe 进
行比较更为合理，故可用 F MSA SA / fA 作为
检验H0的统计量。
MSe Se / fe
25 June 2019
湖南大学
第五章 方差分析
第22页
定理2 在单因子方差分析模型 (3) 及前述符号 下，有
25 June 2019
湖南大学
第五章 方差分析
第2页
例1 在饲料养鸡增肥的研究中，某研究所提 出三种饲料配方：A1是以鱼粉为主的饲料， A2是以槐树粉为主的饲料，A3是以苜蓿粉 为主的饲料。为比较三种饲料的效果，特
选 24 只相似的雏鸡随机均分为三组，每 组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。 试验结果如下表所示：
25 June 2019
湖南大学
第五章 方差分析
第25页
常用的各偏差平方和的计算公式如下：
ST
r i 1
m j 1
yi2j
T2 n
SA
1 m
r i 1
Ti 2
T2 n
Se ST SA
（10）
一般可将计算过程列表进行。
25 June 2019
统计学第5章 习题
） C.6.50
D.7.50
t=2
9. 从两个总体中分别抽取n1=7，n2=6的两个独立
随机样本。经计算得到下面的方差分析表：
差异源 SS df MS F P-value F crit
组间 组内 总计
7.50 26.19 33.69
A B 12
7.50 2.38
3.15
0.10
4.84
表中 在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定 （ ） A. 每个总体都服从正态分布 B. 各总体的方差相等 C. 观测值是独立的 D. 各总体的方差等于0
4.在方差分析中提出的原假设是H0: 1 2 … k ， 备择假设是（ ） A. H1: 1 ≠ 2 ≠ … ≠ k B. H1: 1 > 2 >… > k C. H1: 1 < 2 < … < k D. H1: 1 , 2 , … , k 不全相等
第五章 复习题
选择题
1.方差分析的主要目的是（
）
A. 各总体是否存在方差 B. 各样本数据之间是否有显著差异 C. 分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 D. 分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著
2. 在方差分析中，检验统计量F是（ A.组间平方和除以组内平方和 B.组间均方除以组内均方 C.组间平方和除以总平方和 D.组间均方除以总均方 ）
表中“A、B”的结果是（ ） A. 6.50和1.38 B.7.50和2.38 C.8.50和3.38 D.9.50和4.38
t 2, n n1 n2 13, SA SE 7.5 26.19 A 7.5, B 2.38 t 1 1 nt 13 2
11. 从两个总体中分别抽取n1=7，n2=6的两个独
第五章方差分析[统计学经典理论]
![第五章方差分析[统计学经典理论]](https://img.taocdn.com/s3/m/8103707959fafab069dc5022aaea998fcc224065.png)
第五章方差分析•如果要检验两个总体的均值是否相等，我们可以用t检验。
当要检验多个总体的均值是否相等，则需要采用方差分析。
•方差分析是R.A.Fister发明的，它是通过对误差的分析研究来检验两个或多个正态总体均值间差异是否具有统计意义的一种方法。
•由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果造成影响的可控因素，方差分析认为不同处理组的均值间的差异基本来源有两个：•组内差异：由随机误差造成的差异，用变量在各组的均值与该组内变量值之差平方和的总和表示，记作SSE。
•组间差异：由因素中的不同水平造成的差异，用变量在各组的均值与总均值之差平方和的总和表示，记作SSA。
•方差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
•方差分析的三个条件：•被检验的各总体均服从正态分布；•各总体的方差皆相等；•从每一个总体中所抽出的样本是随机且独立的；方差分析的基本步骤：建立原假设H0：两个或多个总体均值相等。
将各不同水平间的总离差分成两个部分：组间差异SSA组内差异SSE构造检验统计量： F= MSA / MSE判断：在零假设为真时，F～F[(k-l),(n-k)]的F分布。
若各样本平均数的差异很大，则分子组间差异会随之变大，而F值也随之变大，故F检验是右尾检验。
当检验统计量F大于临界值时则拒绝原假设；或者根据 p值来判断，若p<α，则拒绝原假设§5.1 单因素方差分析（One-Way ANOVA过程）One-Way ANOVA过程用于进行两组及多组样本均数的比较，即成组设计的方差分析，如果做了相应选择，还可进行随后的两两比较，甚至于在各组间精确设定哪几组和哪几组进行比较。
5.1.1 界面说明【Dependent List框】选入需要分析的变量，可选入多个结果变量（应变量）。
第5章 方差分析
F检验
若实际计算的F值大于 F 0 . 0 5 ( d f , d f ) ，则 F 值在 α=0.05的水平上显著，我们以95% 的可靠性推断 2 2 St代表的处理间方差大于Se 代表的处理内方差。
1 2
这种用F值出现概率的大小推断两个总体方差 是否相等的方法称为 F检验。
F检验时，是将由试验资料所算得的F值与根 ,F 据df1=dft 和df2=dfe查表所得的临界F值F 相比较作出统计推断的。
1 1
k
n
x ) n (x i x )
2 2 1
k
(x
1 1
k
n
xi )
2
上式可简写成：SST=SSt+SSe 分别表示总 平方和，处理间平方和，处理内平方和。 即：总平方和=处理间平方和+处理内平
方和。
C=T2/kn：
SST
x C
2
1 2 SS t Ti C n SS e SS T SS t
P ( F F ) 1 F ( F )
F
f (F )d F
F表列出的是不同df1和df2下， P(F≥Fα)=0.05和P(F≥Fα)=0.01时的F值， 即右尾概率α=0.05和α=0.01时的临界F 值，一般记作F0.05(df1,df2), F0.01(df1,df2) 。
所以 d f T d f t d f e 综合以上各式得：
df T kn 1 df t k 1 df e df T df t
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方 (mean square ， MS )。组 间均方和组内均方的计算公式为 :
【管理】方差分析-教案
1. 知识与技能：使学生掌握方差分析的基本概念、原理和方法，能够运用方差分析解决实际问题。
2. 过程与方法：通过案例分析、小组讨论等方式，培养学生运用方差分析解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对统计学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和团队协作精神。
二、教学内容1. 方差分析的定义与作用2. 方差分析的基本原理3. 方差分析的操作步骤4. 方差分析的应用案例5. 方差分析的局限性与改进方法三、教学重点与难点1. 教学重点：方差分析的基本概念、原理、方法及应用。
2. 教学难点：方差分析的数学推导和实际操作。
四、教学方法1. 讲授法：讲解方差分析的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：分析方差分析的应用案例，让学生体会方差分析在实际问题中的应用。
3. 小组讨论法：分组讨论方差分析的问题和解决方案，培养学生团队合作精神。
4. 实践操作法：让学生利用统计软件进行方差分析的实际操作，提高动手能力。
1. 第1课时：方差分析的定义与作用2. 第2课时：方差分析的基本原理3. 第3课时：方差分析的操作步骤4. 第4课时：方差分析的应用案例5. 第5课时：方差分析的局限性与改进方法六、教学过程1. 导入新课：通过一个简单的实际问题引出方差分析的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解与演示：详细讲解方差分析的基本概念、原理和方法，并通过演示文稿或板书进行展示。
3. 案例分析：选取具有代表性的案例，让学生了解方差分析在实际问题中的应用，并引导学生思考如何运用方差分析解决问题。
4. 分组讨论：将学生分成小组，让他们针对案例展开讨论，提出自己的观点和解决方案。
5. 成果分享：各小组汇报讨论成果，其他小组成员进行评价和补充。
6. 实践操作：让学生利用统计软件进行方差分析的实际操作，巩固所学知识。
7. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，指出方差分析的优势和局限性，鼓励学生反思自己的学习过程。
七、作业布置1. 完成课后练习题，加深对方差分析的理解。
方差分析
第九章方差分析第一节方差分析的一般问题一、方差分析的意义在工农业生产和科学研究中，经常要搞一些试验活动。
比如，为了解某个新品种的种植效果，需要在土壤条件、温度、湿度、施肥、灌溉等因素相同的情况下，将新品种与其他同类品种的种植结果作比较。
商品的包装方式和在商场里的摆放位置，对吸引顾客是有帮助的，那么为确定某商品合适的包装和销售位置，也可以进行观察试验。
在化工生产中，原料的成分、反应温度、压力、时间、催化剂、设备水平、操作规程等，对产品的得率和质量有很大的影响，通过实验研究，可以帮助我们找到一个最优的生产方案。
在试验基础上取得的数据，称为试验数据。
方差分析技术是对试验数据进行分析的一种比较有效的统计方法。
方差分析是费暄在马铃薯种植试验中首先提出来的，当初他采用的处理方法是，把观察数据看作是马铃薯品种与试验误差共同影响的总和，然后把条件（马铃薯品种）变异和随机试验误差进行比较，以此分析马铃薯品种之间是否存在显著的差异。
后来费暄给出的总结性意见是，方差分析是在若干个能够互相比较的资料组中，把产生变异的原因（主要是条件因素和随机因素）加以明确区分的方法和技术。
二十世纪二十年代，费暄又对方差分析作了系统的研究，并把他的研究成果写在《供研究人员用统计方法》等著作中。
关于单个总体均值和两总体均值差的检验内容，我们在前面已作了比较系统的介绍。
从形式上看，方差分析把这一类检验问题向前拓展了一步，它能够同时对若干个总体均值是否相等的假设进行检验，从而大大提高了统计分析的效率。
另外，方差分析对样本的大小没有更多的限制。
无论是大样本还是小样本，均可以使用方差分析方法。
方差分析方法的最大好处在于，在资料分析过程中所带来的种种便利性，其一，它能够使资料的层次结构清晰有序，其二，它能把一切需要进行的假设检验归结成一种共同格式。
有鉴于此，方差分析的思想逐渐渗透到统计学的许多方法之中。
比如，我们在相关与回归分析一章中所述的总离差平方和的分解，实际上就是方差分析思想的应用。
统计学教案习题05方差分析
第五章方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容1．方差分析基本思想（1）多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。
（2）多组均数比较的检验假设与F值的意义。
（3）方差分析的应用条件。
2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t检验法；Dunnett-t检验法；SNK-q检验法。
（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。
（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。
二、教学内容精要(一) 方差分析的基本思想1．基本思想方差分析（analysis of variance，ANOVA）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean，SS）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS组间可由处理因素的作用加以解释。
通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。
2．分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=21)(x xn ki ii -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。
k 表示处理组数。
田间统计第5章_方差分析(第1节)
在计算处理内平方和时，kn个离均差
( xij xi ) 要受k个条件的约束，即
(x
j 1
n
ij
xi ) 0 （i=1,2,…,k）
故处理内自由度为资料中观测值的总个数
减 k ，即 kn - k 。 处理内自由度记为 dfe
dfe=kn-k=k(n-1)
因为
nk 1 (k 1) (nk k ) (k 1) k (n 1)
F 分布密度曲线是随自由度df1、df2的
变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着df1、 df2的增大逐渐趋于对称，如图3-15所示。
特点：1、F分布的平均数μ F=1； 2、取值范围[0，+∞]； 3、只有一尾概率，右尾概率； 4、F分布是一组曲线系，当V1、V2都 趋近于+∞时，F分布趋于对称分布。
（二）、F检验
用 F 值出现概率的大小推断一个总
体方差是否大于另一个总体方差的方法
称为F检验(F-test)。F检验是一尾检验。
对于单因素完全随机设计试验资料的方差
分析:
无效假设H0：μ1=μ2=…=μk
备择假设HA：各μi不全相等 或 假设 H0：σt2=σe2 对 HA：σt2﹥σe2， F=MSt / MSe，也就是要判断处理间均方
j
Hale Waihona Puke LSDa t a ( dfe ) S xi x j
t ( df e ) 为在F 检验中误差项自由度下，显著水平
为α的临界t 值， S x x 为均数差数标准误， i j
S xi x j
2MS e / n
MS e 为F 检验中的误差均方，n为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出
方差分析-统计学原理
H0 ：a1 =a2 =…=ar =0
第三节 两因素方差分析 随机区组设计资料的方差分析
一、 随机区组设计 随机区组设计（ randomized block design ），又称 配伍组设计，是配对设计的扩展。 具体做法是：先按影响试验结果的非处理因素 将受试对象配成区组（block），再将各区组内的受 试对象随机分配到不同的处理组，各处理组分别接 受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差别 有无统计学意义，以推断处理因素的效应。
各种变异之间的关系是：
SS总 SS处理 SS区组 SS误差
其中：
v总 v处理 v区组 v误差
v区组 n 1
v误差 (n 1)(g 1)
v总 N 1 v处理 g 1
（1）总变异：反映全部试验数据间大小不等的状况，
SS总 X 2 C
方差分析的基本概念
将衡量试验结果的标志称为试验指标。 将影响试验结果的条件称为因素。 因素在试验中所处的不同状态称为该因 素的水平。
只考察一个影响条件即因素的试验称为单因素 试验，相应的方差分析称为单因素方差分析。
二、变异分解 完全随机设计资料的方差分析表 变异来源 自由度 SS MS F 总变异
单因子方差分析的统计模型：
yij i ij , j 1, 2,..., mi , i 1, 2,..., r , 2 诸 ij 相互独立，且都服从N (0, )
模型可以改写为
yij ai ij , j 1, 2,..., mi , i 1, 2,..., r , r mi ai 0 i 1 相互独立，且都服从N(0, 2 ) ij
均数间的差异没有统计学意义；反 之，如果处理有作用，则组间变异 不仅包含随机误差，还有处理因素
第五章方差分析
SAS软件与统计应用教程
STAT
5.2
单因素方差分析
5.2.1 用INSIGHT作单因素方差分析
5.2.2 用“分析家”作单因素方差分析
5.2.3 用过程进行单因素方差分析
SAS软件与统计应用教程
STAT
5.2.1 用INSIGHT作单因素方差分析
1. 实例
【例5-1】消费者与产品生产者、销售者或服务的提供 者之间经常发生纠纷。当发生纠纷后，消费者常常会向 消费者协会投诉。为了对几个行业的服务质量进行评价， 消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业 分别抽取了不同的企业作为样本。每个行业各抽取5家 企业，所抽取的这些企业在服务对象、服务内容、企业 规模等方面基本上是相同的。然后统计出最近一年中消 费者对总共20家企业投诉的次数，结果如表5-4。
SAS软件与统计应用教程
STAT
3. 方差分析表
通常将上述计算结果表示为表5-1所示的方差分析表。
表5-1 单因素方差分析表
来源Source 自由度DF 平方和Sun of Square 平均平方和 Mean Square F统计量 F value p值Pr > F
组间
组内 全部(C-tatol)
对于给定的显著性水平α 当值p = P{FA > FA0} < α时拒绝H0A； 当值p = P{FB > FB0} < α时拒绝H0B。 其中，FA0为FA统计量的观测值，FB0为FB统计量的观 测值。
SAS软件与统计应用教程
STAT
2. 有交互作用的多因素方差分析
对于有交互作用的观测{xijk}，采用以下的模型： xijk= + i + j + ij + ijk， 1≤i≤l，1≤j≤m，1≤k≤n 其中表示平均的效应，i和j分别表示因素A的第i个 水平和因素B的第j个水平的附加效应， ij 表示因素A的 第i个水平和因素B的第j个水平交互作用的附加效应。 ijk为随机误差，这里也假定它是独立的并且服从等方差 的正态分布。 注意，其中n必须大于1，即为了检验交互作用，必须 有重复观测。
研究生-统计学讲义-第5讲-第5章-方差分析
因一般都按组成统计量F的分子大于分母计算F值。 所以附表6中 F 界值都大于1。方便方差分析时用。
F分布具有倒数性质：
1
F1(df1,df2)
F(d2f,d1f)
例如，查附表6，F0.05(2，5) =5.7861，F 界值表中没有 列出F0.95(5，2) ，利用F分布的倒数性质可得F0.95(5，2) =1/F0.05(2，5) =1/5.7861 = 0.1728 。
H0:μ1=μ2=μ3=μ4即各总体均数相等, H1:各总体均数 不全不等;α=0.05
输出结果
第三节 配伍组设计资料的方差分析及多重比较
一、配伍组设计资料的方差分析
配伍组设计的多个样本均数比较，符合方差分析 条件时，可用无重复数据的两因素方差分析(Two-way ANOVA)。两因素是指主要的处理因素和配伍因素。 配伍组设计试验的结果按处理和配伍两个因素纵横排 列构成多行多列资料，每个格子中仅有一个数据，故 称无重复数据。
查附表6，界值F0.01(3，5) =12.1，df1=3，df2=5时， P (F >12.1) =0.01，P (F <12.1) = 0.99
查附表6, F0.01(3，5) =12.1 , df1=3 , df2=5时 , P (F >12.1) =0.01 , P (F <12.1) = 0.99 ; 查附表6 ,F0.025(7，2) = 39.36， df1=7，df2= 2时，P(F >39.36) = 0.025 , P (F <39.36) =0.975。
组均数 x j 之差的平方和(记为SS组内)来表示，
k nj
S组 S 内 (XijXj)2 (nj1)S2 j j1i1
统计学方差分析ppt课件
水平
水平指因素的具体表现，如销售的 四种方式就是因素的不同取值等级。有 时水平是人为划分的，比如质量被评定 为好、中、差。
单元
单元指因素水平之间的组合。如销 售方式一下有五种不同的销售业绩，就 是五个单元。方差分析要求的方差齐就 是指的各个单元间的方差齐性。
元素
元素指用于测量因变量的最小单 位。一个单元里可以只有一个元素， 也可以有多个元素。
均衡
如果一个试验设计中任一因素各水 平在所有单元格中出现的次数相同，且 每个单元格内的元素数相同，则称该试 验是为均衡，否则，就被称为不均衡。 不均衡试验中获得的数据在分析时较为 复杂。
交互作用
如果一个因素的效应大小在另一 个因素不同水平下明显不同，则称为 两因素间存在交互作用。当存在交互 作用时，单纯研究某个因素的作用是 没有意义的，必须分另一个因素的不 同水平研究该因素的作用大小。如果 所有单元格内都至多只有一个元素， 则交互作用无法测出。
地点一 地点二 地点三 地点四 地点五
方式一
77
86
81
88
83
方式二
95
92
78
96
89
方式三
71
76
68
81
74
方式四
80
84
79
70
82
【解】设这四种方式的销售量的均值分别用 1•, 2•, 3•, 4• 表示，四 个销售地点的平均销售量用 •1, •2, •3, •4 表示；则要检验的假设为
例题
Excel操作
构造F统计量
判断与结论
例题
Excel操作
方差分析概述
因素和水平
单元和元素
均衡
交互作用
第五章 方差分析(答案) 医学统计学习题
区组 对照
第 1 区 1.4 第 2 区 1.5 第 3 区 1.5 第 4 区 1.8 第 5 区 1.5 第 6 区 1.5
ni
6
表 5-2. 大鼠经 5 种方法染尘后全肺湿重
A组
B组
C组
D组
3.3
1.9
1.8
2.0
3.6
1.9
2.3
2.3
4.3
2.1
2.3
2.4
4.1
2.4
2.5
2.6
4.2
1.8
4个样本均数两两比较的q检验(Newman-Keuls法)
两均数之差
组数
Q值
0.0520
2
0.2317
0.5560
3
2.4775
1.6160
4
7.2008
0.5040
2
2.2458
P值 >0.05 >0.05 <0.01 >0.05
2与4 3与4
1.5640
3
1.0600
2
6.9691 4.7233
1.8
2.6
3.3
1.7
2.4
2.1
6
6
6
6
nj
5 5 5 5 5 5
30
Xj
2.0800 2.3200 2.5200 2.6800 2.3800 2.2000
（N）
Xi
1.5333 3.8000
1.9667
2.1833 2.3333 2.3633 ( X )
Si
0.1366 0.4561
0.2503
故 P< 0.01。
按α=0.05 水准，拒绝 H0 ,接受 H1 ，可以认为各种衣料中棉花吸附十硼氢量有差异。
《统计学》-第5章-习题答案
第五章方差分析思考与练习参考答案1.试述方差分析的基本思想。
解答：方差分析的基本思想是，将观察值之间的总变差分解为由所研究的因素引起的变差和由随机误差项引起的变差，通过对这两类变差的比较做出接受或拒绝原假设的判断的。
2.方差分析有哪些基本假设条件？如何检验这些假设条件? 解答：（1）在各个总体中因变量都服从正态分布；（2 ）在各个总体中因变量的方差都相等；（3）各个观测值之间是相互独立的。
正态性检验：各组数据的直方图/峰度系数、偏度系数/Q-Q图，K-S检验*等方差齐性检验：计算各组数据的标准差，如果最大值与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。
最大值和最小值的比例等于 1.83<2。
也可以采用Levene检验方法。
独立性检验：检查样本数据获取的方式，确定样本之间无相关性。
3.对三个不同专业的学生的统计学成绩进行比较研究，每个专业随机抽取6人。
根据数据得到的方差分析表的部分内容如表5-21。
请完成该表格。
如果显著性水平a=0.05，能认为三个专业的考试成绩有显著差异吗？表5-21不同专业考试成绩的方差分析表解答：表不同专业考试成绩的方差分析表查f分布可知，p（F< 0.9067964）= 0.7952296，在显著性水平a=0.05时，不能拒绝原假设，认为三个专业的成绩无显著差异。
根据以下背景资料和数据回答4-7题。
为测试A、B、C、D、E五种节食方案，一位营养学家选择了50名志愿者随机分成五组，每组采用一种方案测量两个月后每个人的降低的体重，得到的实验数据如表5-22。
表5-22不同节食方案的降低的体重（公斤）序号 万案A 万案B 万案C 万案D 万案E1 6.5 2.9 8 5.1 11.52 11.6 5.5 11.9 2.5 13.23 7.7 4.3 8.5 1.5 114 8.7 3.6 8.9 2.2 13.15 8.4 3.9 9.1 1.4 13.86 4.1 6.7 11.4 3.1 12.8 7 8.7 4.5 12.6 5.4 12 8 6.6 1.7 12.4 1.9 11.5 9 7.1 6.59.4 4.1 14.6 108.9 5.4 10.6 3.6 13.74.不同节食方案的实验效果的描述统计资料如表5-23。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• LSD方法：由Fisher提出的最小显著差异方法，是对检验 两个总体均值是否相等的t检验方法的总体方差估计加以 修正(用MSE来代替)而得到的，可用于判断均值之间差异
LSD的操作步骤
（1）提出假设
– H0：i=j(第i个总体的均值等于第j个总体的均值) – H1：ij(第i个总体的均值不等于第j个总体的均值)
实例分析
• 例5.1中 – 如果原假设成立，即H0：1234
• 四种颜色饮料销售的均值都相等，且没有系统误差 • 每个样本都来自均值为、方差为2的同一正态总体
– 如果备择假设成立，即H1：i(i=1，2，3，4)不全相等
• 则至少有一个总体的均值是不同的，且有系统误差 • 这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体
解题过程
① 建立假设 ② 平方和 ③ 自由度 ④ 均方 ⑤ F检验
H0：1=2=3=4=5 ST=1160.4，SA=314.4 SE=ST-SA=1160.4-314.4=864 fA=k-1=5-1=4，fE=k(n-1)=35 MSA=SA/fA=314.4/4=78.6 MSE=SE/fE=846/35=24.17
F=MSA/MSE=78.6/24.17=3.252 查F分布表(单侧)F0.05(4，35)=2.64，F>F0.05，p<0.05，拒绝原假设，故 在不同班主任的班级中数学成绩有显著不同
方差来源 离差平方和 自由度 4 35 39 均方和 F值 78.6 24.17 检验结论
⑥ 方差分析表
314.4 因素A 随机干扰E 846 1160.4 总和T F=3.252 *
• H0：1234 • H1：1，2，3，4不全相等
5.1.2 方差分析中的基本假定
（1）变异的可加性 （2）每个总体都应服从正态分布（分布的正态性） （3）各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的 （4）观察值是独立的 如果总体的均值相等，可期望样本的均值也会很接近： ① 样本的均值越接近，总体均值相等的证据也就越充分 ② 样本均值越不同，总体均值不同的证据就越充分
30.8
29.6
32.4
32.8
32.8
31.46
28.695
分析过程（待续）
① 将总体离差分解
– 总体销售量离差平方和ST有两个来源
• 一是由水平不同造成的不同水平下平均销售量差异SA • 一是由除了颜色之外的随机干扰造成的、同一水平下的销售量差异SE
– 其中，m表示因素A（颜色）的水平数m=4，n表示观测次数n=5
• 不同的水平对结果有影响
– 组间方差中包含随机误差和系统误差 – 组间方差大于组内方差，二者比值就会大于1 – 当这个比值大到某种程度时，不同水平之间存在着显 著差异
例5.1 单因素四水平的试验
• 某饮料生产企业研制出一种新型饮料
– 饮料的颜色：橘黄色、粉色、绿色和无色透明 – 饮料的营养含量、味道、价格、包装相同 – 收集该饮料的销售情况的超级市场地理位置相似、经营规模相仿
fT nm 1, f A m 1, f E n m或者m(n 1)
n的含义不同，前者n表示样本总容量，后者表示观测次数
分析过程（续）
③ 将离差均方化，得均方和（为了具有可比性）
MSA=SA/fA MSE=SE/fE
④ 比较，计算F值：F=MSA/ MSE ⑤ 检验，所示看F统计量是否落在接受域还是拒绝域中
–
单因素方案分析的基本任务是检验如下假设
• H0：所有 i=0或μ1= μ2 =…=μs= μ • H1：不全相等（至少有两个不相等）
多个总体均值是否相同的检验
考察例5.1中颜色是否是影响该饮料销售量的主要因素
– 若饮料的销售量服从正态分布，不同颜色饮料销售量方差 相等 – 考察不同颜色对饮料销售量有无显著影响，即考察4个水平 对销售量的影响是否差异显著，即要检验假设： H0： a1= a2= a3= a4=0
S T xij x
i 1 j 1 m n m n
x
2 m n i 1 j 1 m 2 n i 1 j 1
ij
xi xi x
i
2
xij x i
i 1 j 1
x
x
2
SE S A
② 将总体离差的自由度分解
表5-2 单因素方差总体Xij构成表
Xij的构成
μi （各方案的总体均值）
μ 总体均值 i=(μi－μ) 主效应
εij服从N(0，2) 随机扰动
– Xij表达为总平均、方案的主效应i与随机项之和 – εij表示观测过程中各种随机影响引起的随机误差（εij相互独立， 服从N（0，2）分布 – 对应于μi的样本均值（统计量）是xi ，也就是说，xij -xi表示是 随机误差项 – 由i= μi-μ ，若各个方案的主效应都是0，则各个方案的均值相同
5 方差分析
5.1 方差分析基本原理 5.2 单因素方差分析 5.3 单因素方差分析的SPSS应用 5.4 双因素方差分析
• 某饮料生产企业研制出一种新型饮料
– 饮料的颜色：橘黄色、粉色、绿色和无色透明 – 饮料的营养含量、味道、价格、包装相同 – 收集该饮料的销售情况的超级市场地理位置相似、经营规模相仿
注：*表示在0.05水平上显著
例5.3 服务质量分析
•为了对几个行业的服务质量进行评价
– 在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的样本 – 记录了一年中消费者对总共23家服务企业投诉的次数
•试分析这四个行业的服务质量是否有显著差异？(＝0.05)
消费者对四个行业的投诉次数 观察值 (j) 1 2 3 4 5
f(X)
f(X)
X
X μ1≠μ2≠μ3≠μ4
μ1 =μ2=μ3=μ4
同一正态总体
不同正态总体
5.2 单因素方差分析
5.2.1 多个总体均值是否相同的检验 5.2.2 多个总体均值的多重比较检验
5.2.1 多个总体均值是否相同的检验
例5.1中
– – – – μ表示总体X的均值， μi表示总体Ai的均值， 方案i的主效应 i=μi－μ反映水平Ai对销售量的影响 随机样本Xij，可以视为各个方案的总体均值μi与随机 误差之和： Xij= i + ij – 由于Xij是来自Ai的观察值，于是有 Xij= i +ij=i++ ij (i=1,2,…,4;j=1,2, …,5)
SA SE ST
fA fE fT
MSA MSE
F=MSA/MSE
例5.1的单因素方差分析表
方差来源 因素A（颜色） 随机干扰E 总和T
注：
离差平方和 SA=76.85 SE=39.08 ST=115.93
自由 度 fA=3 fE=16 fT=19
均方和
F值
检验结论 **
MSA=25.615 F=10.485 MSE=2.443
A B C D E 76 76 62 65 67 78 67 70 68 71 65 70 69 68 72 72 64 73 71 69 71 67 71 61 74 72 83 69 69 79 83 72 73 65 76
用方差分析的方法检验5组不同班 主任的学生数学成绩是否有显著 差异
79 73 69 69 84
• 两类方差
① 组内方差：因素的同一水平(同一个总体)下样本数据 的方差，组内方差只包含随机误差 ② 组间方差：因素的不同水平(不同总体)下各样本之间 的方差，组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
实例说明
• 不同颜色(水平)对销售量(结果)没有影响
– 组间方差中只包含有随机误差，没有系统误差 – 组间方差与组内方差很接近，二者比值接近1
• 计算结果如下：
方差来源 离差平方和 自由度 均方和 3 19 22 281.7391 19.05263 F值 检验结论
845.2174 因素A 随机干扰E 362 1207.217 总和T
14.78741 *
5.2.2 多个总体均值的多重比较检验
• 多重比较：在因变量的三个或三个以上水平下均值之间进 行两两比较检验，检验均值间差异
–若F≤F0.05(fA,fE) ，则无显著影响，记为/ –若F0.05(fA,fE) <F<F0.03(fA,fE) ，则影响较显著，记为* –若F>F0.03(fA,fE) ，则影响特别显著，记为**
接受域
拒绝域
f0.05
单因素方差分析表
方差来源 离差平方和 自由度 均方和 F值 检验结论
因素A 随机干扰E 总和T
• 试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响
四色饮料在五家超市的销售情况 超市 1 2 3 4 5 无色 26.5 28.7 25.1 29.1 27.2 粉色 31.2 28.3 30.8 27.9 29.6 橘黄色 27.9 25.1 28.5 24.2 26.5 绿色 30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
• 试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响
四色饮料在五家超市的销售情况 超市 1 2 3 4 5 无色 26.5 28.7 25.1 29.1 27.2 粉色 31.2 28.3 30.8 27.9 29.6 橘黄色 27.9 25.1 28.5 24.2 26.5 绿色 30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
行业(A)
零售业 57 55 46 45 54 旅游业 62 49 60 54 56 航空公司 51 49 48 55 47 家电制造业 70 68 63 69 60
6
7
53
47
55
解题过程
• 设四个行业被投诉次数的均值分别为，1，2，3， 4，则需要检验如下假设